O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Este documento contém quatro gabaritos de provas de matemática realizadas no Colégio Naval em 2011/2012. Cada gabarito lista as questões e suas respectivas alternativas corretas. Além disso, um dos gabaritos é comentado, explicando a resolução de algumas questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria espacial. As questões abordam tópicos como poliedros regulares, volumes de sólidos geométricos e propriedades de figuras planas e espaciais.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Este documento contém quatro gabaritos de provas de matemática realizadas no Colégio Naval em 2011/2012. Cada gabarito lista as questões e suas respectivas alternativas corretas. Além disso, um dos gabaritos é comentado, explicando a resolução de algumas questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria espacial. As questões abordam tópicos como poliedros regulares, volumes de sólidos geométricos e propriedades de figuras planas e espaciais.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria espacial como posições relativas de retas e planos, projeções ortogonais, poliedros e suas propriedades, além de prisma e pirâmides.
2) Inclui definições, exemplos e fórmulas para cálculo de área total, volume e diagonal de poliedros regulares como cubo, paralelepípedo retângulo e tetraedro regular.
3) Fornece detalhes sobre elementos, classificação e propriedades de prisma e pirâmides como f
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosEverton Moraes
Este documento apresenta questões sobre geometria espacial, incluindo conceitos como retas, planos, paralelismo, perpendicularidade e suas relações. As questões abordam a determinação de retas e planos a partir de pontos, as propriedades geométricas de figuras no espaço como cubos, e identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre os conceitos apresentados.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricasOtávio Sales
Escola Nova Criança - Monte Santo de Minas - Maio de 2015. Resolução de várias expressões, o arquivo é excelente.
Há centenas de expressões numéricas bem resolvidas.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
O documento contém:
1) Um texto de apresentação de um professor de matemática e uma citação;
2) Dez questões de matemática resolvidas, com explicações passo a passo;
3) O nome do professor e a nota final de 6/10.
O documento contém:
1) Um texto de introdução com uma citação de Mahatma Gandhi;
2) Nove questões de matemática resolvidas, com enunciados, soluções e respostas;
3) Informações sobre o professor Fabrício Maia e a disciplina de matemática.
Este documento contém resoluções de questões de matemática do 3o ano do ensino médio. As questões abordam tópicos como geometria plana e espacial, funções, porcentagem, estatística e probabilidade. As resoluções variam de uma a três frases e fornecem as etapas essenciais para chegar à resposta correta de cada questão.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
1) O documento apresenta os conceitos de função exponencial e logarítmica, incluindo suas definições, gráficos e propriedades.
2) É dado um exemplo numérico de cálculo de logaritmo e outro de aplicação de logaritmo na resolução de um problema de juros compostos.
3) São fornecidos exercícios sobre esboço de gráficos, resolução de equações exponenciais e cálculo de logaritmos para fixação dos conceitos apresentados.
Este documento fornece um resumo de conceitos fundamentais de matemática, incluindo:
(1) Produtos notáveis e fatoração;
(2) Equações do 1o e 2o grau e suas resoluções;
(3) Progressões aritméticas e geométricas.
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
O documento descreve o binômio de Newton, definindo-o como um binômio da forma (a + b)n, onde n é um número natural. Ele apresenta exemplos do desenvolvimento de binômios para diferentes valores de n, mostrando a fórmula para o termo genérico e regras para calcular os coeficientes. Exercícios resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar termos específicos ou propriedades do desenvolvimento.
O documento fornece informações sobre sentenças matemáticas, equações do 1o e 2o grau, resolução de equações e áreas de polígonos. Explica que sentenças podem ser verdadeiras ou falsas e abertas ou fechadas, define conjuntos universo e verdade. Apresenta a fórmula geral para resolução de equações do 2o grau e fórmulas para cálculo de áreas de retângulo, quadrado, triângulo, losango e trapézio.
Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Fundamental – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
O documento apresenta exemplos resolvidos de logaritmos, incluindo determinar valores de logaritmos usando a definição e propriedades, e exercícios resolvidos sobre logaritmos.
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]AUTONOMO
O documento apresenta os conceitos de determinantes e sistemas lineares. Em três frases: (1) Determinantes são números associados a matrizes quadradas que fornecem propriedades algébricas dessas matrizes; (2) Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que podem ser representadas em forma matricial; (3) O método de Cramer é apresentado para resolver sistemas lineares normais através do cálculo de determinantes.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
O documento apresenta os principais tópicos sobre logaritmos, incluindo a definição, propriedades, exemplos de cálculo e exercícios resolvidos. Os tópicos centrais são: a definição de logaritmo, as propriedades como logaritmo de produto, quociente e potência, e a mudança entre bases diferentes.
1) O documento apresenta 7 exercícios e 1 desafio de álgebra envolvendo logaritmos e funções trigonométricas.
2) Fornece as alternativas de resposta para cada questão com uma letra de a-e.
3) Abaixo das questões, há um "Gabarito" que indica a resposta correta para cada uma delas.
Semelhante a Mat 140 questoes resolvidas vol i (20)
Este documento apresenta o terceiro fascículo do Procefet-2008, que contém questões comentadas e resolvidas do Exame de Seleção Técnico de Nível Médio de 2006, além de um simulado com questões de Português, Matemática, Cidadania e uma proposta de produção textual. O fascículo destaca a importância de organizar o tempo de estudo e buscar ajuda quando tiver dúvidas.
O documento discute o problema do lixo eletrônico e como ele é gerenciado. Em três frases:
O lixo eletrônico está se acumulando em grandes quantidades e pode ser reutilizado, exportado ilegalmente para países em desenvolvimento ou incinerado, liberando substâncias tóxicas. A melhor solução é promover o design verde e a produção de eletrônicos livres de substâncias tóxicas.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
O documento fornece informações sobre diversos tópicos relacionados ao vestibular. Resume os principais pontos sobre eletroquímica, biologia, matemática, corrupção na educação, cotas raciais e organização do ENEM.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
O documento é um jornal que discute assuntos relacionados ao vestibular, incluindo literatura, português, redação e ciências. Ele fornece informações sobre professores que ensinam esses assuntos e sobre um estudo que mostra que aumentar a carga horária de aulas melhora o aprendizado dos alunos.
1) O documento apresenta os principais conceitos da lógica matemática, incluindo noções de proposições, tabela verdade, operações lógicas e conectivos.
2) São definidos proposições simples e compostas, valores lógicos verdadeiro e falso, e apresentadas as regras para construção de tabelas verdade.
3) São explicados os principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional - e suas respectivas tabelas verdade.
Este documento fornece informações sobre o curso de Trigonometria e Números Complexos oferecido pela Universidade do Sul de Santa Catarina (Unisul). Ele apresenta os créditos do curso, a ementa, os objetivos gerais e específicos, a carga horária e a equipe responsável pelo curso.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento fornece informações sobre:
1) O professor Avelino discutirá projeções cartográficas;
2) O professor Bruno Balbino descreverá o imperialismo;
3) O professor Blênio Marcos definirá fontes de energia.
Trigonometria estuda o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Explica como a trigonometria permite medir distâncias que não são diretamente acessíveis, como a distância da Terra à Lua, e é usada em engenharia, cartografia e outras áreas. Apresenta as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente, e descreve suas características e como representá-las graficamente.
O documento é um jornal que discute diversos tópicos relacionados a vestibulares e educação, incluindo: 1) Uma professora de inglês que simplifica a língua; 2) Um professor de espanhol que faz interpretação de textos; 3) Mudanças propostas no Enem de 2009 para evitar vazamentos; 4) O programa de distribuição de computadores para professores.
O documento apresenta técnicas algébricas como fatoração, frações algébricas e racionalização para resolver equações. Inclui exemplos de fatoração de expressões, diferença de quadrados, trinômio perfeito e exercícios para praticar estas técnicas.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento apresenta o planejamento de uma recuperação final de Matemática para alunos do 8o ano do Colégio Visconde de Porto Seguro. O planejamento inclui um roteiro de estudos, listas de exercícios, revisão dos principais conteúdos, aulas para tirar dúvidas e uma prova de recuperação.
1) O documento apresenta exemplos de cálculos matemáticos elementares como frações, porcentagem e regra de três utilizados em operações comuns na engenharia civil, como cálculo de materiais para construção.
2) São fornecidos cinco exemplos de problemas para serem resolvidos utilizando os conceitos apresentados, incluindo cálculo de quantidade de tijolos e custo de obra, áreas de piso e grama, fabricação de escadas e dosagem de concreto.
