SlideShare uma empresa Scribd logo
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                              Matemática
                                         140 questões resolvidas
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○



                          “A força não provém da capacidade física e sim de uma vontade indomável”
                                                                                        (Mahatma Gandhi)




 01 Os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x – 1 são:
    A) – 1 e 3            D) 0 e – 1
    B) – 1 e 2            E) 0 e 2
    C) – 3 e – 1

     Solução:
            ⎧ y = x 2 + bx
     Temos: ⎨ y = x − 1
            ⎩

                       x 2 + bx = x − 1
     Comparando:
                       x 2 + (b − 1) x + 1 = 0
     Como as equações têm um único ponto comum, então:
     Δ=0
     (b − 1)2 − 4 ⋅ 1⋅ 1 = 0
     (b − 1)2 = 4

     Daí: b − 1 = 2 → b = 3 ou b − 1 = −2 → b = −1
     Resposta: A

 02 Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g (2 – x) é:
    A) x > 0                 D) x > 1,5
    B) x > 0,5                E) x > 2
    C) x > 1

     Solução:
     Temos:
     f(x) > g(2 –x)
     4x + 1 > 42 – x
     (base > 1)
     Daí: x + 1 > 2 –x
                      1
     2x > 1 → x >
                      2
     Resposta: B

 03 log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a:
    A) 1                   D) 10
    B) 3                   E) 1.000
    C) 5

     Solução:
     Lembre: logb + logc = logb⋅c
                 a     a      a

     Temos: log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 = log 100000 = log 105 = 5

     Soma = 5
     Resposta: C


                                                                                                                                 5
Matemática                                                                                       Professor: Fabrício Maia

             04 Utilizando a tabela abaixo, conclui-se que 5 371.293 é igual a:
                A) 11                              N     log N
                B) 13
                                                      9   0,95
                C) 14                                11   1,04
                D) 15                                13   1,11
                E) 17                                15   1,18
                                                           17    1,23
                                                           ...     ...
                                                      371.293    5,55

                Solução:
                Tomando: n =     5
                                     371.293
                                                                          1
                Daí: log n = log     5
                                         371.293 → log n = log (371. 293) 5
                       1                                     1
                log n =  ⋅ log371.293 (veja tabela) → log n = ⋅ 5,55 → log n = 1,11 (veja tabela)
                       5                                     5
                logo: n = 13

                Resposta: B

             05 O número de pontos de interseção dos gráficos de y = 3 logx e de y = log 9x, sendo x > 0, é:
                A) 0               B) 1                C) 2                D) 3                 E) 4

                Solução:


                          {
                                    Sabemos :
                       y = 3 ⋅ logx
                Temos: y = log 9x f(x) = loga
                                              x

                                    (x > 0 e 0 < a ≠ 1)
                Comparando:
                 3 ⋅ log x = log9x
                 log x 3 = log9x

                Daí: x 3 = 9x
                     x 3 − 9x = 0
                     x(x 2 − 9) = 0
                     x = 0(n.s) ou x 2 − 9 = 0 → x = 3 ou x = −3(n.s)
                Resposta: B

                              ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞
                              ⎜ 2 ⎟+ ⎜ 3 ⎟
                              ⎝      ⎠ ⎝      ⎠
             06 A equação                           =1
                                     ⎛k + 2⎞
                                     ⎜ 5 ⎟
                                     ⎝     ⎠
                A)   não admite soluções.
                B)   admite uma solução entre 1 e 5.
                C)   admite uma solução entre 5 e 12.
                D)   admite uma solução entre 12 e 20.
                E)   admite uma solução maior que 20.

                Solução:


                        ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
                Lembre: ⎜ p ⎟ + ⎜ p + 1⎟ = ⎜ p + 1⎟
                        ⎝ ⎠ ⎝          ⎠ ⎝        ⎠


                     ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2 ⎞
                Daí: ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟
                     ⎝      ⎠ ⎝      ⎠ ⎝       ⎠



  6
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                        Matemática
                  ⎛ k + 2⎞
    Substituindo: ⎜ 3 ⎟
                  ⎝      ⎠
                                =1
                     ⎛ k + 2⎞
                     ⎜ 5 ⎟
                     ⎝      ⎠

                     ⎛ k + 2⎞ ⎛ k + 2⎞
                     ⎜ 3 ⎟=⎜ 5 ⎟
                     ⎝      ⎠ ⎝      ⎠


    logo: 3 + 5 = k + 2 → k = 6

    Resposta: C

07 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (1 + x2 – x3)9 é:
   A) – 1                B) 2             C) 1                  D) 3                   E) 4

    Solução:
    Sabemos:
    Se p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, com an ≠ 0, a soma dos coeficientes do polinômio é dada por p(1).
    Assim: A soma dos coeficientes de (1 + x2 – x3)9 é dada por: Scoef. =(1 + 12 – 13)9 = (1 + 1 – 1)9 = 1

    Resposta: C

08 Encontre o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (x2 + 2x + 1)4.
   Solução:
   Lembre:
                         ⎛n⎞
    Termo geral: Tp +1 = ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp
                         ⎝p⎠
    Temos: (x + 2x + 1)4 = [(x + 1)2]4 = (x +1)8
             2


                        ⎛ 8 ⎞ 8−p p
    Termo geral: Tp+1 = ⎜ p ⎟ ⋅ x ⋅ 1
                        ⎝ ⎠
    Queremos: 8 – p = 2 → p = 6

              ⎛8⎞ 2 6
    Daí: T7 = ⎜ 6 ⎟ ⋅ x ⋅ 1 = 28x
                                  2

              ⎝ ⎠
    Resposta: 28

                         ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞                  ⎛n⎞
09 Calcule n sabendo que ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
                         ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠                  ⎝ ⎠
   Solução:
            ⎛n ⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞                 ⎛n⎞
    Lembre: ⎜ 0 ⎟ + ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 2
                                                  n

            ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠                  ⎝ ⎠

         ⎛n⎞ ⎛n ⎞             ⎛n⎞
    Daí: ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
         ⎝ ⎠ ⎝ ⎠              ⎝ ⎠
         144443
           44244
                     ⎛n ⎞
               2n − ⎜ ⎟
                     ⎝0⎠


    Agora: 2n – ⎛ ⎞ = 8 ⋅ 191
                 n
                ⎜0⎟
                ⎝ ⎠
           2n − 1 = 8.191
           2n = 8.192
           2n = 213 → n = 13
    Resposta: 13


                                                                                                                           7
Matemática                                                                                        Professor: Fabrício Maia

             10 O número total de pares (x, y) que satisfazem a equação (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 é:
                A) infinito          B) 0                 C) 1               D) 2                 E) 4
                 Solução:

                 Se a,b ∈ 1 e n é par, então :
                 an + bn = 0 ⇔ a = b = 0
                 Temos: (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0

                      ⎧x2 + y2 − 1 = 0
                 Daí: ⎨
                      ⎩ xy = 0 → x = 0 ou y = 0
                      se x = 0 → y 2 = 1 → y = ±1
                      se y = 0 → x 2 = 1 → x = ±1
                      pares : (0,1),(0, −1),(1,0),( −1,0)
                 Resposta: E
             11 A parábola de equação y = x2 – 6 tem vértice M e corta o eixo x nos pontos A e B. Qual a área do triângulo
                ABM?
                 A) 1                        B) 6                      C)      6     D) 6 6          E) 12 6

                 Solução:
                 Lembre: f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0

                                                         b
                 Coordenadas do vértice: x v = −
                                                         2a
                                                         Δ
                                                  yv = −    ou y v = f(x v )
                                                         4a
                 Temos:
                 – Coordenadas do vértice:
                 y = x2 – 6
                       −0
                 xv =       → xv = 0
                       2 ⋅1
                 y v = 02 − 6 → y v = −6

                 Então: M(0; –6)

                 – Pontos de interseção com o eixo x:

                 x 2 − 6 =→ x = 6 ou x = − 6
                 A( − 6; 0) e B( 6, 0)

                 Logo, a área do ΔABM é dada por:

                            1
                 Área =       | DABM |
                            2
                                          0  −6 1
                            | DABM |=      6 0 1 = 12 6
                                         − 6 0 1

                           1
                 Área:       ⋅ 12 6 = 6 6 u.a
                           2

                 Resposta: D

                                                                                   4
             12 A distância do vértice da parábola y = (x – 2)(x – 6) à reta y =     x +5 é:
                                                                                   3
                      72                           29                                    43                   43
                 A)                          B)                         C) 43       D)                   E)
                      25                           25                                    25                   5


  8
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                               Matemática
      Solução:
      I) f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0

         Coordenadas do vértice: ⎧ x = x1 + x 2
                                 ⎪ v
                                 ⎨           2
                                 ⎪ y v = f(x v )
                                 ⎩

      II) Distância de um ponto a uma reta.

