SlideShare uma empresa Scribd logo
Formandos da Escola Profissional de Estaquinha 
_Bùzi 
em uma visita à Escola Agrária de 
Gorongosa 
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica. 
Autor: Filipe Mathusso Lunavo 
Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim 
Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014 
Filipe Mathusso Lunavo Página 2 
Logaritmo e Função Logarítmica
INTRODUÇÃO 
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por 
John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561 
1561-1630). 
A sua origem é grega e significa a razão dos números 
e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos 
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o 
uso dos logaritmos. 
– “logos” significa razão 
Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação 
em soma, de divisão em subtração, entre outras 
Contudo, pode-se dizer que o nome 
para expoente, conforme veremos a seguir. 
John Napier ( 1550-1617), 
barão de Marchiston 
(Escócia) 
logaritmo é uma nova denominação 
APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU 
transformações possíveis. 
QUOTIDIANO 
Os logaritmos possuem inúmeras úmeras aplicações no cotidiano. 
 Na Física é utilizado para medir a intensidade do som 
 Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH 
(potencial hidrogeniônico) de uma solução. 
som; 
 Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar 
dígitos de informação (bits). 
 Na geologia, os logaritmos permitem medir a 
amplitude (ou a “força”) 
de algum abalo sísmico através da Escala Richter 
Richter. 
 Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de 
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para 
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos. 
ipidemo 
Para não ter problemas na 
resolução ou na percepção dos 
Logaritmos, vamos lembrar alguns 
casos de potências, como os 
seguintes: 
25 = 
am ´ 
am : 
a-2 = 
1 - 
 
1 
2 
2 
 
 = 
 
 
 
ou 
 1 
- 
2 
 
 
 
 
 a 
4 
1 
 ´  
1 
 =   
2 
´ 2 = 2 ´ 2 = 2 + = 2 
30 = 
a 0 o seu resultado é 1. 
a1 = 
125 = 
- - 
2 4 
1 
 
Vamos decompor o 125. 
125 
Henry Briggs (1561- 
1630) - Inglês 
25 
5 
1 
RECORDE 
2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 
an = am+n 
an = am-n 
2 1 
 
 
2 ( 4) 6 
2 
2 
2 
2 
2 
- + - - 
 
 
 
 
 
 
  ´ = 
4 2 4 2 4 6 
1 porque qualquer nº elevado 
a ou a = a 
53 porque: 
Logo: 
125 = 53 
5 
5 
5
CONCEITO DE LOGARITMO 
Dados os números reais b (  0   ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que 
é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N 
na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. 
Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo; 
b- é a base do logaritmo e; 
x- é o logaritmo. 
Exemplos: 
 log 32 5 2 = porque 32 = 25 . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como 
sabemos que 25 = 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 
 log 2 1 2 = porque 2 = 21 
 log 1 0 5 = porque 50 = 1 
Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação 
simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo 
que foi exposto, que 10x = N. 
a) log10=1 porque 101 = 10. 
b) log100= 2 porque 102 = 100 
Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático 
escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo 
pelo símbolo ln. Assim, M M e log = ln . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos 
naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. 
a) lne =1 b) ln 4 log 4 e e =
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer. 
1ª Condição: log 1 = 0 b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx = 
N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1. 
Exemplos: * log 1 0 3 = * log 1 0 
1 = * log 1 0 1000000 = 
2 
2ª Concição: log b = 1 b . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela 
fórmula bx = N, teremos b1 = b 
1 
1 = * log 7 1 7 = * log 32 1 32 = 
Exemplos: * 1 
3 
log 
3 
b log = , então pela fórmula teremos bm = bm 
3ª Condição: Se bm m 
1 
- 
3 
= = 
  
= - 1  5 = * log 81 log 34 4 
3 3 = = * 3 
Exemplos: * log 53 3 
4 
3 
log 64 log 4 log 
1 
4 
1 
4 
4 
 
4ª Condição: Se b a a b log = ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: b a a b log = 
então ba a 
b log = 
4 4 = = *5log 25 log 525 25 
Exemplos: * 4log 3 log 43 3 
5 5 = = 
5ª Condição: Se a c a c b b log = log Û = . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo 
equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). 
Exemplos: * log log 5 5 
a = Û a = * log 27 = log c Û c = 
27 1 1 
3 3 2 
2 
PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO 
O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como: 
1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, 
  0. 
Exemplo: log (- 25) = x 5 , pela definição de logaritmo, teremos: (- 25) = 5x , logo é impossível calcular o 
logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo. 
Filipe Mathusso Lunavo Página 5 
Logaritmo e Função Logarítmica
2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja b ¹ 1. 
Exemplo: log 4 = x vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela: 
1 x 1 2 3 
Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa 
explicação de porque não é possível achar o logaritmo. 
Se x=1 pela fórmula teremos: 11 = 1 ¹ 4 
Se x= 212 = 1´1 = 1 ¹ 4 
Se x=3 13 = 1´1´1 = 1 ¹ 4 
Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1. 
3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja   0   ≠ 1. 
Exemplo: ( ) ( )x log 27 x 27 3 3 = ⇒ = - - , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma 
potência de base negativa (-3) é igual a 27. 
Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se 
pode calcular ( veja a conclusão a seguir). 
Ex 2: ( ) ( )x log 16 x 16 4 4 = ⇒ = - - Ex 3: ( ) ( )x log 216 x 216 6 6 = ⇒ = - - 
Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos: 
Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo. 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto 
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. 
Simbolicamente: (m n) m n b b b log ´ = log + log 
Exemplos: 
 ´ = + = + = 
Ex 1: ( ) 
4 
2 
log 9 81 log 9 log 81 log 3 log 3 log 
1 
3 
1 
3 
2 ( 4) 2 4 6 
- - 
1 
3 
 
+  log 
1 
3 
4 
1 
3 
2 
1 
3 
1 
3 
1 
3 
1 
3 
= - + - = - - = - 
 
 
 
 
 
ou 
1 
6 
 
 ´ = = = 
- 
( ) 6 
 
6 
= - 1 3 
log 9 81 log 729 log 3 log 
1 
3 
1 
3 
1 
3 
3 
 
log (9 ´ 81) = log 9 + log 81 = log 3 2 
+ log 34 = 2 + 4 = 
6 
Ex 2: 3 3 3 3 3 
ou 
Filipe Mathusso Lunavo Página 6 
Logaritmo e Função Logarítmica
log (9 81) log 729 3 3 ´ = 
3 = = 
2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente 
O logaritmo de uma fração 
numerador da fração e do denominador 
Simbolicamente: 
64 
 
 
log 4 4 - =  
 
m 
Ex 1: log 64 log 
ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do 
denominador. 
m n 
 
4 4 = - = - = ou 
  
Prova: 
log 4 4 = =  
log 4 1 
64 
 
 
log 2 2 - =  
Ex 2: log 64  
 
log  
= log 16 = 2 2 64 
4 
81 
 
 
log 3 3 - =   
  
EX 3: log 81 
3 
 
 
 
log = 3  log 81 - log 
3 3  
31 = 81 
Û = ´ 
3 
2 = 2 
2 3 
16 
 
64 
16 
 
4 
 
 
 
81 
3 
 
  
 
Prova: 
Filipe Mathusso Lunavo 
Logaritmo e Função Logarítmica 
9 9 
3 
3 
3 
b log  
log 36 6 
m 16 log 4 log 42 3 2 1 
4 
3 
 = 
41 = Û  
4 4 
64 
16 
 
 
2 2 = - = - = ou 
log 
4 log 2 log 22 6 2 4 
2 
6 
64 
 = 
2 = Prova: 16 
log 
24 4 
 
24 Û 4 
 
 
log 3 = log (3 4 
) - log 3 = log 3 2 
- 
log 3 3 3 3 3 
3 
4 
( ) 4 
2 
3 = - = lo - = - 
3 log 3 log 3 3 log 3 
(1) 
3 
2 
3 3 
4 
Û 3 = ´ Û = 
3 3 
3 3 
3 
n 
b b log log - =  
Página 7 
= 16 
= 2 -1 = 1 ou 
1 
2 
2 
4 2 
2 
2 
(2) 
= - = =
3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência 
O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 
Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente 
irá multiplicar o resultado desse logaritmo. 
Simbolicamente: x m x b 
Exemplos: 
log m 
= log 
b = 5 
= = 
3 3 Ex 1: log 243 log 3 5log 3 5 3 
3 
3 
- 
( ) 1 
Ex 2:  
3 
2 
 
 
 = -  = = = 
 
= - 1 4 
3 
log 
2 
1 
4 
3 
log 64 log 4 log 4 log 
1 
4 
2 
1 
4 
2 
1 
4 
1 
4 
4 
 