3) A tabela de Custo Unitário
O documento resume a prova de matemática aplicada na Universidade Federal do Paraná (UFPR). De modo geral, a prova manteve o alto nível de qualidade usual da instituição, com boa distribuição de assuntos e nível de dificuldade ligeiramente maior do que no ano anterior, o que contribui para a qualidade do processo seletivo. A prova premiará os alunos que estudaram com seriedade ao longo do ano.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
1. Professor: Fabrício Maia
Matemática
140 questões resolvidas
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
“A força não provém da capacidade física e sim de uma vontade indomável”
(Mahatma Gandhi)
01 Os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x – 1 são:
A) – 1 e 3 D) 0 e – 1
B) – 1 e 2 E) 0 e 2
C) – 3 e – 1
Solução:
⎧ y = x 2 + bx
Temos: ⎨ y = x − 1
⎩
x 2 + bx = x − 1
Comparando:
x 2 + (b − 1) x + 1 = 0
Como as equações têm um único ponto comum, então:
Δ=0
(b − 1)2 − 4 ⋅ 1⋅ 1 = 0
(b − 1)2 = 4
Daí: b − 1 = 2 → b = 3 ou b − 1 = −2 → b = −1
Resposta: A
02 Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g (2 – x) é:
A) x > 0 D) x > 1,5
B) x > 0,5 E) x > 2
C) x > 1
Solução:
Temos:
f(x) > g(2 –x)
4x + 1 > 42 – x
(base > 1)
Daí: x + 1 > 2 –x
1
2x > 1 → x >
2
Resposta: B
03 log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a:
A) 1 D) 10
B) 3 E) 1.000
C) 5
Solução:
Lembre: logb + logc = logb⋅c
a a a
Temos: log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 = log 100000 = log 105 = 5
Soma = 5
Resposta: C
5
2. Matemática Professor: Fabrício Maia
04 Utilizando a tabela abaixo, conclui-se que 5 371.293 é igual a:
A) 11 N log N
B) 13
9 0,95
C) 14 11 1,04
D) 15 13 1,11
E) 17 15 1,18
17 1,23
... ...
371.293 5,55
Solução:
Tomando: n = 5
371.293
1
Daí: log n = log 5
371.293 → log n = log (371. 293) 5
1 1
log n = ⋅ log371.293 (veja tabela) → log n = ⋅ 5,55 → log n = 1,11 (veja tabela)
5 5
logo: n = 13
Resposta: B
05 O número de pontos de interseção dos gráficos de y = 3 logx e de y = log 9x, sendo x > 0, é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
{
Sabemos :
y = 3 ⋅ logx
Temos: y = log 9x f(x) = loga
x
(x > 0 e 0 < a ≠ 1)
Comparando:
3 ⋅ log x = log9x
log x 3 = log9x
Daí: x 3 = 9x
x 3 − 9x = 0
x(x 2 − 9) = 0
x = 0(n.s) ou x 2 − 9 = 0 → x = 3 ou x = −3(n.s)
Resposta: B
⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞
⎜ 2 ⎟+ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
06 A equação =1
⎛k + 2⎞
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
A) não admite soluções.
B) admite uma solução entre 1 e 5.
C) admite uma solução entre 5 e 12.
D) admite uma solução entre 12 e 20.
E) admite uma solução maior que 20.
Solução:
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
Lembre: ⎜ p ⎟ + ⎜ p + 1⎟ = ⎜ p + 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2 ⎞
Daí: ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
3. Professor: Fabrício Maia
Matemática
⎛ k + 2⎞
Substituindo: ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
=1
⎛ k + 2⎞
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
⎛ k + 2⎞ ⎛ k + 2⎞
⎜ 3 ⎟=⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
logo: 3 + 5 = k + 2 → k = 6
Resposta: C
07 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (1 + x2 – x3)9 é:
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4
Solução:
Sabemos:
Se p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, com an ≠ 0, a soma dos coeficientes do polinômio é dada por p(1).
Assim: A soma dos coeficientes de (1 + x2 – x3)9 é dada por: Scoef. =(1 + 12 – 13)9 = (1 + 1 – 1)9 = 1
Resposta: C
08 Encontre o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (x2 + 2x + 1)4.
Solução:
Lembre:
⎛n⎞
Termo geral: Tp +1 = ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp
⎝p⎠
Temos: (x + 2x + 1)4 = [(x + 1)2]4 = (x +1)8
2
⎛ 8 ⎞ 8−p p
Termo geral: Tp+1 = ⎜ p ⎟ ⋅ x ⋅ 1
⎝ ⎠
Queremos: 8 – p = 2 → p = 6
⎛8⎞ 2 6
Daí: T7 = ⎜ 6 ⎟ ⋅ x ⋅ 1 = 28x
2
⎝ ⎠
Resposta: 28
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
09 Calcule n sabendo que ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solução:
⎛n ⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
Lembre: ⎜ 0 ⎟ + ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 2
n
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛n⎞ ⎛n ⎞ ⎛n⎞
Daí: ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
144443
44244
⎛n ⎞
2n − ⎜ ⎟
⎝0⎠
Agora: 2n – ⎛ ⎞ = 8 ⋅ 191
n
⎜0⎟
⎝ ⎠
2n − 1 = 8.191
2n = 8.192
2n = 213 → n = 13
Resposta: 13
7
4. Matemática Professor: Fabrício Maia
10 O número total de pares (x, y) que satisfazem a equação (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 é:
A) infinito B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
Solução:
Se a,b ∈ 1 e n é par, então :
an + bn = 0 ⇔ a = b = 0
Temos: (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0
⎧x2 + y2 − 1 = 0
Daí: ⎨
⎩ xy = 0 → x = 0 ou y = 0
se x = 0 → y 2 = 1 → y = ±1
se y = 0 → x 2 = 1 → x = ±1
pares : (0,1),(0, −1),(1,0),( −1,0)
Resposta: E
11 A parábola de equação y = x2 – 6 tem vértice M e corta o eixo x nos pontos A e B. Qual a área do triângulo
ABM?
A) 1 B) 6 C) 6 D) 6 6 E) 12 6
Solução:
Lembre: f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0
b
Coordenadas do vértice: x v = −
2a
Δ
yv = − ou y v = f(x v )
4a
Temos:
– Coordenadas do vértice:
y = x2 – 6
−0
xv = → xv = 0
2 ⋅1
y v = 02 − 6 → y v = −6
Então: M(0; –6)
– Pontos de interseção com o eixo x:
x 2 − 6 =→ x = 6 ou x = − 6
A( − 6; 0) e B( 6, 0)
Logo, a área do ΔABM é dada por:
1
Área = | DABM |
2
0 −6 1
| DABM |= 6 0 1 = 12 6
− 6 0 1
1
Área: ⋅ 12 6 = 6 6 u.a
2
Resposta: D
4
12 A distância do vértice da parábola y = (x – 2)(x – 6) à reta y = x +5 é:
3
72 29 43 43
A) B) C) 43 D) E)
25 25 25 5
8
5. Professor: Fabrício Maia
Matemática
Solução:
I) f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0
Coordenadas do vértice: ⎧ x = x1 + x 2
⎪ v
⎨ 2
⎪ y v = f(x v )
⎩
II) Distância de um ponto a uma reta.
ax + by + c = 0
| ax 0 + by 0 + c |
dp,r =
a2 + b2
r P(xo, y o)
Temos: y = (x − 2) ⋅ (x − 6) → parábola
raízes : 2 e 6
2+6
xv = =4
2
y v = f(4) = (4 − 2) ⋅ (4 − 6) = 2 ⋅ ( −2) = − 4
Distância do vértice à reta:
4x – 3y + 15 = 0
| 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −4) + 15 |
d=
42 + ( −3)2
d = ??? 43
d=
5
(4, – 4)
Resposta: E
13 Resolvendo a inequação log1/2(2x + 1) > log1/2(– 3x + 4), obtemos:
1 4 4 3 1 3 3 4
A) − <x< B) 0 < x < C) x < D) − <x< E) <x<
2 3 3 5 2 5 5 3
Solução:
Lembre: loga > loga → x < y
x y
(0 < base < 1)
Temos: log 1 (2x + 1) > log 1 ( −3x + 4)
2 2
⎧ 3
Então: ⎪2x + 1 < −3x + 4 → 5x < 3 → x <
5
⎪
⎪ 1
⎨2x + 1 > 0(C.E) → x > −
⎪ 2
⎪ −3x + 4 > 0 (C.E) → x < 4
⎪
⎩ 3
9
6. Matemática Professor: Fabrício Maia
Interseção (I) (III)
3 4
5 3
(II) (I) Δ (II) Δ (III)
−1 −1 3
2 2 5
Resposta: D
14 Se o número complexo z = 1 – i é uma das raízes da equação x10 – a = 0, o valor de a é:
A) 16 B) 32 C) 64 D) – 16i E) – 32i
Solução:
Temos: x10 = a, se z é raiz, então z10 = a.
