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Função
Exponencial
Para aproveitar 100% dessa aula
          você precisa saber:
• Potenciação e Radiciação
•   Introdução às Funções
•   Função Afim
•   Função quadrática
•   Inequações do 1º e do 2º graus
O que você
 sabe sobre
   Função
exponencial?
Função exponencial
    É toda função na qual a variável aparece no
expoente. É definida por uma lei na forma
f(x) = ax + b, sendo a um número real, não-
negativo e diferente de 1.

   Exemplos:  f(x) = 5x

               y = (1,2)x

                           2
               g(x) = (       )x + 1
real

                                                   base       não negativa

                                   potência                   diferente de zero

              definição   função                   expoente      variável

                                   lei   f(x) = ax + b




  Função
Exponencial
Gráfico da Função Exponencial
   Se o valor da base for maior que 1, então a
função é crescente.
Gráfico da Função Exponencial
    Se o valor da base for entre zero e 1, então
a função é decrescente.
real

                                                      base       não negativa

                                   potência                      diferente de zero

              definição   função                      expoente      variável

                                   lei      f(x) = ax + b

                           a>0           função crescente
              gráfico
                           a<0           função decrescente
  Função
Exponencial
Exercício

  Para quais valores reais de m a função
y = (3m - 2)x é decrescente?
Exercício

  Para quais valores reais de m a função
y = (3m - 2)x é decrescente?
Solução
decrescente ⇒ a > 0 e a < 1
3m − 2 > 0      3m − 2 < 1
3m > 2          3m < 3
    2           m <1
m>
    3
            2
 Re sposta : < m < 1
            3
Equações exponenciais
   É a equação onde a variável aparece no
expoente.
Exemplos:
              a )4 = 32
                 x

                          x
                1
              b)  = 81
                3
                      x +1
              c)25            = 5   x


              d )2   2x
                          = 2 + 12
                               x
real

                                                            base       não negativa

                                          potência                     diferente de zero

              definição      função                         expoente      variável

                                         lei      f(x) = ax + b

                              a>0              função crescente
              gráfico
                              a<0              função decrescente
  Função
Exponencial                           equação         variável no expoente
               equações
              exponenciais
Como resolvemos uma
     Equação Exponencial?
  Basta reduzir os dois membros da equação
a potências de mesma base.
Exemplos:
          x −1
  A) 3           = 81
          x −1
      3          =3   4


      x −1 = 4
      x = 5 ⇒ S = { 5}
real

                                                             base       não negativa

                                          potência                      diferente de zero

              definição      função                          expoente      variável

                                          lei      f(x) = ax + b

                              a>0               função crescente
              gráfico
                              a<0               função decrescente
  Função
Exponencial                           equação          variável no expoente
               equações
                                                            reduzir membros a
              exponenciais
                                                         potências de mesma base
                                      resolução
x
   1 3
B)   = 4               C) 0,75 =
                                 x  9
   2                             16

  (2 )
                                     x
      −1 x
               = 2
                3    2       75      9
                                  =
               2
                             100    16
      −x
  2   =2 3                      x
                            3    9
       2                      =
  −x=                       4   16
       3                        x        2
                            3  3
       2                      = 
  x=−                       4  4
       3
                            x=2
       2
  S = −                   S = { 2}
       3
x 2 −5 x + 6
D) 0,1 = 1000
       x
                           E)   11                  =1
            x                        x 2 −5 x + 6
  1                           11                  = 11 0
    = 1000
   10                         x − 5x + 6 = 0
                                 2


  (10 )−1 x
                = 10   3
                                x1 = 2
  10   −x
            = 10   3
                                x2 = 3
  −x=3                          S = { 2,3}
  x = −3
  S = { − 3}
Tente fazer sozinho!