 
3 
3 
 - 
1 Prova 4 2 (4 3 
) 64 
4 
2 
 
= = =  
 
2 = = ´ = Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 28 = 256 , 
Ex 3: log 16 2log 24 2 4 8 
2 
2 
como nós sabemos que 162 = 256 . 
4ª Propriedade: Mudança de Base 
Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, 
essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo 
com a fórmula : x x b b m m log = log ¸log 
Exemplos: 
4 2 2 2 = ¸ = ¸ = = Prova: 43 = 64 Û 64 = 64 
Ex 1: log 64 log 64 log 4 log 2 log 22 6 : 2 3 
2 
6 
36 6 6 6 = ¸ = ¸ = ¸ = 
Ex 2: log 1296 log 1296 log 36 log 6 log 62 6 2 3 
6 
6 
Filipe Mathusso Lunavo Página 8 
Logaritmo e Função Logarítmica
5ª Propriedade: a b loga b = 
Exemplos: 
log4 64 = = ´ Ex 1: 4 4log 43 4 3 
6ª Propriedade: 
7 = = 
log 3 49 7 
1 ¸ = 
4 
log 
72 
+ - = + - =  
- - - 
log = 
N a 
a 
b 
= 
b N 
4 
log 
a N b 
b 
log 49 
4 
3 
3 
5 
log Û x = 
Filipe Mathusso Lunavo 
Logaritmo e Função Logarítmica 
a 
log = 
Exemplos: 
Ex 1: 
3 
Ex 2: log ( 27 81) log 
1 
3 
3 
3 
9 
6 
3 
2 
3 
2 
(3) (2) 
 
 
7 = 
1 
1 
27 log 81 3 
8 = - 
1. Calcule o valor de: 
a) log9 
log 81 log 81 9 3 = ¸ 
b) 3log 
c) log 0,25 2 2 =a Û 
5 
9 = = ou 
log 9 log 3 log 32 4 2 2 
3 3 = ¸ = - = 
log 2 3 
2 
d) 5 125 
125 
= 
12 
N 2 
3 
3 
 
2 
1 
3 
log 
log 81 
3 
log 27 
2 
1 
3 
3 
3 
1 
3 
 
- = - = 
1 
6 
6 
Exercícios Resolvidos 
81 log 92 2 
3 
4 
1 3 
2 2 = - = - 
2 2 
1 
2 
2 
1 
4 
2 
25 
100 
2 
2 a = Û a = Û a = Û a = - 
1 
25 
Û x = Û x = Û x = 
 5 
1 
25 
5 
5 
125 
5 
5 
 
Página 9 
-3 - 
 
3 
1 
3 
log 
4 
1 
3 
 
 
 
- 
 
 
Ûa = -2 
1 
2 
1 
 x 
2 Û - 2 
´ 5 = 5 
 

1 
2 
Û - 
x = Û x = - Û x 
= - 2 
2 
5 5 2 
log 3 
9 
3 
log 
9 
3 
3 
3 = = = 
log 3 
e) 1 
3 
3 
3 
2 
log 4 
log 16 
2 
5 4 4 
4 = = = = 
f) 0,4 
5 
5 
5 
log 16 
3 
log 6 
3 
5 3 6 
6 = = = 
g) 0,6 
5 
5 
log 6 
h) 
4 
7 
 
 
 
 
- 
= - 4 
= - 
1 7 
7 
1 
2 
log 
log 2 
1 
= = 2 
= 
7 
log 16 
1 
2 
7 
7 
log 16 
4 
1 
2 
4 
2 
i) 
3 
8 
1 
2 = = = = ´ = 
4 
3 
2 
3 
2 
4 
log 2 
4 4 2 
4 
4 
log 8 
4 
log 8 
3 
2. Calcule o valor dos logaritmos 
a) log 18 log 6 log 5 log 15 3 3 3 3 - - + log 18 log 15 log 6 log 5 3 3 3 3 ⇒ + - - 
= ´ - ´ = ´ 
3 3 3 3 3 3 = ´ = = = 
log (18 15) log 6 5 log 2 
log 3 3 log 9 log 3 2 
18 15 
´ 
6 5 
b) log 64 log 27 2 3 - para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de 
cada logaritmo, isto é: 
log 64 2 26 6 
2 = a ⇒ a = ⇒ a = 
= b ⇒ b = 3 
⇒ b 
= 
log 27 3 3 3 
 - = - = 
64 log 27 6 3 3 
3 
2 3 
lo 
c) log 16 log 32 2 4 - 
2 = a⇒ a = ⇒ a = 
log 16 2 24 4 
5 
2 
4 = b ⇒ b = ⇒ b = ⇒ b = 
log 32 4 25 22 25 
3 
2 
 - = - = 8 - 5 
= 
2 4 2 
5 
2 
log 16 log 32 4 
(1) 
(2) 
Filipe Mathusso Lunavo Página 10 
Logaritmo e Função Logarítmica
1 + - 
d) log 8 log 27 2 log 36 3 6 
2 
 
 = Û = Û 
- 
a a 
1 - =  
3 
1 
2 
3 
log 8 log 2 log 
3 
1 
2 
1 
2 
2 
 
= b Û 3 
= b Û b 
= 
log 27 log 3 3 
( ) 
d 2 - 2 
d d 
3 3 
- = Û = Û = - 
2log 36 log 6 4 
6 6 
+ - = - + - = - 
log 8 log 27 2log 36 3 3 4 4 
3 6 
1 
2 
e) log 18 + log 6 - log 12 = log (18 ´ 6) ¸ 12 = log 108 ¸ 12 = log 9 = log 32 = 
2 
3 3 3 3 3 3 3 f) log (log 125) 5 
1 Vamos resolver em partes. 
3 
5 =a Û a = Ûa = 
( ) 1 
log 125 5 53 3 
1 
 
b b 
 
 
 =  
 
 = Û   = = Û 
- 
b  
Û b 
= - 1 3 
1 
3 
3 
1 
3 
log log 125 log 3 
1 
5 1 
3 
3 
 
 
 
g) 
(2 log 5) 
log 2 + log 1+ 3 + 3 2 10 
Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo 
log 2 = 
1 2 = 
log 1 0 
10 
( 2 + 
log 5 ) 
= 2 ´ log 5 
= ´ = 
log 2 log 1 3( ) 1 0 45 46 
3 3 3 9 5 45 
+ 
 + + 2 log 5 
= + + = 
3 3 
2 10 
3 
h) ( ) 
4 
18 
2 
3 
2 
6 
4 
1 
2 
= + 
0 4 
6 
 ´ 
log 2 log 
+ 
0 log 3 
6 
4 
3 
´ 
log 2 log 2 
+ 
log 1 log 81 
3 3 
´ 
log 64 log 8 
3 
2 
1 
2 
2 
3 
1 
2 
2 
2 1 
2 
- 
= 
 
 
´ - 
 
= 
 
 
 
= 
- 
4 
9 
2 
8 
 
= ´ - 
4  
= - = - 18 
2 
18 
 
2 
Filipe Mathusso Lunavo Página 11 
Logaritmo e Função Logarítmica
3. Calcule o valor de y. 
Lembre-se que a c a c b b log = log Û = 
a) 
512 
8 
32 ´ 16 
log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ log y = log ⇒ log y 
= log 
4 4 4 4 4 4 4 4 8 
log log 64 64 4 4 ⇒ y = y = 
b) log log 27 log 27 log 10 2log 3 2 2 2 2 2 y = + + - 
( ) 
= ´ - 2 
⇒ = - 
log log 27 10 log 3 log log 270 log 3 
2 
y y 
2 2 2 
2 2 2 
⇒ = - ⇒ = ¸ ⇒ = 
log y log 270 log 9 log y log 270 9 log y 
log 30 
2 2 2 2 2 2 2 
30 
⇒ y 
= 
c) log log 5 5 2 2 y = Û y = 
d) log log 8 8 15 15 y = Û y = 
e) log 1000 log lg 10 log 3 10 
= y Û = y Û y = 
1 1 
3 
3 
1 
3 
3 
1 
3 
3 
f) log log 7 7 1000 1000 y = Û y = 
g) lg y = lg 4Û y = 4 Lembre-se dos logaritmos de base 10. 
h) 
1 
2 
1 
 
 = - Û = Û = 
- 
y - y - y y 
 
3 3 3 Û = 2 
log 8 3 2 
3 
 
1 
2 
1 
= Û = Û 2 
´ 
2 = 2 
Û = Û = 1 
i) log 3 3 3 2 
9 9 
y y y y y 
2 
2 
j) log 216 = 3 Û (2 y )3 = 63 ⇒ (2 y )3 = 23 ´ 33 Û y = 3 
2 y 
k) lg y = lg 3 + lg 5Û lg y = lg 3´ 5Û lg y = lg15Û y = 15 
l) 
7 
2 
 