Daí: a = (1 − i)10
a = [(1 − i)2 ]5
a = ( −2i)5
a = −32i5 → a = −32i
Resposta: E
15 A reta y = ax + 1 intercepta a curva x2 + 4y2 = 1 somente num ponto. Calcule 8a2.
Solução:
⎧y = ax + 1
Temos: ⎨ 2
⎩x + 4y = 1
2
Substituindo (I) em (II): x 2 + 4(ax + 1)2 = 1
x 2 + 4a2x 2 + 8ax + 4 − 1 = 0
x 2 (1 + 4a2 ) + 8ax + 3 = 0 (Equação do 2o grau)
Condição:
Δ = 0 (única solução)
Daí: (8a)2 − 4 ⋅ (1 + 4a2 ) ⋅ 3 = 0
64a2 − 12 − 48a2 = 0
16a2 = 12
8a2 = 6
Resposta: 6
16 A condição para que o trinômio mx2 + (m + 1)x + 1 seja sempre positivo, qualquer que seja x, é que:
A) m > 0
B) (m + 1)2 + 4m < 0
C) (m − 1)2 ≤ 0
D) m ≠ 1,m > 0
E) não há valores de m tais que o trinômio proposto, qualquer que seja x, se torne sempre positivo.
Solução:
Devemos ter:
+ + + + + +
{
Δ<0
a>0
1ª condição: a > 0 → m > 0
2ª condição: Δ < 0 → (m + 1) − 4 ⋅ m ⋅ 1 < 0 →
2
→ m + 2m + 1− 4m < 0 → m2 − 2m + 1 < 0 →
2
→ (m − 1)2 < 0(absurdo, pois,(m − 1)2 ≥ 0, ∀m ∈ 1 )
Resposta: E
10
7. Professor: Fabrício Maia
17 Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução de f[f(x)] = 3, é:
Matemática
A) {1} B) {2} C) {3} D) {1, 2, 3} E) vazio
Solução: A A
Temos:
1 1
2 2 se x = 1 → f(f(1)) = f(3) = 2 → f(f(1)) = 2(n.s)
3 3 se x = 2 → f(f(2)) = f(1) = 3 → f(f(2)) = 3(OK)
se x = 3 → f(f(3)) = f(2) = 1 → f(f(3)) = 1(n.s)
S = {2}
Resposta: B
6S
18 Seja S a soma, em radianos, das raízes da equação 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0, x ∈[0, π]. Calcule .
π
Solução:
⎛ p +q⎞ ⎛ p −q ⎞
Fórmula de Werner: cosp + cosq = 2cos ⎜ cos ⎜
⎝ 2 ⎟
⎠ ⎝ 2 ⎠
⎟
⎧ ⎛x⎞ ⎛x⎞
Temos: ⎪ 1+ cos x = cos0 + cos x = 2cos ⎜ ⎟ ⋅ cos ⎜ ⎟
⎪ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎨
⎪ cos2x + cos3x = 2cos ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞
⎪ ⎜ 2 ⎟ cos ⎜ 2 ⎟
⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞
Então: 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ + 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = 0
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛x⎞ ⎡ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎤
2cos ⎜ ⎟ ⋅ ⎢cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎥ = 0
⎝ 2⎠ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞
2cos ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ cos ( − x) = 0
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞
4 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ cos(x) = 0
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
x x π
Daí: cos = 0 → = + kπ → x = π + 2kπ
2 2 2
ou
3x 3x π π 2kπ
cos =0→ = + kπ → x = +
2 2 2 3 3
ou
π
cos x = 0 → x = = kπ
2
π π
se k = 0 → x = π, ou
3 2
se k = 1, 2, 3, ... → raízes já encontradas ou fora do intervalo dado.
π π
Raízes: π, ,
2 3
π π 6 π + 3π + 2π
Soma das raízes = S = π + + =
2 3 6
11π
S=
6
6S
Logo : = 11
π
Impor tan te :
cos( − x) = cos(x), ∀x ∈ Df
Resposta: 11
11
8. Matemática Professor: Fabrício Maia
3 x(1 − x)
19 A função f(x) = x− é crescente, para todo x pertencente a:
2 4
⎡ 25 ⎞ ⎡ 25 ⎞ ⎡ 5 ⎞ ⎡ 5⎞
A) ⎢− , +∞ ⎟ B) ⎢− , +∞ ⎟ C) ⎢− , +∞ ⎟ D) ⎢ −∞, ⎟ E) 1
⎣ 16 ⎠ ⎣ 4 ⎠ ⎣ 2 ⎠ ⎣ 4⎠
Solução:
3 x – x2
Temos: f(x) = x−
2 4
6x − x + x 2
f(x) =
4
x 2 + 5x
f(x) =
4
1 2 5
f(x) = x + x
4 4
Parábola
crescente
5
−
5
xv = 4 = −
1 2
2⋅
4
f é crescente ∀ x ≥ − 5
2
Resposta: C
20 Se p e q são raízes não-nulas de x2 + 5px – 8q = 0, calcule p + q.
Solução:
Girard
{x1 + x 2 = −5p
x1 ⋅ x 2 = −8q
Daí:
{p + q = −5q
p ⋅ q = −8q
2ª equação
p ⋅ q = −8q (como q é diferente de zero)
Temos:
p = −8
Logo :
p + q = −5p
p + q = −5 ⋅ ( −8)
p + q = 40
Resposta: 40
21 Quantos valores inteiros satisfazem a inequação (2x – 7) (x – 1) ≤ 0.
A) zero B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
12
9. Professor: Fabrício Maia
Matemática
Estudo do sinal
Solução:
– – – + + +
7
2
– – – + + +
1
+ + – – + +
produto
1 7
2
Inteiros: 1, 2, 3
Resposta: D
22 Sobre a equação 1.983x2 – 1.984x – 1.985 = 0, a afirmativa correta é:
A) não tem raízes. D) tem duas raízes positivas.
B) tem duas raízes simétricas. E) tem duas raízes negativas.
C) tem duas raízes reais distintas.
Solução:
Temos: Δ = B2 − 4ac
Δ = ( −1984)2 − 4.1983 ⋅ ( −1985)
Δ = 1984 2 + 4.1983 ⋅ 1985
Então :
Δ > 0 → raízes reais e distintas
Resposta: C
23 Seja f uma função real tal que f (x + 1) = (f (x))2 e f (0) = 10. Então f (4) é igual a:
A) 1016 B) 100 C) 10258 D) 101 E) 121
Solução:
Temos que:
f(x + 1) = [f(x)]2
se x = 0 → f(1) = [f(0)]2 → f(1) = 102
se x = 1 → f(2) = [f(1)]2 → f(2) = 104
se x = 2 → f(3) = [f(2)]2 → f(3) = 108
se x = 3 → f(4) = [f(3)]2 → f(4) = 1016
Resposta: A
24 Se o domínio da função f, definida por f(x) = 1 – 2x, é o intervalo ]–3, 2], então Imf é:
A) ]–7, 3] B) [–3, 7[ C) ]–3, 7] D) [–3, 5[ E) ]–3, 3]
Solução:
1− y
Temos: y = 1 − 2x → x =
2
Veja: x ∈] − 3,2]
Então: −3 < x ≤ 2
Agora :
1− y
−3 < ≤2
2
−6 < 1 − y ≤ 4
−7 < − y ≤ 3
7 > y ≥ −3
ou
−3 ≤ y < 7 → y ∈ [−3,7[
Resposta: B
13
10. Matemática Professor: Fabrício Maia
25 Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, ∀x ∈ 1 , então f(1 – x) vale:
A) 2 – x2 B) 2 + x2 C) x2 + 2x – 4 D) 3x2 – 2x + 4 E) x2 + x – 1
Solução:
k−3
Tomando: 2x + 3 = k → x =
2
Então:
2
⎛k −3⎞ ⎛k − 3⎞
f(k) = 4 ⎜ ⎟ + 6⎜ 2 ⎟ +1
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
f(k) = (k − 3)2 + 3(k − 3) + 1
f(k) = k 2 − 3k + 1
Agora:
f(1 − k) = (1 − k)2 − 3(1 − k) + 1
f(1 − k) = k2 + k − 1
Por tanto :
f(1 − x) = x 2 + x − 1
Resposta: E
26 A distância do centro da circunferência x2 + y2 – 6x – 8y + 21 = 0 à bissetriz do Iº e IIIº quadrantes, vale:
3 2
A) 5 B) 2 C) 3 D) E)
2 2
Solução:
Circunferência
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
Centro (a,b)
Daí:
– 2a = – 6 → a = 3
– 2b = – 8 → b = 4
Bissetriz dos quadrantes ímpares
x−y=0
y=x
C(3,4)
| 1⋅ 3 − 1⋅ 4 + 0 | 1 2
distância = = =
1 + ( −1)
2 2
2 2
Resposta: E
3
27 A reta y = x é tangente a uma circunferência do centro (2, 0). O raio dessa circunferência é:
3
A) 3 B) 2 C) 3 D) 1 E) 0,5
14
11. Professor: Fabrício Maia
Matemática
Solução:
(2,0)
3x − 3y = 0
distância de um ponto a uma reta.
| 3 ⋅ 2 − 3⋅0 + 0 | 2 3
R= =
( 3)2 + ( −3)2 12
2 3
R=
2 3
R =1
Resposta: D
28 Se S = 1! + 2! + 3! + ... + 89!, então o dígito das unidades de S é:
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Solução:
Veja:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24
A partir de 5!, os resultados serão múltiplos de 10.
