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MAT 2ª Série 3 º Bimestre Estudante.pdf

O documento discute sólidos geométricos e sua relação com objetos do cotidiano. Ele introduz os conceitos de sólidos geométricos e dá exemplos como esferas, cubos e cilindros. Em seguida, divide a turma em grupos para encontrar objetos na escola que representem diferentes sólidos e relacioná-los. Por fim, define poliedros e corpos redondos e suas características.

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1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS COMPONENTES: MATEMÁTICA IMERSÃO CURRICULAR 2ª SÉRIE Imersão Curricular Sólidos Geométricos Para iniciarmos nossa abordagem ao conteúdo deste módulo basta olharmos ao nosso redor. Nosso cotidiano está cercado por referências a geometria, seja ela plana ou espacial. Podemos então exercitar nossos olhos buscando essas referências nos mais variados ambientes, a começar pela própria sala de aula. É possível perceber o quadro como a representação de um quadrilátero, o giz como a representação de um cilindro, a caixa, no canto da sala, se parece com um paralelepípedo. O globo terrestre que o professor de Geografia trouxe outro dia pode Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
2 ser relacionado com a esfera, e essas são apenas algumas das coisas com as quais podemos relacionar a geometria com o nosso cotidiano. Faz-se então necessário conhecer mais sobre tais referências para sermos capazes de estabelecer essa relação entre vida e matemática. Começamos então definindo o que são sólidos geométricos, que nada mais são do que objetos tridimensionais, quando falamos isso, estamos nos referindo a objetos com comprimento, largura e altura, que podem ser classificados em poliedro ou corpos redondos. Falaremos mais sobre isso mais para frente, por hora, vamos nos ater apenas à parte geral de sólidos. Sem nos atermos tanto a definições, veja a seguir alguns exemplos de sólidos geométricos: Figura 1: Sólidos Geométricos – aedonamaria Agora podemos então pensar nessas referências apresentadas e buscar outras imagens/objetos que são correspondentes em nosso cotidiano.
3 MÍDIAS INTEGRADAS Dinâmica Em conjunto com a turma, após ter apresentado os sólidos sem muitos detalhes, vamos dividir a turma em 5 grupos. Cada grupo ficará responsável por um dos sólidos apresentados. Então devem fazer um pequeno passeio pelos ambientes da instituição, buscando objetos que lembrem ou se assemelham ao solido que designado a seu grupo. Essa ação objetiva fomentar o trabalho do processo de identificação destes sólidos em nosso cotidiano, trazendo representações que sejam mais próximas a realidade de cada estudante e/ou ambiente escolar. Após todos terem realizado suas associações, os grupos retornam à sala, e, então, apresentam as características que os objetos tinham em comum para que se tornassem associável ao sólido em questão. Já buscando estabelecer as características desses sólidos para um próximo momento. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Observe o sólido a seguir Assinale a alternativa que apresente uma possível representação deste solido no mundo real. (A) Pirâmide do Egito
4 (B) Sorvete de casquinha (C) Bola de futebol (D) Rede de vôlei. (E) Copo 2. Observe a imagem a seguir Figura 2: Globo Terrestre em Braile - Bia Mapas O objeto pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Paralelepípedo (C) Pirâmide (D) Esfera (E) Cilindro 3. Considere o sólido geométrico a seguir Assinale a alternativa que apresente uma possível representação desse sólido no nosso mundo real.
5 (A) Cone (B) Esfera (C) Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. 4. Observe o objeto apresentado na imagem a seguir Figura 3: Extintor de Incendio – Bucka O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Esfera (C) Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. 5. Observe o objeto na imagem a seguir
6 Figura 4: Caixa de sapato Nike – Shopee O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Esfera (C) Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. Estabelecido nosso processo de associação, podemos agora identificar o que compõe os sólidos geométricos, suas classificações e particularidades. Como dito anteriormente, é possível classificarmos os sólidos geométricos em Poliedros e Corpos Redondos. Quando abordamos os estudos dos poliedros, podemos dizer que esses sólidos são figuras geométricas tridimensionais, compostas por um número determinado lados que são formados por polígonos. Corpos redondos, como o próprio nome indica, são sólidos geométricos que possuem uma superfície arredondada ou curva. Um fato interessante dos corpos redondos é que eles podem ser conhecidos como sólidos de revolução, que são construídos a partir da rotação de uma figura plana. Podemos então elencar algumas características dos poliedros: • São compostos por faces, arestas e vértices: o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro; o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro;
7 o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro. Na imagem a seguir podemos ver alguns exemplos de poliedros: Figura 5: Poliedros - iped - Preparatório Enem Quanto aos corpos redondos, suas características não são tão determinísticas, basta que ele possua uma superfície arredondada em sua composição. Na imagem a seguir conseguimos ver alguns corpos redondos: Figura 6: Corpos Redondos - Planejativo
8 MÍDIAS INTEGRADAS Dinâmica Com base nas características que os grupos elencaram a cada um dos sólidos, durante as aulas anteriores, podemos iniciar uma breve classificação dos sólidos que foram apresentados em poliedros e corpos redondos, bem como indagar mais sobre as características desses poliedros e corpos redondos em associação com os objetos aos quais esses sólidos foram associados.
9 Sobre os sólidos geométricos Agora iremos começar a focar nosso processo de abordagem em situações mais específicas, inicialmente estudaremos os poliedros. Como dito anteriormente poliedros são figuras geométricas tridimensionais que são compostas por um número determinado lados, que formam os polígonos. Em específicos podemos observar os seguintes componentes de um poliedro • São compostos por faces, arestas e vértices o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro. o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro. o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro. Quando falamos de poliedros é comum darmos nomes a cada um deles, e essa nomenclatura deriva do número de lados que o sólido apresenta. Observação – A palavra poliedro é formada por poli, do grego polys (muitos ou vários) e edro do grego hedra (face) ou seja, um poliedro é um solido de muitas faces – Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
10 Esse processo de nomenclatura pelo número de faces segue o seguinte proposto: Nome do Poliedro Número de faces Tetraedro 4 Pentaedro 5 Hexaedro 6 Heptaedro 7 Octaedro 8 Eneaedro 9 Decaedro 10 Undecaedro 11 Dodecaedro 12 Icosaedro 20 Figura 7: Poliedros - Casa da Matemática Podemos, então, além de nomear, classificar esses poliedros em dois grupos, poliedros convexos e poliedros não convexos. Diremos que um poliedro é convexo quando, ao traçarmos qualquer reta não paralela a ele, essa reta deverá interceptar as faces do poliedro em, no máximo dois pontos. Quando a interceptação dessa reta acontecer em mais de duas faces iremos dizer que esse poliedro é não convexo, ou seja, é côncavo.
11 Visualmente teremos as seguintes situações como forma de ilustrar poliedros convexos e não convexos: Figura 8: Poliedros - Toda Matéria Observe como no primeiro caso a interceptação acontece nos pontos P e Q e na segunda acontecem nos pontos A B C e D. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Considere o poliedro a seguir Podemos dizer que este poliedro apresentado é um (A) Tetraedro não convexo. (B) Tricaedro convexo. (C) Tetraedro convexo. (D) Dodecaedro não convexo. (E) Triedro convexo.
12 2. Considere o poliedro a seguir Podemos dizer que este poliedro apresentado é um (A) Tetraedro convexo (B) Dadocaedro não convexo (C) Hexaedro convexo (D) Tetraedro não convexo (E) Hexaedro não convexo 3. Observe os poliedros a seguir Figura 9: Poliedros - Casa da Matemática A respeito da convexidade dos poliedros apresentados, podemos dizer que (A) Apenas I é convexo (B) I e III são convexos (C) II e I são convexos (D) IV e II são convexos (E) Apenas IV é convexo
13 4. Considere os poliedros a seguir Quanto a convexidade dos poliedros apresentados, podemos afirmar que (A) I não é convexo (B) III e IV não são convexos (C) I e III são convexos (D) II e IV são convexos (E) I e IV não são convexos 5. São construídos três poliedros com 7, 12 e 20 lados. Esses poliedros são nomeados respectivamente como (A) Heptaedro, Dodecaedro e Icosaedro (B) Hexaedro, Dodecaedro e Icosaedro (C) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro (D) Heptaedro, Decaedro e Icosaedro (E) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro
14 Nossos conhecimentos a respeito dos poliedros está se expandindo, e, antes de falarmos especificamente sobre alguns, manteremos nossos estudos ainda em um âmbito geral. Vamos relembrar quais são os elementos que compõem um poliedro? • Um poliedro é composto por faces, arestas e vértices o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro. o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro. o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro. Há uma informação bem relevante que relaciona o número de faces, arestas e vértices de um poliedro. Essa informação é conhecida como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo. E há alguns poliedros não convexos em que a relação também é válida. A relação diz que o número de vértices, menos o número de arestas, somado com as faces, é igual a 2. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 − 𝐴𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 + 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 2 Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
15 Essa relação pode ser usada para auxiliar a determinar o número de um dos elementos do poliedro, desde que saibamos o valor dos outros dois elementos. Todo poliedro em que a Relação de Euler é válida é conhecido como poliedro euliriano. Outra característica geral dos poliedros é a possibilidade de determinar se tal poliedro é regular ou não. Um poliedro será dito regular quando todas as suas faces forem polígonos regulares e congruentes entre si, isto é, quando as faces forem iguais. Um fato interessante é que existem somente cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Há ainda uma última caracterização dos poliedros, os que são conhecidos como poliedros de Platão. Tais poliedros são aqueles que possuem suas faces com o mesmo número de arestas, todos os vértices com o mesmo número de encontros de arestas e seja válida a relação de Euler. Desta forma, o poliedro de Platão, engloba todas as características dos poliedros. São poliedros, regulares, convexos e existem apenas cinco classes destes: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um poliedro convexo possui 11 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas? (A) 18 (B) 11 (C) 27 (D) 29 (E) 30
16 2. Em um poliedro convexo temos seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro. (A) 24 (B) 12 (C) 18 (D) 30 (E) 36 3. (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem três faces com 4 lados, duas faces com 3 lados e quatro faces com 5 lados. Qual o número de vértices desse poliedro? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 4. (Mack-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 5. (UFCG – PB) Um professor de matemática em uma aula de geometria, pediu que cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares. Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído por cada aluno é igual a (A) 28
17 (B) 12 (C) 19 (D) 27 (E) 41 Iniciaremos agora o processo de estudo das especificidades de alguns poliedros, a começar pelo prisma. Considere dois planos paralelos 𝛼 e 𝛽, um polígono convexo contido em um dos planos e uma reta r que intercepta o plano, mas não o polígono contido nele. Então, quando tivermos segmentos de retas paralelos a r, que ligam os vértices do polígono em um dos planos com o outro plano, teremos a formação de um prisma. Os elementos do prisma são: Bases, Faces Laterais, Vértices, Arestas da Base, Arestas Laterais, Altura. Figura 10: Ilustração de um prisma e seus elementos - Toda Matéria Podemos, ainda, classificar os prismas de acordo com o número de lados dos polígonos da base: Triangulares: quando as bases são triângulos.
18 Quadrangulares: quando as bases são quadriláteros. Pentagonais: quando as bases são pentágonos. E assim por diante. Outra forma de classificar os prismas são em retos e oblíquos. No prisma reto, temos as arestas laterais perpendiculares aos planos, formando um ângulo reto, de 90°. E no prisma oblíquo temos as arestas laterais formando um ângulo oblíquo com os planos. Os prismas ainda podem ser classificados como regular, se este for reto, e as bases forem polígonos regulares. No estudo dos prismas, temos alguns prismas específicos que levam nomes particulares a depender de suas características. O mais comum é o paralelepípedo¸ um prisma cujas bases são paralelogramos. Temos também o paralelepípedo reto retângulo ou bloco retangular, que é um prisma reto cujas bases e faces laterais são retângulos. E, ainda, temos o cubo ou hexaedro regular, que é um prisma cujas faces são todas quadradas. O Cubo é um caso particular do paralelepípedo reto retângulo, e este é um caso particular do paralelepípedo. Por fim, podemos então pensar na área da superfície de um prisma, e esta é obtida pela soma das áreas das bases e das faces laterais do prisma em questão. 𝑆𝑡 → Superfície Total 𝑆𝑙 → Superfície Lateral 𝑆𝑏 → Superfície da Base 𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 2𝑆𝑏
19 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Considere um paralelepípedo reto retângulo que possui como altura 3 cm, comprimento 5 cm e largura 4 cm. Qual será a área da superfície total desse paralelepípedo? (A) 12 (B) 15 (C) 20 (D) 47 (E) 94 2. Considere um prisma triangular regular, nele as medidas de suas arestas possuem o mesmo valor, e sua área lateral mede 10 m². Sendo assim, a área total do prisma é (A) 10 (1 + √3 6 ) 𝑚² (B) 10 (1 + √3 8 ) 𝑚² (C) 10 (3 + √3 6 ) 𝑚² (D) 7 (1 + √3 6 ) 𝑚² (E) 10 (2 + √3 6 ) 𝑚² 3. Tem-se, em um prisma reto, uma base formada por um triângulo isósceles conforme mostra a imagem a seguir:
20 Sabe-se que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base. Qual será a área total da superfície deste prisma? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 108 (E) 132 4. Seja um paralelepípedo reto retângulo com o comprimento medindo o dobro da largura e a altura medindo 15 cm. Sabe-se que a área total da superfície desse paralelepípedo mede 424cm². As medidas desconhecidas desse prisma medem (A) 8 e 4 (B) 4 e 12 (C) 12 e 16 (D) 16 e 8 (E) 8 e 20 5. (FCMSC – SP) Dispondo de uma fita de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Qual será o volume dessa caixa, em centímetros cúbicos?