4 + = Û - = Û = + Û = 3 
Û =  y - y y y y 
2 
3 
2 
2 2 
3 
2 
lg 2 
3 
2 
lg 
(1) 
(2) 
 
 
m) lg(5y + 9) = lg y + lg2Ûlg(5y + 9) = lg 2y Û5y + 9 = 2y Û5y - 2y = -9 
3 
9 
Û 3y = -9Û y = - Û y = - 
3 
log 3 2y- 1 
= log 8y 
3 n) 4 
3 
5 
5 
3 
1 
1 
( ) ( ) y y 
Û 3 - 1 = 4 Û - = Û y - 
1 = y 
Û - = 1 
3 3 
y y y y 
3 
4 
1 
3 
1 
3 
1 
2 8 2 2 4 
2 3 
3 
24 
4 
Û y - y = Û y - y = Û - y = Û -y = ´ Û -y = /-1 
5 
12 
5 
4 
12 
4 
12 
5 
12 
4 
12 
9 
12 
4 
12 
1 
3 
3 
4 
1 
3 
(4) (3) (4) 
Filipe Mathusso Lunavo Página 12 
Logaritmo e Função Logarítmica
Û = - 4 y 
5 
3 
3 
3 
3 
= Û y = Û y = ´ Û y 2 = 3 
Û y = Û y = y 
3 
2 2 
3 
o) log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
2 
2 
2 
2 
5 5 
( ) 1 
5 
 
p) log y = 5Û 2 = y Û 2 = y Û 22 = y Û 25 = y Û 32 
= y   
 
 
  
 
2 
2 
4. Calcule: 
1 
lg 0,001 = a Û10a = Û a = -3 Û a = - 
q) 10 1000 3 
1000 
r) lg10000 = a Û10a = 104 Û a = 4 
1 
lg = a Û a = -2 Û a = - 
s) 10 100 2 
100 
5. Sendo log 3 3 a = - , log 4 3 b = e log 2 3 c = , determine: 
a) (ab) 3 log Resolução : log log 3 4 1 3 3 a + b = - + = 
ab 
b) 3 2 log 
c 
3 3 3 a + b - c = - + - = - = - 
Resolução: log log log 2 3 4 22 1 4 3 
c) a b 3 log 
+ = - + log 
b 
= - + 4 
= - 6 + 4 
= - 2 
= - 3 3 log log 3 3 
Resolução: 1 
2 
2 
2 
3 
2 
a b 
6. Sabendo que log a = 5 b e log c = -3 b determine o valor de : 
a) (ac) b log Resolução: log (ac) = log a + log c = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 b b b 
 
c 
 
a 
 
 
c 
b log Resolução: 8 5 3 log log log - = - - = - =  
b)  
 
 
c a 
b b b 
a 
c) log 3 ac b Resolução: ( ) 
2 
3 
+ 
= 5 + - 3 
log 3 = 
3 
log log 
= = ac a c 
ac b b b 
3 
log 
3 
b 
d) ( )4 log ac b Resolução: log ( )4 log 4 log 4 54 ( 3)4 (5 3)4 24 16 ac = a + c = + - = - = = b b b 
7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos 
a) (a2b) 
log 
2 Resolução: log (a 2 
b) = log a 2 
+ log b = 2log a + log 
b 2 2 
2 2 2 
Filipe Mathusso Lunavo Página 13 
Logaritmo e Função Logarítmica
 
5 
 6 
5 4 
log p 
b)  
 
5 
5 
 
 
Resolução: p p p 5 5 5 
log =  
+ 6 
= - + log log 5 log 4 6log 
5 5 5 
6 
4 
log 
4 
 
c) 
log 
8 
2 
 
 
p p p 
l = + +  l 
 
= + +  
  
log 2 log 2 log log log 2 log 
8 8 8 8 8 8 
l 
g 
g 
g 
 
l 
g 
l 
log 2 2 log 2 8 8 8 = ´p + ¸ = p + ´ = p + 
g 
l 
g 
2 
log 2 
1 
2 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
y = ax a〉0 
Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (, 
e a ¹ 1 
definida para todo x real. 
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando 
o conjunto dos números reais positivos por IR+ 
, poderemos escrever a função exponencial como segue: 
f: R ® R+ 
* ; y = ax , 0  a ≠ 1. 
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0  a ≠ 1. 
Permutando x por y, vem: 
x = ay  y = logax Portanto, a função logarítmica é então: 
f: R+ 
* ® R ; y = logax , 0  a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), 
para os casos a  1 e 0  a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação 
à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x. 
1 ( ) = log ; ( ) log ( 2) 6 f x = x - ; ( ) log (3 1) 
Exemplos: f x x 4 ( ) = log ; g x x 
2 
1 f x = x + 
3 
Gráfico da função logarítmica 
Vamos fazer o estudo da função f x x 3 ( ) = log construindo a tabela e respectivo gráfico. 
Filipe Mathusso Lunavo Página 14 
Logaritmo e Função Logarítmica
Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: 
log x y y 3x 3 = Û = 
Tabela da função y = 3x Tabela da função x 3 log 
x y = 3x y 
1 
1 
1 
= x = - =  y 3 3 
27 
3 
 
3 =  
 
-3 3 
27 
-2 
1 
1 
= x = - =   
y 9 
 
2 = 3 
3 3 
 
-1 
1 
1 
= x = - =   
y 3 
 
1 = 3 
3 3 
 
0 y = 3x = 30 = 1 1 
1 y = 3x = 31 = 3 3 
2 y = 3x = 32 = 9 9 
3 y = 3x = 33 = 27 27 
Gráfico da função logarítmica 
1 
y 
1 
9 
2 
1 
3 
1 
-1 1 2 3 
-1 
-2 
-3 
x x 3 log y 
1 
27 
1 
1 
log 3 3 3 3 33 3 
x 
= - 27 = = 3 
= - 3 1 
9 
1 
1 
log 3 3 3 2 32 2 
x 
= - 9 = = 3 
= - 3 1 
3 
1 
1 
log 3 3 3 1 31 1 
x 
= - 3 = = 3 
= - 3 1 log log 1 0 3 3 x = = 0 
3 log log 3 1 3 3 x = = 1 
9 log log 9 log 32 2 
3 3 3 x = = = 2 
3 3 3 x = = = 3 
27 log log 9 log 33 3 
Observando o gráfico, concluímos que: 
x 
-3 
-2 
-1 
 Domínio: Df = IR+ 
 Contradomínio: D´ f = IR 
 Zero da função: x = 1 
 A função é crescente 
 A curva da função não intercepta o eixo das 
ordenadas. 
 A função é positiva, isto é: 
f (x)  0; xÎ]1;+¥[ 
 A função é negativa, isto é, 
f (x)  0; xÎ]0;1[ 
Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1. 
Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 0  a 1). 
1 ( ) = log . Passando para forma de função exponencial teremos: 
Considere a função f x x 
3 
x 
 
 = 
1 
y  
 
3 
. 
Filipe Mathusso Lunavo Página 15 
Logaritmo e Função Logarítmica
x x 
3 
x - 
1 1 
 
3 
= =  
 
 
 =  = 
-3 3 27 
2 
x - 
1 2 
 =  
1 
x - 
1 1 
 =  
1 x 
0 
 =  
1 x 
1 
 =  
1 
y 3 
1 x 
2 
 =  
1 
y 9 
1 x 
3 
 =  
1 
y 27 
3 
2 
1 
 
 = 
1 
y  
y 
Tabelas 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
Gráfico 
 
3 
y 
3 
3 
 
 
y 
27 
 
= =  
3 9 
1 
3 
3 
 
 
 = 
 
y 
9 
 
= =  
3 3 
1 
3 
3 
 
 
 = 
 
y 
3 
1 
1 
3 
3 
 
=  
 
 
 = 
 
y 
1 
1 
3 
1 
3 
3 
 
=  
 
 
 = 
 
1 
9 
1 
3 
3 
 
=  
 
 
 = 
 
1 
27 
1 
3 
3 
 
=  
 
 
 = 
 
-2 -1 1 2 3 4 
-1 
-2 
x 
1 = log y 
x y x 
3 
27 
1 - 
 y y 
=  
3 
«  1 
3 
3 
3 
 
 
 =  
 
 
1 - 
9 2 
 y y 
=  
2 
«  1 
3 
3 
3 
 
 
 =  
 
 
1 - 
3 1 
 y y 
=  
1 
«  1 
3 
3 
3 
 =  
 
 
 
 
 
1 = y « y = 
1 log 1 0 
3 
1 
3 
1 
1 
1 = y « y = 
3 
log 
3 
1 
9 
y y 
 
 
1 
 = «  
 
 
 = 
 
1 
3 
3 
1 
3 
1 
9 
2 
1 
27 
y y 
1 
  = «  
 
 = 
 
1 
3 
3 
1 
3 
1 
27 
3 
A partir do gráfico, podemos constatar que: 
 Domínio: Df = IR+ 
 Contradomínio: D´ f = IR 
 Zero de função: x = 1 
 A função é decrescente. 
3 
1 
3 
 