Então:
S = 1+4 + 6 424 + 5!4 ... 4 89!
1 4 2 2 +4
4 4 3 1 + 2+4 4 3
33 múltiplo de 10
S = 3 + 14243
30 + 10α’
múltiplo de 10
S = 3 + 10α → dígito das unidades é 3.
Resposta: B
kx +2y = −1
{
29 O sistema linear de equações nas incógnitas x e y 2x − y = m é impossível se, e somente se:
1 1 1 1
A) k = – 4 e m ≠ B) k ≠ − 4 e m = C) k ≠ − 4 e m ≠ D) k = − 4 E) k = − 4 e m =
2 2 2 2
Solução:
{
kx + 2y = −1
Sistema 4x − 2y = 2m
Somando: (k + 4)x = 2m − 1
Impossível
⎧k + 4 = 0 → k = −4
⎪
⎨2m − 1 ≠ 0 → m ≠ 1
⎪
⎩ 2
Resposta: A
30 Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b, são dados pontos P em OA e Q em OB
de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nessas condições o valor de x é:
A) ab − a − b
B) a + b − 2ab
C) a2 + b2
D) a + b + 2ab
E) ab + a + b
15
12. Matemática Professor: Fabrício Maia
Solução:
o
Pitágoras a–x
b–x
P
x = (a − x) + (b − x)
2 2 2
x Q
x 2 = a2 − 2ax + x 2 + b2 − 2bx + x 2 x
x 2 − 2(a + b)x + a2 + b2 = 0 A B
Δ = [−2(a + b)]2 − 4 ⋅ 1(a2 + b2 )
Δ = 4(a + b)2 − 4(a2 + b2 )
Δ = 8ab
Daí:
2(a + b) ± 8ab 2(a + b) ± 2 2ab
x2 = =
2 2
x = a + b + 2ab (absurdo, veja figura) ou
x = a + b − 2ab
Resposta: B
31 Num triângulo retângulo de catetos 1 e 3cm , a altura relativa à hipotenusa mede, em cm:
3 2
A) 2 B) 3 C) 3 D) E)
2 2
Solução: A
Temos: 1 3
h
B C
a
Relações métricas
I) a2 = 12 + ( 3)2 → a2 = 4 → a = 2
3
II) 1⋅ 3 = a ⋅ h → 3 = 2h → h =
2
Resposta: D
f(10−8 ) − f(103 )
32 Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de é:
10−8 − 103
A) 104 B) 102 C) 10 D) 10–5 E) 10–11
Solução:
Saiba:
Se f(x) = ax + b, com a ≠ 0, então:
f(s) − f(v)
= a, com s ≠ v.
s−v
f(10−8 ) − f(103 )
Assim, = 100 (coeficiente angular)
10−8 − 103
Resposta: B
33 Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é:
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Solução:
n(n − 3)
Lembre: Fórmula do número de diagonais d = .
2
Então: 54 = n(n – 3)
2
n2 – 3n – 108 = 0
n = 12 ou n = –9 (n.s)
Resposta: E
16
13. Professor: Fabrício Maia
Matemática
34 O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem, exatamente:
A) 15 diagonais
B) 20 diagonais
C) 25 diagonais
D) 30 diagonais
E) 35 diagonais
Solução:
Lembre: Soma dos ângulos internos Si = (n – 2) ⋅ 180º
Então: 1440º = (n − 2) ⋅ 180º
1400º
=n−2
180º
8 =n−2
n = 10
n(n − 3) 10 ⋅ 7
Portanto: d = =
2 2
d = 35
Resposta: E
35 Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo AEB, em graus, é:
A) 30 D) 75
B) 49 E) 90
C) 60
A D
E
B C
Solução:
Figura:
A D
E
x
θ
α
B C
ΔBCE é eqüilátero → α = 60º
ABCD é um quadrado → θ = 30º
Veja: BC ≡ BE (lado do quadrado = lado do ΔBCE)
Daí: ΔABE é isósceles
A
x
x E
θ + 2x = 180º
θ 30º + 2x = 180º
B x = 75º
Resposta: D
36 Na figura abaixo, EFG é um triângulo retângulo, EF = 2cm , EG = 6cm e EP = PQ = QG. Então α + β + θ é igual a:
π 7π 4π π F
A) B) C) D)
3 18 9 2
α β θ
E P Q G
17
14. Matemática Professor: Fabrício Maia
Solução:
F
2
α β θ
E 2 P 2 Q 2 G
2
ΔEPF → tgα = → tgα = 1→ α = 45º
2
2 1
ΔEQF → tgβ = → tgβ =
4 2
2 1
ΔEGF → tgθ = → tgθ =
6 3
tgβ + tgθ
Sabemos: tg(β + θ) =
1− tgβ ⋅ tgθ
1 1 5
+
Então: tg(β + θ) = 2 3 = 6 =1
1 1 5
1− ⋅
2 3 6
tg(β + θ) = 1 → β + θ = 45º
Portanto: α +β+ θ = 90º
Resposta: D
37 A área compreendida entre as retas 4y = x – 2, y = 2x – 4 e x = 0 é igual a:
A) 3,0 u.a B) 3,5 u.a C) 4,0 u.a D) 4,5 u.a E) 6,0 u.a
Solução:
Temos:
⎧ x −2
⎪ y= 4
⎪
retas ⎨ y = 2x − 4
⎪ x = 0 (eixo y)
⎪
⎩
Gráfico:
y y = 2x − 4
x −2
y=
4
x
A C
B −1
A(0, );B (0, − 4) e C(2,0)
2
1
0 − 1
2
DABC = 0 −4 1 = −1+ 8 = 7
2 0 1
Logo:
1 7
Área = ⋅ 7 = u.a
2 2
Resposta: B
18
15. Professor: Fabrício Maia
Matemática
38 A razão de uma progressão geométrica, cujos termos são os três lados de um triângulo retângulo é:
1+ 5 1+ 2 1+ 3 1+ 2
A) B) C) D)
2 5 2 3
Solução:
C
⎛x ⎞ x xq
P.G.⎜ ;x;xq ⎟
⎝ q ⎠ q
A x B
2
⎛x⎞
(xq)2 = x 2 + ⎜ ⎟
Pitágoras ⎝q⎠
x2
x 2q2 = x 2 + 2
q
1
q2 = 1+
q2
Dividindo ambos os membros por x2 q4 − q2 − 1 = 0
1± 5 1+ 5
q2 = → q2 =
2 2
1+ 5
Portanto: q =
2
Atenção!!! q é positivo.
Resposta: A
39 Sejam a e b números reais. Se a > b > 0, a2 – b2 = 4 e log2(a + b) – log3(a – b) = 2, então a2 + b2 é igual a:
A) 13/2 B) 15/2 C) 17/2 D) 19/2
Solução:
Fazendo: log2 (a + b) = x → a + b = 2x
log3 (a − b) = y → a − b = 3y
Sistema: ⎧2 ⋅ 3 = 4
x y
⎨
⎩x − y = 2 → x = 2 + y
Substituindo: 2x ⋅ 3y = 4
22+y ⋅ 3y = 4
22 ⋅ 2y ⋅ 3y = 4
4 ⋅ 6y = 4
6y = 1 → y = 0 → x = 2
{
Assim: a + b = 4
a−b =1
5 3
Resolvendo: a = eb=
2 2
34 17
Logo: a2 + b2 = =
4 2
Resposta: C
19
16. Matemática Professor: Fabrício Maia
40 Se x1 e x2 são as raízes da equação 32logx 3 = xlogx (3x) , então 9(x1 + x2) é igual a:
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
Solução:
Lembre: I) aloga b = b
II)Se loga b = x → ax = b
Temos: 32logx 3 = xlogx 3x
Então: 3
2logx 3
= 3x
1
Tomando: log3 x = k → logx 3 = e x = 3k
k
1
2.