  Resolva a equação:

      2 x +1    3 x +1        x −1
  2        .4            =8
Solução
    2 x +1    3 x +1        x −1
2        .4            =8
2   2 x +1
         .2  ( )
               2 3 x +1
                              ( )
                            = 2    3 x −1

    2 x +1    6 x+2          3 x −3
2        .2            =2
    8 x +3         3 x −3
2            =2
8 x + 3 = 3x − 3
5 x = −6
     6       6
x = − ⇒ S = − 
     5       5
E se não puder reduzir
 os dois membros da
 equação a potências
   de mesma base?
Vamos usar
um artifício!!!
real

                                                             base         não negativa

                                          potência                        diferente de zero

              definição      função                          expoente        variável

                                          lei      f(x) = ax + b

                              a>0               função crescente
              gráfico
                              a<0               função decrescente
  Função
Exponencial                           equação          variável no expoente
               equações
                                                            reduzir membros a
              exponenciais
                                                         potências de mesma base
                                      resolução
                                                         usar artifício
A)       x+2           x −1
     2         − 3.2          = 20
     2 x .2 2 − 3.2 x .2 −1 = 20
                                     2 =y
                                       x
                1
     y.4 − 3. y. = 20
                2                    2 =8
                                      x

           3y
     4y −      = 20                  2 =2
                                      x     3

            2
                                     x=3
     8 y − 3 y = 40
                                     S = { 3}
     5 y = 40
     y =8
Tente fazer sozinho!

  Resolva a equação:

       2+ x
   3          + 3 .3 = 4
                 x
Solução
    2+ x
3          + 3 .3 = 4
               x


3 .3 + 3 .3 = 4
    2      x       x

                             3 =yx

9 y + 3y = 4
                                   1
                             3 =
                              x

12 y = 4                           3
                             3 x = 3−1
    4 1                      x = −1
y=   =
   12 3                      S = { − 1}
Inequações exponenciais
   É a inequação onde a variável aparece
no expoente.
Exemplos: a ) 4 x ≥ 128
                        x
              1
            b)  < 27
              3
                    x +1
            c)25            ≤ 5   x


            d )2   2x
                        > 2 + 12
                             x
real

                                                             base         não negativa

                                          potência                        diferente de zero

              definição      função                          expoente        variável

                                          lei      f(x) = ax + b

                              a>0               função crescente
              gráfico
                              a<0               função decrescente
  Função
Exponencial                           equação          variável no expoente
               equações
                                                            reduzir membros a
              exponenciais
                                                         potências de mesma base
                                      resolução
                                                         usar artifício

                                      inequação         variável no expoente
               inequações
              exponenciais
Como resolvemos uma
Inequação Exponencial?

    Usando as mesmas
   regras com as quais
resolvemos uma equação.
real

                                                             base         não negativa

                                          potência                        diferente de zero

              definição      função                          expoente        variável

                                          lei      f(x) = ax + b

                              a>0               função crescente
              gráfico
                              a<0               função decrescente
  Função
Exponencial                           equação          variável no expoente
               equações
                                                            reduzir membros a
              exponenciais
                                                         potências de mesma base
                                      resolução
                                                         usar artifício

                                      inequação         variável no expoente
               inequações
                                                            reduzir membros a
              exponenciais
                                                         potências de mesma base
                                      resolução
                                                         usar artifício
x +1
A) 25          ≤ 5       x
                                          B) 2 2 x < 2 x + 12

  (5 )
    2 x +1
               ≤5
                     x
                         2                     (2 )
                                                 x 2
                                                       < 2 + 12
                                                          x

                                  2 =y
                                  x
                 x                             y 2 < y + 12
  52 x + 2 ≤ 5       2
                             2 <4
                              x

                                               y − y − 12 < 0
                                                2
           x                 2 <2
                              x       2
  2x + 2 ≤                                     y 2 − y − 12 = 0
           2                 x<2
  4x + 2 ≤ x                              y1 = −3
                             S = ] − ∞,2[
  3x ≤ 2                                       y2 = 4

     2           2
  x ≤ ⇒ S =  − ∞, 
     3           3
Tente fazer sozinho!
(Vunesp - SP) É dada a inequação
                                x −1   x −3
                      3
                            x
               3  ≥     2
                      9
                
  O conjunto verdade, considerando o conjunto
universo como sendo o dos reais, é dado por:
a)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 ou x ≥ 2}
b)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 e x ≥ 2}
c)V = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 2}
d )V = { x ∈ R / x ≤ − 3}
e)V = { x ∈ R / x ≥ 2}
Tente fazer sozinho!
(Vunesp - SP) É dada a inequação
                                x −1   x −3
                      3
                            x
               3  ≥     2
                      9
                