21 (A) 2 750 cm³ (B) 4 698 cm³ (C) 3 250 cm³ (D) 4 355 cm³ Passados os trabalhos com a superfície de um prisma, vamos então avaliar o volume dos prismas. Para determinar o volume do paralelepípedo reto retângulo e do cubo iremos realizar o produto da área da base pela altura do prisma. 𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ Mas, para realizar este cálculo para outros sólidos não é tão simples. E para sermos capazes de fazer isso, utilizamos um princípio matemático que foi desenvolvido pelo Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
22 italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1947), esse princípio carrega o nome de seu desenvolvedor, Princípio de Cavalieri. O princípio trata de uma forma de associar o volume de um prisma conhecido com o de um prisma desconhecido, desde que esses estejam em um mesmo plano e que algumas condições sejam satisfeitas: • A área das bases dos dois prismas é congruente. • As alturas dos dois prismas são congruentes. • Se traçarmos um plano, paralelo ao plano da base, que corte os dois prismas na mesma altura, resulta em figuras de áreas iguais. Então com o uso do Princípio de Cavalieri podemos determinar o volume de quaisquer prismas, associando estes a um conhecido. Por exemplo, podemos associar o volume de um prisma de base pentagonal com um paralelepípedo que possui mesma altura e uma base cuja área seja a mesma do pentágono. Se passarmos um plano paralelo ao plano da base e secante aos prismas e, como resultado, obtivermos figuras de mesma base então os volumes vão ser os mesmos. Figura 11: Princípio de Cavalieri - Mundo Educação Assim iremos determinar o volume do prisma de base pentagonal como 𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
23 E isso irá ser válido para qualquer prisma, desde que possamos associar ele a um prisma conhecido e que as condições do Princípio de Cavalieri sejam satisfeitas. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Deseja-se construir tijolos de argila, cada tijolo possuirá as dimensões 18cm, 9 cm e 6 cm. Vão ser produzidos 5 mil tijolos, qual vai ser o volume de argila necessário para produzir esses tijolos? (A) 4,86 m³ (B) 5,33 m³ (C) 5,46 m³ (D) 6,03 m³ (E) 6,86 m³ 2. As medidas das arestas de um paralelepípedo reto retângulo formam uma progressão geométrica. Se a menor das arestas mede ½ cm e i volume de tal paralelepípedo é 64cm³, calcule as medidas das outras arestas. (A) 4cm e 32cm (B) 8 cm e 16cm (C) 16 cm e 24 cm (D) 24 cm e 48 cm (E) 24 cm e 32 cm 3. (UEPG – PR) As medidas internas de uma caixa d’agua em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2m, 1m e 0,7m. Sua capacidade é de
24 (A) 8 400L (B) 84L (C) 840L (D) 8,4L (E) N.d.a. 4. Uma barra de ferro tem o formato de um prisma cuja base é um triangulo equilátero com aresta medindo 4cm, e a altura do prisma mede 12cm. Qual o volume desta barra de ferro? (Use √3 = 1,73) (A) 73,04 cm³ (B) 83,04 cm³ (C) 86,04 cm³ (D) 96,04 cm³ (E) 105,04 cm³ 5. Uma ponte é sustentada por uma coluna que possui o formato de um prisma hexagonal regular de aresta de base medindo 2m e altura do prisma medindo 8m. Determine as medidas da área lateral do prisma e o volume desta coluna. (A) 96 e 4√3 (B) 18 e 3√3 (C) 34 e 4√3 (D) 96 e 2√3 (E) 55 e 5√3
25 Outro poliedro específico a qual podemos destinar nossos estudos são as Pirâmides. Composta por uma base poligonal e um vértice a pirâmide é formada pelos segmentos que conectam o vértice a um dos vértices do polígono da base. Ao observar a pirâmide podemos determinas os seguintes componentes Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para determinar fórmulas do volume. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
26 Base: é o polígono convexo ABCDE contido no plano 𝛼. Vértice da pirâmide: é o ponto V; os vértices da base são os pontos A B C D e E. Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... VEA. Aresta da base: são os lados do polígono da base AB, BC, ..., EA. Aresta laterais: são os segmentos de reta VA, VB, ..., VE. Altura: é a distância entre o ponto V e o plano da base, 𝛼. A pirâmide pode ser classificada de acordo com o número de lados do polígono da base. Quando o polígono da base é um triângulo, temos uma pirâmide triangular, quando é um quadrado a pirâmide é quadrangular, um pentágono nos dá uma pirâmide pentagonal e assim por diante. Temos ainda um conjunto de informações que podem ser extraídas de uma pirâmide regular. Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta, ou seja, que a projeção do vértice é ortogonal ao centro da base, que possui como base um polígono regular. Observe a pirâmide regular a seguir: Então, ao avaliarmos uma pirâmide regular temo os seguintes elementos geométricos:
27 Altura da pirâmide: a medida do segmento de reta VO que liga o vértice V ao plano da base; Faces laterais: são triângulos isósceles congruentes; Arestas laterais: são congruentes e sua medida é indicada por a; Arestas da base: são congruentes e compõem o polígono que forma a base; Apótema da base: é a apótema do polígono regular da base, ou seja, o segmento OM ; Raio da base: é o raio da circunferência de centro O na qual o polígono da base está inscrito; Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (correspondente à altura VM relativa à base do triângulo isósceles.); Assim, derivado desses elementos geométricos somos capazes de, por meio do teorema de Pitágoras aplicado a cada um dos triângulos apresentados na imagem, determinar as seguintes relações: • 𝑎2 = 𝑔2 + ( 𝑙 2 ) 2 • 𝑔2 = ℎ2 + 𝑚2 • 𝑎2 = ℎ2 + 𝑟2 • 𝑟2 = 𝑚2 + ( 𝑙 2 ) 2 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Seja uma pirâmide quadrangular regular que possui altura igual a 4cm e aresta da base igual a 12 cm. Determine: (A) A medida do apótema da base. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ (B) A medida do apótema da pirâmide. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
28 (C) A medida da aresta lateral. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ (D) A área total da superfície da pirâmide. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. Seja uma pirâmide hexagonal regular que possui aresta da base medindo 8 cm e altura medindo 6 cm. Determine: (A) A medida do apótema da base. (B) A medida do apótema da pirâmide. (C) A medida da aresta lateral. (D) A área total da superfície da pirâmide. 3. Considere uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem medida igual a 15cm. Qual a área total da superfície desta pirâmide? (A) 22√5 (B) 225√3 (C) 22√3 (D) 25√5 (E) 233√5 4. Qual a área lateral da superfície de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 13 cm e o apótema da pirâmide mede 12 cm? (A) 160 cm² (B) 170 cm² (C) 180 cm² (D) 190 cm²
29 (E) 200 cm² 5. O perímetro da base de uma pirâmide regular quadrangular é igual a 40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, qual a área lateral da superfície dessa pirâmide? (A) 230 cm² (B) 240 cm² (C) 250 cm² (D) 260 cm² (E) 270 cm² Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para determinar fórmulas do volume. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
30 Dando sequência aos nossos estudos sobre pirâmide, se faz necessário, agora, voltarmos nossa atenção para o processo de cálculo do volume de pirâmides. Para obter a fórmula para o volume da pirâmide é feito uma decomposição de um prisma de base triangular em três pirâmides triangulares que são semelhantes entre si, após essa associação, então, generaliza-se o conceito para enfim chegarmos ao fato de que, o volume da pirâmide é dado por: 𝑉 = 1 3 𝑆𝑏 ∙ ℎ Um terço da área da base vezes a altura da pirâmide. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 2 cm. Sabe-se que a área lateral da pirâmide é 30cm² o volume desta pirâmide é (A) 2√3 cm³ (B) 2√6 cm³ (C) 22√2 cm³ (D) 22√3 cm³ (E) 22√66 cm³ 2. Determine o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado com 3 cm de aresta e altura desta pirâmide mede 10cm. (A) 15 cm³ (B) 20 cm³
31 (C) 25 cm³ (D) 30 cm³ (E) 35 cm³ 3. (FUC – MT - Adaptado) Determine o volume de uma pirâmide cuja planificação é (A) 16 3 (B) 18 3 (C) 20 3 (D) 22 3 (E) 25 3 4. (UFPE) uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual a metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6cm, assinale o inteiro mais próximo ao volume da pirâmide em cm³. Use a aproximação √3 ≅ 1,73 (A) 83 (B) 86 (C) 89 (D) 93 (E) 96
32 5. Um diamante a ser lapidado tem o formato de um octaedro regular de aresta medindo 8mm, como mostra a figura a seguir. O volume total da pedra em seu estado atual é de (A) 52√2 3 mm³ (B) 51√2 3 mm³ (C) 512√2 3 mm³ (D) 512√3 3 mm³ (E) 512√2 2 mm³
33 Vamos agora começar nossas abordagens sobre outros sólidos geométricos. Diferente dos anteriores, estes não entram na categoria de poliedro, estamos falando dos corpos redondos, mais precisamente cilindro, cone e esferas. São corpos redondos aqueles sólidos geométricos que possuem pelo menos uma superfície arredondada. São tridimensionais, então ocupam espaço e, por tanto, possuem volume. Começaremos nossos estudos falando sobre o cilindro. Segundo o portal Toda Matéria, cilindro é um “Solido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo seu comprimento”. Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
34 Os elementos do cilindro são: Bases: são os círculos de raio r e centro O; Raio da Base: é o raio do círculo; Altura: é a distância entre as bases; Eixo: é a reta que contém os centros das bases; Geratrizes: são os segmentos de reta paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases. Diremos que um cilindro é oblíquo ou reto a depender da inclinação da geratriz em relação aos planos que contem a base. O cilindro será oblíquo quando as geratrizes são oblíquas ao plano, de modo semelhante quando elas forem perpendiculares, retas, ao plano. Sobre os cilindros retos, podemos obtê-los por meio da rotação completa de um retângulo de lados medindo r e g entorno do eixo, esse movimento dá ao cilindro reto o nome de cilindro de revolução. A área da superfície do cilindro será obtida por meio da superfície lateral e das duas bases circulares. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 2𝜋𝑟ℎ
35 Para obtenção da fórmula do volume do cilindro, iremos resgatar a ideia do Princípio de Cavalieri. Associando o cilindro a um prisma de base com mesma área e altura, assim, a o volume do cilindro será obtido por: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um recipiente tem o formato de um cilindro reto de 12cm de altura e raio igual a 5cm. Qual a área total da superfície desse recipiente? Use 𝜋 = 3,14 (A) 533,8 cm² (B) 525,9 cm² (C) 535,7 cm² (D) 529,5 cm² (E) 539,9cm² 2. Um retângulo de dimensões 4cm e 12 cm é rotacionado sobre o eixo de sua aresta de menor lado. A área da superfície total do sólido gerado pela rotação é de (A) 84𝜋𝑐𝑚2 (B) 184𝜋𝑐𝑚2 (C) 294𝜋𝑐𝑚2 (D) 304𝜋𝑐𝑚2 (E) 384𝜋𝑐𝑚2 3. Considere um sólido composto por dois cilindros. O primeiro possui diâmetro de 40cm e altura de 9cm. O segundo possui diâmetro de 30cm e altura de 45 cm. O Volume total deste sólido é
36 (A) 10 725𝜋 𝑐𝑚³ (B) 11 725𝜋 𝑐𝑚³ (C) 12 725𝜋 𝑐𝑚³ (D) 13 725𝜋 𝑐𝑚³ (E) 14 725𝜋 𝑐𝑚³ 4. (UEG-GO) Em uma festa um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formado de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho percebeu que a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm² é (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 60 (E) 80 5. Um líquido ocupa uma altura de 10cm em um determinado recipiente cilíndrico e será transferido para um outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior do que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido no segundo recipiente? (A) 2,5 cm (B) 3,5 cm (C) 5,0 cm (D) 7,5 cm (E) 10 cm
37 Outro corpo redondo a qual podemos destinar nossos estudos é o Cone. O cone é a figura geométrica formada por todos os segmentos de reta formado por um vértice fora do plano e pelos pontos contidos dentro de um círculo de raio r. Assim como o Cilindro, o cone pode ser classificado em reto ou oblíquo. Os elementos do cone são: Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
38 Base: é o círculo C de raio r e centro O; Eixo: é a reta que liga o centro do círculo ao vértice; Vértice: é o ponto V que compõem o cone; Raio da Base: é o raio do círculo; Altura: é a distância do ponto V ao plano da base, sua medida é indicada por h; Geratriz: é qualquer segmento de reta cujos extremos são o ponto V do vértice e um ponto qualquer na circunferência da base. O Cone, assim como o cilindro pode ser classificado em Oblíquo ou Reto, a depender o ângulo da geratriz com o plano da base. O cone reto também pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno do eixo de um de seus catetos, portanto o cone reto pode ser chamado de cone de revolução. A área da superfície do cone pode ser obtida pela soma da área da base com a área lateral. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2 A área lateral é a área de um setor circular de raio g (geratriz do cone), assim: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝜋𝑟𝑔 O volume do cone será associado a uma pirâmide utilizando o Princípio de Cavalieri, assim chegamos que:
39 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 1 3 𝜋𝑟2 ∙ ℎ ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um recipiente tem o formato de um funil cone reto com 8cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual é o tamanho da área total da superfície desse recipiente? 𝜋 = 3,14 e √10 = 3,16 (A) 209 cm² (B) 215 cm² (C) 225 cm² (D) 229 cm² (E) 235 cm² 2. Em um cone reto tem-se que a área da base é 9𝜋 𝑐𝑚² e altura igual a 3√10 assim, qual o volume deste cone? (A) 15𝜋 𝑐𝑚³ (B) 27𝜋 𝑐𝑚³ (C) 32𝜋 𝑐𝑚³ (D) 48𝜋 𝑐𝑚³ (E) 57𝜋 𝑐𝑚3 3. Considere um cone de revolução cuja altura mede 8cm e a o raio da base mede 6 cm. A área total da superfície do solido é (A) 86𝜋 𝑐𝑚² (B) 96𝜋 𝑐𝑚² (C) 106𝜋 𝑐𝑚² (D) 116𝜋 𝑐𝑚² (E) 206𝜋 𝑐𝑚²
40 4. Considere um cone reto cuja altura mede 6 cm e a base tenha 16cm de diâmetro. Qual a área total da superfície deste sólido? (A) 144𝜋 𝑐𝑚² (B) 156𝜋 𝑐𝑚² (C) 196𝜋 𝑐𝑚² (D) 216𝜋 𝑐𝑚² (E) 234𝜋 𝑐𝑚² 5. (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto forma, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m² (A) 86𝜋 𝑐𝑚2 (B) 96𝜋 𝑐𝑚2 (C) 106𝜋 𝑐𝑚2 (D) 116𝜋 𝑐𝑚2 (E) 206𝜋 𝑐𝑚²
41 O último sólido geométrico objeto de nossos estudos será nosso último corpo redondo, a esfera. Primeiro precisamos determinar o que é uma superfície esférica. Para tanto basta pegarmos um ponto O no espaço e a esfera será o conjunto de todos os P do espaço que estão a uma distância r do centro da esfera O. A esfera nada mais é que o sólido limitado pela superfície esférica. Figura 12: Elementos da Esfera - Educa Mais Brasil Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
42 Os elementos da esfera são: Eixo: é qualquer reta que contém o centro da esfera; Polos: são os pontos de intersecção da superfície esférica com o eixo ; Equador: é a circunferência de uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo e que passa pelo centro da esfera; Paralelo: é uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo. É, portanto, paralela ao equador; Meridiano: é a circunferência de uma secção obtida por um plano que contém o eixo. Ao criarmos círculos que interceptam a esfera e passam pelo seu eixo temos o que são chamados de círculos máximos. E quando tem o eixo fixado, o equador é um círculo máximo particular e que divide a esfera em duas partes iguais que denominamos hemisférios. Similar aos seus companheiros corpos redondos que estudamos, a esfera pode ser obtida por meio de um eixo de rotação, quando fazemos a rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Assim como obtivemos o cálculo do volume do cone e do cilindro por meio do princípio de Cavalieri aqui faremos o mesmo. Agora associando a esfera a um cilindro. Por meio do processo de demonstração utilizando o princípio de Cavalieri é possível chegarmos a seguinte fórmula do volume da esfera 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 4 3 𝜋𝑟3 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Uma fazenda possui silos formados por um cilindro circular reto (com fundo) sob uma semiesfera. Determine o volume de cada silo desta fazenda sabendo que o raio do cilindro mede 2m e que a altura mede 8m.
43 (A) 88𝜋 3 𝑚³ (B) 98𝜋 3 𝑚³ (C) 108𝜋 3 𝑚³ (D) 118𝜋 3 𝑚³ (E) 128𝜋 3 𝑚³ 2. Uma bacia tem o formato de uma semiesfera que tem 18cm de diâmetro. Qual o volume que essa bacia comporta? (A) 286𝜋 𝑐𝑚3 (B) 386𝜋 𝑐𝑚3 (C) 486𝜋 𝑐𝑚3 (D) 586𝜋 𝑐𝑚3 (E) 686𝜋 𝑐𝑚3 3. (UNIFESP – SP) Um recipiente contendo água tem a forma de um cilindro regular reto de altura h=50cm e raio r=15cm. Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida neste cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente 2 litros de água? (A) 8,05 cm (B) 8,95 cm (C) 9,15 cm (D) 9,35 cm (E) 9,85 cm 4. Temos a seguinte situação, uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de raio a. Qual a razão entre o volume V1 da esfera e o volume V2 do cilindro? (A) ½ (B) 2/3 (C) 3/2 (D) 5/3
44 (E) 1/3 5. Um recipiente é composto por uma esfera com 18cm de diâmetro e um cilindro com 6cm de diâmetro e 10cm de altura. Qual o volume deste recipiente em mililitros? Use 𝜋 = 3,14 (A) 3 334,68mL (B) 3 434,68mL (C) 4 334,68mL (D) 4 434,68mL (E) 5 334,68Ml MOMENTO ENEM 1. (Enem 2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias: A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a (A) 3750 (B) 1500
45 (C) 1250 (D) 375 (E) 150 2. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. Utilize 3 como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é (A) 6 (B) 16 (C) 17 (D) 18 (E) 21
46 3. (Enem 2016) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60m x 10m de base e 10m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7m de altura e 10m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará. Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de (A) 1,4 ∙ 103 𝑚3 (B) 1,8 ∙ 103 𝑚3 (C) 2,0 ∙ 103 𝑚3 (D) 3,2 ∙ 103 𝑚3 (E) 6,0 ∙ 103 𝑚3
47 4. (Enem 2018) Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura. A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto- retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm. Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates? (A) 654 (B) 666 (C) 673 (D) 681 (E) 693 5. (Enem 2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato
48 de paralelepípedo reto-retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas: Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V 6. (Enem 2012 – PPL) Um reservatório de uma cidade estava com 30 m³ de água no momento em que iniciou um vazamento estimado em 30 litros por minuto. Depois de 20 minutos, a partir do início do vazamento, uma equipe técnica chegou ao local e gastou exatamente 2 horas para consertar o sistema e parar o vazamento. O reservatório não foi reabastecido durante todo o período em que esteve com o vazamento. Qual foi o volume de água que sobrou no reservatório, em m³, no momento em que parou o vazamento? (A) 3,6 (B) 4,2 (C) 25,8 (D) 26,4 (E) 27,6
49 7. (Enem 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a (A) 48 (B) 72 (C) 84 (D) 120 (E) 168 8. (Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
50 Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? (A) 156 cm³ (B) 189 cm³ (C) 192 cm³ (D) 216 cm³ (E) 540 cm³ 9. (Enem 2014 PPL) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento, 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a figura. Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras? (A) 3750 cm³ (B) 18750 cm³ (C) 93750 cm³ (D) 468750 cm³ (E) 2343750 cm³
51 10. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de (A) 1,33 (B) 6,00 (C) 12,00 (D) 56,52 (E) 113,04 11. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
52 Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (D) encher duas leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 12. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
53 O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza (A) Massa (B) Volume (C) Superfície (D) Capacidade (E) Comprimento
54 Inserção Curricular/Recomposição Resolver problemas que envolvam espaço e forma (perímetro e área de figuras planas, ladrilhamento de planos, entre outros) empregando estratégias e recursos, observando padrões com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados etc. Objetos de conhecimento Polígonos regulares e suas características: ângulos internos, ângulos externos etc. Linguagem algébrica: fórmulas e generalizações. Polígonos Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos". Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades. Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.