Substituindo: 3 k = 3 ⋅ 3k
2
3k = 3k +1
2
Comparando: k + 1 =
k
k2 + k − 2 = 0
1
k = −2 → x = 3−2 → x =
9
ou
k = 1 → x = 31 →= 3
Logo :
⎛1 ⎞
9(x1 + x 2 ) = 9 ⎜ + 3 ⎟ = 1+ 27 = 28
⎝9 ⎠
Resposta: D
3
41 O número de raízes de equação + cos x = 0 é:
2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3
Solução:
Sabemos: −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x.
3
Temos: + cos x = 0
2
3
cos x = −
2
cos x = −1,5 (absurdo, pois o mínimo de cos x é – 1)
Resposta: A
42 O número de raízes da equação tg2x – sen2x = 0, 0 ≤ x < 2π, é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3
Solução:
sen2x
Temos: − sen2x = 0
cos2 x
sen2x − sen2x cos2 x = 0
sen2x(1 − cos2 x) = 0
sen2x ⋅ sen2x = 0
sen4 x = 0
Daí: senx = 0
x = 0 ou x = π
Resposta: C
20
17. Professor: Fabrício Maia
Matemática
∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 2p = 729
n
n
43 Determine n, sabendo que ⎜ ⎟
⎝ ⎠
p =0
n
⎛n⎞
Solução: (a + b)n = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp (binômio de Newton)
p =0 ⎝ ⎠
p
∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 1n−p ⋅ 2p = (1+ 2)n = 3n
n
n
Veja: ⎜ ⎟
⎝ ⎠
p=0
Então: 3n = 729 → n = 6
Resposta: 6
44 O domínio real da função f(x) = 2senx − 1 para 0 ≤ x < 2π, é:
π 5π π 5π π 2π
A) ≤x≤ B) 0 ≤ x ≤ ou ≤ x < 2π C) 0 ≤ x < π D) ≤x≤
6 6 6 6 3 3
Solução:
s
Condição:
150º 30º
2senx − 1 ≥ 0 1
2
1
sen x ≥ c
2
π 5π
Daí: ≤x≤
6 6
Resposta: A
45 Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contêm exatamente 18 elementos é:
A) 360 B) 190 C) 180 D) 120 E) 18
Solução:
Temos: M = {a1, a2, a3 ..., a20}.
A ordem dos elementos não altera um conjunto.
Daí: nº de subconjuntos com 18 elementos = C20, 18
Resposta: B
46 Se Cn, 2 + 2.An,2 + 100 = A2n, 2, então n é igual a:
25
A) 24 B) 8 C) 6 D) 10 E) −
3
Solução:
n! n ⋅ (n − 1)
Temos: Cn,2 = =
(n − 2)!2! 2
n!
An,2 = = n ⋅ (n − 1)
(n − 2)
(2n)!
A2n,2 = = (2n) ⋅ (2n − 1)
(2n − 2)!
n(n − 1)
Então: + 2 ⋅ n(n − 1) + 100 = (2n)(2n − 1)
2
n2 − n + 4n2 − 4n + 200 = 8n2 − 4n
3n2 + n − 200 = 0
25
n = 8 ou n = − (n.s)
3
Resposta: B
21
18. Matemática Professor: Fabrício Maia
47 Deseja-se acondicionar em um certo número de caixas, 1590 bolinhas brancas, 1060 amarelas e 583 azuis, de
modo que cada caixa contenha bolinhas de todas as cores. Calcule o número máximo de caixas de modo que
qualquer dessas caixas contenha, para cada cor, quantidades iguais de bolinhas.
Solução:
x → número de caixas.
p → quantidade de bolas brancas em cada caixa.
q → quantidade de bolas amarelas em cada caixa.
r → quantidade de bolas azuis em cada caixa.
1590
Temos: =p
x
1060
=q
x
583
=r
x
Veja: x = m.d.c. (1590,1060,583)
x = 53
* MDC (1590, 1060) = 530 * MDC (530, 583) = 53
1 2 1 10
1590 1060 530 583 530 53
530 0 0
Resposta: 53
48 Sejam N o conjunto dos números inteiros positivos e E = {(x,y) ∈ N2; x4y4 – 10x2y2 + 9 = 0}. Determine o número
de elementos de E.
Solução:
Temos: x 4 y 4 − 10x 2y 2 + 9 = 0
(x 2y 2 )2 − 10x 2y 2 + 9 = 0
Fazendo: x 2 y 2 = k
Equação: k 2 − 10k + 9 = 0
k = 1 → x 2 y 2 = 1 → (xy)2 = 1
ou k = 9 → x 2 y 2 = 9 → (xy)2 = 9
Como x e y são inteiros positivos, tem-se:
xy = 1 → (1,1)
ou
xy = 3 → (1,3) ou (3,1)
E = {(1,1),(1,3),(3,1)}
Resposta: 3
2x + 3 3
49 Considere a função real definida por f(x) = ,x ≠ − .
1 1 2
x+
3 2
Então o valor da soma 1⋅ f(1) + 2 ⋅ f(2) + 3 ⋅ f(3) + ... + 20 ⋅ f(20) é:
A) 120 B) 600 C) 210 D) 620 E) 1.260
22
19. Professor: Fabrício Maia
Matemática
Solução:
2x + 3 6
Temos: f(x) = = 2x + 3 ⋅
2x + 3 2x + 3
6
Então: f(x) = 6
Agora:
Soma: 1⋅ 6 +2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 + ... + 20 ⋅ 6
Soma: (1+ 2 + 3 + ... + 20) ⋅ 6
Soma: (1+ 20) ⋅ 20
⋅ 6 = 21⋅ 10 ⋅ 6 → Soma = 1.260
2
Resposta: E
50 Sejam x e y números reais satisfazendo as equações logy x + logx y = 2 e x2y + y2 = 12x. Determine o valor do
produto xy.
Solução:
1
Tomando: logy x = m → logx y =
m
1
Daí: m + =2
m
m − 2m + 1 = 0
2
m =1 → x = y
Substituindo na 2ª equação x 2y + y 2 = 12x
x 2 ⋅ x + x 2 = 12x
x 3 + x 2 − 12x = 0
x(x 2 + x − 12) = 0
x = 0 (n.s) ou x = −4 (n.s)
ou
x=3 → y=3
Resposta: 9
51 Os conjuntos A e B possuem 3 e 4 elementos, respectivamente. Quantas funções de A em B têm o conjunto
imagem igual a B?
A) Nenhuma B) 34 C) 43 D) 3! E) 4!
Solução:
Veja:
I) Numa função de A em B devemos ter todos os elementos de A associados a um único valor em B.
II) Se o conjunto imagem é o próprio B, então existe um elemento em A com duas imagens, pois todos os
elementos de A estão associados.
Portanto, não existem funções de A em B sobrejetoras.
Resposta: A
52 As funções injetoras de A = {1, 2, 3, 4} em B = {5, 6, 7, 8, 9, 0} são em número de:
A) 720 B) 360 C) 15 D) 24 E) 30
Solução:
Lembre:
Se f é injetora, então:
x1 ≠ x 2 → f(x1 ) ≠ f(x 2 )
Daí: A
1 f(1): 6 possibilidades em B
2 f(2): 5 possibilidades em B
3 f(3): 4 possibilidades em B
4 f(4): 3 possibilidades em B
Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6.5.4.3 = 360 funções injetoras
Resposta: B
23
20. Matemática Professor: Fabrício Maia
53 Para ser aprovado numa disciplina, um aluno precisa ter média maior ou igual a 50, obtida num conjunto de 5
provas, sendo quatro parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame, com peso 2 (dois). Um certo aluno
obteve em matemática, nas quatro provas parciais, notas iguais a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado
nessa disciplina, deverá obter, na prova-exame, nota mínima igual a:
A) 20 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
Solução:
1⋅ 30 + 1⋅ 60 + 1⋅ 50 + 1⋅ 70 + 2 ⋅ x 210 + 2x
Média ponderada = =
6 6
210 + 2x
Temos: ≥ 50
6
210 + 2x ≥ 300
2x ≥ 90
x ≥ 45 → xmin = 45
Resposta: D
54 O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão n por 4 é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Temos: n 12
7 q
Daí: n = 12q + 7
n = 12q + 4 + 3
n = 4(3q + 1) + 3
n = 4q'+ 3, onde q' = 3q + 1
Veja: n 4
3 q’
Resposta: D
55 Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015?