                         ax + by + c = 0



                                                              | ax 0 + by 0 + c |
                                                     dp,r =
                                                                    a2 + b2


  r                                 P(xo, y o)


      Temos: y = (x − 2) ⋅ (x − 6) → parábola
             raízes : 2 e 6
                   2+6
             xv =        =4
                     2
             y v = f(4) = (4 − 2) ⋅ (4 − 6) = 2 ⋅ ( −2) = − 4


      Distância do vértice à reta:


                                4x – 3y + 15 = 0


                                                                         | 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −4) + 15 |
                                                                   d=
                                                                                42 + ( −3)2
                          d = ???                                        43
                                                                    d=
                                                                         5
                                     (4, – 4)



      Resposta: E


13 Resolvendo a inequação log1/2(2x + 1) > log1/2(– 3x + 4), obtemos:
             1     4                             4                         3                          1     3        3     4
      A) −     <x<               B) 0 < x <                       C) x <                      D) −      <x<     E)     <x<
             2     3                             3                         5                          2     5        5     3

      Solução:


      Lembre: loga > loga → x < y
                  x     y

                 (0 < base < 1)


      Temos: log 1 (2x + 1) > log 1 ( −3x + 4)
                   2                 2




             ⎧                                3
      Então: ⎪2x + 1 < −3x + 4 → 5x < 3 → x <
                                              5
             ⎪
             ⎪                        1
             ⎨2x + 1 > 0(C.E) → x > −
             ⎪                        2
             ⎪ −3x + 4 > 0 (C.E) → x < 4
             ⎪
             ⎩                          3



                                                                                                                                  9
Matemática                                                                                      Professor: Fabrício Maia

                Interseção                                          (I)                                      (III)
                                                        3                                           4
                                                        5                                           3
                                                                    (II)                                     (I) Δ (II) Δ (III)
                                      −1                                                −1          3
                                      2                                                 2           5
                Resposta: D
             14 Se o número complexo z = 1 – i é uma das raízes da equação x10 – a = 0, o valor de a é:
                A) 16            B) 32            C) 64                D) – 16i                 E) – 32i

                Solução:
                Temos: x10 = a, se z é raiz, então z10 = a.

                Daí: a = (1 − i)10
                     a = [(1 − i)2 ]5
                     a = ( −2i)5
                     a = −32i5 → a = −32i
                Resposta: E
             15 A reta y = ax + 1 intercepta a curva x2 + 4y2 = 1 somente num ponto. Calcule 8a2.
                Solução:
                       ⎧y = ax + 1
                Temos: ⎨ 2
                       ⎩x + 4y = 1
                               2


                Substituindo (I) em (II): x 2 + 4(ax + 1)2 = 1
                                          x 2 + 4a2x 2 + 8ax + 4 − 1 = 0
                                            x 2 (1 + 4a2 ) + 8ax + 3 = 0 (Equação do 2o grau)



                Condição:
                Δ = 0 (única solução)

                Daí: (8a)2 − 4 ⋅ (1 + 4a2 ) ⋅ 3 = 0
                     64a2 − 12 − 48a2 = 0
                     16a2 = 12
                      8a2 = 6
                Resposta: 6

             16 A condição para que o trinômio mx2 + (m + 1)x + 1 seja sempre positivo, qualquer que seja x, é que:
                A) m > 0
                B) (m + 1)2 + 4m < 0
                C) (m − 1)2 ≤ 0
                D) m ≠ 1,m > 0
                E) não há valores de m tais que o trinômio proposto, qualquer que seja x, se torne sempre positivo.
                Solução:
                Devemos ter:


                       +     +   +    +    +    +
                                                            {
                                                            Δ<0
                                                            a>0
                1ª condição: a > 0 → m > 0

                2ª condição: Δ < 0 → (m + 1) − 4 ⋅ m ⋅ 1 < 0 →
                                            2

                             → m + 2m + 1− 4m < 0 → m2 − 2m + 1 < 0 →
                                  2

                             → (m − 1)2 < 0(absurdo, pois,(m − 1)2 ≥ 0, ∀m ∈ 1 )
                Resposta: E




 10
Professor: Fabrício Maia

17 Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução de f[f(x)] = 3, é:




                                                                                                                        Matemática
   A) {1}               B) {2}                 C) {3}                    D) {1, 2, 3}               E) vazio

    Solução:        A                                        A
    Temos:

                    1                                        1
                    2                                        2       se x = 1 → f(f(1)) = f(3) = 2 → f(f(1)) = 2(n.s)
                    3                                        3       se x = 2 → f(f(2)) = f(1) = 3 → f(f(2)) = 3(OK)
                                                                     se x = 3 → f(f(3)) = f(2) = 1 → f(f(3)) = 1(n.s)
                                                                     S = {2}
    Resposta: B
                                                                                                                 6S
18 Seja S a soma, em radianos, das raízes da equação 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0, x ∈[0, π]. Calcule            .
                                                                                                                 π
    Solução:
                                          ⎛ p +q⎞     ⎛ p −q ⎞
    Fórmula de Werner: cosp + cosq = 2cos ⎜       cos ⎜
                                          ⎝   2 ⎟
                                                ⎠     ⎝ 2 ⎠
                                                             ⎟

           ⎧                                ⎛x⎞       ⎛x⎞
    Temos: ⎪ 1+ cos x = cos0 + cos x = 2cos ⎜ ⎟ ⋅ cos ⎜ ⎟
           ⎪                                ⎝ 2⎠      ⎝ 2⎠
           ⎨
           ⎪ cos2x + cos3x = 2cos   ⎛ 5x ⎞    ⎛x⎞
           ⎪                        ⎜ 2 ⎟ cos ⎜ 2 ⎟
           ⎩                        ⎝ ⎠       ⎝ ⎠

                ⎛x⎞     ⎛x⎞        ⎛ 5x ⎞  ⎛x⎞
    Então: 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ + 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = 0
                ⎝ 2⎠    ⎝ 2⎠       ⎝ 2⎠    ⎝ 2⎠

                  ⎛x⎞ ⎡      ⎛x⎞       ⎛ 5x ⎞ ⎤
             2cos ⎜ ⎟ ⋅ ⎢cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎥ = 0
                  ⎝ 2⎠ ⎣     ⎝ 2⎠      ⎝ 2 ⎠⎦

                  ⎛x⎞           ⎛ 3x ⎞
             2cos ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ cos ( − x) = 0
                  ⎝ 2⎠          ⎝ 2⎠