55 Polígono convexo e côncavo A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava. Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece. Polígonos regulares Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo. Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.
56 Elementos do Polígono i. Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono. ii. Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos. iii. Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele. iv. Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.
57 Nomenclatura dos Polígonos Dependendo do número de lados presentes, os polígonos são classificados em: Número de lados Nomenclatura 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Soma dos ângulos de um polígono A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360o. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° n: número de lados do polígono Exemplo 01. Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um decágono convexo? Resolução: O decágono convexo é um polígono que apresenta 10 lados, ou seja, n = 10. Aplicando esse valor na fórmula, temos: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°
58 𝑆𝑖 = (10 − 2) ∙ 180° 𝑆𝑖 = 8 ∙ 180° 𝑆𝑖 = 1440° Assim, a soma dos ângulos internos do decágono é igual a 1440°. Número de diagonais Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula: 𝑑 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 Exemplo 02. Quantas diagonais apresenta um octógono convexo? Resolução: Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos: 𝑑 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 𝑑 = 8 ∙ (8 − 3) 2 𝑑 = 8 ∙ 5 2 𝑑 = 40 2 𝑑 = 20 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.
59 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Calcular a soma dos ângulos internos de um decágono. 2. Qual o polígono, cuja soma dos ângulo internos vale 1800°. 3. Calcular o número de diagonais de um Icoságono. 4. Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulo internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180. 5. Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: (A) 6 lados. (B) 9 lados. (C) 10 lados. (D) 12 lados. (E) 20 lados. 6. O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o: (A) dodecágono. (B) decágono. (C) heptágono. (D) pentágono. (E) hexágono.
60 MOMENTO ENEM 1- (ENEM MEC/2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
61 (A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono. (D) hexágono. (E) eneágono. Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais. Objetos de conhecimento Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação; Expressões algébricas. Áreas A área de uma figura plana é a medida da superfície da figura. Para calcular a área de uma figura plana, utilizamos uma fórmula específica que depende do formato da figura. As principais figuras planas são: I. Triângulo é o polígono mais simples que conhecemos, pois é formado por três lados e três ângulos: 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 2
62 II. O quadrado é um quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados, que possui todos os ângulos retos e todos os lados congruentes. 𝐴 = 𝐿2 III. Retângulo "Conhecemos como retângulo o quadrilátero que possui todos os ângulos retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90o. O quadrado é um caso particular de retângulo, pois, além dos ângulos de 90o, ele possui também os lados congruentes. Para ser retângulo, basta ser um quadrilátero que possui todos os ângulos retos. 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ IV. O trapézio é um outro caso particular de quadrilátero. Para ser considerado um trapézio, o quadrilátero precisa ter dois lados paralelos e dois lados não paralelos."
63 𝐴 = (𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ 2 V. O círculo, diferentemente de todas as figuras apresentadas anteriormente, não é um polígono, por não possuir lados. O círculo é a figura plana formada por todos os pontos que estão equidistantes do centro. 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 𝜋 ≅ 3,14 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um triângulo equilátero possui lados com medidas iguais a 12 cm. Calcule a área deste triângulo. 2. Um triângulo isóscele com dois lados medindo 8 cm e base medindo 10 cm. Calcule a área deste triângulo. 3. Sabendo que um triângulo escaleno possui lados com medidas iguais a = 5 cm e b = 8 cm, e um ângulo entre esses lados de 30°. Calcule a área deste triângulo. 4. Uma fazenda possui formato retangular. Durante a compra, um agricultor viu que, pela legislação vigente, ele não poderá desmatar metade desse terreno, sendo assim, ele o dividiu diagonalmente conforme a imagem a seguir:
64 A área que deve ser mantida preservada é de: (A) 100 m² (B) 350 m² (C) 200 m² (D) 900 m² (E) 450 m² 5. Qual é a área de um triângulo isósceles cuja altura relativa à base é igual a 12 cm e cujos lados congruentes medem 15 centímetros? (A) 108 cm2 (B) 9 cm2 (C) 18 cm2 (D) 24 cm2 (E) 32 cm 6. Um terreno com formato de triângulo equilátero será concretado. Sabendo que esse terreno possui perímetro de 450 metros, calcule quantos metros quadrados de concreto serão gastos nessa obra. 7. O triângulo a seguir representa um terreno que será impermeabilizado para receber futuras obras. O metro quadrado do material impermeabilizante custa R$ 9,23. Calcule o valor que será gasto nesse procedimento.
65 (A) R$ 1200,00 (B) R$ 1384,50 (C) R$ 1390,50 (D) R$ 1400,00 (E) R$ 1421,50 8. Qual é a medida da base de um triângulo cuja área é 240 m2 e cuja altura mede 120 m? 9. A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados. A área do terreno, em km2, é igual a: (A) 215 (B) 210 (C) 200 (D) 220 (E) 205 9. Observe a figura a seguir Sua área é igual à: (A) 30 m2
66 (B) 28 m2 (C) 22,5 m2 (D) 26,5 m2 (E) 24,5 m2 Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais. Objetos de conhecimento Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação; Expressões algébricas. MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2021) O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$ 0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão: • um triângulo equilátero de lado 12 cm; • um quadrado de lado 8 cm; • um retângulo de lados 11 cm e 8 cm; • um hexágono regular de lado 6 cm;
67 • um círculo de diâmetro 10 cm. O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão. Use 3 como aproximação para  e use, use 1,7 como aproximação para 3 . Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um (A) triângulo. (B) quadrado. (C) retângulo. (D) hexágono. (E) círculo. 2. (ENEM MEC/2021) Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.
68 Utilize 3,14 como aproximação para  . Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V
69 3. (ENEM MEC/2020) O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços indicados a seguir. Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00; • Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00. Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e devem ser assentadas sem espaçamento entre elas, aproveitando-se ao máximo os recortes feitos. A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de pisos e resulta no menor preço é (A) 5 caixas do tipo A. (B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B. (C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B. (D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B. (E) 6 caixas do tipo B. 4. (ENEM MEC/2020) Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas: • Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm; • Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm; • Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm; • Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm; •
70 • Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm. A mesa que atende aos critérios especificados é a (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. Questão-05 - (ENEM MEC/2017) Um fabricante recomenda que, para cada m2 do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas: Tipo I: 10 500 BTUh Tipo II: 11 000 BTUh Tipo III: 11 500 BTUh Tipo IV: 12 000 BTUh Tipo V: 12 500 BTUh O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.
71 Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante. A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 6. (ENEM MEC/2017) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m.
72 Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída. O valor do IPTU desse imóvel, em real, é (A) 250,00. (B) 250,80. (C) 258,64. (D) 276,48. (E) 286,00. Questão-07 - (ENEM MEC/2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime 3 para 1,7 e  para 3.) (A) 30. (B) 34. (C) 50. (D) 61. (E) 69.
73 8. (ENEM MEC/2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? (A) R$ 22,50 (B) R$ 35,00 (C) R$ 40,00 (D) R$ 42,50 (E) R$ 45,00 9. (ENEM MEC/2012) Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos e preços: Pizza média (6 fatias): R$ 24,00 Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00 Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor custo- benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços
74 das pizzas atendem o grupo e que não haverá desperdício, iniciou-se um debate entre eles: • Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à área da fatia da pizza média. • Breno: A pizza média tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida em menos fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza. • Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada fatia custa R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho. • Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a mesma, nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra. • Eric: A pizza grande possui melhor relação custo benefício, pois, independentemente do diâmetro, ela é dividida em um número maior de fatias. Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza? (A) Alan. (B) Breno. (C) Cleber. (D) Davidson. (E) Eric. 10. (ENEM MEC/2011) Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a figura.
75 A área da figura sombreada do quadro é de (A) 36 cm2. (B) 72 cm2. (C) 144 cm2. (D) 288 cm2. (E) 432 cm2.
76 Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2021) Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes. Nivelamento e Ampliação
77 Com base na proposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo são formadas pela união das hastes? (A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados. (B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados. (C) 12 paralelogramos e 12 quadrados. (D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados. (E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos. 2. (ENEM MEC/2021) Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas. Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?
78 (A) 1, 2, 3 E 4 (B) 1 E 3 (C) 1 (D) 2 (E) 4 3. (ENEM MEC/2021) O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas. Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo. Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por uni elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central. Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
79 Disponível em: http://trupedatrip.com. Acesso em: 25 out. 2019. A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representado por (A) (B) (C) (D)
80 (E) 4. (ENEM MEC/2021) Um inseto percorreu sobre a superfície de um objeto, em formato de um prisma reto ABCDEFGH, com base retangular, uma trajetória poligonal, com vértices nos pontos: A - X - Y - G - F - E - X - G - E, na ordem em que foram apresentados. É necessário representar a projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto sobre o plano determinado pela base do prisma. A representação da projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto é (A) (B)
81 (C) (D) (E) 5. (ENEM MEC/2020) Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura. Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua descida. A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é
82 (A) (B) (C) (D) (E)
83 6. (ENEM MEC/2020) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como apresentado na Figura 2. A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o escoamento da água de chuva que o pedreiro precisa fazer é (A) (B) (C) (D)
84 (E) 7. (ENEM MEC/2020) No desenho técnico, é comum representar um sólido por meio de três vistas (frontal, perfil e superior), resultado da projeção do sólido em três planos, perpendiculares dois a dois. A figura representa as vistas de uma torre. Disponível em: www.uems.br. Acesso em: 11 dez. 2012 (adaptado). Com base nas vistas fornecidas, qual figura melhor representa essa torre? (A) (B) (C) (D) (E)
85 8. (ENEM MEC/2017) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é representado pela figura. A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos. A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dada por: (A) (B) (C) (D) (E)
86 9. (ENEM MEC/2017) Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, como na figura. Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará um adesivo na forma planificada dessa superfície. Que formato terá esse adesivo? (A) (B) (C) (D) (E) 10. (ENEM MEC/2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
87 Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos. A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por (A) (B) (C) (D) (E) 11. (ENEM MEC/2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:
88 A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas: Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V 12. (ENEM MEC/2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
89 Qual deverá ser a forma do adesivo? (A) (B) (C) (D) (E) 13. (ENEM MEC/2014) A figura é uma representação tridimensional da molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, na qual o átomo central de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, situados nos seis vértices de um octaedro. O ângulo entre qualquer par de ligações enxofre-flúor adjacentes mede 90º.
90 A vista superior da molécula, como representada na figura, é: (A) (B) (C) (D)
91 (E) 14. (ENEM MEC/2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? (A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. (B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. (C) Cone, tronco de pirâmide e prisma. (D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. (E) Cilindro, prisma e tronco de cone. 15. (ENEM MEC/2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
92 Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de (A) pirâmide. (B) semiesfera. (C) cilindro. (D) tronco de cone. (E) cone. 16. (ENEM MEC/2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura. A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 (adaptado).
93 Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? (A) (B) (C) (D) (E)
94 Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. (Encceja/2017) A Figura 1 representa um molde da planificação de um sólido geométrico. As faces desse sólido são figuras geométricas planas. Após montado, o sólido terá o formato de uma caixa, indicada na Figura 2. Qual o número de arestas dessa caixa?
95 (A) 10. (B) 15. (C) 17. (D) 18. (E) 20. 2. (Encceja/2017) Uma fábrica de parafusos tem uma preocupação especial com as arestas de seus produtos, pois podem causar acidentes quando não lixadas corretamente. Os funcionários precisam lixar manualmente todas as arestas dos parafusos produzidos. A figura representa um tipo desses parafusos produzidos, conhecido como sextavado, que possui a cabeça na forma de um prisma regular hexagonal. O número de arestas na cabeça de um parafuso sextavado que devem ser lixadas é (A) 6. (B) 12. (C) 18. (D) 24. (E) 25.
96 3. (UFPR/2016) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas arestas? (A) 26. (B) 28. (C) 30. (D) 32. (E) 34. 4. (UERJ/2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: (A) 102 (B) 106 (C) 110 (D) 112 (E) 120.
97 5. (UECE/2016) Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3600 graus, então, a base da pirâmide é um polígono com (A) 9 lados. (B) 10 lados. (C) 11 lados. (D) 12 lados. (E) 15 lados 6. (UECE/2016) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é (A) 100. (B) 120. (C) 90. (D) 80. (E) 60. 7. (UNITAU SP/2015) Sabendo-se que uma reta corta perpendicularmente uma das faces de um diedro, formando um ângulo de 45º com o seu bissetor, é CORRETO afirmar que a medida desse diedro é (A) 40º (B) 45º (C) 50º (D) 75º (E) 90º
98 8. (UECE/2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é (A) 90. (B) 72. (C) 60. (D) 56. (E) 60 9. (UEFS BA/2014) Um tipo de bola de futebol é inspirado no icosaedro truncado, que é um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é (A) 40 (B) 48 (C) 60 (D) 64 (E) 76 10. (UECE/2012) Se um poliedro convexo tem exatamente 20 faces e todas são triangulares, então o número de vértices deste poliedro é
99 (A) 16. (B) 14. (C) 12. (D) 10. (E) 8. MOMENTO ENEM 1- (ENEM MEC/2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a (A) 10. (B) 12. (C) 25. (D) 42. (E) 50.
100 Habilidade da BNCC (EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509A) Identificar nas projeções refletidas no ambiente as formas geométricas reconhecendo seus respectivos elementos (vértices, lados, ângulos internos, externos e diagonais) para a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Objetos de conhecimento Transformações geométricas (isometrias e homotéticas). Imersão Curricular Arte e Matemática Podemos estabelecer uma conexão com algumas áreas da Matemática e com outros campos do conhecimento, especialmente com a arte, por meio da exploração das formas e características de objetos, obras artísticas, pinturas, desenhos, mapas, formas encontradas na natureza, entre outras criações humanas ou naturais.
101 O Limite do Círculo 1 Escher 1958 Para essa relação iremos utilizar as transformações geométricas. Uma transformação geométrica é uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual (isométricas) ou semelhante à primeira (homotéticas). Uma Isometria é uma transformação geométrica que preserva distância entre pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura inicial e o seu transformado são congruentes. Tipos de isometria Reflexão No plano, uma reflexão, de eixo r é uma transformação geométrica que a cada ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que: I. PP’ é perpendicular ao eixo; II. As distancias de P e de P ́ao eixo são iguais. Propriedades:
102 1. Uma figura e a sua imagem por reflexão sobre um eixo de reflexão são congruentes; 2. Se dobrarmos a folha pelo eixo de reflexão r, a figura original e a sua imagem sobrepõem-se ponto por ponto; 3. A reflexão muda o sentido dos ângulos, mas mantem a sua amplitude. Fonte: Elaborado para fins didáticos. Rotação No plano uma rotação de uma forma ao redor de um ponto, centro da rotação, e amplitude 𝜃 é uma transformação geométrica tal que a distância ao centro de rotação de cada ponto P se mantem constante. Fonte: Elaborado para fins didáticos.
103 Translação. A translação é o termo usado para "mover" formas, sendo necessárias duas especificações I. Direção (que pode ser medida em graus) II. Magnitude (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento). Fonte: Elaborado para fins didáticos. A figura acima foi transladada 30° a nordeste e no comprimento do vetor v. Homotetia Homotetia é transformação que multiplica por um fator constante a distância de um ponto qualquer do espaço a um ponto fixo, deslocando-o sobre a reta definida por estes dois pontos
104 Fonte: Elaborado para fins didáticos. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 01. Faça uma reflexão do triângulo ABC em relação a) ao eixo y; b) ao eixo x; c) a origem O 02. Observe os polígonos ABC e A’B’C’ no plano cartesiano a seguir.
105 Que tipo de simetria é observado na transformação do polígono ABC no polígono A’B’C’? (A) Reflexão em relação ao eixo x. (B) Reflexão em relação a origem do sistema de coordenadas. (C) Translação. (D) Rotação em relação ao ponto A. (E) Rotação em relação a origem do sistema de coordenadas. MOMENTO ENEM 01. (ENEM MEC/2018) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A
106 rotação é o “giro” de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem: 1ª) Reflexão no eixo x; 2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A; 3ª) Reflexão no eixo y; 4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A; 5ª) Reflexão no eixo x. Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012. Qual a posição final da figura? (A) (B) (C) (D) (E)
107 02. (ENEM MEC/2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45º com a linha do horizonte. Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360º. A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de (A) 90º no sentido horário. (B) 135º no sentido horário. (C) 180º no sentido anti-horário. (D) 270º no sentido anti-horário.