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universo como sendo o dos reais, é dado por:
a)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 ou x ≥ 2}
b)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 e x ≥ 2}
c)V = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 2}
d )V = { x ∈ R / x ≤ − 3}
e)V = { x ∈ R / x ≥ 2}
Solução
               x −1            x −3
      x
                      3              x2 − x
3

       2   
                     ≥                      = −x + 3
                     9                 2
       x2 − x
                   1
                             x −3
                                        x − x = −2 x + 6
                                         2

( 3)     2        ≥ 
                   3                  x2 + x − 6 = 0
                      ( )
       x2 − x
( 3)     2        ≥ 3   −1 x −3         x1 = −3
       x2 − x                           x2 = 2     +                +
( 3)     2        ≥ ( 3)
                           − x +3
                                                       -3       2
                                                            -



   S = { x ∈ R / x ≤ −3 ou x ≥ 2} ⇒ letra A
O que vimos nessa aula:
• O que é função exponencial

• Como é o gráfico da função exponencial

• Como resolver equações exponenciais
  (com e sem artifício)

• Como resolver inequações exponenciais.
Bibliografia
• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
  e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora
  Ática – SP. Páginas: 194 a 223.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
  Roberto; Degenszajn, David – Matemática
  (volume único). 4ª edição – 2007. Editora
  Atual – SP. Páginas: 86 a 102.
• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval –
  Curso de Matemática. 3ª edição – 2003.
  Editora Moderna – SP. Páginas: 123 a 131.

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www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Função Exponêncial