                   ⎛x⎞     ⎛ 3x ⎞
             4 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ cos(x) = 0
                   ⎝2⎠     ⎝ 2⎠

               x      x π
    Daí: cos     = 0 → = + kπ → x = π + 2kπ
               2      2 2
         ou
               3x     3x π          π 2kπ
         cos      =0→   = + kπ → x = +
               2      2 2           3 3
         ou
                        π
         cos x = 0 → x =  = kπ
                        2
                          π    π
         se k = 0 → x = π, ou
                          3    2
         se k = 1, 2, 3, ... → raízes já encontradas ou fora do intervalo dado.
               π π
    Raízes: π, ,
               2 3
                                     π π 6 π + 3π + 2π
    Soma das raízes = S = π +         + =
                                     2 3       6
                               11π
                          S=
                                6
            6S
    Logo :      = 11
             π
    Impor tan te :
    cos( − x) = cos(x), ∀x ∈ Df
    Resposta: 11


                                                                                                                         11
Matemática                                                                                            Professor: Fabrício Maia

                                      3    x(1 − x)
             19 A função f(x) =         x−          é crescente, para todo x pertencente a:
                                      2       4
                    ⎡ 25    ⎞                       ⎡ 25    ⎞              ⎡ 5     ⎞             ⎡    5⎞
                 A) ⎢− , +∞ ⎟                    B) ⎢− , +∞ ⎟           C) ⎢− , +∞ ⎟          D) ⎢ −∞, ⎟         E) 1
                    ⎣ 16    ⎠                       ⎣ 4     ⎠              ⎣ 2     ⎠             ⎣    4⎠

                Solução:

                                 3      x – x2
                Temos: f(x) =       x−
                                 2        4
                                 6x − x + x 2
                          f(x) =
                                       4
                                 x 2 + 5x
                          f(x) =
                                     4
                                  1 2 5
                           f(x) = x + x
                                 4        4

                Parábola
                                          crescente

                                              5
                                            −
                                                  5
                                       xv = 4 = −
                                              1   2
                                           2⋅
                                              4

                 f é crescente ∀ x ≥ − 5
                                       2

                Resposta: C

             20 Se p e q são raízes não-nulas de x2 + 5px – 8q = 0, calcule p + q.

                Solução:

                Girard

                 {x1 + x 2 = −5p
                  x1 ⋅ x 2 = −8q
                Daí:

                 {p + q = −5q
                  p ⋅ q = −8q

                 2ª equação

                p ⋅ q = −8q (como q é diferente de zero)
                Temos:

                  p = −8
                 Logo :
                 p + q = −5p
                 p + q = −5 ⋅ ( −8)
                  p + q = 40


                Resposta: 40

             21 Quantos valores inteiros satisfazem a inequação (2x – 7) (x – 1) ≤ 0.
                A) zero                B) 1               C) 2             D) 3                     E) 4




 12
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                       Matemática
                              Estudo do sinal
    Solução:
                           – – –            + + +
                                             7
                                             2

                        – – –                + + +
                                   1


                         + +           – –           + +
                                                             produto
                               1                 7
                                                 2
    Inteiros: 1, 2, 3
    Resposta: D
22 Sobre a equação 1.983x2 – 1.984x – 1.985 = 0, a afirmativa correta é:
   A) não tem raízes.                                   D) tem duas raízes positivas.
   B) tem duas raízes simétricas.                       E) tem duas raízes negativas.
   C) tem duas raízes reais distintas.
    Solução:
    Temos: Δ = B2 − 4ac
           Δ = ( −1984)2 − 4.1983 ⋅ ( −1985)
           Δ = 1984 2 + 4.1983 ⋅ 1985

    Então :
    Δ > 0 → raízes reais e distintas
    Resposta: C
23 Seja f uma função real tal que f (x + 1) = (f (x))2 e f (0) = 10. Então f (4) é igual a:
   A) 1016                B) 100                    C) 10258              D) 101              E) 121
    Solução:
    Temos que:
    f(x + 1) = [f(x)]2
    se x = 0 → f(1) = [f(0)]2 → f(1) = 102
    se x = 1 → f(2) = [f(1)]2 → f(2) = 104
    se x = 2 → f(3) = [f(2)]2 → f(3) = 108
    se x = 3 → f(4) = [f(3)]2 → f(4) = 1016

    Resposta: A
24 Se o domínio da função f, definida por f(x) = 1 – 2x, é o intervalo ]–3, 2], então Imf é:
   A) ]–7, 3]          B) [–3, 7[            C) ]–3, 7]           D) [–3, 5[            E) ]–3, 3]
    Solução:
                               1− y
    Temos: y = 1 − 2x → x =
                                2
    Veja: x ∈] − 3,2]
    Então: −3 < x ≤ 2

    Agora :
         1− y
    −3 <       ≤2
           2
    −6 < 1 − y ≤ 4
    −7 < − y ≤ 3
    7 > y ≥ −3
    ou
     −3 ≤ y < 7 → y ∈ [−3,7[

    Resposta: B



                                                                                                        13
Matemática                                                                                              Professor: Fabrício Maia

             25 Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, ∀x ∈ 1 , então f(1 – x) vale:
                A) 2 – x2              B) 2 + x2         C) x2 + 2x – 4               D) 3x2 – 2x + 4             E) x2 + x – 1

                 Solução:
                                                     k−3
                 Tomando: 2x + 3 = k → x =
                                                      2

                 Então:
                                   2
                          ⎛k −3⎞       ⎛k − 3⎞
                 f(k) = 4 ⎜      ⎟ + 6⎜ 2 ⎟ +1
                          ⎝ 2 ⎠        ⎝       ⎠
                 f(k) = (k − 3)2 + 3(k − 3) + 1
                  f(k) = k 2 − 3k + 1
                 Agora:

                 f(1 − k) = (1 − k)2 − 3(1 − k) + 1
                 f(1 − k) = k2 + k − 1

                 Por tanto :
                 f(1 − x) = x 2 + x − 1
                 Resposta: E

             26 A distância do centro da circunferência x2 + y2 – 6x – 8y + 21 = 0 à bissetriz do Iº e IIIº quadrantes, vale:

                                                                                        3                     2
                 A)     5                  B)    2                C)   3         D)                     E)
                                                                                       2                     2
                 Solução:

                 Circunferência
                 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
                 Centro (a,b)

                 Daí:
                 – 2a = – 6 → a = 3
                 – 2b = – 8 → b = 4


                 Bissetriz dos quadrantes ímpares

                                            x−y=0
                 y=x




                                           C(3,4)

                               | 1⋅ 3 − 1⋅ 4 + 0 |       1    2
                 distância =                         =     =
                                   1 + ( −1)
                                       2     2
                                                         2   2


                 Resposta: E


                                3
             27 A reta y =        x é tangente a uma circunferência do centro (2, 0). O raio dessa circunferência é:
                               3
                 A) 3                      B) 2                   C)   3         D) 1                   E) 0,5




 14
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                             Matemática
    Solução:
                      (2,0)
                                         3x − 3y = 0




    distância de um ponto a uma reta.

         | 3 ⋅ 2 − 3⋅0 + 0 |       2 3
    R=                         =
         ( 3)2 + ( −3)2             12
       2 3
    R=
       2 3
    R =1
    Resposta: D
28 Se S = 1! + 2! + 3! + ... + 89!, então o dígito das unidades de S é:
   A) 1                 B) 3                 C) 5                D) 7                          E) 9

    Solução:
    Veja:
    1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24
    A partir de 5!, os resultados serão múltiplos de 10.
    Então:
    S = 1+4 + 6 424 + 5!4 ... 4 89!
        1 4 2 2 +4
              4 4 3 1 + 2+4    4      3
              33               múltiplo de 10
    S = 3 + 14243
            30 + 10α’
         múltiplo de 10
    S = 3 + 10α → dígito das unidades é 3.