108 (E) 315º no sentido horário. 03. (ENEM MEC/2015) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada. Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é (A) (B) (C) (D) (E) 04. (ENEM MEC/2011)
109 Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010. O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de (A) 45°. (B) 60°. (C) 90º (D) 120°. (E) 180°. 05. (ENEM MEC/2009) Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia. Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica quando for possível dobrá- la em duas partes, de modo que essas partes coincidam completamente. De acordo com a descrição acima, qual das figuras a seguir é simétrica? (A) (B)
110 (C) (D) (E) 06. (ENEM MEC/2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir do original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é: (A) (B) (C)
111 (D) (E) Habilidade da BNCC (EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509B) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), observando padrões e experimentações para estabelecer conjecturas acerca de seus conceitos e propriedades. Objetos de conhecimento Posição de figuras geométricas: tangente, secante, externa. Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos. Posição de figuras geométricas Tangente
112 Do latim tangens, o termo tangente é simultaneamente um substantivo e um adjetivo que faz referência àquilo que toca ou que tange, portanto, uma reta tangente é aquela que tem um único ponto em comum com uma curva, denominado ponto de tangência. Reta tangente a uma circunferência Propriedade: “A distância do centro da circunferência até o ponto de tangencia é igual ao raio”. 𝑑 = 𝑟 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Circunferências tangentes a) Internas Propriedade: “A distância entre os centros é igual ao módulo da diferença entre os raios.” 𝑑 = |𝑟1 − 𝑟2|
113 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos b) Externas Propriedade: “A distância entre os centros é igual à soma dos raios” 𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Secante Secante se refere à superfície ou à linha que intercepta outra superfície ou linha.
114 Reta secante a uma circunferência Propriedade: “A distância d do centro C até a reta é menor que o raio” 𝑑 < 𝑟 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Circunferências secantes Propriedade: “A distância entre os centros é maior que o modulo da diferença entre os raios menor que a soma deles” |𝑟1 − 𝑟2| < 𝑑 < 𝑟1 + 𝑟2 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos
115 Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos Um sólido A está inscrito de um outro sólido B quando A está “dentro” de B. Por outro lado, quando um sólido B circunscreve um sólido A, dizemos que B “fora” A. Observe a figura a seguir, perceba que a esfera está inscrita no cubo, e que o cubo circunscreve a esfera. Fonte: Figura elaborada para fins didáticos. Para o estudo dos sólidos geométricos inscritos e circunscritos, é importante observar que: i. Dizemos que um sólido está circunscrito à esfera quando a esfera se encontra no interior do sólido, tangenciando cada um de seus lados. Nesse caso também podemos dizer que a esfera está inscrita ao sólido. ii. Quando a esfera está circunscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está inscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por R. iii. Quando a esfera está inscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está circunscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por r.
116 Esfera inscrita no cone r = raio da esfera R = raio do cone Exemplo 01. Uma esfera de raio 8 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine o volume desse cone. Resolução: Considere a figura, em que o triângulo equilátero VBD é uma secção meridiana do cone, e a circunferência de centro O e raio 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = 8 𝑐𝑚 é um círculo máximo da esfera. Logo, como 𝑟 = 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ = 1 3 𝑉𝐶 ̅̅̅̅, temos 𝑉𝐶 ̅̅̅̅ = 24 𝑐𝑚. Ademais, sendo 𝑅 = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 1 √3 ∙ 𝑉𝐶 ̅̅̅̅, podemos concluir que o volume é 𝑉 = 1 3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 24 = 1 3 ∙ 𝜋 ∙ ( 24 √3 ) 2 ∙ 24 = 1536𝜋 𝑐𝑚3
117 Esfera inscrita no cilindro r = raio da esfera R = raio do cilindro h = altura do cilindro Exemplo 02: A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Sabendo que R = 5 cm, determine o volume do cilindro. Resolução: O volume do cilindro é dado por 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ Temos que R = 5 cm e h = 2R = 10 cm, portanto o volume é 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ 𝑉 = 𝜋 ∙ 52 ∙ 10 𝑉 = 250 𝑐𝑚2
118 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine o volume desse cone, em cm3. 2. A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Sabendo que R = 12 cm, determine o volume do cilindro. 3. Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3 unidades. Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem. Determine o volume da embalagem, sabendo que o raio de cada bola é de 10 cm.
119 4. Um recipiente para perfume tem o formato de um cilindro circunscrito numa esfera (sendo essa esfera oca, de capacidade máxima de 32 cm3), conforme figura a seguir. Se o espaço entre a esfera e o cilindro é preenchido com material translúcido, qual será o volume total, em cm3, gasto com esse material, desprezando-se as espessuras das superfícies da esfera e do cilindro? (Considere  = 3) 5. Num cilindro reto, estão inscritas duas esferas conforme mostra a figura. Se o raio de cada esfera é igual a 18 cm, determine o volume do cilindro. 6. No interior de um tubo, em forma de cilindro circular reto, de altura h=40cm e raio da base r=2cm, coloca-se o maior número possível de esferas, conforme figura ao lado. Quantas esferas podemos colocar nesse cilindro?
120 Habilidade da BNCC (EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509C) Estabelecer conjecturas de diferentes conceitos e propriedades envolvidas na determinação da medida de ângulos e áreas de projeções, identificando a necessidade, ou não, de demonstração formal para justificar o uso de ferramentas que colaborem com a solução de problemas dessa natureza. Objetos de conhecimento Noções básicas de cartografia: projeção cilíndrica e cônica. O que é Cartografia? A Cartografia, que é ao mesmo tempo ciência e arte, é a ciência responsável pela representação da realidade, contribuindo para a melhor compreensão do mundo. Como sabemos, é a área do conhecimento responsável pela elaboração e estudo dos mapas e representações cartográficas em geral, incluindo plantas, croquis e cartas gráficas. Essa área do conhecimento é de extrema utilidade não só para os estudos em Geografia, mas também em outros campos, como a História e a Sociologia, pois, afinal, os mapas são formas de linguagem para expressar uma dada realidade. Conceitos básicos de Cartografia i. Escala é a proporção entre a área real e a sua representação em um mapa. Geralmente, aparece designada nos próprios mapas na forma numérica e/ou na forma gráfica. ii. Legenda é a utilização de símbolos em mapas para definir algumas representações e está sempre presente em mapas temáticos. Alguns símbolos cartográficos e suas legendas são padronizados para todos os mapas, como o azul para designar a água e o verde para indicar uma área de vegetação, entre outros. iii. Projeções Cartográficas são o sistema de representação da Terra, que é geoide e quase arredondada, em um plano, de forma que sempre haverá distorções. No
121 sistema de projeções cartográficas, utiliza-se a melhor estratégia para definir quais serão as alterações entre o real e a representação cartográfica com base no tipo de mapa a ser produzido. Esses conceitos nos auxiliam a identificar com mais facilidade as informações de um mapa e as formas utilizadas para elaborá-lo. Mapa é uma representação reduzida de uma dada área do espaço geográfico. Um mapa temático, por sua vez, é uma representação de um espaço realizada a partir de uma determinada perspectiva ou tema, que pode variar entre indicadores sociais, naturais e outros. Coordenadas Geográficas é a combinação do sistema de paralelos e meridianos com base nas longitudes e as latitudes para endereçar todo e qualquer ponto da superfície terrestre. Vamos estudar três projeções cartográficas 1. Projeção plana ou azimutal Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 2. Projeção cônica
122 Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 3. Projeção cilíndrica Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.
123 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. (UEG 2017) Observe a figura a seguir. Fonte: <www.geografiaparatodos.com.br/index.prp?pag=cap_3_geoprocessamento_e_mapa s>. Acesso em: 17 ago. 2016. Os tipos de projeções cartográficas representados na figura são, respectivamente: (A) cilíndrica, azimutal e cônica (B) azimutal, cilíndrica e cônica (C) cilíndrica, cônica e azimutal (D) cônica, azimutal e cilíndrica (E) azimutal, cônica e cilíndrica 2. (Faculdade Guanambi BA/2017)
124 Devido à impossibilidade de desenvolver uma superfície curva em outra plana equivalente, idealizaram-se procedimentos engenhosos usados na construção de mapas com a menor possibilidade de erros. Considerando-se as informações do texto, a representação gráfica, faz referência à (A) projeção plana ou azimutal (B) projeção ortográfica (C) projeção cônica (D) projeção estereográfica (E) projeção cilíndrica 3. (Unesp SP/2022) Observe as medidas indicadas em um mapa do Parque Ibirapuera, região plana da cidade de São Paulo. (www.google.com. Adaptado.)
125 De acordo com o mapa, uma caminhada em linha reta do Museu Afro Brasil (P) até o Museu de Arte Moderna de São Paulo (Q) corresponde a a) 400 m. b) 625 m. c) 676 m. d) 484 m. e) 576 m. 4. (UEG GO/2010) FONTE: GOIÁS/AGIM. Sig-Goiás. Folha SE-22-X-A (São Luíz de Montes Belo). Escala 1:250.000. Agência Ambiental/CPRM, 2000. No mapa do município de Anicuns, as distâncias em linha reta entre a sede do município e Choupana e entre Anicuns e Capelinha são, respectivamente, de 5,0 cm e 4,5 cm. Já a distância entre Choupana e Capelinha corresponde a 6,5 cm. Sabendo- se que a escala do mapa é de 1: 400.000, a distância real entre as localidades é de aproximadamente: (A) 18 km, 20 km e 26 km (B) 20 km, 18 km e 26 km (C) 20 km, 26 km e 18 km
126 (D) 26 km, 18 km e 20 km (E) 26 km, 20 km e 28 km 5. (IFMS/2019) Ao olharmos para o mapa de Goiás, vemos que o Distrito Federal é praticamente um retângulo incrustado no estado. Sabemos que os mapas mantêm as proporções e razões com as medidas reais. No mapa, a razão entre as medidas dos lados do DF é de 0,5. Podemos afirmar então que, se a medida real do lado menor é 65 km, a medida do lado maior do DF terá um comprimento de (A) 32,5 km. (B) 130 km. (C) 65 km. (D) 1535 km. (E) 200 km. 6. (Uncisal AL/2019) A régua, o barbante e o mapa mostrados a seguir foram utilizados por um estudante para fazer o seguinte procedimento a fim de calcular o comprimento do Rio Amazonas: 1. cobriu com o barbante a linha do mapa que representa o Rio Amazonas, desde a nascente até a foz; 2. esticou o barbante; 3. mediu com a régua o comprimento do barbante e obteve 14,8 cm; 4. verificou que o mapa foi construído na escala 17: 800 000 000.
127 Disponível em: https://upload.wikimedia.org. Acesso em: 23 nov. 2018 (adaptado). Considerando-se a escala utilizada na construção do mapa e o comprimento do barbante, qual é o valor que mais se aproxima do comprimento do Rio Amazonas? (A) 31 000 km (B) 25 100 km (C) 11 800 km (D) 7 000 km (E) 2 000 km MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em relação ao espaço real. Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
128 Disponível em: http://oblogdedaynabrigth.blogspot.com.br. Acesso em: 9 ago. 2012. Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é (A) 4 408. (B) 7 632. (C) 44 080. (D) 76 316. (E) 440 800. 2. (ENEM MEC/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
129 Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é (A) menor que 10. (B) maior que 10 e menor que 20. (C) maior que 20 e menor que 30. (D) maior que 30 e menor que 40. (E) maior que 40. 3. (ENEM MEC/2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano  é paralelo à linha do equador na figura. A projeção ortogonal, no plano  , do caminho traçado no globo pode ser representada por
130 (A) (B) (C) (D) (E)
131 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único. 1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001. NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. Matriz de Referência ENEM. INEP. Disponível em: https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf. Acesso em 22 jun, 2022. Provas Enem, INEP. Disponível em: https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de- atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos. Acesso em 22 jun, 2022. Documento Curricular para Goiás – Etapa Ensino Médio. Disponível em: https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/. Acesso em 22 jun, 2022.
132 GABARITO Atividade de Aprendizagem 1- B 2- D 3- C 4- E 5- D Atividade de Aprendizagem 1- C 2- C 3- A 4- B 5- A Atividade de Aprendizagem 1- C 2- B 3- C 4- A 5- B Atividade de Aprendizagem 1- E 2- A
133 3- E 4- A 5- A Atividade de Aprendizagem 1- A 2- A 3- C 4- B 5- A Atividade de Aprendizagem 1- A. A medida do apótema da base. 6 cm B. A medida do apótema da pirâmide. 2√13 cm C. A medida da aresta lateral.2√22 𝑐𝑚 D. A área total da superfície da pirâmide. 48(3 + √13) cm² 2- A. A medida do apótema da base. 4√3 cm B. A medida do apótema da pirâmide. 2√21 cm C. A medida da aresta lateral. 10 cm D. A área total da superfície da pirâmide. 48√3(2 + √7) 𝑐𝑚² 3- Gabarito – B
134 4- Gabarito - C 5- Gabarito - D Atividade de Aprendizagem 1- E 2- D 3- A 4- A 5- C Atividade de Aprendizagem 1- A 2- E 3- D 4- E 5- A Atividade de Aprendizagem 1- A 2- B 3- B
135 4- A 5- B Atividade de Aprendizagem 1- A 2- C 3- B 4- B 5- A MOMENTO ENEM 1- A 2- D 3- D 4- C 5- D 6- C 7- A 8- B 9- D 10- B 11- A 12- B Atividade de Aprendizagem 1. Solução: 1140° 2. Solução: Dodecágono 3. Solução: 170 diagonais
136 4. Solução: Retângulo 5. (C) 6. (D) MOMENTO ENEM 1- Gabarito: B Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: 12√27 2. Gabarito: 5√39 3. Gabarito: 10√3 4. (E) 450 m² 5. (A) 108 cm2 6. Gabarito: 5625√3
137 7. (B) R$ 1384,50 8. Gabarito: 4 9. (B) 210 10. (D) 26,5 m2 MOMENTO ENEM 1- Gabarito: E 2- Gabarito: E 3- Gabarito: C 4- Gabarito: E 5- Gabarito: C 6- Gabarito: E 7- Gab: D 8- Gabarito: B 9- Gabarito: D
138 10- Gabarito: C MOMENTO ENEM 1- Gabarito: A 2- Gabarito: E 3- Gabarito: E 4- Gabarito: D 5- Gabarito: E 6- Gabarito: B 7- Gabarito: E 8- Gabarito: B 9- Gabarito: B 10- Gabarito: E 11- Gabarito: C 12 - Gabarito: E 13 Gabarito: B 14 - Gabarito: A 15 - Gabarito: E 16 Gabarito: E Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: B 2. Gabarito: C 3. Gabarito: C 4. Gabarito: D 5. Gabarito: C 6. Gabarito: C
139 7. Gabarito: E 8. Gabarito: C 9. Gabarito: C 10. Gabarito: C Momento ENEM 1- Gabarito: B Atividade de Aprendizagem 1-
140 2- Gabarito: C MOMENTO ENEM 1-Gabarito: C 2-Gabarito: B 3- Gabarito: E 4- Gabarito: D 5- Gabarito: B 6- Gabarito: E Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: 3000𝜋 𝑐𝑚3 2. Gabarito: 3456𝜋 𝑐𝑚3
141 3. Gabarito: 6000𝜋 𝑐𝑚3 4. Gabarito: 16𝑐𝑚3 5. Gabarito: 23328𝜋 𝑐𝑚3 6. Gabarito: 15 esferas Atividade de Aprendizagem 1- Gabarito: B 2- Gabarito: E 3- Gabarito: B 4- Gabarito: B 5- Gabarito: B 6- Gabarito: D MOMENTO ENEM 1- Gabarito: A
142 2- Gabarito: D 3- Gabarito: E

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  • 1.
    1 MATEMÁTICA E SUASTECNOLOGIAS COMPONENTES: MATEMÁTICA IMERSÃO CURRICULAR 2ª SÉRIE Imersão Curricular Sólidos Geométricos Para iniciarmos nossa abordagem ao conteúdo deste módulo basta olharmos ao nosso redor. Nosso cotidiano está cercado por referências a geometria, seja ela plana ou espacial. Podemos então exercitar nossos olhos buscando essas referências nos mais variados ambientes, a começar pela própria sala de aula. É possível perceber o quadro como a representação de um quadrilátero, o giz como a representação de um cilindro, a caixa, no canto da sala, se parece com um paralelepípedo. O globo terrestre que o professor de Geografia trouxe outro dia pode Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
  • 2.