 
 
1 
3 
 
 
 
1 
3 
 
 
 
 
 A curva da função de f não intercepta o eixo das 
ordenadas. 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 A função é positiva, isto é, f (x)  0; xÎ]0;1[ 
 A função é negativa, isto é, 
f (x)  0; xÎ]1;+¥[ 
Filipe Mathusso Lunavo Página 16 
Logaritmo e Função Logarítmica
As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial, 
e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos. 
Vamos denominar a função y = 3x como f (x) = 3x a logarítmica mantemos x 3 log 
Graficamente teremos 
3 
2 
1 
y 
f ( x ) = 3 x 
y = x 
-2 -1 1 2 3 4 
-1 
-2 
x 
x 3 log 
Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e 
do terceiro quadrante y=x. 
Portanto a função f (x) = 3x , é inversa da função x 3 log . 
Ainda, se 0  a  1 teremos os seguintes gráficos: 
Vamos denominar a função 
x 
 
 = 
1 
y  
 
3 
como 
x 
 
 = 
1 
( ) a logarítmica mantemos x 
x f  
 
3 
1 log 
3 
y = (1/3)^x y 
y = log(1/3,x) 
y = x 
4 
3 
2 
1 
-1 1 2 
-1 
x 
Filipe Mathusso Lunavo Página 17 
Logaritmo e Função Logarítmica
Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira: 
 O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o 
domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é, 
(Df = IR) = (D´g = IR+ ) e (Dg = IR) = (D´ f = IR+ ). Isto acontece pelo facto destas 
funções serem inversas entre si. 
 As funções f (x) e g(x) são crescentes para a  0 . 
 As funções f (x) e g(x) são decrescentes para 0  a  1. 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO y (x b) a = log ± 
Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer 
a demonstração de apenas dois casos. 
Dadas as funções: f x x 2 ( ) = log , ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - 
y = log(2,x+1) y 
y = log(2,x-1) 
y = log(2,x) 
3 
2 
1 
· 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 
· 
-1 
-2 
-3 
x 
· 
Como podemos ver, os gráficos das funções ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - , surgem através da 
translação de b unidades para cima f x x 2 ( ) = log , se b for positivo e b unidades para baixo da função 
f x x 2 ( ) = log se b for negativo. 
Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos: 
 As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios; 
 Os seus domínios são iguais. 
Filipe Mathusso Lunavo Página 18 
Logaritmo e Função Logarítmica
Os seus contradomínios também são iguais. 
Diferenças: 
 Zero de função: Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 f x = x + , x=0 
Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 g x = x - , x=2. 
Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com 
logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1. 
1 ( ) = log , ( ) log ( 1) 
Dadas as funções: f x x 
y = log(1/2,x) y 
y = log(1/2,x+1) 
y = log(1/2,x-1) 
3 
2 
1 
2 
1 g x = x + e ( ) log ( 1) 
2 
1 h x = x - 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 
-1 
-2 
-3 
x 
2 
A diferença que agora encontramos, é de que 
todas as três funções são decrescentes, 
diferentemente no exemplo anterior. 
Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que 
seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima 
Filipe Mathusso Lunavo Página 19 
Logaritmo e Função Logarítmica
Dadas as funções f x x 2 ( ) = log , g 
Para a função
(
): log 2 2 x + = 
Para a função (
): log 2 2 x - = 
 x = - = x = - = x = x 
2 = =  
2 x = = x = = x = 
 As funções
(
) (
) são obtidas através da função 
negativas respectivamente. 
Agora vamos construir o gráfico da seguinte função 
Filipe Mathusso Lunavo 
Logaritmo e Função Logarítmica 
( ) log 2 2 x = x + e ( ) log 2 2 h x = x - 
 Todas as funções são crescentes; 
 As funções são definidas para valores de x  0, 
isto é, o domínio de Df ,Dg 
 As funções não intercepta o eixo das ordenadas, 
porque não estão definidas para x = 0. 
 As funções interceptam o eixo das abcissas 
quando y = 0 (zeros de função) sendo:

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

AULA DE TRIGONOMETRIA
AULA DE TRIGONOMETRIAAULA DE TRIGONOMETRIA
AULA DE TRIGONOMETRIA
CECIERJ
 
Plano de curso de matemática ensino médio
Plano de curso de matemática ensino médioPlano de curso de matemática ensino médio
Plano de curso de matemática ensino médio
Tammi Kirk
 
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauLista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Everton Moraes
 
9ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_39ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_3
Erivaldo Duarte
 
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exerciciosMat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
trigono_metria
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
rosania39
 
Aula 01 introdução a estatística
Aula 01   introdução a estatísticaAula 01   introdução a estatística
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° ano
Atividades e jogos referentes aos números inteiros  7 ° anoAtividades e jogos referentes aos números inteiros  7 ° ano
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° ano
SENHORINHA GOI
 
Operações básicas da matemática
Operações básicas da matemáticaOperações básicas da matemática
Operações básicas da matemática
Ediclei Oliveira
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 
Caderno de Exercícios – Estatística com solução
Caderno de Exercícios – Estatística com soluçãoCaderno de Exercícios – Estatística com solução
Caderno de Exercícios – Estatística com solução
Outliers Academy
 
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
Ilton Bruno
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
Kamilla Oliveira
 
Plano de aula - Razão e Proporção
Plano de aula - Razão e ProporçãoPlano de aula - Razão e Proporção
Plano de aula - Razão e Proporção
JaneteMPires
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
tioheraclito
 
Notação cientifica
Notação cientificaNotação cientifica
Notação cientifica
Murilo Martins
 
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grauLista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Everton Moraes
 
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
Microsoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grauMicrosoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grau
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
Betão Betão
 
Equações do 2° grau
Equações do 2° grauEquações do 2° grau
Equações do 2° grau
Derivaldo Oliveira
 
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEIDLISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
Criativa Niterói
 

Mais procurados (20)

AULA DE TRIGONOMETRIA
AULA DE TRIGONOMETRIAAULA DE TRIGONOMETRIA
AULA DE TRIGONOMETRIA
 
Plano de curso de matemática ensino médio
Plano de curso de matemática ensino médioPlano de curso de matemática ensino médio
Plano de curso de matemática ensino médio
 
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauLista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
 
9ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_39ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_3
 
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exerciciosMat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
 
Aula 01 introdução a estatística
Aula 01   introdução a estatísticaAula 01   introdução a estatística
Aula 01 introdução a estatística
 
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° ano
Atividades e jogos referentes aos números inteiros  7 ° anoAtividades e jogos referentes aos números inteiros  7 ° ano
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° ano
 
Operações básicas da matemática
Operações básicas da matemáticaOperações básicas da matemática
Operações básicas da matemática
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Caderno de Exercícios – Estatística com solução
Caderno de Exercícios – Estatística com soluçãoCaderno de Exercícios – Estatística com solução
Caderno de Exercícios – Estatística com solução
 
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
Plano de aula - Razão e Proporção
Plano de aula - Razão e ProporçãoPlano de aula - Razão e Proporção
Plano de aula - Razão e Proporção
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011
 
Notação cientifica
Notação cientificaNotação cientifica
Notação cientifica
 
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grauLista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
 
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
Microsoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grauMicrosoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grau
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
 
Equações do 2° grau
Equações do 2° grauEquações do 2° grau
Equações do 2° grau
 
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEIDLISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEID
 

Destaque

Função logarítmica - Exercícios
Função logarítmica - ExercíciosFunção logarítmica - Exercícios
Função logarítmica - Exercícios
espacoaberto
 
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º AnoResumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
Instituto Superior Técnico, UTL
 
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
wilkerfilipel
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
NathalyNara
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
texa0111
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
slidericardinho
 
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmicaAula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
Turma1NC
 
Lista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencialLista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencial
Cleidison Melo
 
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
celiomelosouza
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
Péricles Penuel
 
Problemas função exponencial
Problemas   função exponencialProblemas   função exponencial
Problemas função exponencial
Péricles Penuel
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Aula de LOGARITMOS
Aula de LOGARITMOSAula de LOGARITMOS
Aula de LOGARITMOS
José Junior Barreto
 
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º AnoResumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
Instituto Superior Técnico, UTL
 
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º AnoResumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
Instituto Superior Técnico, UTL
 
Função exponencial exercícios resolvidos
Função exponencial   exercícios resolvidosFunção exponencial   exercícios resolvidos
Função exponencial exercícios resolvidos
jorgehenriqueangelim
 
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
Péricles Penuel
 
MatemáTica Estudo Dos Log
MatemáTica Estudo Dos LogMatemáTica Estudo Dos Log
MatemáTica Estudo Dos Log
educacao f
 