    Resposta: B
                                                     kx +2y = −1
                                                                {
29 O sistema linear de equações nas incógnitas x e y 2x − y = m é impossível se, e somente se:

                        1                              1                      1                                          1
    A) k = – 4 e m ≠            B) k ≠ − 4 e m =           C) k ≠ − 4 e m ≠       D) k = − 4          E) k = − 4 e m =
                        2                              2                      2                                          2
    Solução:

              {
            kx + 2y = −1
    Sistema 4x − 2y = 2m

    Somando: (k + 4)x = 2m − 1
    Impossível
    ⎧k + 4 = 0 → k = −4
    ⎪
    ⎨2m − 1 ≠ 0 → m ≠ 1
    ⎪
    ⎩                 2
    Resposta: A

30 Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b, são dados pontos P em OA e Q em OB
   de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nessas condições o valor de x é:
    A)   ab − a − b
    B) a + b − 2ab
    C)   a2 + b2
    D) a + b + 2ab
    E)   ab + a + b




                                                                                                                              15
Matemática                                                                                                          Professor: Fabrício Maia

                Solução:
                                                                                             o
                Pitágoras                                                              a–x
                                                                                                 b–x
                                                                                       P
                 x = (a − x) + (b − x)
                  2          2           2
                                                                                   x                   Q
                 x 2 = a2 − 2ax + x 2 + b2 − 2bx + x 2                                                      x

                 x 2 − 2(a + b)x + a2 + b2 = 0                             A                                    B
                 Δ = [−2(a + b)]2 − 4 ⋅ 1(a2 + b2 )
                 Δ = 4(a + b)2 − 4(a2 + b2 )
                 Δ = 8ab
                Daí:

                        2(a + b) ± 8ab 2(a + b) ± 2 2ab
                 x2 =                 =
                               2               2

                 x = a + b + 2ab (absurdo, veja figura) ou
                 x = a + b − 2ab

                Resposta: B
             31 Num triângulo retângulo de catetos 1 e                 3cm , a altura relativa à hipotenusa mede, em cm:

                                                                                                            3             2
                A) 2                         B) 3                     C)       3                 D)                 E)
                                                                                                           2             2
                Solução:                 A
                Temos:               1                    3
                                         h
                                 B                                    C
                                                      a

                Relações métricas
                I) a2 = 12 + ( 3)2 → a2 = 4 → a = 2

                                                               3
                II) 1⋅ 3 = a ⋅ h → 3 = 2h → h =
                                                              2
                Resposta: D
                                                              f(10−8 ) − f(103 )
             32 Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de                                é:
                                                                 10−8 − 103
                A) 104                       B) 102                    C) 10                     D) 10–5            E) 10–11
                Solução:
                Saiba:
                Se f(x) = ax + b, com a ≠ 0, então:
                 f(s) − f(v)
                             = a, com s ≠ v.
                    s−v
                      f(10−8 ) − f(103 )
                Assim,                   = 100 (coeficiente angular)
                         10−8 − 103
                Resposta: B

             33 Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é:
                A) 8               B) 9               C) 10               D) 11                                     E) 12

                Solução:
                                                                               n(n − 3)
                Lembre: Fórmula do número de diagonais d =                              .
                                                                                  2
                Então: 54 = n(n – 3)
                               2

                     n2 – 3n – 108 = 0
                      n = 12 ou n = –9 (n.s)
                Resposta: E


 16
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                    Matemática
34 O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem, exatamente:
   A) 15 diagonais
   B) 20 diagonais
   C) 25 diagonais
   D) 30 diagonais
   E) 35 diagonais
   Solução:
   Lembre: Soma dos ângulos internos Si = (n – 2) ⋅ 180º

   Então: 1440º = (n − 2) ⋅ 180º

                            1400º
                                  =n−2
                            180º

                            8 =n−2
                            n = 10

                           n(n − 3) 10 ⋅ 7
   Portanto: d =                   =
                              2       2

                        d = 35
   Resposta: E

35 Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo AEB, em graus, é:
   A) 30               D) 75
   B) 49               E) 90
   C) 60
   A                       D
                    E



   B                       C

   Solução:
   Figura:
   A                        D
                    E
                x

        θ
            α
    B                       C
   ΔBCE é eqüilátero → α = 60º
   ABCD é um quadrado → θ = 30º
   Veja: BC ≡ BE (lado do quadrado = lado do ΔBCE)
   Daí: ΔABE é isósceles
                                 A
                                 x
                                     x    E
                                               θ + 2x = 180º
                    θ                          30º + 2x = 180º
        B                                      x = 75º
   Resposta: D
36 Na figura abaixo, EFG é um triângulo retângulo, EF = 2cm , EG = 6cm e EP = PQ = QG. Então α + β + θ é igual a:

            π                             7π                     4π        π   F
   A)                                B)                     C)        D)
            3                             18                     9         2

                                                                                    α        β         θ
                                                                               E        P          Q         G


                                                                                                                     17
Matemática                                                                                     Professor: Fabrício Maia

                Solução:
                  F

                 2
                               α            β              θ
                  E        2       P        2        Q     2      G

                             2
                 ΔEPF → tgα =  → tgα = 1→ α = 45º
                             2
                             2         1
                 ΔEQF → tgβ = → tgβ =
                             4         2
                             2         1
                 ΔEGF → tgθ = → tgθ =
                             6         3

                                                 tgβ + tgθ
                Sabemos: tg(β + θ) =
                                                1− tgβ ⋅ tgθ

                                    1 1   5
                                     +
                Então: tg(β + θ) =  2 3 = 6 =1
                                     1 1 5
                                   1− ⋅
                                     2 3 6

                          tg(β + θ) = 1 → β + θ = 45º

                Portanto: α +β+ θ = 90º

                Resposta: D

             37 A área compreendida entre as retas 4y = x – 2, y = 2x – 4 e x = 0 é igual a:
                A) 3,0 u.a         B) 3,5 u.a          C) 4,0 u.a            D) 4,5 u.a        E) 6,0 u.a

                Solução:
                Temos:
                      ⎧     x −2
                      ⎪ y= 4
                      ⎪
                retas ⎨ y = 2x − 4
                      ⎪ x = 0 (eixo y)
                      ⎪
                      ⎩

                Gráfico:
                      y                y = 2x − 4

                                                    x −2
                                            y=
                                                      4
                                                x
                      A        C


                           B               −1
                                   A(0,       );B (0, − 4) e C(2,0)
                                            2


                          1
                          0 −          1
                          2
                DABC = 0 −4            1 = −1+ 8 = 7
                       2 0             1

                Logo:
                           1      7
                Área =       ⋅ 7 = u.a
                           2      2

                Resposta: B


 18
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                    Matemática
38 A razão de uma progressão geométrica, cujos termos são os três lados de um triângulo retângulo é:

         1+ 5                         1+ 2                  1+ 3             1+ 2
    A)                         B)                  C)                   D)
           2                            5                     2                3

    Solução:
                                      C
        ⎛x      ⎞                     x                xq
    P.G.⎜ ;x;xq ⎟
        ⎝ q     ⎠                     q
                                      A                x            B

                                  2
                            ⎛x⎞
              (xq)2 = x 2 + ⎜ ⎟
    Pitágoras               ⎝q⎠
                           x2
              x 2q2 = x 2 + 2
                           q


                                                      1
                                             q2 = 1+
                                                     q2
    Dividindo ambos os membros por x2        q4 − q2 − 1 = 0
                                                  1± 5           1+ 5
                                             q2 =         → q2 =
                                                     2             2



                      1+ 5
    Portanto: q =
                        2

    Atenção!!! q é positivo.