    2 ser relacionado coma esfera, e essas são apenas algumas das coisas com as quais podemos relacionar a geometria com o nosso cotidiano. Faz-se então necessário conhecer mais sobre tais referências para sermos capazes de estabelecer essa relação entre vida e matemática. Começamos então definindo o que são sólidos geométricos, que nada mais são do que objetos tridimensionais, quando falamos isso, estamos nos referindo a objetos com comprimento, largura e altura, que podem ser classificados em poliedro ou corpos redondos. Falaremos mais sobre isso mais para frente, por hora, vamos nos ater apenas à parte geral de sólidos. Sem nos atermos tanto a definições, veja a seguir alguns exemplos de sólidos geométricos: Figura 1: Sólidos Geométricos – aedonamaria Agora podemos então pensar nessas referências apresentadas e buscar outras imagens/objetos que são correspondentes em nosso cotidiano.
  • 3.
    3 MÍDIAS INTEGRADAS Dinâmica Em conjuntocom a turma, após ter apresentado os sólidos sem muitos detalhes, vamos dividir a turma em 5 grupos. Cada grupo ficará responsável por um dos sólidos apresentados. Então devem fazer um pequeno passeio pelos ambientes da instituição, buscando objetos que lembrem ou se assemelham ao solido que designado a seu grupo. Essa ação objetiva fomentar o trabalho do processo de identificação destes sólidos em nosso cotidiano, trazendo representações que sejam mais próximas a realidade de cada estudante e/ou ambiente escolar. Após todos terem realizado suas associações, os grupos retornam à sala, e, então, apresentam as características que os objetos tinham em comum para que se tornassem associável ao sólido em questão. Já buscando estabelecer as características desses sólidos para um próximo momento. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Observe o sólido a seguir Assinale a alternativa que apresente uma possível representação deste solido no mundo real. (A) Pirâmide do Egito
  • 4.
    4 (B) Sorvete decasquinha (C) Bola de futebol (D) Rede de vôlei. (E) Copo 2. Observe a imagem a seguir Figura 2: Globo Terrestre em Braile - Bia Mapas O objeto pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Paralelepípedo (C) Pirâmide (D) Esfera (E) Cilindro 3. Considere o sólido geométrico a seguir Assinale a alternativa que apresente uma possível representação desse sólido no nosso mundo real.
  • 5.
    5 (A) Cone (B) Esfera (C)Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. 4. Observe o objeto apresentado na imagem a seguir Figura 3: Extintor de Incendio – Bucka O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Esfera (C) Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. 5. Observe o objeto na imagem a seguir
  • 6.
    6 Figura 4: Caixade sapato Nike – Shopee O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico? (A) Cone (B) Esfera (C) Pirâmide (D) Paralelepípedo (E) Cilindro. Estabelecido nosso processo de associação, podemos agora identificar o que compõe os sólidos geométricos, suas classificações e particularidades. Como dito anteriormente, é possível classificarmos os sólidos geométricos em Poliedros e Corpos Redondos. Quando abordamos os estudos dos poliedros, podemos dizer que esses sólidos são figuras geométricas tridimensionais, compostas por um número determinado lados que são formados por polígonos. Corpos redondos, como o próprio nome indica, são sólidos geométricos que possuem uma superfície arredondada ou curva. Um fato interessante dos corpos redondos é que eles podem ser conhecidos como sólidos de revolução, que são construídos a partir da rotação de uma figura plana. Podemos então elencar algumas características dos poliedros: • São compostos por faces, arestas e vértices: o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro; o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro;
  • 7.
    7 o Vértices sãoos pontos de intersecção das arestas do poliedro. Na imagem a seguir podemos ver alguns exemplos de poliedros: Figura 5: Poliedros - iped - Preparatório Enem Quanto aos corpos redondos, suas características não são tão determinísticas, basta que ele possua uma superfície arredondada em sua composição. Na imagem a seguir conseguimos ver alguns corpos redondos: Figura 6: Corpos Redondos - Planejativo
  • 8.
    8 MÍDIAS INTEGRADAS Dinâmica Com basenas características que os grupos elencaram a cada um dos sólidos, durante as aulas anteriores, podemos iniciar uma breve classificação dos sólidos que foram apresentados em poliedros e corpos redondos, bem como indagar mais sobre as características desses poliedros e corpos redondos em associação com os objetos aos quais esses sólidos foram associados.
  • 9.
    9 Sobre os sólidosgeométricos Agora iremos começar a focar nosso processo de abordagem em situações mais específicas, inicialmente estudaremos os poliedros. Como dito anteriormente poliedros são figuras geométricas tridimensionais que são compostas por um número determinado lados, que formam os polígonos. Em específicos podemos observar os seguintes componentes de um poliedro • São compostos por faces, arestas e vértices o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro. o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro. o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro. Quando falamos de poliedros é comum darmos nomes a cada um deles, e essa nomenclatura deriva do número de lados que o sólido apresenta. Observação – A palavra poliedro é formada por poli, do grego polys (muitos ou vários) e edro do grego hedra (face) ou seja, um poliedro é um solido de muitas faces – Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
  • 10.
    10 Esse processo denomenclatura pelo número de faces segue o seguinte proposto: Nome do Poliedro Número de faces Tetraedro 4 Pentaedro 5 Hexaedro 6 Heptaedro 7 Octaedro 8 Eneaedro 9 Decaedro 10 Undecaedro 11 Dodecaedro 12 Icosaedro 20 Figura 7: Poliedros - Casa da Matemática Podemos, então, além de nomear, classificar esses poliedros em dois grupos, poliedros convexos e poliedros não convexos. Diremos que um poliedro é convexo quando, ao traçarmos qualquer reta não paralela a ele, essa reta deverá interceptar as faces do poliedro em, no máximo dois pontos. Quando a interceptação dessa reta acontecer em mais de duas faces iremos dizer que esse poliedro é não convexo, ou seja, é côncavo.
  • 11.
    11 Visualmente teremos asseguintes situações como forma de ilustrar poliedros convexos e não convexos: Figura 8: Poliedros - Toda Matéria Observe como no primeiro caso a interceptação acontece nos pontos P e Q e na segunda acontecem nos pontos A B C e D. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Considere o poliedro a seguir Podemos dizer que este poliedro apresentado é um (A) Tetraedro não convexo. (B) Tricaedro convexo. (C) Tetraedro convexo. (D) Dodecaedro não convexo. (E) Triedro convexo.
  • 12.
    12 2. Considere opoliedro a seguir Podemos dizer que este poliedro apresentado é um (A) Tetraedro convexo (B) Dadocaedro não convexo (C) Hexaedro convexo (D) Tetraedro não convexo (E) Hexaedro não convexo 3. Observe os poliedros a seguir Figura 9: Poliedros - Casa da Matemática A respeito da convexidade dos poliedros apresentados, podemos dizer que (A) Apenas I é convexo (B) I e III são convexos (C) II e I são convexos (D) IV e II são convexos (E) Apenas IV é convexo
  • 13.
    13 4. Considere ospoliedros a seguir Quanto a convexidade dos poliedros apresentados, podemos afirmar que (A) I não é convexo (B) III e IV não são convexos (C) I e III são convexos (D) II e IV são convexos (E) I e IV não são convexos 5. São construídos três poliedros com 7, 12 e 20 lados. Esses poliedros são nomeados respectivamente como (A) Heptaedro, Dodecaedro e Icosaedro (B) Hexaedro, Dodecaedro e Icosaedro (C) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro (D) Heptaedro, Decaedro e Icosaedro (E) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro
  • 14.
    14 Nossos conhecimentos arespeito dos poliedros está se expandindo, e, antes de falarmos especificamente sobre alguns, manteremos nossos estudos ainda em um âmbito geral. Vamos relembrar quais são os elementos que compõem um poliedro? • Um poliedro é composto por faces, arestas e vértices o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro. o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro. o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro. Há uma informação bem relevante que relaciona o número de faces, arestas e vértices de um poliedro. Essa informação é conhecida como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo. E há alguns poliedros não convexos em que a relação também é válida. A relação diz que o número de vértices, menos o número de arestas, somado com as faces, é igual a 2. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 − 𝐴𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 + 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 2 Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    15 Essa relação podeser usada para auxiliar a determinar o número de um dos elementos do poliedro, desde que saibamos o valor dos outros dois elementos. Todo poliedro em que a Relação de Euler é válida é conhecido como poliedro euliriano. Outra característica geral dos poliedros é a possibilidade de determinar se tal poliedro é regular ou não. Um poliedro será dito regular quando todas as suas faces forem polígonos regulares e congruentes entre si, isto é, quando as faces forem iguais. Um fato interessante é que existem somente cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Há ainda uma última caracterização dos poliedros, os que são conhecidos como poliedros de Platão. Tais poliedros são aqueles que possuem suas faces com o mesmo número de arestas, todos os vértices com o mesmo número de encontros de arestas e seja válida a relação de Euler. Desta forma, o poliedro de Platão, engloba todas as características dos poliedros. São poliedros, regulares, convexos e existem apenas cinco classes destes: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um poliedro convexo possui 11 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas? (A) 18 (B) 11 (C) 27 (D) 29 (E) 30
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    16 2. Em umpoliedro convexo temos seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro. (A) 24 (B) 12 (C) 18 (D) 30 (E) 36 3. (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem três faces com 4 lados, duas faces com 3 lados e quatro faces com 5 lados. Qual o número de vértices desse poliedro? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 4. (Mack-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 5. (UFCG – PB) Um professor de matemática em uma aula de geometria, pediu que cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares. Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído por cada aluno é igual a (A) 28
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    17 (B) 12 (C) 19 (D)27 (E) 41 Iniciaremos agora o processo de estudo das especificidades de alguns poliedros, a começar pelo prisma. Considere dois planos paralelos 𝛼 e 𝛽, um polígono convexo contido em um dos planos e uma reta r que intercepta o plano, mas não o polígono contido nele. Então, quando tivermos segmentos de retas paralelos a r, que ligam os vértices do polígono em um dos planos com o outro plano, teremos a formação de um prisma. Os elementos do prisma são: Bases, Faces Laterais, Vértices, Arestas da Base, Arestas Laterais, Altura. Figura 10: Ilustração de um prisma e seus elementos - Toda Matéria Podemos, ainda, classificar os prismas de acordo com o número de lados dos polígonos da base: Triangulares: quando as bases são triângulos.
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    18 Quadrangulares: quando asbases são quadriláteros. Pentagonais: quando as bases são pentágonos. E assim por diante. Outra forma de classificar os prismas são em retos e oblíquos. No prisma reto, temos as arestas laterais perpendiculares aos planos, formando um ângulo reto, de 90°. E no prisma oblíquo temos as arestas laterais formando um ângulo oblíquo com os planos. Os prismas ainda podem ser classificados como regular, se este for reto, e as bases forem polígonos regulares. No estudo dos prismas, temos alguns prismas específicos que levam nomes particulares a depender de suas características. O mais comum é o paralelepípedo¸ um prisma cujas bases são paralelogramos. Temos também o paralelepípedo reto retângulo ou bloco retangular, que é um prisma reto cujas bases e faces laterais são retângulos. E, ainda, temos o cubo ou hexaedro regular, que é um prisma cujas faces são todas quadradas. O Cubo é um caso particular do paralelepípedo reto retângulo, e este é um caso particular do paralelepípedo. Por fim, podemos então pensar na área da superfície de um prisma, e esta é obtida pela soma das áreas das bases e das faces laterais do prisma em questão. 𝑆𝑡 → Superfície Total 𝑆𝑙 → Superfície Lateral 𝑆𝑏 → Superfície da Base 𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 2𝑆𝑏
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    19 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1.Considere um paralelepípedo reto retângulo que possui como altura 3 cm, comprimento 5 cm e largura 4 cm. Qual será a área da superfície total desse paralelepípedo? (A) 12 (B) 15 (C) 20 (D) 47 (E) 94 2. Considere um prisma triangular regular, nele as medidas de suas arestas possuem o mesmo valor, e sua área lateral mede 10 m². Sendo assim, a área total do prisma é (A) 10 (1 + √3 6 ) 𝑚² (B) 10 (1 + √3 8 ) 𝑚² (C) 10 (3 + √3 6 ) 𝑚² (D) 7 (1 + √3 6 ) 𝑚² (E) 10 (2 + √3 6 ) 𝑚² 3. Tem-se, em um prisma reto, uma base formada por um triângulo isósceles conforme mostra a imagem a seguir:
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    20 Sabe-se que aaltura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base. Qual será a área total da superfície deste prisma? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 108 (E) 132 4. Seja um paralelepípedo reto retângulo com o comprimento medindo o dobro da largura e a altura medindo 15 cm. Sabe-se que a área total da superfície desse paralelepípedo mede 424cm². As medidas desconhecidas desse prisma medem (A) 8 e 4 (B) 4 e 12 (C) 12 e 16 (D) 16 e 8 (E) 8 e 20 5. (FCMSC – SP) Dispondo de uma fita de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Qual será o volume dessa caixa, em centímetros cúbicos?