A) 25 B) 50 C) 64 D) 75 E) 250
Solução:
Temos: 1015 = (2 ⋅ 5)15 = 215 ⋅ 515
Veja:
(A) 25 = 52 divide 1015 (OK)
(B) 50 = 2 ⋅ 52 divide 1015 (OK)
(C) 64 = 26 divide 1015 (OK)
(D) 75 = 3 ⋅ 52 não divide 1015 (problema fator 3)
(B) 250 = 2 ⋅ 53 divide 1015 (OK)
Resposta: D
56 A fração geratriz de 3,74151515... é:
37.415 3.741.515 37.041 37.041 370.415
A) B) C) D) E)
10.000 10.000 9.900 9.000 99.000
Solução:
37.415 − 374 37.041
Temos: 3,7415 = =
9.900 9.900
Resposta: C
24
21. Professor: Fabrício Maia
Matemática
57 Se A e B são conjuntos, A – (A – B) é igual a:
A) A B) B C) A – B D) A ∪ B E) A ∩ B
B
Solução: A Lembre: A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
É fácil ver:
A – (A – B) = A ∩ B
A–B
Resposta: E
a
58 O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão ?
b
a
b
5 2 3 1
A) B) C) 2 D) E)
3 3 2 2
Solução:
Sendo x a medida do lado do menor quadrado, os outros quadrados terão seus lados com as medidas indicadas
na figura.
34444244441 5x
1442443
1 2 31 4
3x 2x
4 4 43
2x
3x 2x
2
x
x x
Assim: a = 5x e b = 3x
a 5
Portanto, =
b 3
Resposta: A
59 A equação x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, de coeficientes reais, admite as raízes 2 – i e 3 + 2i. Então d é:
A) 75 B) 65 C) 25 D) 15 E) 10
Solução:
Sabemos que:
Se os coeficientes de um polinômio P(x) são reais, então: a + bi raiz de P(x) → a – bi também é:
Temos:
2 – i raiz → 2 + i também é.
3 + 2i raiz → 3 – 2i também é.
Daí, aplicando Girard na equação: x1.x 2.x3.x 4 = d
(2 − i) ⋅ (2 + i) ⋅ (3 + 2i) ⋅ (3 − 2i) = d
(4 − i2 ) ⋅ (9 − 4i2 ) = d
5 ⋅ 13 = d
d = 65
Resposta: B
25
22. Matemática Professor: Fabrício Maia
2x 2 − 8x
60 O número de soluções reais da equação = x é:
x 2 − 4x
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Temos:
2x 2 − 8x
=x
x 2 − 4x
2x − 8x = x 3 − 4x 2
2
x 3 − 6x 2 + 8x = 0
x(x 2 − 6x + 8) = 0
x = 0 (n. serve) → denominador nulo
ou
x 2 − 6x + 8 = 0
ou
x=2
ou
x = 4 (n. serve) → denominador nulo
S = {2}
Resposta: B
61 Determine o número de soluções reais da equação 2x = log2 x .
A) Nenhuma B) Uma C) Duas D) Três E) Infinitas
Solução:
Graficamente:
y y = 2x
y = log2 x
x
0
Como não existe interseção, a equação não admite soluções.
Resposta: A
62 Se n é o maior número inteiro pertencente ao domínio da função f(x) = 1− log2 x , determine o valor de n3 + 3n2 + 2.
A) 2 B) 20 C) 21 D) 22 E) 32
Solução:
Domínio → campo de existência → condição de existência da função →
1− log2 x ≥ 0 → log2 x ≤ 1 → 0 < x ≤ 21 → 0 < x ≤ 2 → maior inteiro x = 2.
Logo, a expressão é igual a 23 + 3 ⋅ 22 + 2 = 22 .
Resposta: D
26
23. Professor: Fabrício Maia
Matemática
1
63 Dado x ≠ 1 e positivo, calcule o valor de x .
Lnx
e
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Sabemos que:
I) aloga b = b
1
II) loga b =
logb a
III)Lx = Lnx = loge x
1
log x e
x e
Então, a expressão dada x é igual a: Exp. =
Lnx
= = 1.
e e e
Resposta: B
log10 c log10 a log10 b
⎛ a⎞ ⎛b⎞ ⎛c⎞
64 Prove que ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1.
⎝b⎠ ⎝c⎠ ⎝ a⎠
Prova:
Tomemos:
log10 a = x → 10x = a
log10 b = y → 10y = b
log10 c = z → 10z = c
z x y
⎛ 10x ⎞ ⎛ 10y ⎞ ⎛ 10z ⎞
Então: 1º membro = ⎜ y ⎟ ⋅⎜ z ⎟ ⋅⎜ x ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
10xz 10xy 10yz
1º membro = ⋅ ⋅
10yz 10xz 10xy
1º membro = 1
c.q.p
65 Determine o produto das soluções reais da equação 9 ⋅ xlog3 x = x 3 .
A) 4 B) 8 C) 25 D) 27 E) 90
Solução:
Tomemos: log3 x = k → 3k = x
Assim:
9 ⋅ (3k )k = (3k )3
2
3k + 2 = 33k → k 2 + 2 = 3k
→ k 2 − 3k + 2 = 0
k = 1→ x = 3
ou
k =2→ x =9
Portanto, o produto das soluções é 27.
Resposta: D
27
24. Matemática Professor: Fabrício Maia
66 Seja x tal que log10 2,log10 (2x − 1) e log10 (2x + 3) estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Calcule 22x.
A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 25
Solução:
Temos que: (log10 2,log10 (2x − 1),log10 (2x + 3) P.A →
→ 2 ⋅ log10 (2x − 1) = log10 2 + log10 (2x + 3) →
→ log10 (2x − 1)2 = log10 2(2x + 3) →
→ (2x − 1)2 = 2 ⋅ (2x + 3)
Tome: 2x = a
Então:
a2 – 2a + 1 = 2a + 6 → a2– 4a – 5 = 0
a = 5 → 2x = 5 ou a = – 1 (não serve)
Portanto, 22x = 25
Resposta: E
67 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3,5 e 7. Sabendo que a diagonal mede
4 83cm , calcule o volume do paralelepípedo.
A) 105cm3 B) 1575cm3 C) 4725cm3 D) 6720cm3 E) 8575cm3
Solução:
7k
D
5k
3k
Diagonal (D) → D = (3k)2 + (5k)2 + (7k)2
4 83 = 83k2
4 83 = k 83
k=4
Volume (V) → V = 12 ⋅ 20 ⋅ 28
V = 6720cm3
Resposta: D
68 Um prisma reto de altura igual a 9cm tem como base um triângulo. Sabendo que dois dos lados desse triângulo
medem 3cm e 4cm e que o ângulo formado por esses lados mede 45º, determine o volume do prisma.
A) 3 2cm3 B) 9 2cm3 C) 27 2cm3 D) 54 2cm3 E) 81 2cm3
Solução:
Volume do prisma: (Área da base) x (altura)
3 ⋅ 4 ⋅ sen45º ⎞
Então: V = ⎛
⎜ ⎟⋅9
⎝ 2 ⎠
2
V = 6⋅ ⋅ 9 = 27 2cm3
2 9
3
45º
Resposta: C 4
28
25. Professor: Fabrício Maia
Matemática
69 A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a área
total desse cubo.
A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27
Solução:
a
D
a
a
aresta = a
123
4 4
diagonal = a 3
volume = a3
P.G. (a, a 3 , a3) → ( a 3 )2 = a ⋅ a3 →
3a2 = a4 → a2 = 3
Portanto, a área total será 18u.a.
Resposta: D
g 3
70 Uma esfera de raio r é inscrita num cone equilátero com geratriz de comprimento g. Determine o valor de .
r
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
Solução:
2R
2R
2r
0
r
2R
0 = incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro.
Veja:
I) g = 2R (geratriz)
g 3 g 3
II) = 3r → = 6
2 r
Resposta: B
25
71 O raio da base de um cone circular reto mede 4cm e sua altura cm . Determine, em cm3, o volume do cilindro
π
circular reto de maior área lateral, inscrito no cone.
A) 4 B) 10 C) 25 D) 40 E) 50
Solução:
25
π
h
α
r
4
29
26. Matemática Professor: Fabrício Maia
Área (lateral do cilindro) = 2πrh = AL
25
= π →h=
h 25
Veja: tgα = (4 − r)
4 −r 4 4π
Subst. h na área lateral, vem:
⎡ 25 ⎤ 25
AL = 2πr ⎢ (4 − r) ⎥ → AL = (4r − r 2 )
⎣ 4π ⎦ 2 123
parábola
Para que AL seja máxima, basta que r seja igual a abscissa do vértice da parábola.
25 25
Então: r = 2 → h = → V = π ⋅ 22 ⋅ = 50cm3
2π 2π
Resposta: E
ˆ π
72 Determine a área (em m2) do setor circular hachurado na figura abaixo, sabendo que o ângulo ABC mede rad
6
6
e o diâmetro AB mede 8 m.
π
C
A) 24 D) 54
B) 48 E) 54 3
B A
C) 48 3
Solução:
C
R
30º
B A
R
πR2
[setor] =
6
ΔABC é retângulo
R 3
cos 30º = =
6 2
8
π
6 6
Então: 2R = 3 ⋅ 8 ⋅ → 4R2 = 3 ⋅ 64 ⋅ →
π π
6 πR2
→ R2 = 3 ⋅ 16 ⋅ → = 3 ⋅ 16 → [setor] = 48m2 .