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iiiMat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
trigono_metrico
 

Destaque (20)

Função logarítmica - Exercícios
Função logarítmica - ExercíciosFunção logarítmica - Exercícios
Função logarítmica - Exercícios
 
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º AnoResumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
Resumo Exponenciais e Logaritmicas | Matemática A 12º Ano
 
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
 
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmicaAula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica
 
Lista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencialLista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencial
 
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
 
Problemas função exponencial
Problemas   função exponencialProblemas   função exponencial
Problemas função exponencial
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 
Aula de LOGARITMOS
Aula de LOGARITMOSAula de LOGARITMOS
Aula de LOGARITMOS
 
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º AnoResumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
Resumo Números Complexos | Matemática A 12º Ano
 
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º AnoResumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
Resumo Probabilidades | Matemática A 12º Ano
 
Função exponencial exercícios resolvidos
Função exponencial   exercícios resolvidosFunção exponencial   exercícios resolvidos
Função exponencial exercícios resolvidos
 
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
 
MatemáTica Estudo Dos Log
MatemáTica Estudo Dos LogMatemáTica Estudo Dos Log
MatemáTica Estudo Dos Log
 
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
 
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iiiMat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
 

Semelhante a Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

Log
LogLog
Logarítmos
LogarítmosLogarítmos
Logarítmos
Davisonsm
 
Logarítmos
LogarítmosLogarítmos
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
Jesrayne Nascimento
 
O que é logaritmo matematica
O que é logaritmo matematicaO que é logaritmo matematica
O que é logaritmo matematica
gustavo-516
 
logaritmos.pdf
logaritmos.pdflogaritmos.pdf
logaritmos.pdf
ZejucanaMatematica
 
funções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
funções logaritimicas com respostas-campus Alegretefunções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
funções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
vagnerseveroaluno
 
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
Péricles Penuel
 
Apostila logaritmos
Apostila logaritmosApostila logaritmos
Apostila logaritmos
Eduardo Sacomano
 
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmowww.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
Vídeo Aulas Apoio
 
Logaritmo-MATEMATICA.ppt
Logaritmo-MATEMATICA.pptLogaritmo-MATEMATICA.ppt
Logaritmo-MATEMATICA.ppt
ocg50
 
Logaritmo e exponencial
Logaritmo e exponencialLogaritmo e exponencial
Logaritmo e exponencial
didicadoida
 
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.pptLogaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
RitaValrio4
 
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptxAula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
thamyjuntto
 
L
LL
LOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSONLOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSON
PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 
Trabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptxTrabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptx
jonaldinhogaucho08
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Logaritmo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Logaritmowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Logaritmo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Logaritmo
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Logaritmo www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Logaritmo
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Logaritmo
Aulas De Matemática Apoio
 

Semelhante a Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo (20)

Log
LogLog
Log
 
Logarítmos
LogarítmosLogarítmos
Logarítmos
 
Logarítmos
LogarítmosLogarítmos
Logarítmos
 
Logarítmos
LogarítmosLogarítmos
Logarítmos
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
 
O que é logaritmo matematica
O que é logaritmo matematicaO que é logaritmo matematica
O que é logaritmo matematica
 
logaritmos.pdf
logaritmos.pdflogaritmos.pdf
logaritmos.pdf
 
funções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
funções logaritimicas com respostas-campus Alegretefunções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
funções logaritimicas com respostas-campus Alegrete
 
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
 
Apostila logaritmos
Apostila logaritmosApostila logaritmos
Apostila logaritmos
 
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmowww.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
www.CentroApoio.com - Matemática - Logaritmo
 
Logaritmo-MATEMATICA.ppt
Logaritmo-MATEMATICA.pptLogaritmo-MATEMATICA.ppt
Logaritmo-MATEMATICA.ppt
 
Logaritmo e exponencial
Logaritmo e exponencialLogaritmo e exponencial
Logaritmo e exponencial
 
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.pptLogaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
Logaritmo-MATEMATICA-2-E.M.ppt
 
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptxAula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
Aula sobre Logaritmo - definição e propriedades.pptx
 
L
LL
L
 
LOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSONLOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSON
 
Trabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptxTrabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptx
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Logaritmo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Logaritmowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Logaritmo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Logaritmo
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Logaritmo www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Logaritmo
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Logaritmo
 

Mais de wilkerfilipel

Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
wilkerfilipel
 
Epopéia do meu amor
Epopéia do meu amorEpopéia do meu amor
Epopéia do meu amor
wilkerfilipel
 
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitasÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
wilkerfilipel
 
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
wilkerfilipel
 
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
wilkerfilipel
 
Teoria de conjuntos fichas de exercícios
Teoria de conjuntos   fichas de exercícios Teoria de conjuntos   fichas de exercícios
Teoria de conjuntos fichas de exercícios
wilkerfilipel
 
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativaEducação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
wilkerfilipel
 
Instrumentos pedagogicos
Instrumentos pedagogicos Instrumentos pedagogicos
Instrumentos pedagogicos
wilkerfilipel
 
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares ruraisContrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
wilkerfilipel
 
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
wilkerfilipel
 
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
wilkerfilipel
 
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátiaHistória da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
wilkerfilipel
 
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavancaExercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
wilkerfilipel
 
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliaçãoAvaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
wilkerfilipel
 
Mundo actual 1º e 2º ano
Mundo actual  1º e 2º ano Mundo actual  1º e 2º ano
Mundo actual 1º e 2º ano
wilkerfilipel
 
Contabilidade simplificada 2º ano unico
Contabilidade simplificada 2º ano unicoContabilidade simplificada 2º ano unico
Contabilidade simplificada 2º ano unico
wilkerfilipel
 
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
wilkerfilipel
 
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
wilkerfilipel
 
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
wilkerfilipel
 
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
wilkerfilipel
 

Mais de wilkerfilipel (20)

Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
 
Epopéia do meu amor
Epopéia do meu amorEpopéia do meu amor
Epopéia do meu amor
 
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitasÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
ÁLGEBRA: polinómios e sistemas de equações até três incógnitas
 
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
 
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª c...
 
Teoria de conjuntos fichas de exercícios
Teoria de conjuntos   fichas de exercícios Teoria de conjuntos   fichas de exercícios
Teoria de conjuntos fichas de exercícios
 
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativaEducação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
Educação para a vida :os formadores e a estrutura educativa
 
Instrumentos pedagogicos
Instrumentos pedagogicos Instrumentos pedagogicos
Instrumentos pedagogicos
 
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares ruraisContrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
Contrato de estágio profissional nas escolas profissionais familiares rurais
 
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
Plano de aula ( seus elementos) e plano de avaliaçao (seus elementos).
 
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
Exercícios resolvidos sobre números inteiros (adição, subtracção, multiplição...
 
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátiaHistória da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
História da matemática como recurso didáctico para o ensino da matemátia
 
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavancaExercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
Exercícios de aplicação sobre momento de uma força e alavanca
 
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliaçãoAvaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
Avaliação no pea o medo e afobação que os alunos tem na realização da avaliação
 
Mundo actual 1º e 2º ano
Mundo actual  1º e 2º ano Mundo actual  1º e 2º ano
Mundo actual 1º e 2º ano
 
Contabilidade simplificada 2º ano unico
Contabilidade simplificada 2º ano unicoContabilidade simplificada 2º ano unico
Contabilidade simplificada 2º ano unico
 
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
Funções,Atitudes e Competências dum formador de uma Escola Proffional Familia...
 
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
Motivação nas Escolas Profissionais F.R. de Moçambique ( Por: Francisco da Cr...
 
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
Instrumentos e atividades pedagogia da alternância nas Escolas Profissionais ...
 
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
Brainstorming da Formação Nacional sobre Pedagogia de Alternância. O que é a ...
 