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    21 (A) 2 750cm³ (B) 4 698 cm³ (C) 3 250 cm³ (D) 4 355 cm³ Passados os trabalhos com a superfície de um prisma, vamos então avaliar o volume dos prismas. Para determinar o volume do paralelepípedo reto retângulo e do cubo iremos realizar o produto da área da base pela altura do prisma. 𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ Mas, para realizar este cálculo para outros sólidos não é tão simples. E para sermos capazes de fazer isso, utilizamos um princípio matemático que foi desenvolvido pelo Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    22 italiano Francesco BonaventuraCavalieri (1598-1947), esse princípio carrega o nome de seu desenvolvedor, Princípio de Cavalieri. O princípio trata de uma forma de associar o volume de um prisma conhecido com o de um prisma desconhecido, desde que esses estejam em um mesmo plano e que algumas condições sejam satisfeitas: • A área das bases dos dois prismas é congruente. • As alturas dos dois prismas são congruentes. • Se traçarmos um plano, paralelo ao plano da base, que corte os dois prismas na mesma altura, resulta em figuras de áreas iguais. Então com o uso do Princípio de Cavalieri podemos determinar o volume de quaisquer prismas, associando estes a um conhecido. Por exemplo, podemos associar o volume de um prisma de base pentagonal com um paralelepípedo que possui mesma altura e uma base cuja área seja a mesma do pentágono. Se passarmos um plano paralelo ao plano da base e secante aos prismas e, como resultado, obtivermos figuras de mesma base então os volumes vão ser os mesmos. Figura 11: Princípio de Cavalieri - Mundo Educação Assim iremos determinar o volume do prisma de base pentagonal como 𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
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    23 E isso iráser válido para qualquer prisma, desde que possamos associar ele a um prisma conhecido e que as condições do Princípio de Cavalieri sejam satisfeitas. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Deseja-se construir tijolos de argila, cada tijolo possuirá as dimensões 18cm, 9 cm e 6 cm. Vão ser produzidos 5 mil tijolos, qual vai ser o volume de argila necessário para produzir esses tijolos? (A) 4,86 m³ (B) 5,33 m³ (C) 5,46 m³ (D) 6,03 m³ (E) 6,86 m³ 2. As medidas das arestas de um paralelepípedo reto retângulo formam uma progressão geométrica. Se a menor das arestas mede ½ cm e i volume de tal paralelepípedo é 64cm³, calcule as medidas das outras arestas. (A) 4cm e 32cm (B) 8 cm e 16cm (C) 16 cm e 24 cm (D) 24 cm e 48 cm (E) 24 cm e 32 cm 3. (UEPG – PR) As medidas internas de uma caixa d’agua em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2m, 1m e 0,7m. Sua capacidade é de
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    24 (A) 8 400L (B)84L (C) 840L (D) 8,4L (E) N.d.a. 4. Uma barra de ferro tem o formato de um prisma cuja base é um triangulo equilátero com aresta medindo 4cm, e a altura do prisma mede 12cm. Qual o volume desta barra de ferro? (Use √3 = 1,73) (A) 73,04 cm³ (B) 83,04 cm³ (C) 86,04 cm³ (D) 96,04 cm³ (E) 105,04 cm³ 5. Uma ponte é sustentada por uma coluna que possui o formato de um prisma hexagonal regular de aresta de base medindo 2m e altura do prisma medindo 8m. Determine as medidas da área lateral do prisma e o volume desta coluna. (A) 96 e 4√3 (B) 18 e 3√3 (C) 34 e 4√3 (D) 96 e 2√3 (E) 55 e 5√3
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    25 Outro poliedro específicoa qual podemos destinar nossos estudos são as Pirâmides. Composta por uma base poligonal e um vértice a pirâmide é formada pelos segmentos que conectam o vértice a um dos vértices do polígono da base. Ao observar a pirâmide podemos determinas os seguintes componentes Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para determinar fórmulas do volume. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    26 Base: é opolígono convexo ABCDE contido no plano 𝛼. Vértice da pirâmide: é o ponto V; os vértices da base são os pontos A B C D e E. Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... VEA. Aresta da base: são os lados do polígono da base AB, BC, ..., EA. Aresta laterais: são os segmentos de reta VA, VB, ..., VE. Altura: é a distância entre o ponto V e o plano da base, 𝛼. A pirâmide pode ser classificada de acordo com o número de lados do polígono da base. Quando o polígono da base é um triângulo, temos uma pirâmide triangular, quando é um quadrado a pirâmide é quadrangular, um pentágono nos dá uma pirâmide pentagonal e assim por diante. Temos ainda um conjunto de informações que podem ser extraídas de uma pirâmide regular. Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta, ou seja, que a projeção do vértice é ortogonal ao centro da base, que possui como base um polígono regular. Observe a pirâmide regular a seguir: Então, ao avaliarmos uma pirâmide regular temo os seguintes elementos geométricos:
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    27 Altura da pirâmide:a medida do segmento de reta VO que liga o vértice V ao plano da base; Faces laterais: são triângulos isósceles congruentes; Arestas laterais: são congruentes e sua medida é indicada por a; Arestas da base: são congruentes e compõem o polígono que forma a base; Apótema da base: é a apótema do polígono regular da base, ou seja, o segmento OM ; Raio da base: é o raio da circunferência de centro O na qual o polígono da base está inscrito; Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (correspondente à altura VM relativa à base do triângulo isósceles.); Assim, derivado desses elementos geométricos somos capazes de, por meio do teorema de Pitágoras aplicado a cada um dos triângulos apresentados na imagem, determinar as seguintes relações: • 𝑎2 = 𝑔2 + ( 𝑙 2 ) 2 • 𝑔2 = ℎ2 + 𝑚2 • 𝑎2 = ℎ2 + 𝑟2 • 𝑟2 = 𝑚2 + ( 𝑙 2 ) 2 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Seja uma pirâmide quadrangular regular que possui altura igual a 4cm e aresta da base igual a 12 cm. Determine: (A) A medida do apótema da base. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ (B) A medida do apótema da pirâmide. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
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    28 (C) A medidada aresta lateral. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ (D) A área total da superfície da pirâmide. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. Seja uma pirâmide hexagonal regular que possui aresta da base medindo 8 cm e altura medindo 6 cm. Determine: (A) A medida do apótema da base. (B) A medida do apótema da pirâmide. (C) A medida da aresta lateral. (D) A área total da superfície da pirâmide. 3. Considere uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem medida igual a 15cm. Qual a área total da superfície desta pirâmide? (A) 22√5 (B) 225√3 (C) 22√3 (D) 25√5 (E) 233√5 4. Qual a área lateral da superfície de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 13 cm e o apótema da pirâmide mede 12 cm? (A) 160 cm² (B) 170 cm² (C) 180 cm² (D) 190 cm²
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    29 (E) 200 cm² 5.O perímetro da base de uma pirâmide regular quadrangular é igual a 40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, qual a área lateral da superfície dessa pirâmide? (A) 230 cm² (B) 240 cm² (C) 250 cm² (D) 260 cm² (E) 270 cm² Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para determinar fórmulas do volume. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    30 Dando sequência aosnossos estudos sobre pirâmide, se faz necessário, agora, voltarmos nossa atenção para o processo de cálculo do volume de pirâmides. Para obter a fórmula para o volume da pirâmide é feito uma decomposição de um prisma de base triangular em três pirâmides triangulares que são semelhantes entre si, após essa associação, então, generaliza-se o conceito para enfim chegarmos ao fato de que, o volume da pirâmide é dado por: 𝑉 = 1 3 𝑆𝑏 ∙ ℎ Um terço da área da base vezes a altura da pirâmide. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 2 cm. Sabe-se que a área lateral da pirâmide é 30cm² o volume desta pirâmide é (A) 2√3 cm³ (B) 2√6 cm³ (C) 22√2 cm³ (D) 22√3 cm³ (E) 22√66 cm³ 2. Determine o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado com 3 cm de aresta e altura desta pirâmide mede 10cm. (A) 15 cm³ (B) 20 cm³
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    31 (C) 25 cm³ (D)30 cm³ (E) 35 cm³ 3. (FUC – MT - Adaptado) Determine o volume de uma pirâmide cuja planificação é (A) 16 3 (B) 18 3 (C) 20 3 (D) 22 3 (E) 25 3 4. (UFPE) uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual a metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6cm, assinale o inteiro mais próximo ao volume da pirâmide em cm³. Use a aproximação √3 ≅ 1,73 (A) 83 (B) 86 (C) 89 (D) 93 (E) 96
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    32 5. Um diamantea ser lapidado tem o formato de um octaedro regular de aresta medindo 8mm, como mostra a figura a seguir. O volume total da pedra em seu estado atual é de (A) 52√2 3 mm³ (B) 51√2 3 mm³ (C) 512√2 3 mm³ (D) 512√3 3 mm³ (E) 512√2 2 mm³
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    33 Vamos agora começarnossas abordagens sobre outros sólidos geométricos. Diferente dos anteriores, estes não entram na categoria de poliedro, estamos falando dos corpos redondos, mais precisamente cilindro, cone e esferas. São corpos redondos aqueles sólidos geométricos que possuem pelo menos uma superfície arredondada. São tridimensionais, então ocupam espaço e, por tanto, possuem volume. Começaremos nossos estudos falando sobre o cilindro. Segundo o portal Toda Matéria, cilindro é um “Solido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo seu comprimento”. Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    34 Os elementos docilindro são: Bases: são os círculos de raio r e centro O; Raio da Base: é o raio do círculo; Altura: é a distância entre as bases; Eixo: é a reta que contém os centros das bases; Geratrizes: são os segmentos de reta paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases. Diremos que um cilindro é oblíquo ou reto a depender da inclinação da geratriz em relação aos planos que contem a base. O cilindro será oblíquo quando as geratrizes são oblíquas ao plano, de modo semelhante quando elas forem perpendiculares, retas, ao plano. Sobre os cilindros retos, podemos obtê-los por meio da rotação completa de um retângulo de lados medindo r e g entorno do eixo, esse movimento dá ao cilindro reto o nome de cilindro de revolução. A área da superfície do cilindro será obtida por meio da superfície lateral e das duas bases circulares. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 2𝜋𝑟ℎ
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    35 Para obtenção dafórmula do volume do cilindro, iremos resgatar a ideia do Princípio de Cavalieri. Associando o cilindro a um prisma de base com mesma área e altura, assim, a o volume do cilindro será obtido por: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um recipiente tem o formato de um cilindro reto de 12cm de altura e raio igual a 5cm. Qual a área total da superfície desse recipiente? Use 𝜋 = 3,14 (A) 533,8 cm² (B) 525,9 cm² (C) 535,7 cm² (D) 529,5 cm² (E) 539,9cm² 2. Um retângulo de dimensões 4cm e 12 cm é rotacionado sobre o eixo de sua aresta de menor lado. A área da superfície total do sólido gerado pela rotação é de (A) 84𝜋𝑐𝑚2 (B) 184𝜋𝑐𝑚2 (C) 294𝜋𝑐𝑚2 (D) 304𝜋𝑐𝑚2 (E) 384𝜋𝑐𝑚2 3. Considere um sólido composto por dois cilindros. O primeiro possui diâmetro de 40cm e altura de 9cm. O segundo possui diâmetro de 30cm e altura de 45 cm. O Volume total deste sólido é
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    36 (A) 10 725𝜋𝑐𝑚³ (B) 11 725𝜋 𝑐𝑚³ (C) 12 725𝜋 𝑐𝑚³ (D) 13 725𝜋 𝑐𝑚³ (E) 14 725𝜋 𝑐𝑚³ 4. (UEG-GO) Em uma festa um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formado de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho percebeu que a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm² é (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 60 (E) 80 5. Um líquido ocupa uma altura de 10cm em um determinado recipiente cilíndrico e será transferido para um outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior do que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido no segundo recipiente? (A) 2,5 cm (B) 3,5 cm (C) 5,0 cm (D) 7,5 cm (E) 10 cm
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    37 Outro corpo redondoa qual podemos destinar nossos estudos é o Cone. O cone é a figura geométrica formada por todos os segmentos de reta formado por um vértice fora do plano e pelos pontos contidos dentro de um círculo de raio r. Assim como o Cilindro, o cone pode ser classificado em reto ou oblíquo. Os elementos do cone são: Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    38 Base: é ocírculo C de raio r e centro O; Eixo: é a reta que liga o centro do círculo ao vértice; Vértice: é o ponto V que compõem o cone; Raio da Base: é o raio do círculo; Altura: é a distância do ponto V ao plano da base, sua medida é indicada por h; Geratriz: é qualquer segmento de reta cujos extremos são o ponto V do vértice e um ponto qualquer na circunferência da base. O Cone, assim como o cilindro pode ser classificado em Oblíquo ou Reto, a depender o ângulo da geratriz com o plano da base. O cone reto também pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno do eixo de um de seus catetos, portanto o cone reto pode ser chamado de cone de revolução. A área da superfície do cone pode ser obtida pela soma da área da base com a área lateral. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2 A área lateral é a área de um setor circular de raio g (geratriz do cone), assim: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝜋𝑟𝑔 O volume do cone será associado a uma pirâmide utilizando o Princípio de Cavalieri, assim chegamos que:
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    39 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 1 3 𝜋𝑟2 ∙ ℎ ATIVIDADE DEAPRENDIZAGEM 1. Um recipiente tem o formato de um funil cone reto com 8cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual é o tamanho da área total da superfície desse recipiente? 𝜋 = 3,14 e √10 = 3,16 (A) 209 cm² (B) 215 cm² (C) 225 cm² (D) 229 cm² (E) 235 cm² 2. Em um cone reto tem-se que a área da base é 9𝜋 𝑐𝑚² e altura igual a 3√10 assim, qual o volume deste cone? (A) 15𝜋 𝑐𝑚³ (B) 27𝜋 𝑐𝑚³ (C) 32𝜋 𝑐𝑚³ (D) 48𝜋 𝑐𝑚³ (E) 57𝜋 𝑐𝑚3 3. Considere um cone de revolução cuja altura mede 8cm e a o raio da base mede 6 cm. A área total da superfície do solido é (A) 86𝜋 𝑐𝑚² (B) 96𝜋 𝑐𝑚² (C) 106𝜋 𝑐𝑚² (D) 116𝜋 𝑐𝑚² (E) 206𝜋 𝑐𝑚²
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    40 4. Considere umcone reto cuja altura mede 6 cm e a base tenha 16cm de diâmetro. Qual a área total da superfície deste sólido? (A) 144𝜋 𝑐𝑚² (B) 156𝜋 𝑐𝑚² (C) 196𝜋 𝑐𝑚² (D) 216𝜋 𝑐𝑚² (E) 234𝜋 𝑐𝑚² 5. (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto forma, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m² (A) 86𝜋 𝑐𝑚2 (B) 96𝜋 𝑐𝑚2 (C) 106𝜋 𝑐𝑚2 (D) 116𝜋 𝑐𝑚2 (E) 206𝜋 𝑐𝑚²
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    41 O último sólidogeométrico objeto de nossos estudos será nosso último corpo redondo, a esfera. Primeiro precisamos determinar o que é uma superfície esférica. Para tanto basta pegarmos um ponto O no espaço e a esfera será o conjunto de todos os P do espaço que estão a uma distância r do centro da esfera O. A esfera nada mais é que o sólido limitado pela superfície esférica. Figura 12: Elementos da Esfera - Educa Mais Brasil Habilidade da BNCC (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos
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    42 Os elementos daesfera são: Eixo: é qualquer reta que contém o centro da esfera; Polos: são os pontos de intersecção da superfície esférica com o eixo ; Equador: é a circunferência de uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo e que passa pelo centro da esfera; Paralelo: é uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo. É, portanto, paralela ao equador; Meridiano: é a circunferência de uma secção obtida por um plano que contém o eixo. Ao criarmos círculos que interceptam a esfera e passam pelo seu eixo temos o que são chamados de círculos máximos. E quando tem o eixo fixado, o equador é um círculo máximo particular e que divide a esfera em duas partes iguais que denominamos hemisférios. Similar aos seus companheiros corpos redondos que estudamos, a esfera pode ser obtida por meio de um eixo de rotação, quando fazemos a rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Assim como obtivemos o cálculo do volume do cone e do cilindro por meio do princípio de Cavalieri aqui faremos o mesmo. Agora associando a esfera a um cilindro. Por meio do processo de demonstração utilizando o princípio de Cavalieri é possível chegarmos a seguinte fórmula do volume da esfera 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 4 3 𝜋𝑟3 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Uma fazenda possui silos formados por um cilindro circular reto (com fundo) sob uma semiesfera. Determine o volume de cada silo desta fazenda sabendo que o raio do cilindro mede 2m e que a altura mede 8m.
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    43 (A) 88𝜋 3 𝑚³ (B) 98𝜋 3 𝑚³ (C) 108𝜋 3 𝑚³ (D) 118𝜋 3 𝑚³ (E) 128𝜋 3 𝑚³ 2. Uma baciatem o formato de uma semiesfera que tem 18cm de diâmetro. Qual o volume que essa bacia comporta? (A) 286𝜋 𝑐𝑚3 (B) 386𝜋 𝑐𝑚3 (C) 486𝜋 𝑐𝑚3 (D) 586𝜋 𝑐𝑚3 (E) 686𝜋 𝑐𝑚3 3. (UNIFESP – SP) Um recipiente contendo água tem a forma de um cilindro regular reto de altura h=50cm e raio r=15cm. Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida neste cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente 2 litros de água? (A) 8,05 cm (B) 8,95 cm (C) 9,15 cm (D) 9,35 cm (E) 9,85 cm 4. Temos a seguinte situação, uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de raio a. Qual a razão entre o volume V1 da esfera e o volume V2 do cilindro? (A) ½ (B) 2/3 (C) 3/2 (D) 5/3
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    44 (E) 1/3 5. Umrecipiente é composto por uma esfera com 18cm de diâmetro e um cilindro com 6cm de diâmetro e 10cm de altura. Qual o volume deste recipiente em mililitros? Use 𝜋 = 3,14 (A) 3 334,68mL (B) 3 434,68mL (C) 4 334,68mL (D) 4 434,68mL (E) 5 334,68Ml MOMENTO ENEM 1. (Enem 2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias: A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a (A) 3750 (B) 1500
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    45 (C) 1250 (D) 375 (E)150 2. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. Utilize 3 como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é (A) 6 (B) 16 (C) 17 (D) 18 (E) 21
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    46 3. (Enem 2016)Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60m x 10m de base e 10m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7m de altura e 10m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará. Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de (A) 1,4 ∙ 103 𝑚3 (B) 1,8 ∙ 103 𝑚3 (C) 2,0 ∙ 103 𝑚3 (D) 3,2 ∙ 103 𝑚3 (E) 6,0 ∙ 103 𝑚3
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    47 4. (Enem 2018)Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura. A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto- retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm. Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates? (A) 654 (B) 666 (C) 673 (D) 681 (E) 693 5. (Enem 2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato
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    48 de paralelepípedo reto-retângulo,vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas: Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V 6. (Enem 2012 – PPL) Um reservatório de uma cidade estava com 30 m³ de água no momento em que iniciou um vazamento estimado em 30 litros por minuto. Depois de 20 minutos, a partir do início do vazamento, uma equipe técnica chegou ao local e gastou exatamente 2 horas para consertar o sistema e parar o vazamento. O reservatório não foi reabastecido durante todo o período em que esteve com o vazamento. Qual foi o volume de água que sobrou no reservatório, em m³, no momento em que parou o vazamento? (A) 3,6 (B) 4,2 (C) 25,8 (D) 26,4 (E) 27,6
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    49 7. (Enem 2014)Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a (A) 48 (B) 72 (C) 84 (D) 120 (E) 168 8. (Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
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    50 Se o donoda fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? (A) 156 cm³ (B) 189 cm³ (C) 192 cm³ (D) 216 cm³ (E) 540 cm³ 9. (Enem 2014 PPL) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento, 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a figura. Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras? (A) 3750 cm³ (B) 18750 cm³ (C) 93750 cm³ (D) 468750 cm³ (E) 2343750 cm³
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    51 10. (Enem 2010)Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de (A) 1,33 (B) 6,00 (C) 12,00 (D) 56,52 (E) 113,04 11. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
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    52 Com o objetivode não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (D) encher duas leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 12. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
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    53 O produto dastrês dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza (A) Massa (B) Volume (C) Superfície (D) Capacidade (E) Comprimento
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    54 Inserção Curricular/Recomposição Resolver problemasque envolvam espaço e forma (perímetro e área de figuras planas, ladrilhamento de planos, entre outros) empregando estratégias e recursos, observando padrões com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados etc. Objetos de conhecimento Polígonos regulares e suas características: ângulos internos, ângulos externos etc. Linguagem algébrica: fórmulas e generalizações. Polígonos Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos". Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades. Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.