π 6
Resposta: B
73 Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h. sabe-se que a média harmônica entre o raio r e a altura h
é 4 e que sua área total é 2πm2. Mostre que o raio r satisfaz a sentença r3 – r + 2 = 0.
Solução:
h
r
30
27. Professor: Fabrício Maia
Matemática
Área total
2πrh +2πr 2 = 2π
rh + r 2 = 1 (I)
Média harmônica
2rh
=4
r +h
2r
h= (II)
r−2
Subst. (II) em (I), vem:
⎛ 2r ⎞ 2 2r2
⎟ +r = 1→ r − 2 +r = 1→
2
r⎜
⎝r − 2⎠
→ 2r2 + r2 (r − 2) = r − 2 → 2r2 + r3 − 2r2 = r − 2 →
→ r3 = r − 2 → r 3 − r + 2 = 0
1− 2senx −senx
. Calcule o valor de D
⎛π⎞
74 Seja o determinante D(x) =
1+ 2senx ⎜ 12 ⎟ .
cos x ⎝ ⎠
1 2 3 1 3 1
A) B) C) D) 3+ E) +
2 2 2 2 2 4
Solução:
D(x) = 1 − 2sen2x + senx cos x
sen(2x)
D(x) = cos(2x) +
2
⎛π⎞
sen ⎜ ⎟
⎛ π⎞ ⎛π⎞ ⎝6⎠
D ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ +
⎝ 12 ⎠ ⎝6⎠ 2
⎛π⎞ 3 1
D⎜ ⎟ = +
⎝ 12 ⎠ 2 4
Resposta: E
3 senAº cos Aº
75 Seja R a raiz positiva da equação x2 + x – = 0. Se R = sen11º cos11º , onde 0 < A < 90. Calcule o valor de A.
4
A) 30 B) 41 C) 60 D) 75 E) 80
Solução:
3
Temos: x 2 + x − =0
4
1 1
x= → R= ou
2 2
−3
x= (não serve)
2
Assim, R = senAº cos11º − sen11º cos Aº
R = sen(Aº −11º )
1
= sen(Aº −11º )
2
Então: Aº – 11º = 30º
Aº = 41º → A = 41
Resposta: B
31
28. Matemática Professor: Fabrício Maia
76 Determine a soma das raízes da equação.
A) 0 D) 4 1 1 1 1
B) 1 E) 5 1 x 1 1
C) 2 =0
1 1 x+2 1
1 1 1 x–4
Solução: Aplicando chió, vem:
1 1 1 1
1 x 1 1
=0
1 1 x+2 1
1 1 1 x−4
x −1 0 0
Daí: 0 x +1 0 = 0
0 0 x −5
(x − 1) ⋅ (x + 1)(x − 5) = 0
x = 1, – 1 ou 5
Portanto, a soma das raízes é 5.
Resposta: E
{
77 Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções. Determine o valor de m4 – 8m2 + 23.
mx + 4y = 6
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
Solução:
Sejam:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
Se r e s são coincidentes, então:
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
Assim, temos:
1 m 3
= = → m=2
m 4 6
* retas coincidentes → infinitas soluções.
Portanto, m4 – 8m2 + 23 = 7
Resposta: B
78 Se (xo, yo, zo) é uma solução do sistema ⎧ x + y = 2 encontre o valor de x 2 + y 2 − 2z 2 .
⎨ o o o
⎩ xy + z = 1
2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
⎧ x o + y o = 2 → x o + y o + 2x o y o = 4
2 2
⎨
⎩ x o y o + zo = 1 → − 2x o y o − 2zo = −2
2 2
Somando: x 2 + y 2 − 2z o = 2
o o
2
Resposta: C
32
29. Professor: Fabrício Maia
Matemática
79 Considere a função real definida no conjunto dos números reais não-negativos por f(x) = x + x – 2. Determine
o número real k, tal que f(2k) = 0.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Temos que:
2k + 2k − 2 = 0
2k − 2 = − 2k
22k − 4 ⋅ 2k + 4 = 2k
22k − 5 ⋅ 2k + 4 = 0
2k = 1 → k = 0
ou
2k = 4 → k = 2 (não serve)
Veja: se k = 2 → f(2k) = f(4) = 4 ≠ 0
Resposta: A
80 Sendo a reta y = ax + b tangente à elipse x2 + 4y2 = 1, determine o valor de 8(b2 – a2).
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Substituindo a reta na equação da elipse, vem:
x2 + 4y2 = 1
x2 + 4(a2x2 + 2abx + b2) = 1
(1 + 4a2) x2 + 8abx + 4b2 – 1 = 0
Como a reta é tangente, então a interseção é um único ponto.
Δ=0 (único ponto)
Daí:
(8ab)2 – 4(1 + 4a2) ⋅ (4b2 – 1) = 0
64a2b2 – 16b2 + 4 – 64a2b2 + 16a2 = 0
8a2 – 8b2 + 2 = 0
8(b2– a2) = 2
Resposta: C
81 Determine o valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta os ramos da hipérbole x2 – y2 = 1.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solução:
Interseção → x2 – ( x + b)2 = 1
→ x2 – x2 – 2bx – b2 = 1
→ – 2bx =1+ b2
1 + b2
→x= (x da interseção)
−2b
Veja: para que não exista interseção, basta tomarmos b = 0.
Resposta: A
n
⎛ ⎞
82 Determine o menor inteiro n > o, de modo que ⎜ 3 + 1 i ⎟ seja real positivo.
⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠
A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24
33
30. Matemática Professor: Fabrício Maia
Solução:
n
⎛ 3 1⎞
⎜ 2 + 2 i ⎟ = (cos 30º + isen30º ) = 14243) + isen(n ⋅ 30º )
Temos que: ⎜ cos(n ⋅ 30º
n
⎟ 14243
⎝ ⎠
um zero
Então:
n ⋅ 30º = k ⋅ 360º
n = 12k
Portanto: n = 12 (menor inteiro positivo)
Resposta: C
83 Encontre o módulo do complexo 1 , tal que 1 2 = i.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3
Solução:
Temos: 12 = i →| 12 | = | i | →
→| 1 ⋅ 1 | = | 0 + 1 | → | 1 | ⋅ | 1 | = 02 + 12 →
i
→| 1 | ⋅ | 1 | = 1 → | 1 | = 1
Resposta: A
1 A Bx + C
84 Se A , B e C são números reais, tais que = + , para todo x, x ∈ 1 * , calcule o valor de
x(x 2 + 2x + 2) x x 2 + 2x + 2
A + B + C.
Solução:
A Bx + C 1
+ 2 = , ∀x ∈ 1 *
x x + 2x + 2 x(x + 2x + 2)
2
A(x 2 + 2x +2) + (Bx + C)x 1
= , ∀x ∈ 1 *
x(x 2 + 2x + 2) x(x 2 + 2x + 2)
⎧ 1
⎪A = 2
⎧ A+B=0 ⎪
⎪ ⎪ 1
(A + B)x 2 + (2A + C)x + 2A ≡ 1 → ⎨2A + C = 0 → ⎨B = −
⎪ 2A = 1 ⎪ 2
⎩
⎪C = − 1
⎪
⎩
Portanto: A + B + C = – 1
85 Determine um polinômio P(x) de grau 2 que verifique a identidade P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3.
Solução:
Supondo P(x) = ax2 = bx + c, temos: P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = ax2 + (2a + b)x + (a + b + c).
Então:
⎧a = 1 ⎧a = 1
⎪ ⎪
P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3 ⇔ ⎨2a + b = 2 ⇔ ⎨b = 0
⎪a + b + c = 3
⎩ ⎪c = 2
⎩
Logo, P(x) = x2 + 2.
34
31. Professor: Fabrício Maia
86 Que condições devem satisfazer os números a, b e c para que o polinômio ax2 + bx + c seja o quadrado de um
Matemática
polinômio do 1º grau?
Solução:
Devemos ter ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2, com m ≠ 0; portanto:
⎧a = m2
⎪
⎨b = 2mn
⎪c = n2
⎩
Podemos eliminar m e n e obter a relação entre a, b e c e calculando b2.
b2 = (2mn)2 = 4m2n2 = 4ac
Resposta: A condição é b2 = 4ac e a ≠ 0 (pois m ≠ 0)
87 Na figura abaixo indicamos 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, exceto os 4 que marcamos numa
mesma reta. Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos? G
H F
I E
B C
A D
Solução:
Se não houvessem 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C9, 3. Desse número, devemos subtrair as
combinações formadas por 3 pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C4, 3, pois essas combinações não
correspondem a triângulos. Assim, o número de triângulos que podemos formar é C9, 3 – C4, 3.