Último

Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTAEstudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
deboracorrea21
 
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptxAPA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
orquestrasinfonicaam
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
Sandra Pratas
 
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
Espanhol Online
 
Os Profetas do Velho Testamento: Cronologia
Os Profetas do Velho Testamento: CronologiaOs Profetas do Velho Testamento: Cronologia
Os Profetas do Velho Testamento: Cronologia
Renato Henriques
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
shirleisousa9166
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Centro Jacques Delors
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mary Alvarenga
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Luzia Gabriele
 
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdfTrabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
marcos oliveira
 
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
Sandra Pratas
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Centro Jacques Delors
 
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores LocaisTemática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Colaborar Educacional
 
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdfCaderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
SupervisoEMAC
 
Matemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
Matemática para Concursos - Teoria dos ConjuntosMatemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
Matemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
Instituto Walter Alencar
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Luzia Gabriele
 

Último (20)

Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2020 CENSIPAM.pdf
 
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2021/2022 CENSIPAM.pdf
 
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTAEstudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
Estudo Infantil - MISSÕES NACIONAIS - IGREJA BATISTA
 
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptxAPA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
APA fonoaudiologia Pratica Trabalho Prontos.pptx
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
 
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
 
Os Profetas do Velho Testamento: Cronologia
Os Profetas do Velho Testamento: CronologiaOs Profetas do Velho Testamento: Cronologia
Os Profetas do Velho Testamento: Cronologia
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdfTrabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
 
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
 
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
 
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores LocaisTemática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
 
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdfCaderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
 
Matemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
Matemática para Concursos - Teoria dos ConjuntosMatemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
Matemática para Concursos - Teoria dos Conjuntos
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
 

Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

  • 1. Formandos da Escola Profissional de Estaquinha _Bùzi em uma visita à Escola Agrária de Gorongosa Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
  • 2. Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica. Autor: Filipe Mathusso Lunavo Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014 Filipe Mathusso Lunavo Página 2 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 3. INTRODUÇÃO Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561 1561-1630). A sua origem é grega e significa a razão dos números e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o uso dos logaritmos. – “logos” significa razão Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras Contudo, pode-se dizer que o nome para expoente, conforme veremos a seguir. John Napier ( 1550-1617), barão de Marchiston (Escócia) logaritmo é uma nova denominação APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU transformações possíveis. QUOTIDIANO Os logaritmos possuem inúmeras úmeras aplicações no cotidiano. Na Física é utilizado para medir a intensidade do som Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução. som; Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar dígitos de informação (bits). Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”) de algum abalo sísmico através da Escala Richter Richter. Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos. ipidemo Para não ter problemas na resolução ou na percepção dos Logaritmos, vamos lembrar alguns casos de potências, como os seguintes: 25 = am ´ am : a-2 = 1 -  1 2 2   =    ou  1 - 2      a 4 1  ´  1  =   2 ´ 2 = 2 ´ 2 = 2 + = 2 30 = a 0 o seu resultado é 1. a1 = 125 = - - 2 4 1  Vamos decompor o 125. 125 Henry Briggs (1561- 1630) - Inglês 25 5 1 RECORDE 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 an = am+n an = am-n 2 1   2 ( 4) 6 2 2 2 2 2 - + - -         ´ = 4 2 4 2 4 6 1 porque qualquer nº elevado a ou a = a 53 porque: Logo: 125 = 53 5 5 5
  • 4. CONCEITO DE LOGARITMO Dados os números reais b ( 0 ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo; b- é a base do logaritmo e; x- é o logaritmo. Exemplos: log 32 5 2 = porque 32 = 25 . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como sabemos que 25 = 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 log 2 1 2 = porque 2 = 21 log 1 0 5 = porque 50 = 1 Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. a) log10=1 porque 101 = 10. b) log100= 2 porque 102 = 100 Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, M M e log = ln . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. a) lne =1 b) ln 4 log 4 e e =
  • 5. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer. 1ª Condição: log 1 = 0 b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx = N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1. Exemplos: * log 1 0 3 = * log 1 0 1 = * log 1 0 1000000 = 2 2ª Concição: log b = 1 b . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela fórmula bx = N, teremos b1 = b 1 1 = * log 7 1 7 = * log 32 1 32 = Exemplos: * 1 3 log 3 b log = , então pela fórmula teremos bm = bm 3ª Condição: Se bm m 1 - 3 = =   = - 1  5 = * log 81 log 34 4 3 3 = = * 3 Exemplos: * log 53 3 4 3 log 64 log 4 log 1 4 1 4 4  4ª Condição: Se b a a b log = ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: b a a b log = então ba a b log = 4 4 = = *5log 25 log 525 25 Exemplos: * 4log 3 log 43 3 5 5 = = 5ª Condição: Se a c a c b b log = log Û = . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). Exemplos: * log log 5 5 a = Û a = * log 27 = log c Û c = 27 1 1 3 3 2 2 PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como: 1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, 0. Exemplo: log (- 25) = x 5 , pela definição de logaritmo, teremos: (- 25) = 5x , logo é impossível calcular o logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo. Filipe Mathusso Lunavo Página 5 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 6. 2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja b ¹ 1. Exemplo: log 4 = x vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela: 1 x 1 2 3 Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa explicação de porque não é possível achar o logaritmo. Se x=1 pela fórmula teremos: 11 = 1 ¹ 4 Se x= 212 = 1´1 = 1 ¹ 4 Se x=3 13 = 1´1´1 = 1 ¹ 4 Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1. 3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja 0 ≠ 1. Exemplo: ( ) ( )x log 27 x 27 3 3 = ⇒ = - - , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma potência de base negativa (-3) é igual a 27. Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se pode calcular ( veja a conclusão a seguir). Ex 2: ( ) ( )x log 16 x 16 4 4 = ⇒ = - - Ex 3: ( ) ( )x log 216 x 216 6 6 = ⇒ = - - Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos: Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Simbolicamente: (m n) m n b b b log ´ = log + log Exemplos:  ´ = + = + = Ex 1: ( ) 4 2 log 9 81 log 9 log 81 log 3 log 3 log 1 3 1 3 2 ( 4) 2 4 6 - - 1 3  +  log 1 3 4 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 = - + - = - - = -      ou 1 6   ´ = = = - ( ) 6  6 = - 1 3 log 9 81 log 729 log 3 log 1 3 1 3 1 3 3  log (9 ´ 81) = log 9 + log 81 = log 3 2 + log 34 = 2 + 4 = 6 Ex 2: 3 3 3 3 3 ou Filipe Mathusso Lunavo Página 6 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 7. log (9 81) log 729 3 3 ´ = 3 = = 2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente O logaritmo de uma fração numerador da fração e do denominador Simbolicamente: 64   log 4 4 - =   m Ex 1: log 64 log ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do denominador. m n  4 4 = - = - = ou   Prova: log 4 4 = =  log 4 1 64   log 2 2 - =  Ex 2: log 64   log  = log 16 = 2 2 64 4 81   log 3 3 - =     EX 3: log 81 3    log = 3  log 81 - log 3 3  31 = 81 Û = ´ 3 2 = 2 2 3 16  64 16  4    81 3     Prova: Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica 9 9 3 3 3 b log  log 36 6 m 16 log 4 log 42 3 2 1 4 3  = 41 = Û  4 4 64 16   2 2 = - = - = ou log 4 log 2 log 22 6 2 4 2 6 64  = 2 = Prova: 16 log 24 4  24 Û 4   log 3 = log (3 4 ) - log 3 = log 3 2 - log 3 3 3 3 3 3 4 ( ) 4 2 3 = - = lo - = - 3 log 3 log 3 3 log 3 (1) 3 2 3 3 4 Û 3 = ´ Û = 3 3 3 3 3 n b b log log - =  Página 7 = 16 = 2 -1 = 1 ou 1 2 2 4 2 2 2 (2) = - = =
  • 8. 3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo. Simbolicamente: x m x b Exemplos: log m = log b = 5 = = 3 3 Ex 1: log 243 log 3 5log 3 5 3 3 3 - ( ) 1 Ex 2:  3 2    = -  = = =  = - 1 4 3 log 2 1 4 3 log 64 log 4 log 4 log 1 4 2 1 4 2 1 4 1 4 4   3 3  - 1 Prova 4 2 (4 3 ) 64 4 2  = = =   2 = = ´ = Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 28 = 256 , Ex 3: log 16 2log 24 2 4 8 2 2 como nós sabemos que 162 = 256 . 4ª Propriedade: Mudança de Base Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula : x x b b m m log = log ¸log Exemplos: 4 2 2 2 = ¸ = ¸ = = Prova: 43 = 64 Û 64 = 64 Ex 1: log 64 log 64 log 4 log 2 log 22 6 : 2 3 2 6 36 6 6 6 = ¸ = ¸ = ¸ = Ex 2: log 1296 log 1296 log 36 log 6 log 62 6 2 3 6 6 Filipe Mathusso Lunavo Página 8 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 9. 5ª Propriedade: a b loga b = Exemplos: log4 64 = = ´ Ex 1: 4 4log 43 4 3 6ª Propriedade: 7 = = log 3 49 7 1 ¸ = 4 log 72 + - = + - =  - - - log = N a a b = b N 4 log a N b b log 49 4 3 3 5 log Û x = Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica a log = Exemplos: Ex 1: 3 Ex 2: log ( 27 81) log 1 3 3 3 9 6 3 2 3 2 (3) (2)   7 = 1 1 27 log 81 3 8 = - 1. Calcule o valor de: a) log9 log 81 log 81 9 3 = ¸ b) 3log c) log 0,25 2 2 =a Û 5 9 = = ou log 9 log 3 log 32 4 2 2 3 3 = ¸ = - = log 2 3 2 d) 5 125 125 = 12 N 2 3 3  2 1 3 log log 81 3 log 27 2 1 3 3 3 1 3  - = - = 1 6 6 Exercícios Resolvidos 81 log 92 2 3 4 1 3 2 2 = - = - 2 2 1 2 2 1 4 2 25 100 2 2 a = Û a = Û a = Û a = - 1 25 Û x = Û x = Û x =  5 1 25 5 5 125 5 5  Página 9 -3 -  3 1 3 log 4 1 3    -   Ûa = -2 1 2 1  x 2 Û - 2 ´ 5 = 5  
  • 10. 1 2 Û - x = Û x = - Û x = - 2 2 5 5 2 log 3 9 3 log 9 3 3 3 = = = log 3 e) 1 3 3 3 2 log 4 log 16 2 5 4 4 4 = = = = f) 0,4 5 5 5 log 16 3 log 6 3 5 3 6 6 = = = g) 0,6 5 5 log 6 h) 4 7     - = - 4 = - 1 7 7 1 2 log log 2 1 = = 2 = 7 log 16 1 2 7 7 log 16 4 1 2 4 2 i) 3 8 1 2 = = = = ´ = 4 3 2 3 2 4 log 2 4 4 2 4 4 log 8 4 log 8 3 2. Calcule o valor dos logaritmos a) log 18 log 6 log 5 log 15 3 3 3 3 - - + log 18 log 15 log 6 log 5 3 3 3 3 ⇒ + - - = ´ - ´ = ´ 3 3 3 3 3 3 = ´ = = = log (18 15) log 6 5 log 2 log 3 3 log 9 log 3 2 18 15 ´ 6 5 b) log 64 log 27 2 3 - para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de cada logaritmo, isto é: log 64 2 26 6 2 = a ⇒ a = ⇒ a = = b ⇒ b = 3 ⇒ b = log 27 3 3 3 - = - = 64 log 27 6 3 3 3 2 3 lo c) log 16 log 32 2 4 - 2 = a⇒ a = ⇒ a = log 16 2 24 4 5 2 4 = b ⇒ b = ⇒ b = ⇒ b = log 32 4 25 22 25 3 2 - = - = 8 - 5 = 2 4 2 5 2 log 16 log 32 4 (1) (2) Filipe Mathusso Lunavo Página 10 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 11. 1 + - d) log 8 log 27 2 log 36 3 6 2   = Û = Û - a a 1 - =  3 1 2 3 log 8 log 2 log 3 1 2 1 2 2  = b Û 3 = b Û b = log 27 log 3 3 ( ) d 2 - 2 d d 3 3 - = Û = Û = - 2log 36 log 6 4 6 6 + - = - + - = - log 8 log 27 2log 36 3 3 4 4 3 6 1 2 e) log 18 + log 6 - log 12 = log (18 ´ 6) ¸ 12 = log 108 ¸ 12 = log 9 = log 32 = 2 3 3 3 3 3 3 3 f) log (log 125) 5 1 Vamos resolver em partes. 3 5 =a Û a = Ûa = ( ) 1 log 125 5 53 3 1  b b    =    = Û  = = Û - b  Û b = - 1 3 1 3 3 1 3 log log 125 log 3 1 5 1 3 3    g) (2 log 5) log 2 + log 1+ 3 + 3 2 10 Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo log 2 = 1 2 = log 1 0 10 ( 2 + log 5 ) = 2 ´ log 5 = ´ = log 2 log 1 3( ) 1 0 45 46 3 3 3 9 5 45 + + + 2 log 5 = + + = 3 3 2 10 3 h) ( ) 4 18 2 3 2 6 4 1 2 = + 0 4 6  ´ log 2 log + 0 log 3 6 4 3 ´ log 2 log 2 + log 1 log 81 3 3 ´ log 64 log 8 3 2 1 2 2 3 1 2 2 2 1 2 - =   ´ -  =    = - 4 9 2 8  = ´ - 4  = - = - 18 2 18  2 Filipe Mathusso Lunavo Página 11 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 12. 