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    55 Polígono convexo ecôncavo A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava. Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece. Polígonos regulares Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo. Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.
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    56 Elementos do Polígono i.Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono. ii. Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos. iii. Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele. iv. Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.
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    57 Nomenclatura dos Polígonos Dependendodo número de lados presentes, os polígonos são classificados em: Número de lados Nomenclatura 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Soma dos ângulos de um polígono A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360o. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° n: número de lados do polígono Exemplo 01. Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um decágono convexo? Resolução: O decágono convexo é um polígono que apresenta 10 lados, ou seja, n = 10. Aplicando esse valor na fórmula, temos: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°
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    58 𝑆𝑖 = (10− 2) ∙ 180° 𝑆𝑖 = 8 ∙ 180° 𝑆𝑖 = 1440° Assim, a soma dos ângulos internos do decágono é igual a 1440°. Número de diagonais Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula: 𝑑 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 Exemplo 02. Quantas diagonais apresenta um octógono convexo? Resolução: Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos: 𝑑 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 𝑑 = 8 ∙ (8 − 3) 2 𝑑 = 8 ∙ 5 2 𝑑 = 40 2 𝑑 = 20 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.
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    59 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1.Calcular a soma dos ângulos internos de um decágono. 2. Qual o polígono, cuja soma dos ângulo internos vale 1800°. 3. Calcular o número de diagonais de um Icoságono. 4. Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulo internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180. 5. Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: (A) 6 lados. (B) 9 lados. (C) 10 lados. (D) 12 lados. (E) 20 lados. 6. O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o: (A) dodecágono. (B) decágono. (C) heptágono. (D) pentágono. (E) hexágono.
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    60 MOMENTO ENEM 1- (ENEMMEC/2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
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    61 (A) triângulo. (B) quadrado. (C)pentágono. (D) hexágono. (E) eneágono. Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais. Objetos de conhecimento Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação; Expressões algébricas. Áreas A área de uma figura plana é a medida da superfície da figura. Para calcular a área de uma figura plana, utilizamos uma fórmula específica que depende do formato da figura. As principais figuras planas são: I. Triângulo é o polígono mais simples que conhecemos, pois é formado por três lados e três ângulos: 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 2
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    62 II. O quadradoé um quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados, que possui todos os ângulos retos e todos os lados congruentes. 𝐴 = 𝐿2 III. Retângulo "Conhecemos como retângulo o quadrilátero que possui todos os ângulos retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90o. O quadrado é um caso particular de retângulo, pois, além dos ângulos de 90o, ele possui também os lados congruentes. Para ser retângulo, basta ser um quadrilátero que possui todos os ângulos retos. 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ IV. O trapézio é um outro caso particular de quadrilátero. Para ser considerado um trapézio, o quadrilátero precisa ter dois lados paralelos e dois lados não paralelos."
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    63 𝐴 = (𝐵 +𝑏) ∙ ℎ 2 V. O círculo, diferentemente de todas as figuras apresentadas anteriormente, não é um polígono, por não possuir lados. O círculo é a figura plana formada por todos os pontos que estão equidistantes do centro. 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 𝜋 ≅ 3,14 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. Um triângulo equilátero possui lados com medidas iguais a 12 cm. Calcule a área deste triângulo. 2. Um triângulo isóscele com dois lados medindo 8 cm e base medindo 10 cm. Calcule a área deste triângulo. 3. Sabendo que um triângulo escaleno possui lados com medidas iguais a = 5 cm e b = 8 cm, e um ângulo entre esses lados de 30°. Calcule a área deste triângulo. 4. Uma fazenda possui formato retangular. Durante a compra, um agricultor viu que, pela legislação vigente, ele não poderá desmatar metade desse terreno, sendo assim, ele o dividiu diagonalmente conforme a imagem a seguir:
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    64 A área quedeve ser mantida preservada é de: (A) 100 m² (B) 350 m² (C) 200 m² (D) 900 m² (E) 450 m² 5. Qual é a área de um triângulo isósceles cuja altura relativa à base é igual a 12 cm e cujos lados congruentes medem 15 centímetros? (A) 108 cm2 (B) 9 cm2 (C) 18 cm2 (D) 24 cm2 (E) 32 cm 6. Um terreno com formato de triângulo equilátero será concretado. Sabendo que esse terreno possui perímetro de 450 metros, calcule quantos metros quadrados de concreto serão gastos nessa obra. 7. O triângulo a seguir representa um terreno que será impermeabilizado para receber futuras obras. O metro quadrado do material impermeabilizante custa R$ 9,23. Calcule o valor que será gasto nesse procedimento.
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    65 (A) R$ 1200,00 (B)R$ 1384,50 (C) R$ 1390,50 (D) R$ 1400,00 (E) R$ 1421,50 8. Qual é a medida da base de um triângulo cuja área é 240 m2 e cuja altura mede 120 m? 9. A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados. A área do terreno, em km2, é igual a: (A) 215 (B) 210 (C) 200 (D) 220 (E) 205 9. Observe a figura a seguir Sua área é igual à: (A) 30 m2
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    66 (B) 28 m2 (C)22,5 m2 (D) 26,5 m2 (E) 24,5 m2 Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais. Objetos de conhecimento Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação; Expressões algébricas. MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2021) O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$ 0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão: • um triângulo equilátero de lado 12 cm; • um quadrado de lado 8 cm; • um retângulo de lados 11 cm e 8 cm; • um hexágono regular de lado 6 cm;
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    67 • um círculode diâmetro 10 cm. O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão. Use 3 como aproximação para  e use, use 1,7 como aproximação para 3 . Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um (A) triângulo. (B) quadrado. (C) retângulo. (D) hexágono. (E) círculo. 2. (ENEM MEC/2021) Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.
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    68 Utilize 3,14 comoaproximação para  . Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V
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    69 3. (ENEM MEC/2020)O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços indicados a seguir. Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00; • Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00. Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e devem ser assentadas sem espaçamento entre elas, aproveitando-se ao máximo os recortes feitos. A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de pisos e resulta no menor preço é (A) 5 caixas do tipo A. (B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B. (C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B. (D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B. (E) 6 caixas do tipo B. 4. (ENEM MEC/2020) Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas: • Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm; • Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm; • Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm; • Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm; •
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    70 • Mesa V:triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm. A mesa que atende aos critérios especificados é a (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. Questão-05 - (ENEM MEC/2017) Um fabricante recomenda que, para cada m2 do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas: Tipo I: 10 500 BTUh Tipo II: 11 000 BTUh Tipo III: 11 500 BTUh Tipo IV: 12 000 BTUh Tipo V: 12 500 BTUh O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.
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    71 Para economizar energia,o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante. A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 6. (ENEM MEC/2017) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m.
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    72 Sabe-se que, nalocalidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída. O valor do IPTU desse imóvel, em real, é (A) 250,00. (B) 250,80. (C) 258,64. (D) 276,48. (E) 286,00. Questão-07 - (ENEM MEC/2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime 3 para 1,7 e  para 3.) (A) 30. (B) 34. (C) 50. (D) 61. (E) 69.
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    73 8. (ENEM MEC/2012)Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? (A) R$ 22,50 (B) R$ 35,00 (C) R$ 40,00 (D) R$ 42,50 (E) R$ 45,00 9. (ENEM MEC/2012) Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos e preços: Pizza média (6 fatias): R$ 24,00 Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00 Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor custo- benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços
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    74 das pizzas atendemo grupo e que não haverá desperdício, iniciou-se um debate entre eles: • Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à área da fatia da pizza média. • Breno: A pizza média tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida em menos fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza. • Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada fatia custa R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho. • Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a mesma, nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra. • Eric: A pizza grande possui melhor relação custo benefício, pois, independentemente do diâmetro, ela é dividida em um número maior de fatias. Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza? (A) Alan. (B) Breno. (C) Cleber. (D) Davidson. (E) Eric. 10. (ENEM MEC/2011) Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a figura.
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    75 A área dafigura sombreada do quadro é de (A) 36 cm2. (B) 72 cm2. (C) 144 cm2. (D) 288 cm2. (E) 432 cm2.
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    76 Reconhecer os diferentestipos de sólidos geométricos e suas particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2021) Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes. Nivelamento e Ampliação
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    77 Com base naproposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo são formadas pela união das hastes? (A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados. (B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados. (C) 12 paralelogramos e 12 quadrados. (D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados. (E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos. 2. (ENEM MEC/2021) Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas. Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?
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    78 (A) 1, 2,3 E 4 (B) 1 E 3 (C) 1 (D) 2 (E) 4 3. (ENEM MEC/2021) O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas. Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo. Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por uni elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central. Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
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    79 Disponível em: http://trupedatrip.com.Acesso em: 25 out. 2019. A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representado por (A) (B) (C) (D)
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    80 (E) 4. (ENEM MEC/2021)Um inseto percorreu sobre a superfície de um objeto, em formato de um prisma reto ABCDEFGH, com base retangular, uma trajetória poligonal, com vértices nos pontos: A - X - Y - G - F - E - X - G - E, na ordem em que foram apresentados. É necessário representar a projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto sobre o plano determinado pela base do prisma. A representação da projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto é (A) (B)
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    81 (C) (D) (E) 5. (ENEM MEC/2020)Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura. Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua descida. A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é
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    83 6. (ENEM MEC/2020)A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como apresentado na Figura 2. A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o escoamento da água de chuva que o pedreiro precisa fazer é (A) (B) (C) (D)
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    84 (E) 7. (ENEM MEC/2020)No desenho técnico, é comum representar um sólido por meio de três vistas (frontal, perfil e superior), resultado da projeção do sólido em três planos, perpendiculares dois a dois. A figura representa as vistas de uma torre. Disponível em: www.uems.br. Acesso em: 11 dez. 2012 (adaptado). Com base nas vistas fornecidas, qual figura melhor representa essa torre? (A) (B) (C) (D) (E)
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    85 8. (ENEM MEC/2017)Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é representado pela figura. A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos. A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dada por: (A) (B) (C) (D) (E)
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    86 9. (ENEM MEC/2017)Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, como na figura. Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará um adesivo na forma planificada dessa superfície. Que formato terá esse adesivo? (A) (B) (C) (D) (E) 10. (ENEM MEC/2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
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    87 Após a armaçãodas hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos. A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por (A) (B) (C) (D) (E) 11. (ENEM MEC/2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:
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    88 A gráfica quefará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas: Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V 12. (ENEM MEC/2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
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    89 Qual deverá sera forma do adesivo? (A) (B) (C) (D) (E) 13. (ENEM MEC/2014) A figura é uma representação tridimensional da molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, na qual o átomo central de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, situados nos seis vértices de um octaedro. O ângulo entre qualquer par de ligações enxofre-flúor adjacentes mede 90º.
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    90 A vista superiorda molécula, como representada na figura, é: (A) (B) (C) (D)
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    91 (E) 14. (ENEM MEC/2012)Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? (A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. (B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. (C) Cone, tronco de pirâmide e prisma. (D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. (E) Cilindro, prisma e tronco de cone. 15. (ENEM MEC/2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
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    92 Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br.Acesso em: 1 maio 2010. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de (A) pirâmide. (B) semiesfera. (C) cilindro. (D) tronco de cone. (E) cone. 16. (ENEM MEC/2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura. A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 (adaptado).
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    93 Considerando que nenhumdos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? (A) (B) (C) (D) (E)
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    94 Habilidade da BNCC (EM13MAT504)Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas em situações reais. Objetos de conhecimento Sólidos Geométricos ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1. (Encceja/2017) A Figura 1 representa um molde da planificação de um sólido geométrico. As faces desse sólido são figuras geométricas planas. Após montado, o sólido terá o formato de uma caixa, indicada na Figura 2. Qual o número de arestas dessa caixa?
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    95 (A) 10. (B) 15. (C)17. (D) 18. (E) 20. 2. (Encceja/2017) Uma fábrica de parafusos tem uma preocupação especial com as arestas de seus produtos, pois podem causar acidentes quando não lixadas corretamente. Os funcionários precisam lixar manualmente todas as arestas dos parafusos produzidos. A figura representa um tipo desses parafusos produzidos, conhecido como sextavado, que possui a cabeça na forma de um prisma regular hexagonal. O número de arestas na cabeça de um parafuso sextavado que devem ser lixadas é (A) 6. (B) 12. (C) 18. (D) 24. (E) 25.
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    96 3. (UFPR/2016) Um prismapossui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas arestas? (A) 26. (B) 28. (C) 30. (D) 32. (E) 34. 4. (UERJ/2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: (A) 102 (B) 106 (C) 110 (D) 112 (E) 120.
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    97 5. (UECE/2016) Sea soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3600 graus, então, a base da pirâmide é um polígono com (A) 9 lados. (B) 10 lados. (C) 11 lados. (D) 12 lados. (E) 15 lados 6. (UECE/2016) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é (A) 100. (B) 120. (C) 90. (D) 80. (E) 60. 7. (UNITAU SP/2015) Sabendo-se que uma reta corta perpendicularmente uma das faces de um diedro, formando um ângulo de 45º com o seu bissetor, é CORRETO afirmar que a medida desse diedro é (A) 40º (B) 45º (C) 50º (D) 75º (E) 90º
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    98 8. (UECE/2014) Umpoliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é (A) 90. (B) 72. (C) 60. (D) 56. (E) 60 9. (UEFS BA/2014) Um tipo de bola de futebol é inspirado no icosaedro truncado, que é um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é (A) 40 (B) 48 (C) 60 (D) 64 (E) 76 10. (UECE/2012) Se um poliedro convexo tem exatamente 20 faces e todas são triangulares, então o número de vértices deste poliedro é
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    99 (A) 16. (B) 14. (C)12. (D) 10. (E) 8. MOMENTO ENEM 1- (ENEM MEC/2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a (A) 10. (B) 12. (C) 25. (D) 42. (E) 50.
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    100 Habilidade da BNCC (EM13MAT509)Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509A) Identificar nas projeções refletidas no ambiente as formas geométricas reconhecendo seus respectivos elementos (vértices, lados, ângulos internos, externos e diagonais) para a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Objetos de conhecimento Transformações geométricas (isometrias e homotéticas). Imersão Curricular Arte e Matemática Podemos estabelecer uma conexão com algumas áreas da Matemática e com outros campos do conhecimento, especialmente com a arte, por meio da exploração das formas e características de objetos, obras artísticas, pinturas, desenhos, mapas, formas encontradas na natureza, entre outras criações humanas ou naturais.
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    101 O Limite doCírculo 1 Escher 1958 Para essa relação iremos utilizar as transformações geométricas. Uma transformação geométrica é uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual (isométricas) ou semelhante à primeira (homotéticas). Uma Isometria é uma transformação geométrica que preserva distância entre pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura inicial e o seu transformado são congruentes. Tipos de isometria Reflexão No plano, uma reflexão, de eixo r é uma transformação geométrica que a cada ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que: I. PP’ é perpendicular ao eixo; II. As distancias de P e de P ́ao eixo são iguais. Propriedades:
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    102 1. Uma figurae a sua imagem por reflexão sobre um eixo de reflexão são congruentes; 2. Se dobrarmos a folha pelo eixo de reflexão r, a figura original e a sua imagem sobrepõem-se ponto por ponto; 3. A reflexão muda o sentido dos ângulos, mas mantem a sua amplitude. Fonte: Elaborado para fins didáticos. Rotação No plano uma rotação de uma forma ao redor de um ponto, centro da rotação, e amplitude 𝜃 é uma transformação geométrica tal que a distância ao centro de rotação de cada ponto P se mantem constante. Fonte: Elaborado para fins didáticos.
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    103 Translação. A translação éo termo usado para "mover" formas, sendo necessárias duas especificações I. Direção (que pode ser medida em graus) II. Magnitude (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento). Fonte: Elaborado para fins didáticos. A figura acima foi transladada 30° a nordeste e no comprimento do vetor v. Homotetia Homotetia é transformação que multiplica por um fator constante a distância de um ponto qualquer do espaço a um ponto fixo, deslocando-o sobre a reta definida por estes dois pontos
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    104 Fonte: Elaborado parafins didáticos. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 01. Faça uma reflexão do triângulo ABC em relação a) ao eixo y; b) ao eixo x; c) a origem O 02. Observe os polígonos ABC e A’B’C’ no plano cartesiano a seguir.