    Resposta: A

39 Sejam a e b números reais. Se a > b > 0, a2 – b2 = 4 e log2(a + b) – log3(a – b) = 2, então a2 + b2 é igual a:
   A) 13/2            B) 15/2              C) 17/2                  D) 19/2

    Solução:
    Fazendo: log2 (a + b) = x → a + b = 2x
             log3 (a − b) = y → a − b = 3y

    Sistema: ⎧2 ⋅ 3 = 4
               x   y
             ⎨
             ⎩x − y = 2 → x = 2 + y

    Substituindo: 2x ⋅ 3y = 4
                  22+y ⋅ 3y = 4
                  22 ⋅ 2y ⋅ 3y = 4
                  4 ⋅ 6y = 4
                  6y = 1 → y = 0 → x = 2


           {
    Assim: a + b = 4
           a−b =1

                      5     3
    Resolvendo: a =     eb=
                      2     2
                      34 17
    Logo: a2 + b2 =      =
                       4   2

    Resposta: C




                                                                                                                     19
Matemática                                                                                                Professor: Fabrício Maia

             40 Se x1 e x2 são as raízes da equação 32logx 3 = xlogx (3x) , então 9(x1 + x2) é igual a:
                A) 22                  B) 24                C) 26                    D) 28

                 Solução:
                 Lembre: I) aloga b = b
                         II)Se loga b = x → ax = b
                 Temos: 32logx 3 = xlogx 3x
                 Então: 3
                          2logx 3
                                    = 3x
                                                        1
                 Tomando: log3 x = k → logx 3 =           e x = 3k
                                                        k
                                         1
                                      2.
                 Substituindo: 3        k    = 3 ⋅ 3k
                                      2
                                     3k = 3k +1

                                              2
                 Comparando: k + 1 =
                                              k
                                      k2 + k − 2 = 0
                                                                 1
                                      k = −2 → x = 3−2 → x =
                                                                 9
                                      ou
                                      k = 1 → x = 31 →= 3
                                      Logo :
                                                       ⎛1    ⎞
                                      9(x1 + x 2 ) = 9 ⎜ + 3 ⎟ = 1+ 27 = 28
                                                       ⎝9    ⎠

                 Resposta: D
                                                           3
             41 O número de raízes de equação                + cos x = 0 é:
                                                           2
                 A) 0                            B) 1              C) 2              D) 3                 E) maior que 3

                 Solução:
                 Sabemos: −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x.

                          3
                 Temos:     + cos x = 0
                          2
                                    3
                          cos x = −
                                    2
                          cos x = −1,5 (absurdo, pois o mínimo de cos x é – 1)
                 Resposta: A

             42 O número de raízes da equação tg2x – sen2x = 0, 0 ≤ x < 2π, é:
                A) 0                B) 1               C) 2                 D) 3                          E) maior que 3

                 Solução:
                          sen2x
                 Temos:           − sen2x = 0
                          cos2 x
                          sen2x − sen2x cos2 x = 0
                          sen2x(1 − cos2 x) = 0
                          sen2x ⋅ sen2x = 0
                          sen4 x = 0
                 Daí: senx = 0
                      x = 0 ou x = π

                 Resposta: C



 20
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                 Matemática
                                          ∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 2p = 729
                                           n
                                                 n
43 Determine n, sabendo que                 ⎜ ⎟
                                            ⎝ ⎠
                                          p =0

                          n
                             ⎛n⎞
    Solução: (a + b)n = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp (binômio de Newton)
                        p =0 ⎝ ⎠
                              p


            ∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 1n−p ⋅ 2p = (1+ 2)n = 3n
             n
                  n
    Veja:     ⎜ ⎟
              ⎝ ⎠
            p=0


    Então: 3n = 729 → n = 6

    Resposta: 6

44 O domínio real da função f(x) =                   2senx − 1 para 0 ≤ x < 2π, é:
         π     5π                                π    5π                                              π     2π
    A)     ≤x≤                    B) 0 ≤ x ≤       ou    ≤ x < 2π                 C) 0 ≤ x < π   D)     ≤x≤
         6      6                                6     6                                              3      3

    Solução:
                                                                   s
    Condição:
                                                     150º              30º
    2senx − 1 ≥ 0                                            1
                                                             2
            1
    sen x ≥                                                                   c
            2

            π     5π
    Daí:      ≤x≤
            6      6

    Resposta: A

45 Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contêm exatamente 18 elementos é:
   A) 360              B) 190             C) 180             D) 120            E) 18

    Solução:
    Temos: M = {a1, a2, a3 ..., a20}.
    A ordem dos elementos não altera um conjunto.
    Daí: nº de subconjuntos com 18 elementos = C20, 18

    Resposta: B

46 Se Cn, 2 + 2.An,2 + 100 = A2n, 2, então n é igual a:
                                                                                                        25
    A) 24                        B) 8                       C) 6               D) 10             E) −
                                                                                                         3
    Solução:

                             n!        n ⋅ (n − 1)
    Temos: Cn,2 =                   =
                        (n − 2)!2!          2
                           n!
                 An,2 =          = n ⋅ (n − 1)
                         (n − 2)
                            (2n)!
                 A2n,2 =            = (2n) ⋅ (2n − 1)
                          (2n − 2)!

          n(n − 1)
    Então:         + 2 ⋅ n(n − 1) + 100 = (2n)(2n − 1)
             2
          n2 − n + 4n2 − 4n + 200 = 8n2 − 4n
          3n2 + n − 200 = 0
                              25
          n = 8 ou n = − (n.s)
                               3
    Resposta: B


                                                                                                                  21
Matemática                                                                                              Professor: Fabrício Maia

             47 Deseja-se acondicionar em um certo número de caixas, 1590 bolinhas brancas, 1060 amarelas e 583 azuis, de
                modo que cada caixa contenha bolinhas de todas as cores. Calcule o número máximo de caixas de modo que
                qualquer dessas caixas contenha, para cada cor, quantidades iguais de bolinhas.
                 Solução:
                 x → número de caixas.
                 p → quantidade de bolas brancas em cada caixa.
                 q → quantidade de bolas amarelas em cada caixa.
                 r → quantidade de bolas azuis em cada caixa.
                          1590
                 Temos:        =p
                            x

                          1060
                               =q
                            x

                          583
                              =r
                           x


                 Veja: x = m.d.c. (1590,1060,583)
                        x = 53

                 * MDC (1590, 1060) = 530                                              * MDC (530, 583) = 53

                                 1         2                                                      1     10
                      1590     1060       530                                             583     530   53

                       530       0                                                                 0

                    Resposta: 53
             48 Sejam N o conjunto dos números inteiros positivos e E = {(x,y) ∈ N2; x4y4 – 10x2y2 + 9 = 0}. Determine o número
                de elementos de E.
                Solução:
                 Temos: x 4 y 4 − 10x 2y 2 + 9 = 0
                        (x 2y 2 )2 − 10x 2y 2 + 9 = 0
                 Fazendo: x 2 y 2 = k

                 Equação: k 2 − 10k + 9 = 0
                          k = 1 → x 2 y 2 = 1 → (xy)2 = 1
                             ou k = 9 → x 2 y 2 = 9 → (xy)2 = 9
                 Como x e y são inteiros positivos, tem-se:

                 xy = 1 → (1,1)
                 ou
                 xy = 3 → (1,3) ou (3,1)
                 E = {(1,1),(1,3),(3,1)}

                 Resposta: 3


                                                                  2x + 3       3
             49 Considere a função real definida por f(x) =              ,x ≠ − .
                                                                  1    1       2
                                                                    x+
                                                                  3    2

                 Então o valor da soma 1⋅ f(1) + 2 ⋅ f(2) + 3 ⋅ f(3) + ... + 20 ⋅ f(20) é:
                 A) 120              B) 600                     C) 210                   D) 620         E) 1.260




 22
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                   Matemática
   Solução:
                      2x + 3              6
   Temos: f(x) =             = 2x + 3 ⋅
                      2x + 3            2x + 3
                        6

   Então: f(x) = 6
   Agora:
   Soma: 1⋅ 6 +2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 + ... + 20 ⋅ 6
   Soma: (1+ 2 + 3 + ... + 20) ⋅ 6

   Soma: (1+ 20) ⋅ 20
                      ⋅ 6 = 21⋅ 10 ⋅ 6 → Soma = 1.260
              2
   Resposta: E
50 Sejam x e y números reais satisfazendo as equações logy x + logx y = 2 e x2y + y2 = 12x. Determine o valor do
   produto xy.