Temos:
9! 9 x 8 x 7 x 6!
C9,3 = = = 84
3!6! 3x 2x1x 6!
4! 4 x 3!
C4,3 = = =4
3!1! 3 !x 1
Logo: C9,3 – C4, 3 = 84 – 4 = 80.
88 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se,
entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?
Solução:
Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias tomadas 6 a 6, uma
vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total de misturas seria C10, 6 se não houvesse
problema com nenhuma mistura. Devemos, porém, subtrair desse número as combinações em que entrariam as
duas substâncias que, se misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram essas duas substâncias
são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito substâncias (excluímos
aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8 é C8, 4.
Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é C10, 6 – C8, 4.
Solução:
Temos:
10! 10 x 9 x 8 x 7x 6!
C10,6 = = = 210
6!4! 6!x 4 x 3x 2x1
8! 8 x 7 x 6 x5 x 4!
C8,4 = = = 70
4!4! 4x 3x 2x1x 4!
Logo: C10, 6 – C8, 4 = 210 – 70 = 140.
35
32. Matemática Professor: Fabrício Maia
n
⎛ 2 1⎞
89 Dê a condição sobre o inteiro positivo n para que o desenvolvimento de ⎜ x − ⎟ apresente um termo
⎝ x⎠
independente de x e não-nulo.
Solução:
n k
⎛ ⎞
O termo geral do desenvolvimento de ⎛ x 2 − 1 ⎞ é T = ⎛ n ⎞ (x 2 )n−k ⎜ − 1 ⎟ = ⎛ n ⎞ x 2n−2k ( −1)k x −k = ⎛ n ⎞ ( −1)k x 2n−3k
⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟
⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2n
Para o termo independente de x devemos ter 2n – 3k = 0, logo k = . Como k dever ser inteiro, concluímos
3
que n deve ser um múltiplo de 3.
x 2 + ax + b
90 Calcule a e b de modo que a fração algébrica tenha o mesmo valor numérico para todo x ∈ 1 .
2x 2 + 1
Solução:
x 2 + ax + b
Devemos ter: = k, ∀x ∈ 1 ; logo: x2+ ax + b ≡ 2kx2 + k
2x 2 + 1
⎧1 = 2k
⎪
⎨a = 0
⎪b = k
⎩
1
A resposta é a = 0 e b = .
2
3 +1 3 −1
91 Calcule o valor numérico de x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, para x = 4
e y= 4
.
3 3
Solução:
4 4
⎛ 3 +1 3 − 1⎞ ⎛2 3⎞ 24 ⋅ 32
x + 4x y + 6x y + 4xy + y = (x + y) = ⎜ 4
4 3 2 2 3 4
⎜ 3
4 + 4 ⎟ =⎜ 4 ⎟ = = 48.
⎝ 3 ⎟⎠
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ 3
92 O número 2 é raiz dupla de ax3 + bx + 16. Determine a e b.
Solução:
Como admite raiz dupla, o grau da equação ax3 + bx + 16 = 0 é maior que 1. Então, a ≠ 0 e concluímos que o
grau é 3. Há, portanto, 3 raízes. Supondo que as raízes são 2, 2 e α, com α ≠ 2, temos pelas relações de Girard:
⎧ ⎧
⎪2 + 2 + α = 0 ⎪α = − 4
⎪ ⎪ ⎧α = − 4
⎪ b ⎪ a ⎪
⎨2 ⋅ 2 + 2α + 2α = , logo ⎨4α + 4 = , logo ⎨a = 1
⎪ a ⎪ b ⎪b = −12
−16 −4 ⎩
⎪2⋅ 2 ⋅ α = ⎪α =
⎪
⎩ a ⎪
⎩ a
Portanto: a = 1 e b = – 12
12
⎛ 12 ⎞ k
93 Qual é o valor de ∑ ⎜k
⎝
⎟9 ?
⎠
k =0
Solução:
12
⎛12 ⎞ k 12 ⎛12 ⎞ 12−k k
∑ ⎜k
⎝
⎟ 9 = ∑⎜k ⎟ ⋅1 ⋅ 9
⎠
k =0 k =0 ⎝ ⎠
Este fator é igual a 1, portanto não altera o valor do termo.
Notando que ⎛12 ⎞ ⋅ 1 −k ⋅ 9k é o termo geral do binômio (1 + 9)12, concluímos que:
⎜k ⎟
12
⎝ ⎠
12
⎛12 ⎞ k
∑⎜k
⎝
⎟ 9 = (1+ 9) = 10 ( o que dá 1 trilhão).
⎠
12 12
k =0
36
33. Professor: Fabrício Maia
Matemática
94 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com números negativos. De quantos
modos podemos escolher 4 etiquetas diferentes tal que o produto dos números nelas marcados seja positivo?
Solução:
Teremos o produto positivo em cada caso seguinte:
I) Escolhendo 4 etiquetas com números positivos; ou
II) Escolhendo 4 etiquetas com números negativos; ou
III) Escolhendo 2 etiquetas com números positivos e 2 com números negativos.
Números disponíveis: 6 positivos 6 negativos
↓ ↓
Possibilidades: 4 positivos 0 negativos C6,4
ou
0 positivos 4 negativos C6,4
ou
2 positivos 2 negativos C6,2 ⋅ C6,2
Vamos calcular o número de possibilidades de cada caso (lembrando que não importa a ordem das etiquetas).
I) O número de modos a escolher 4 números positivos, dispondo de 6 números positivos, é C6,4 .
6! 6 x 5 x 4!
C6,4 = = = 15
4!2! 4! x 2 x 1
II) Como temos também 6 números negativos, o número de modos de escolher 4 deles é C6,4 = 15.
III) Dos 6 positivos devemos escolher 2( C6,2 ) e, para cada escolha destes, dos 6 negativos devemos escolher
6!
também 2 (C6, 2). O número de possibilidades deste caso é C6,2 ⋅ C6,2 . Como C6,2 = = 15, temos
2!4!
15 ⋅ 15 = 225 possibilidades.
Então, o total de possibilidades para o produto positivo é 15 + 15 + 225 = 255.
95 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 – x) (1 + x)8.
Solução:
Quando multiplicamos (1 – x) pelo polinômio obtido desenvolvendo (1 + x)8, o termo em x5 resulta da adição de
dois produtos:
(1 – x) (1 + ... + termo em x4 + termo em x5 + ... + x8)
Termo em x5 = 1 ⋅ [termo em x5 de (1 + x)8] + [(– x) ⋅ termo em x4 de (1 + x)8]
⎛ 8 ⎞ 8−k k ⎛ 8 ⎞ k
O termo geral de (1 + x)8 é T = ⎜ k ⎟ ⋅ 1 ⋅ x = ⎜ k ⎟ x .
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛8⎞ 5 8! 5 8 x 7 x 6 5
Para k = 5 temos T = ⎜ 5 ⎟ x = x = x = 56x5.
⎝ ⎠ 5! 3! 3x 2x1
⎛8 ⎞ 4 8! 4 8 x 7 x 6 x 5 4
Para k = 4 temos T = ⎜ 4 ⎟ x = x = x = 70x 4 .
⎝ ⎠ 4! 4! 4x3x2x 1
Então, no produto (1 – x) (1 + x) 8 temos:
Termo em x5 = [1 x 56x5] + [(– x) ⋅ 70x4] = 56x5 – 70x5 = – 14x5
O coeficiente pedido é igual a – 14.
37
34. Matemática Professor: Fabrício Maia
96 Se A é uma matriz quadrada de ordem três com detA = 5, então o valor de det(2A) é:
A) 6 B) 11 C) 15 D) 30 E) 40
Solução:
Sabemos que:
det(k.A) = kn ⋅ det(A), onde:
n → é a ordem da matriz A
Então: det(2A) = 23 ⋅ det(A) = 8 ⋅ 5 = 40.
Resposta: E
97 Se a matriz A satisfaz A2 – 2A + I = 0, então A– 1:
A) não existe.
B) é igual a I.
C) é igual a A.
D) é igual a A – 2I.
E) é igual a 2I – A.
Solução:
Sabemos que: A ⋅ A– 1 = A –1 ⋅ A = I
Então:
A2 – 2A + I = 0 → I = 2A – A2→
→ I = 2AI – A2 → I = 2IA – AA →
→ I = (2I – A) ⋅ A → A–1 = 2I – A
Resposta: E
98 Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Para voltar
aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%.
Determine o valor de A.
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40
Solução:
80
Preço inicial = P → com desconto = P
14444244443 100
novo preço
80 A 80
Para voltar ao preço inicial, temos: P+ ⋅ P=P
100 100 100
A 80 20
⋅ P= P
100 100 100
A 1
=
100 4
A = 25
Resposta: C
38