3. Calcule o valor de y. Lembre-se que a c a c b b log = log Û = a) 512 8 32 ´ 16 log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ log y = log ⇒ log y = log 4 4 4 4 4 4 4 4 8 log log 64 64 4 4 ⇒ y = y = b) log log 27 log 27 log 10 2log 3 2 2 2 2 2 y = + + - ( ) = ´ - 2 ⇒ = - log log 27 10 log 3 log log 270 log 3 2 y y 2 2 2 2 2 2 ⇒ = - ⇒ = ¸ ⇒ = log y log 270 log 9 log y log 270 9 log y log 30 2 2 2 2 2 2 2 30 ⇒ y = c) log log 5 5 2 2 y = Û y = d) log log 8 8 15 15 y = Û y = e) log 1000 log lg 10 log 3 10 = y Û = y Û y = 1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 f) log log 7 7 1000 1000 y = Û y = g) lg y = lg 4Û y = 4 Lembre-se dos logaritmos de base 10. h) 1 2 1   = - Û = Û = - y - y - y y  3 3 3 Û = 2 log 8 3 2 3  1 2 1 = Û = Û 2 ´ 2 = 2 Û = Û = 1 i) log 3 3 3 2 9 9 y y y y y 2 2 j) log 216 = 3 Û (2 y )3 = 63 ⇒ (2 y )3 = 23 ´ 33 Û y = 3 2 y k) lg y = lg 3 + lg 5Û lg y = lg 3´ 5Û lg y = lg15Û y = 15 l) 7 2  4 + = Û - = Û = + Û = 3 Û =  y - y y y y 2 3 2 2 2 3 2 lg 2 3 2 lg (1) (2)   m) lg(5y + 9) = lg y + lg2Ûlg(5y + 9) = lg 2y Û5y + 9 = 2y Û5y - 2y = -9 3 9 Û 3y = -9Û y = - Û y = - 3 log 3 2y- 1 = log 8y 3 n) 4 3 5 5 3 1 1 ( ) ( ) y y Û 3 - 1 = 4 Û - = Û y - 1 = y Û - = 1 3 3 y y y y 3 4 1 3 1 3 1 2 8 2 2 4 2 3 3 24 4 Û y - y = Û y - y = Û - y = Û -y = ´ Û -y = /-1 5 12 5 4 12 4 12 5 12 4 12 9 12 4 12 1 3 3 4 1 3 (4) (3) (4) Filipe Mathusso Lunavo Página 12 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 13. Û = - 4 y 5 3 3 3 3 = Û y = Û y = ´ Û y 2 = 3 Û y = Û y = y 3 2 2 3 o) log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 ( ) 1 5  p) log y = 5Û 2 = y Û 2 = y Û 22 = y Û 25 = y Û 32 = y        2 2 4. Calcule: 1 lg 0,001 = a Û10a = Û a = -3 Û a = - q) 10 1000 3 1000 r) lg10000 = a Û10a = 104 Û a = 4 1 lg = a Û a = -2 Û a = - s) 10 100 2 100 5. Sendo log 3 3 a = - , log 4 3 b = e log 2 3 c = , determine: a) (ab) 3 log Resolução : log log 3 4 1 3 3 a + b = - + = ab b) 3 2 log c 3 3 3 a + b - c = - + - = - = - Resolução: log log log 2 3 4 22 1 4 3 c) a b 3 log + = - + log b = - + 4 = - 6 + 4 = - 2 = - 3 3 log log 3 3 Resolução: 1 2 2 2 3 2 a b 6. Sabendo que log a = 5 b e log c = -3 b determine o valor de : a) (ac) b log Resolução: log (ac) = log a + log c = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 b b b  c  a   c b log Resolução: 8 5 3 log log log - = - - = - =  b)    c a b b b a c) log 3 ac b Resolução: ( ) 2 3 + = 5 + - 3 log 3 = 3 log log = = ac a c ac b b b 3 log 3 b d) ( )4 log ac b Resolução: log ( )4 log 4 log 4 54 ( 3)4 (5 3)4 24 16 ac = a + c = + - = - = = b b b 7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos a) (a2b) log 2 Resolução: log (a 2 b) = log a 2 + log b = 2log a + log b 2 2 2 2 2 Filipe Mathusso Lunavo Página 13 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 14.  5  6 5 4 log p b)   5 5   Resolução: p p p 5 5 5 log =  + 6 = - + log log 5 log 4 6log 5 5 5 6 4 log 4  c) log 8 2   p p p l = + +  l  = + +    log 2 log 2 log log log 2 log 8 8 8 8 8 8 l g g g  l g l log 2 2 log 2 8 8 8 = ´p + ¸ = p + ´ = p + g l g 2 log 2 1 2 FUNÇÃO LOGARÍTMICA y = ax a〉0 Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (, e a ¹ 1 definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos por IR+ , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R ® R+ * ; y = ax , 0 a ≠ 1. Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay y = logax Portanto, a função logarítmica é então: f: R+ * ® R ; y = logax , 0 a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), para os casos a 1 e 0 a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x. 1 ( ) = log ; ( ) log ( 2) 6 f x = x - ; ( ) log (3 1) Exemplos: f x x 4 ( ) = log ; g x x 2 1 f x = x + 3 Gráfico da função logarítmica Vamos fazer o estudo da função f x x 3 ( ) = log construindo a tabela e respectivo gráfico. Filipe Mathusso Lunavo Página 14 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 15. Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: log x y y 3x 3 = Û = Tabela da função y = 3x Tabela da função x 3 log x y = 3x y 1 1 1 = x = - =  y 3 3 27 3  3 =   -3 3 27 -2 1 1 = x = - =   y 9  2 = 3 3 3  -1 1 1 = x = - =   y 3  1 = 3 3 3  0 y = 3x = 30 = 1 1 1 y = 3x = 31 = 3 3 2 y = 3x = 32 = 9 9 3 y = 3x = 33 = 27 27 Gráfico da função logarítmica 1 y 1 9 2 1 3 1 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x x 3 log y 1 27 1 1 log 3 3 3 3 33 3 x = - 27 = = 3 = - 3 1 9 1 1 log 3 3 3 2 32 2 x = - 9 = = 3 = - 3 1 3 1 1 log 3 3 3 1 31 1 x = - 3 = = 3 = - 3 1 log log 1 0 3 3 x = = 0 3 log log 3 1 3 3 x = = 1 9 log log 9 log 32 2 3 3 3 x = = = 2 3 3 3 x = = = 3 27 log log 9 log 33 3 Observando o gráfico, concluímos que: x -3 -2 -1 Domínio: Df = IR+ Contradomínio: D´ f = IR Zero da função: x = 1 A função é crescente A curva da função não intercepta o eixo das ordenadas. A função é positiva, isto é: f (x) 0; xÎ]1;+¥[ A função é negativa, isto é, f (x) 0; xÎ]0;1[ Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1. Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 0 a 1). 1 ( ) = log . Passando para forma de função exponencial teremos: Considere a função f x x 3 x   = 1 y   3 . Filipe Mathusso Lunavo Página 15 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 16. x x 3 x - 1 1  3 = =     =  = -3 3 27 2 x - 1 2  =  1 x - 1 1  =  1 x 0  =  1 x 1  =  1 y 3 1 x 2  =  1 y 9 1 x 3  =  1 y 27 3 2 1   = 1 y  y Tabelas -2 -1 0 1 2 3 Gráfico  3 y 3 3   y 27  = =  3 9 1 3 3    =  y 9  = =  3 3 1 3 3    =  y 3 1 1 3 3  =     =  y 1 1 3 1 3 3  =     =  1 9 1 3 3  =     =  1 27 1 3 3  =     =  -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 x 1 = log y x y x 3 27 1 -  y y =  3 «  1 3 3 3    =    1 - 9 2  y y =  2 «  1 3 3 3    =    1 - 3 1  y y =  1 «  1 3 3 3  =       1 = y « y = 1 log 1 0 3 1 3 1 1 1 = y « y = 3 log 3 1 9 y y   1  = «     =  1 3 3 1 3 1 9 2 1 27 y y 1   = «    =  1 3 3 1 3 1 27 3 A partir do gráfico, podemos constatar que: Domínio: Df = IR+ Contradomínio: D´ f = IR Zero de função: x = 1 A função é decrescente. 3 1 3    1 3    1 3     A curva da função de f não intercepta o eixo das ordenadas. -3 -2 -1 0 1 2 3 A função é positiva, isto é, f (x) 0; xÎ]0;1[ A função é negativa, isto é, f (x) 0; xÎ]1;+¥[ Filipe Mathusso Lunavo Página 16 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 17. As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial, e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos. Vamos denominar a função y = 3x como f (x) = 3x a logarítmica mantemos x 3 log Graficamente teremos 3 2 1 y f ( x ) = 3 x y = x -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 x x 3 log Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e do terceiro quadrante y=x. Portanto a função f (x) = 3x , é inversa da função x 3 log . Ainda, se 0 a 1 teremos os seguintes gráficos: Vamos denominar a função x   = 1 y   3 como x   = 1 ( ) a logarítmica mantemos x x f   3 1 log 3 y = (1/3)^x y y = log(1/3,x) y = x 4 3 2 1 -1 1 2 -1 x Filipe Mathusso Lunavo Página 17 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 18. Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira: O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é, (Df = IR) = (D´g = IR+ ) e (Dg = IR) = (D´ f = IR+ ). Isto acontece pelo facto destas funções serem inversas entre si. As funções f (x) e g(x) são crescentes para a 0 . As funções f (x) e g(x) são decrescentes para 0 a 1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO y (x b) a = log ± Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer a demonstração de apenas dois casos. Dadas as funções: f x x 2 ( ) = log , ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - y = log(2,x+1) y y = log(2,x-1) y = log(2,x) 3 2 1 · -3 -2 -1 1 2 3 4 5 · -1 -2 -3 x · Como podemos ver, os gráficos das funções ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - , surgem através da translação de b unidades para cima f x x 2 ( ) = log , se b for positivo e b unidades para baixo da função f x x 2 ( ) = log se b for negativo. Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos: As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios; Os seus domínios são iguais. Filipe Mathusso Lunavo Página 18 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 19. Os seus contradomínios também são iguais. Diferenças: Zero de função: Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 f x = x + , x=0 Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 g x = x - , x=2. Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1. 1 ( ) = log , ( ) log ( 1) Dadas as funções: f x x y = log(1/2,x) y y = log(1/2,x+1) y = log(1/2,x-1) 3 2 1 2 1 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 1 h x = x - -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 x 2 A diferença que agora encontramos, é de que todas as três funções são decrescentes, diferentemente no exemplo anterior. Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima Filipe Mathusso Lunavo Página 19 Logaritmo e Função Logarítmica
  • 20. Dadas as funções f x x 2 ( ) = log , g Para a função
  • 21. ( ): log 2 2 x + = Para a função ( ): log 2 2 x - =  x = - = x = - = x = x 2 = =  2 x = = x = = x = As funções
  • 22. ( ) ( ) são obtidas através da função negativas respectivamente. Agora vamos construir o gráfico da seguinte função Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica ( ) log 2 2 x = x + e ( ) log 2 2 h x = x - Todas as funções são crescentes; As funções são definidas para valores de x 0, isto é, o domínio de Df ,Dg As funções não intercepta o eixo das ordenadas, porque não estão definidas para x = 0. As funções interceptam o eixo das abcissas quando y = 0 (zeros de função) sendo:
  • 23. ( ), 0,25 e Podemos determinar os zeros da função da seguinte maneira: 1 2 log 2 2 2 2   log 2 22 4 1 = x = pela translação de 2 unidades positivas e f ( x ) = log x + 2 e ( ) log 1 2 1 g x = 2 Todas as funções são decrescentes As funções são definidas para valores de 0 b 1, isto é, o domínio ( As funções não interceptam o eixo das ordenadas (yy), porque não estão definidas para x=0. As funções interceptam o eixo das abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo: f (0), x = 4 e g Página 20 s Dg,Dh = IR+ . , 1, , 4 0,25 4 2 x - , D = IR+ f ) 1 g(0), x = ). 4
  • 24. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO Dadas as funções: ( ) log ( 2 f x = x + As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo maior que zero (0), acontecerá o que vai observar Dada as funções: f ( x ) = log ( 1 1 m x = x + - Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica 2 ( ) log ( 1) 2 2 · y (x b) c a = log ± + 1)+1; ( ) log ( 1) 2 2 g x = x + + ; ( ) log ( 2 h x = x ( ) log ( 1) 2 m x = x + Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes. Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), g(x), y=3; h(x), y= -1 e Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas 1 x = - ; g(x), função f(x), 2 x = 1 e m(x), x = 2 3 x = - ; h(x), é maior que 1 unidade mas se for memor que 1 e á nos gráficos a baixos. x +1)+1; ( ) log ( 1) 2 1 g x = x + + ; ( ) log ( 2 1 h x = x 2 Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em: Todos os gráficos são decrescentes; Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas função f(x), x = 1; g(x), 1 x = - e m(x), x 2 Página 21 +1)-1 e - 2 y= 1; m(x), y= -2. abcissas-xx): para a 4 +1)-1 e abcissas-xx): para a ; x = 3; h(x), 3 = - 4
  • 25. Filipe Mathusso Lunavo Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de Contabilidade Simplificada no 1º, 2º e Estaquinha Para quaisquer reclamação ou sugest phlipwilker@gmail.com Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica Sofala. Formado pela ADPP Escola de Matemática, Física, Informática na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha 3º ano. Também leccionou Matemática na Escola Secund (6ª e 7ª Classes) durante 3 anos. sugestão na melhoria deste texto, envie um correio electrónico para: Página 22 . e – Búzi, . Secundária São José de