   Solução:
                                              1
   Tomando: logy x = m → logx y =
                                              m
            1
   Daí: m +   =2
            m
         m − 2m + 1 = 0
          2


         m =1 → x = y
   Substituindo na 2ª equação x 2y + y 2 = 12x
                              x 2 ⋅ x + x 2 = 12x
                              x 3 + x 2 − 12x = 0
                              x(x 2 + x − 12) = 0
                              x = 0 (n.s) ou x = −4 (n.s)
                              ou
                               x=3 → y=3
   Resposta: 9
51 Os conjuntos A e B possuem 3 e 4 elementos, respectivamente. Quantas funções de A em B têm o conjunto
   imagem igual a B?
   A) Nenhuma          B) 34             C) 43              D) 3!             E) 4!
   Solução:
   Veja:
   I) Numa função de A em B devemos ter todos os elementos de A associados a um único valor em B.
   II) Se o conjunto imagem é o próprio B, então existe um elemento em A com duas imagens, pois todos os
       elementos de A estão associados.
       Portanto, não existem funções de A em B sobrejetoras.
   Resposta: A
52 As funções injetoras de A = {1, 2, 3, 4} em B = {5, 6, 7, 8, 9, 0} são em número de:
   A) 720               B) 360               C) 15                 D) 24             E) 30
   Solução:
   Lembre:
   Se f é injetora, então:
   x1 ≠ x 2 → f(x1 ) ≠ f(x 2 )
   Daí:         A
                  1                           f(1): 6 possibilidades em B
                  2                           f(2): 5 possibilidades em B
                  3                           f(3): 4 possibilidades em B
                  4                           f(4): 3 possibilidades em B

   Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6.5.4.3 = 360 funções injetoras
   Resposta: B



                                                                                                                    23
Matemática                                                                                             Professor: Fabrício Maia

             53 Para ser aprovado numa disciplina, um aluno precisa ter média maior ou igual a 50, obtida num conjunto de 5
                provas, sendo quatro parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame, com peso 2 (dois). Um certo aluno
                obteve em matemática, nas quatro provas parciais, notas iguais a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado
                nessa disciplina, deverá obter, na prova-exame, nota mínima igual a:
                A) 20                 B) 35               C) 40              D) 45                 E) 50

                 Solução:
                                        1⋅ 30 + 1⋅ 60 + 1⋅ 50 + 1⋅ 70 + 2 ⋅ x 210 + 2x
                 Média ponderada =                                           =
                                                         6                       6

                          210 + 2x
                 Temos:            ≥ 50
                              6
                          210 + 2x ≥ 300
                          2x ≥ 90
                          x ≥ 45 → xmin = 45

                 Resposta: D

             54 O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão n por 4 é:
                A) 0                 B) 1                  C) 2                 D) 3                   E) 4

                 Solução:
                 Temos:        n   12
                               7   q

                 Daí: n = 12q + 7
                      n = 12q + 4 + 3
                      n = 4(3q + 1) + 3
                      n = 4q'+ 3, onde q' = 3q + 1


                 Veja:         n   4
                               3   q’


                 Resposta: D

             55 Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015?
                A) 25               B) 50              C) 64               D) 75                       E) 250

                 Solução:
                 Temos: 1015 = (2 ⋅ 5)15 = 215 ⋅ 515
                 Veja:
                 (A) 25 = 52 divide 1015 (OK)
                 (B) 50 = 2 ⋅ 52 divide 1015 (OK)
                 (C) 64 = 26 divide 1015 (OK)
                 (D) 75 = 3 ⋅ 52 não divide 1015 (problema fator 3)
                 (B) 250 = 2 ⋅ 53 divide 1015 (OK)

                 Resposta: D

             56 A fração geratriz de 3,74151515... é:
                      37.415                 3.741.515            37.041                      37.041        370.415
                 A)                     B)                   C)                          D)            E)
                      10.000                  10.000              9.900                       9.000         99.000

                 Solução:
                                   37.415 − 374 37.041
                 Temos: 3,7415 =               =
                                      9.900      9.900

                 Resposta: C



 24
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                          Matemática
57 Se A e B são conjuntos, A – (A – B) é igual a:
   A) A                B) B                 C) A – B                                    D) A ∪ B         E) A ∩ B

                                   B
    Solução: A                                                     Lembre: A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
                                                                   É fácil ver:
                                                                                A – (A – B) = A ∩ B
                  A–B



    Resposta: E

                                                                                                                    a
58 O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão                          ?
                                                                                                                    b
                                                                       a


                                                          b




         5                         2                                                         3                1
    A)                        B)                                   C) 2                 D)               E)
         3                         3                                                         2                2

    Solução:

    Sendo x a medida do lado do menor quadrado, os outros quadrados terão seus lados com as medidas indicadas
    na figura.
                          34444244441  5x
                    1442443




                                           1 2 31 4




                              3x                          2x
                                            4 4 43




                                   2x
                 3x                                       2x
                                                 2




                                       x
                                                      x        x

    Assim: a = 5x e b = 3x
                a 5
    Portanto,    =
                b 3

    Resposta: A

59 A equação x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, de coeficientes reais, admite as raízes 2 – i e 3 + 2i. Então d é:
   A) 75               B) 65               C) 25                 D) 15                E) 10

    Solução:
    Sabemos que:
    Se os coeficientes de um polinômio P(x) são reais, então: a + bi raiz de P(x) → a – bi também é:

    Temos:
    2 – i raiz → 2 + i também é.
    3 + 2i raiz → 3 – 2i também é.

    Daí, aplicando Girard na equação: x1.x 2.x3.x 4 = d
                                      (2 − i) ⋅ (2 + i) ⋅ (3 + 2i) ⋅ (3 − 2i) = d
                                      (4 − i2 ) ⋅ (9 − 4i2 ) = d
                                      5 ⋅ 13 = d
                                       d = 65

    Resposta: B



                                                                                                                           25
Matemática                                                                                            Professor: Fabrício Maia

                                                            2x 2 − 8x
             60 O número de soluções reais da equação                 = x é:
                                                            x 2 − 4x
                 A) 0                  B) 1                 C) 2                 D) 3                     E) 4

                 Solução:
                 Temos:

                 2x 2 − 8x
                             =x
                  x 2 − 4x
                 2x − 8x = x 3 − 4x 2
                     2

                 x 3 − 6x 2 + 8x = 0
                 x(x 2 − 6x + 8) = 0
                 x = 0 (n. serve) → denominador nulo

                 ou

                 x 2 − 6x + 8 = 0
                 ou
                  x=2
                 ou
                 x = 4 (n. serve) → denominador nulo
                 S = {2}
                 Resposta: B

             61 Determine o número de soluções reais da equação 2x = log2 x .

                 A) Nenhuma            B) Uma                C) Duas             D) Três              E) Infinitas

                 Solução:

                 Graficamente:
                                           y     y = 2x




                                                            y = log2 x


                                                                x
                                       0



                 Como não existe interseção, a equação não admite soluções.

                 Resposta: A

             62 Se n é o maior número inteiro pertencente ao domínio da função f(x) = 1− log2 x , determine o valor de n3 + 3n2 + 2.
                 A) 2                  B) 20                 C) 21               D) 22                E) 32

                 Solução:
                 Domínio → campo de existência → condição de existência da função →
                 1− log2 x ≥ 0 → log2 x ≤ 1 → 0 < x ≤ 21 → 0 < x ≤ 2 → maior inteiro x = 2.