  • 2. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: • Potenciação e Radiciação • Introdução às Funções • Função Afim • Função quadrática • Inequações do 1º e do 2º graus
  • 3. O que você sabe sobre Função exponencial?
  • 4. Função exponencial É toda função na qual a variável aparece no expoente. É definida por uma lei na forma f(x) = ax + b, sendo a um número real, não- negativo e diferente de 1. Exemplos:  f(x) = 5x  y = (1,2)x 2  g(x) = ( )x + 1
  • 5. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b Função Exponencial
  • 6. Gráfico da Função Exponencial Se o valor da base for maior que 1, então a função é crescente.
  • 7. Gráfico da Função Exponencial Se o valor da base for entre zero e 1, então a função é decrescente.
  • 8. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial
  • 9. Exercício Para quais valores reais de m a função y = (3m - 2)x é decrescente?
  • 10. Exercício Para quais valores reais de m a função y = (3m - 2)x é decrescente?
  • 11. Solução decrescente ⇒ a > 0 e a < 1 3m − 2 > 0 3m − 2 < 1 3m > 2 3m < 3 2 m <1 m> 3 2 Re sposta : < m < 1 3
  • 12. Equações exponenciais É a equação onde a variável aparece no expoente. Exemplos: a )4 = 32 x x 1 b)  = 81 3 x +1 c)25 = 5 x d )2 2x = 2 + 12 x
  • 13. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial equação variável no expoente equações exponenciais
  • 14. Como resolvemos uma Equação Exponencial? Basta reduzir os dois membros da equação a potências de mesma base. Exemplos: x −1 A) 3 = 81 x −1 3 =3 4 x −1 = 4 x = 5 ⇒ S = { 5}
  • 15. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial equação variável no expoente equações reduzir membros a exponenciais potências de mesma base resolução
  • 16. x 1 3 B)   = 4 C) 0,75 = x 9 2 16 (2 ) x −1 x = 2 3 2  75  9   = 2  100  16 −x 2 =2 3 x 3 9 2   = −x= 4 16 3 x 2 3 3 2   =  x=− 4 4 3 x=2  2 S = −  S = { 2}  3
  • 17. x 2 −5 x + 6 D) 0,1 = 1000 x E) 11 =1 x x 2 −5 x + 6 1 11 = 11 0   = 1000  10  x − 5x + 6 = 0 2 (10 )−1 x = 10 3 x1 = 2 10 −x = 10 3 x2 = 3 −x=3 S = { 2,3} x = −3 S = { − 3}
  • 18. Tente fazer sozinho! Resolva a equação: 2 x +1 3 x +1 x −1 2 .4 =8
  • 19. Solução 2 x +1 3 x +1 x −1 2 .4 =8 2 2 x +1 .2 ( ) 2 3 x +1 ( ) = 2 3 x −1 2 x +1 6 x+2 3 x −3 2 .2 =2 8 x +3 3 x −3 2 =2 8 x + 3 = 3x − 3 5 x = −6 6  6 x = − ⇒ S = −  5  5
  • 20. E se não puder reduzir os dois membros da equação a potências de mesma base?
  • 22. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial equação variável no expoente equações reduzir membros a exponenciais potências de mesma base resolução usar artifício
  • 23. A) x+2 x −1 2 − 3.2 = 20 2 x .2 2 − 3.2 x .2 −1 = 20 2 =y x 1 y.4 − 3. y. = 20 2 2 =8 x 3y 4y − = 20 2 =2 x 3 2 x=3 8 y − 3 y = 40 S = { 3} 5 y = 40 y =8
  • 24. Tente fazer sozinho! Resolva a equação: 2+ x 3 + 3 .3 = 4 x
  • 25. Solução 2+ x 3 + 3 .3 = 4 x 3 .3 + 3 .3 = 4 2 x x 3 =yx 9 y + 3y = 4 1 3 = x 12 y = 4 3 3 x = 3−1 4 1 x = −1 y= = 12 3 S = { − 1}
  • 26. Inequações exponenciais É a inequação onde a variável aparece no expoente. Exemplos: a ) 4 x ≥ 128 x 1 b)  < 27 3 x +1 c)25 ≤ 5 x d )2 2x > 2 + 12 x
  • 27. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial equação variável no expoente equações reduzir membros a exponenciais potências de mesma base resolução usar artifício inequação variável no expoente inequações exponenciais
  • 28. Como resolvemos uma Inequação Exponencial? Usando as mesmas regras com as quais resolvemos uma equação.
  • 29. real base não negativa potência diferente de zero definição função expoente variável lei f(x) = ax + b a>0 função crescente gráfico a<0 função decrescente Função Exponencial equação variável no expoente equações reduzir membros a exponenciais potências de mesma base resolução usar artifício inequação variável no expoente inequações reduzir membros a exponenciais potências de mesma base resolução usar artifício
  • 30. x +1 A) 25 ≤ 5 x B) 2 2 x < 2 x + 12 (5 ) 2 x +1 ≤5 x 2 (2 ) x 2 < 2 + 12 x 2 =y x x y 2 < y + 12 52 x + 2 ≤ 5 2 2 <4 x y − y − 12 < 0 2 x 2 <2 x 2 2x + 2 ≤ y 2 − y − 12 = 0 2 x<2 4x + 2 ≤ x y1 = −3 S = ] − ∞,2[ 3x ≤ 2 y2 = 4 2  2 x ≤ ⇒ S =  − ∞,  3  3
  • 31. Tente fazer sozinho! (Vunesp - SP) É dada a inequação x −1 x −3   3 x 3  ≥   2   9   O conjunto verdade, considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por: a)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 ou x ≥ 2} b)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 e x ≥ 2} c)V = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 2} d )V = { x ∈ R / x ≤ − 3} e)V = { x ∈ R / x ≥ 2}
  • 32. Tente fazer sozinho! (Vunesp - SP) É dada a inequação x −1 x −3   3 x 3  ≥   2   9   O conjunto verdade, considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por: a)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 ou x ≥ 2} b)V = { x ∈ R / x ≤ − 3 e x ≥ 2} c)V = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 2} d )V = { x ∈ R / x ≤ − 3} e)V = { x ∈ R / x ≥ 2}
  • 33. Solução x −1 x −3  x  3 x2 − x 3  2   ≥  = −x + 3   9 2 x2 − x 1 x −3 x − x = −2 x + 6 2 ( 3) 2 ≥  3 x2 + x − 6 = 0 ( ) x2 − x ( 3) 2 ≥ 3 −1 x −3 x1 = −3 x2 − x x2 = 2 + + ( 3) 2 ≥ ( 3) − x +3 -3 2 - S = { x ∈ R / x ≤ −3 ou x ≥ 2} ⇒ letra A
  • 34. O que vimos nessa aula: • O que é função exponencial • Como é o gráfico da função exponencial • Como resolver equações exponenciais (com e sem artifício) • Como resolver inequações exponenciais.
  • 35. Bibliografia • Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 194 a 223. • Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 86 a 102. • Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 123 a 131.