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    105 Que tipo desimetria é observado na transformação do polígono ABC no polígono A’B’C’? (A) Reflexão em relação ao eixo x. (B) Reflexão em relação a origem do sistema de coordenadas. (C) Translação. (D) Rotação em relação ao ponto A. (E) Rotação em relação a origem do sistema de coordenadas. MOMENTO ENEM 01. (ENEM MEC/2018) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A
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    106 rotação é o“giro” de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem: 1ª) Reflexão no eixo x; 2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A; 3ª) Reflexão no eixo y; 4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A; 5ª) Reflexão no eixo x. Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012. Qual a posição final da figura? (A) (B) (C) (D) (E)
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    107 02. (ENEM MEC/2017)A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45º com a linha do horizonte. Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360º. A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de (A) 90º no sentido horário. (B) 135º no sentido horário. (C) 180º no sentido anti-horário. (D) 270º no sentido anti-horário.
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    108 (E) 315º nosentido horário. 03. (ENEM MEC/2015) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada. Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é (A) (B) (C) (D) (E) 04. (ENEM MEC/2011)
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    109 Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br.Acesso em: 28 abr. 2010. O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de (A) 45°. (B) 60°. (C) 90º (D) 120°. (E) 180°. 05. (ENEM MEC/2009) Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia. Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica quando for possível dobrá- la em duas partes, de modo que essas partes coincidam completamente. De acordo com a descrição acima, qual das figuras a seguir é simétrica? (A) (B)
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    110 (C) (D) (E) 06. (ENEM MEC/2013)Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir do original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é: (A) (B) (C)
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    111 (D) (E) Habilidade da BNCC (EM13MAT509)Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509B) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), observando padrões e experimentações para estabelecer conjecturas acerca de seus conceitos e propriedades. Objetos de conhecimento Posição de figuras geométricas: tangente, secante, externa. Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos. Posição de figuras geométricas Tangente
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    112 Do latim tangens,o termo tangente é simultaneamente um substantivo e um adjetivo que faz referência àquilo que toca ou que tange, portanto, uma reta tangente é aquela que tem um único ponto em comum com uma curva, denominado ponto de tangência. Reta tangente a uma circunferência Propriedade: “A distância do centro da circunferência até o ponto de tangencia é igual ao raio”. 𝑑 = 𝑟 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Circunferências tangentes a) Internas Propriedade: “A distância entre os centros é igual ao módulo da diferença entre os raios.” 𝑑 = |𝑟1 − 𝑟2|
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    113 Fonte: Figura elaboradapara fins didáticos b) Externas Propriedade: “A distância entre os centros é igual à soma dos raios” 𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Secante Secante se refere à superfície ou à linha que intercepta outra superfície ou linha.
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    114 Reta secante auma circunferência Propriedade: “A distância d do centro C até a reta é menor que o raio” 𝑑 < 𝑟 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos Circunferências secantes Propriedade: “A distância entre os centros é maior que o modulo da diferença entre os raios menor que a soma deles” |𝑟1 − 𝑟2| < 𝑑 < 𝑟1 + 𝑟2 Fonte: Figura elaborada para fins didáticos
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    115 Inscrição e circunscriçãode sólidos geométricos Um sólido A está inscrito de um outro sólido B quando A está “dentro” de B. Por outro lado, quando um sólido B circunscreve um sólido A, dizemos que B “fora” A. Observe a figura a seguir, perceba que a esfera está inscrita no cubo, e que o cubo circunscreve a esfera. Fonte: Figura elaborada para fins didáticos. Para o estudo dos sólidos geométricos inscritos e circunscritos, é importante observar que: i. Dizemos que um sólido está circunscrito à esfera quando a esfera se encontra no interior do sólido, tangenciando cada um de seus lados. Nesse caso também podemos dizer que a esfera está inscrita ao sólido. ii. Quando a esfera está circunscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está inscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por R. iii. Quando a esfera está inscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está circunscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por r.
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    116 Esfera inscrita nocone r = raio da esfera R = raio do cone Exemplo 01. Uma esfera de raio 8 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine o volume desse cone. Resolução: Considere a figura, em que o triângulo equilátero VBD é uma secção meridiana do cone, e a circunferência de centro O e raio 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = 8 𝑐𝑚 é um círculo máximo da esfera. Logo, como 𝑟 = 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ = 1 3 𝑉𝐶 ̅̅̅̅, temos 𝑉𝐶 ̅̅̅̅ = 24 𝑐𝑚. Ademais, sendo 𝑅 = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 1 √3 ∙ 𝑉𝐶 ̅̅̅̅, podemos concluir que o volume é 𝑉 = 1 3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 24 = 1 3 ∙ 𝜋 ∙ ( 24 √3 ) 2 ∙ 24 = 1536𝜋 𝑐𝑚3
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    117 Esfera inscrita nocilindro r = raio da esfera R = raio do cilindro h = altura do cilindro Exemplo 02: A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Sabendo que R = 5 cm, determine o volume do cilindro. Resolução: O volume do cilindro é dado por 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ Temos que R = 5 cm e h = 2R = 10 cm, portanto o volume é 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ 𝑉 = 𝜋 ∙ 52 ∙ 10 𝑉 = 250 𝑐𝑚2
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    118 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1.Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine o volume desse cone, em cm3. 2. A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Sabendo que R = 12 cm, determine o volume do cilindro. 3. Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3 unidades. Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem. Determine o volume da embalagem, sabendo que o raio de cada bola é de 10 cm.
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    119 4. Um recipientepara perfume tem o formato de um cilindro circunscrito numa esfera (sendo essa esfera oca, de capacidade máxima de 32 cm3), conforme figura a seguir. Se o espaço entre a esfera e o cilindro é preenchido com material translúcido, qual será o volume total, em cm3, gasto com esse material, desprezando-se as espessuras das superfícies da esfera e do cilindro? (Considere  = 3) 5. Num cilindro reto, estão inscritas duas esferas conforme mostra a figura. Se o raio de cada esfera é igual a 18 cm, determine o volume do cilindro. 6. No interior de um tubo, em forma de cilindro circular reto, de altura h=40cm e raio da base r=2cm, coloca-se o maior número possível de esferas, conforme figura ao lado. Quantas esferas podemos colocar nesse cilindro?
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    120 Habilidade da BNCC (EM13MAT509)Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital. Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM (GO-EMMAT509C) Estabelecer conjecturas de diferentes conceitos e propriedades envolvidas na determinação da medida de ângulos e áreas de projeções, identificando a necessidade, ou não, de demonstração formal para justificar o uso de ferramentas que colaborem com a solução de problemas dessa natureza. Objetos de conhecimento Noções básicas de cartografia: projeção cilíndrica e cônica. O que é Cartografia? A Cartografia, que é ao mesmo tempo ciência e arte, é a ciência responsável pela representação da realidade, contribuindo para a melhor compreensão do mundo. Como sabemos, é a área do conhecimento responsável pela elaboração e estudo dos mapas e representações cartográficas em geral, incluindo plantas, croquis e cartas gráficas. Essa área do conhecimento é de extrema utilidade não só para os estudos em Geografia, mas também em outros campos, como a História e a Sociologia, pois, afinal, os mapas são formas de linguagem para expressar uma dada realidade. Conceitos básicos de Cartografia i. Escala é a proporção entre a área real e a sua representação em um mapa. Geralmente, aparece designada nos próprios mapas na forma numérica e/ou na forma gráfica. ii. Legenda é a utilização de símbolos em mapas para definir algumas representações e está sempre presente em mapas temáticos. Alguns símbolos cartográficos e suas legendas são padronizados para todos os mapas, como o azul para designar a água e o verde para indicar uma área de vegetação, entre outros. iii. Projeções Cartográficas são o sistema de representação da Terra, que é geoide e quase arredondada, em um plano, de forma que sempre haverá distorções. No
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    121 sistema de projeçõescartográficas, utiliza-se a melhor estratégia para definir quais serão as alterações entre o real e a representação cartográfica com base no tipo de mapa a ser produzido. Esses conceitos nos auxiliam a identificar com mais facilidade as informações de um mapa e as formas utilizadas para elaborá-lo. Mapa é uma representação reduzida de uma dada área do espaço geográfico. Um mapa temático, por sua vez, é uma representação de um espaço realizada a partir de uma determinada perspectiva ou tema, que pode variar entre indicadores sociais, naturais e outros. Coordenadas Geográficas é a combinação do sistema de paralelos e meridianos com base nas longitudes e as latitudes para endereçar todo e qualquer ponto da superfície terrestre. Vamos estudar três projeções cartográficas 1. Projeção plana ou azimutal Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 2. Projeção cônica
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    122 Fonte: Instituto Brasileirode Geografia e Estatística. 3. Projeção cilíndrica Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.
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    123 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1.(UEG 2017) Observe a figura a seguir. Fonte: <www.geografiaparatodos.com.br/index.prp?pag=cap_3_geoprocessamento_e_mapa s>. Acesso em: 17 ago. 2016. Os tipos de projeções cartográficas representados na figura são, respectivamente: (A) cilíndrica, azimutal e cônica (B) azimutal, cilíndrica e cônica (C) cilíndrica, cônica e azimutal (D) cônica, azimutal e cilíndrica (E) azimutal, cônica e cilíndrica 2. (Faculdade Guanambi BA/2017)
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    124 Devido à impossibilidadede desenvolver uma superfície curva em outra plana equivalente, idealizaram-se procedimentos engenhosos usados na construção de mapas com a menor possibilidade de erros. Considerando-se as informações do texto, a representação gráfica, faz referência à (A) projeção plana ou azimutal (B) projeção ortográfica (C) projeção cônica (D) projeção estereográfica (E) projeção cilíndrica 3. (Unesp SP/2022) Observe as medidas indicadas em um mapa do Parque Ibirapuera, região plana da cidade de São Paulo. (www.google.com. Adaptado.)
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    125 De acordo como mapa, uma caminhada em linha reta do Museu Afro Brasil (P) até o Museu de Arte Moderna de São Paulo (Q) corresponde a a) 400 m. b) 625 m. c) 676 m. d) 484 m. e) 576 m. 4. (UEG GO/2010) FONTE: GOIÁS/AGIM. Sig-Goiás. Folha SE-22-X-A (São Luíz de Montes Belo). Escala 1:250.000. Agência Ambiental/CPRM, 2000. No mapa do município de Anicuns, as distâncias em linha reta entre a sede do município e Choupana e entre Anicuns e Capelinha são, respectivamente, de 5,0 cm e 4,5 cm. Já a distância entre Choupana e Capelinha corresponde a 6,5 cm. Sabendo- se que a escala do mapa é de 1: 400.000, a distância real entre as localidades é de aproximadamente: (A) 18 km, 20 km e 26 km (B) 20 km, 18 km e 26 km (C) 20 km, 26 km e 18 km
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    126 (D) 26 km,18 km e 20 km (E) 26 km, 20 km e 28 km 5. (IFMS/2019) Ao olharmos para o mapa de Goiás, vemos que o Distrito Federal é praticamente um retângulo incrustado no estado. Sabemos que os mapas mantêm as proporções e razões com as medidas reais. No mapa, a razão entre as medidas dos lados do DF é de 0,5. Podemos afirmar então que, se a medida real do lado menor é 65 km, a medida do lado maior do DF terá um comprimento de (A) 32,5 km. (B) 130 km. (C) 65 km. (D) 1535 km. (E) 200 km. 6. (Uncisal AL/2019) A régua, o barbante e o mapa mostrados a seguir foram utilizados por um estudante para fazer o seguinte procedimento a fim de calcular o comprimento do Rio Amazonas: 1. cobriu com o barbante a linha do mapa que representa o Rio Amazonas, desde a nascente até a foz; 2. esticou o barbante; 3. mediu com a régua o comprimento do barbante e obteve 14,8 cm; 4. verificou que o mapa foi construído na escala 17: 800 000 000.
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    127 Disponível em: https://upload.wikimedia.org.Acesso em: 23 nov. 2018 (adaptado). Considerando-se a escala utilizada na construção do mapa e o comprimento do barbante, qual é o valor que mais se aproxima do comprimento do Rio Amazonas? (A) 31 000 km (B) 25 100 km (C) 11 800 km (D) 7 000 km (E) 2 000 km MOMENTO ENEM 1. (ENEM MEC/2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em relação ao espaço real. Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
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    128 Disponível em: http://oblogdedaynabrigth.blogspot.com.br.Acesso em: 9 ago. 2012. Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é (A) 4 408. (B) 7 632. (C) 44 080. (D) 76 316. (E) 440 800. 2. (ENEM MEC/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
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    129 Há interesse emestimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é (A) menor que 10. (B) maior que 10 e menor que 20. (C) maior que 20 e menor que 30. (D) maior que 30 e menor que 40. (E) maior que 40. 3. (ENEM MEC/2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano  é paralelo à linha do equador na figura. A projeção ortogonal, no plano  , do caminho traçado no globo pode ser representada por
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    131 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy.Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único. 1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001. NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. Matriz de Referência ENEM. INEP. Disponível em: https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf. Acesso em 22 jun, 2022. Provas Enem, INEP. Disponível em: https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de- atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos. Acesso em 22 jun, 2022. Documento Curricular para Goiás – Etapa Ensino Médio. Disponível em: https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/. Acesso em 22 jun, 2022.
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    132 GABARITO Atividade de Aprendizagem 1-B 2- D 3- C 4- E 5- D Atividade de Aprendizagem 1- C 2- C 3- A 4- B 5- A Atividade de Aprendizagem 1- C 2- B 3- C 4- A 5- B Atividade de Aprendizagem 1- E 2- A
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    133 3- E 4- A 5-A Atividade de Aprendizagem 1- A 2- A 3- C 4- B 5- A Atividade de Aprendizagem 1- A. A medida do apótema da base. 6 cm B. A medida do apótema da pirâmide. 2√13 cm C. A medida da aresta lateral.2√22 𝑐𝑚 D. A área total da superfície da pirâmide. 48(3 + √13) cm² 2- A. A medida do apótema da base. 4√3 cm B. A medida do apótema da pirâmide. 2√21 cm C. A medida da aresta lateral. 10 cm D. A área total da superfície da pirâmide. 48√3(2 + √7) 𝑐𝑚² 3- Gabarito – B
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    134 4- Gabarito - C 5- Gabarito- D Atividade de Aprendizagem 1- E 2- D 3- A 4- A 5- C Atividade de Aprendizagem 1- A 2- E 3- D 4- E 5- A Atividade de Aprendizagem 1- A 2- B 3- B
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    135 4- A 5- B Atividadede Aprendizagem 1- A 2- C 3- B 4- B 5- A MOMENTO ENEM 1- A 2- D 3- D 4- C 5- D 6- C 7- A 8- B 9- D 10- B 11- A 12- B Atividade de Aprendizagem 1. Solução: 1140° 2. Solução: Dodecágono 3. Solução: 170 diagonais
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    136 4. Solução: Retângulo 5.(C) 6. (D) MOMENTO ENEM 1- Gabarito: B Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: 12√27 2. Gabarito: 5√39 3. Gabarito: 10√3 4. (E) 450 m² 5. (A) 108 cm2 6. Gabarito: 5625√3
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    137 7. (B) R$ 1384,50 8. Gabarito:4 9. (B) 210 10. (D) 26,5 m2 MOMENTO ENEM 1- Gabarito: E 2- Gabarito: E 3- Gabarito: C 4- Gabarito: E 5- Gabarito: C 6- Gabarito: E 7- Gab: D 8- Gabarito: B 9- Gabarito: D
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    138 10- Gabarito: C MOMENTOENEM 1- Gabarito: A 2- Gabarito: E 3- Gabarito: E 4- Gabarito: D 5- Gabarito: E 6- Gabarito: B 7- Gabarito: E 8- Gabarito: B 9- Gabarito: B 10- Gabarito: E 11- Gabarito: C 12 - Gabarito: E 13 Gabarito: B 14 - Gabarito: A 15 - Gabarito: E 16 Gabarito: E Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: B 2. Gabarito: C 3. Gabarito: C 4. Gabarito: D 5. Gabarito: C 6. Gabarito: C
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    139 7. Gabarito: E 8.Gabarito: C 9. Gabarito: C 10. Gabarito: C Momento ENEM 1- Gabarito: B Atividade de Aprendizagem 1-
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    140 2- Gabarito: C MOMENTOENEM 1-Gabarito: C 2-Gabarito: B 3- Gabarito: E 4- Gabarito: D 5- Gabarito: B 6- Gabarito: E Atividade de Aprendizagem 1. Gabarito: 3000𝜋 𝑐𝑚3 2. Gabarito: 3456𝜋 𝑐𝑚3
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    141 3. Gabarito: 6000𝜋 𝑐𝑚3 4. Gabarito:16𝑐𝑚3 5. Gabarito: 23328𝜋 𝑐𝑚3 6. Gabarito: 15 esferas Atividade de Aprendizagem 1- Gabarito: B 2- Gabarito: E 3- Gabarito: B 4- Gabarito: B 5- Gabarito: B 6- Gabarito: D MOMENTO ENEM 1- Gabarito: A
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