                 Logo, a expressão é igual a 23 + 3 ⋅ 22 + 2 = 22 .

                 Resposta: D




 26
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                   Matemática
                                                                         1

63 Dado x ≠ 1 e positivo, calcule o valor de x .
                                              Lnx

                                              e
   A) 0                 B) 1                 C) 2                                                   D) 3   E) 4

    Solução:
    Sabemos que:

    I) aloga b = b
                   1
    II) loga b =
                 logb a
    III)Lx = Lnx = loge x
                                                1
                                                                             log x e
                                                x                                          e
    Então, a expressão dada x é igual a: Exp. =
                             Lnx
                                                                                       =     = 1.
                             e                    e                                        e
    Resposta: B

                     log10 c      log10 a           log10 b
             ⎛ a⎞               ⎛b⎞          ⎛c⎞
64 Prove que ⎜ ⎟               ⋅⎜ ⎟         ⋅⎜ ⎟              = 1.
             ⎝b⎠                ⎝c⎠          ⎝ a⎠

    Prova:

    Tomemos:


    log10 a = x → 10x = a
    log10 b = y → 10y = b
    log10 c = z → 10z = c
                                            z             x          y
                       ⎛ 10x ⎞                   ⎛ 10y ⎞ ⎛ 10z ⎞
    Então: 1º membro = ⎜ y ⎟                    ⋅⎜ z ⎟ ⋅⎜ x ⎟
                       ⎝ 10 ⎠                    ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠

                                 10xz 10xy 10yz
             1º membro =             ⋅    ⋅
                                 10yz 10xz 10xy

             1º membro = 1

    c.q.p


65 Determine o produto das soluções reais da equação 9 ⋅ xlog3 x = x 3 .
   A) 4               B) 8                 C) 25                  D) 27                                    E) 90

    Solução:
    Tomemos: log3 x = k → 3k = x
    Assim:

    9 ⋅ (3k )k = (3k )3
      2
    3k + 2 = 33k → k 2 + 2 = 3k
    → k 2 − 3k + 2 = 0
    k = 1→ x = 3
    ou
    k =2→ x =9


    Portanto, o produto das soluções é 27.

    Resposta: D




                                                                                                                    27
Matemática                                                                                            Professor: Fabrício Maia

             66 Seja x tal que log10 2,log10 (2x − 1) e log10 (2x + 3) estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Calcule 22x.
                A) 1                    B) 4                   C) 8                 D) 16             E) 25

                 Solução:

                 Temos que: (log10 2,log10 (2x − 1),log10 (2x + 3) P.A →
                            → 2 ⋅ log10 (2x − 1) = log10 2 + log10 (2x + 3) →
                            → log10 (2x − 1)2 = log10 2(2x + 3) →
                            → (2x − 1)2 = 2 ⋅ (2x + 3)
                 Tome: 2x = a
                 Então:
                 a2 – 2a + 1 = 2a + 6 → a2– 4a – 5 = 0
                 a = 5 → 2x = 5 ou a = – 1 (não serve)

                 Portanto, 22x = 25
                 Resposta: E

             67 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3,5 e 7. Sabendo que a diagonal mede
                 4 83cm , calcule o volume do paralelepípedo.
                 A) 105cm3           B) 1575cm3         C) 4725cm3               D) 6720cm3           E) 8575cm3

                 Solução:


                                                7k
                                  D

                                           5k
                            3k



                 Diagonal (D) → D = (3k)2 + (5k)2 + (7k)2
                                   4 83 = 83k2
                                   4 83 = k 83
                                   k=4


                 Volume (V) → V = 12 ⋅ 20 ⋅ 28
                              V = 6720cm3

                 Resposta: D

             68 Um prisma reto de altura igual a 9cm tem como base um triângulo. Sabendo que dois dos lados desse triângulo
                medem 3cm e 4cm e que o ângulo formado por esses lados mede 45º, determine o volume do prisma.
                 A) 3 2cm3              B) 9 2cm3                 C) 27 2cm3         D) 54 2cm3          E) 81 2cm3

                 Solução:

                 Volume do prisma: (Área da base) x (altura)

                              3 ⋅ 4 ⋅ sen45º ⎞
                 Então: V = ⎛
                            ⎜                ⎟⋅9
                            ⎝         2      ⎠

                                   2
                         V = 6⋅      ⋅ 9 = 27 2cm3
                                  2                                             9
                                                                  3
                                                                   45º
                 Resposta: C                                             4



 28
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                     Matemática
69 A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a área
   total desse cubo.
   A) 3                  B) 6              C) 9                D) 18             E) 27

   Solução:


                                                 a
                                    D



                                             a
                           a
   aresta = a
  123
  4 4




   diagonal = a 3
   volume = a3
   P.G. (a, a 3 , a3) → ( a 3 )2 = a ⋅ a3 →
   3a2 = a4 → a2 = 3

   Portanto, a área total será 18u.a.

   Resposta: D


                                                                                                             g 3
70 Uma esfera de raio r é inscrita num cone equilátero com geratriz de comprimento g. Determine o valor de       .
                                                                                                              r
   A) 3                    B) 6                      C) 8          D) 9               E) 12

   Solução:
                                        2R
                 2R




                                2r
                                0
                                r


                               2R
   0 = incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro.
   Veja:
   I) g = 2R (geratriz)
      g 3        g 3
   II)    = 3r →     = 6
       2          r
   Resposta: B

                                                                   25
71 O raio da base de um cone circular reto mede 4cm e sua altura      cm . Determine, em cm3, o volume do cilindro
                                                                    π
   circular reto de maior área lateral, inscrito no cone.
   A) 4                  B) 10                  C) 25              D) 40              E) 50


   Solução:



  25
   π
                       h
                           α

                   r
                       4



                                                                                                                      29
Matemática                                                                                       Professor: Fabrício Maia

                Área (lateral do cilindro) = 2πrh = AL

                                   25
                                 = π →h=
                             h           25
                Veja: tgα =                 (4 − r)
                            4 −r   4     4π

                Subst. h na área lateral, vem:
                          ⎡ 25      ⎤        25
                 AL = 2πr ⎢ (4 − r) ⎥ → AL =    (4r − r 2 )
                          ⎣ 4π      ⎦         2 123
                                                parábola


                Para que AL seja máxima, basta que r seja igual a abscissa do vértice da parábola.
                                                 25                25
                Então: r = 2 → h =                  → V = π ⋅ 22 ⋅    = 50cm3
                                                 2π                2π
                Resposta: E

                                                                                                             ˆ      π
             72 Determine a área (em m2) do setor circular hachurado na figura abaixo, sabendo que o ângulo ABC mede rad
                                                                                                                    6

                                                          6
                e o diâmetro AB mede 8                      m.
                                                          π
                                                                                C
                A) 24                                D) 54
                B) 48                                E) 54 3
                                                                       B            A
                C) 48 3

                Solução:
                                    C
                        R
                    30º
                B                           A
                     R


                         πR2
                [setor] =
                          6
                 ΔABC é retângulo

                                    R            3
                 cos 30º =                  =
                                        6       2
                                8
                                        π

                                           6                 6
                Então: 2R = 3 ⋅ 8 ⋅          → 4R2 = 3 ⋅ 64 ⋅ →
                                           π                 π
                                           6   πR2
                            → R2 = 3 ⋅ 16 ⋅ →       = 3 ⋅ 16 → [setor] = 48m2 .
                                           π    6
                Resposta: B

             73 Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h. sabe-se que a média harmônica entre o raio r e a altura h
                é 4 e que sua área total é 2πm2. Mostre que o raio r satisfaz a sentença r3 – r + 2 = 0.

                Solução:



                                            h




                            r



 30
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                        Matemática
    Área total
    2πrh +2πr 2 = 2π
    rh + r 2 = 1 (I)

    Média harmônica
     2rh
          =4
    r +h
          2r
    h=       (II)
         r−2
    Subst. (II) em (I), vem:

     ⎛ 2r ⎞ 2              2r2
           ⎟ +r = 1→ r − 2 +r = 1→
                                 2
    r⎜
     ⎝r − 2⎠
    → 2r2 + r2 (r − 2) = r − 2 → 2r2 + r3 − 2r2 = r − 2 →
    → r3 = r − 2 → r 3 − r + 2 = 0


                                      1− 2senx   −senx
                                                        . Calcule o valor de D
                                                                                   ⎛π⎞
74 Seja o determinante D(x) =
                                               1+ 2senx                            ⎜ 12 ⎟ .
                                        cos x                                      ⎝ ⎠

        1                         2                     3                      1                    3 1
    A)                      B)                    C)                 D)   3+                  E)     +
        2                        2                     2                       2                   2 4
    Solução:
    D(x) = 1 − 2sen2x + senx cos x
                     sen(2x)
    D(x) = cos(2x) +
                         2
                             ⎛π⎞
                         sen ⎜ ⎟
      ⎛ π⎞        ⎛π⎞        ⎝6⎠
    D ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ +
      ⎝ 12 ⎠      ⎝6⎠       2

     ⎛π⎞     3 1
    D⎜ ⎟ =    +
     ⎝ 12 ⎠ 2 4

    Resposta: E

                                                 3             senAº cos Aº
75 Seja R a raiz positiva da equação x2 + x –      = 0. Se R = sen11º cos11º , onde 0 < A < 90. Calcule o valor de A.
                                                 4
    A) 30                  B) 41                 C) 60              D) 75               E) 80

    Solução:

                    3
    Temos: x 2 + x −  =0
                    4
                1       1
             x= → R=         ou
                2       2
                −3
             x=    (não serve)
                 2

    Assim, R = senAº cos11º − sen11º cos Aº
           R = sen(Aº −11º )
           1
             = sen(Aº −11º )
           2
    Então: Aº – 11º = 30º

    Aº = 41º →         A = 41

    Resposta: B


                                                                                                                         31
Matemática                                                                                            Professor: Fabrício Maia

             76 Determine a soma das raízes da equação.
                A) 0                D) 4                1 1  1   1
                B) 1                E) 5                1 x  1   1
                C) 2                                                =0
                                                        1 1 x+2  1
                                                        1 1  1  x–4



                 Solução: Aplicando chió, vem:

                   1    1  1   1
                   1    x  1   1
                                  =0
                   1    1 x+2  1
                   1    1  1  x−4

                      x −1 0      0
                 Daí:   0  x +1 0 = 0
                        0    0  x −5

                 (x − 1) ⋅ (x + 1)(x − 5) = 0
                 x = 1, – 1 ou 5
                 Portanto, a soma das raízes é 5.

                 Resposta: E

                                {
             77 Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções. Determine o valor de m4 – 8m2 + 23.
                             mx + 4y = 6
                 A) 6                     B) 7                C) 8               D) 9                 E) 12

                 Solução:
                 Sejam:
                 r: a1x + b1y + c1 = 0
                 s: a2x + b2y + c2 = 0

                 Se r e s são coincidentes, então:

                  a1 b1 c1
                    = =
                  a2 b2 c2

                 Assim, temos:
                 1 m 3
                  = = → m=2
                 m 4 6

                 * retas coincidentes → infinitas soluções.
                   Portanto, m4 – 8m2 + 23 = 7

                 Resposta: B

             78 Se (xo, yo, zo) é uma solução do sistema ⎧ x + y = 2 encontre o valor de x 2 + y 2 − 2z 2 .
                                                         ⎨                                 o     o      o
                                                         ⎩ xy + z = 1
                                                                 2



                 A) 0                     B) 1                C) 2               D) 3                    E) 4

                 Solução:
                 ⎧ x o + y o = 2 → x o + y o + 2x o y o = 4
                                     2     2
                 ⎨
                 ⎩ x o y o + zo = 1 → − 2x o y o − 2zo = −2
                              2                       2




                 Somando: x 2 + y 2 − 2z o = 2
                            o     o
                                         2




                 Resposta: C


 32
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                    Matemática
79 Considere a função real definida no conjunto dos números reais não-negativos por f(x) = x +   x – 2. Determine
   o número real k, tal que f(2k) = 0.
   A) 0                  B) 1               C) 2               D) 3                E) 4

    Solução:
    Temos que:

    2k + 2k − 2 = 0
    2k − 2 = − 2k
    22k − 4 ⋅ 2k + 4 = 2k
    22k − 5 ⋅ 2k + 4 = 0
    2k = 1 → k = 0
    ou
    2k = 4 → k = 2 (não serve)
    Veja: se k = 2 → f(2k) = f(4) = 4 ≠ 0

    Resposta: A

80 Sendo a reta y = ax + b tangente à elipse x2 + 4y2 = 1, determine o valor de 8(b2 – a2).
   A) 0                 B) 1                C) 2                 D) 3                E) 4

    Solução:
    Substituindo a reta na equação da elipse, vem:
    x2 + 4y2 = 1
    x2 + 4(a2x2 + 2abx + b2) = 1
    (1 + 4a2) x2 + 8abx + 4b2 – 1 = 0

    Como a reta é tangente, então a interseção é um único ponto.

    Δ=0     (único ponto)

    Daí:
    (8ab)2 – 4(1 + 4a2) ⋅ (4b2 – 1) = 0
    64a2b2 – 16b2 + 4 – 64a2b2 + 16a2 = 0
    8a2 – 8b2 + 2 = 0

    8(b2– a2) = 2

    Resposta: C

81 Determine o valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta os ramos da hipérbole x2 – y2 = 1.
   A) 0                B) 1                 C) 2                 D) 3               E) 4

    Solução:

    Interseção → x2 – ( x + b)2 = 1
               → x2 – x2 – 2bx – b2 = 1
               → – 2bx =1+ b2
                      1 + b2
               →x=             (x da interseção)
                        −2b
    Veja: para que não exista interseção, basta tomarmos b = 0.


    Resposta: A

                                                              n
                                                ⎛         ⎞
82 Determine o menor inteiro n > o, de modo que ⎜ 3 + 1 i ⎟ seja real positivo.
                                                ⎜ 2 2⎟
                                                ⎝         ⎠
    A) 6                  B) 10                C) 12              D) 16              E) 24



                                                                                                                     33
Matemática                                                                                                Professor: Fabrício Maia

                 Solução:
                                          n
                            ⎛ 3 1⎞
                            ⎜ 2 + 2 i ⎟ = (cos 30º + isen30º ) = 14243) + isen(n ⋅ 30º )
                 Temos que: ⎜                                    cos(n ⋅ 30º
                                                              n
                                      ⎟                                      14243
                            ⎝         ⎠
                                                                    um         zero
                 Então:
                 n ⋅ 30º = k ⋅ 360º
                 n = 12k
                 Portanto: n = 12 (menor inteiro positivo)

                 Resposta: C

             83 Encontre o módulo do complexo 1 , tal que 1 2 = i.
                A) 1               B) 2                C) 3                         D) 2                  E) 3

                 Solução:
                 Temos: 12 = i →| 12 | = | i | →
                          →| 1 ⋅ 1 | = | 0 + 1 | → | 1 | ⋅ | 1 | = 02 + 12 →
                                              i
                          →| 1 | ⋅ | 1 | = 1 → | 1 | = 1

                 Resposta: A

                                                                     1        A    Bx + C
             84 Se A , B e C são números reais, tais que                     = +             , para todo x, x ∈ 1 * , calcule o valor de
                                                              x(x 2 + 2x + 2) x x 2 + 2x + 2
                 A + B + C.

                 Solução:

                 A     Bx + C      1
                   + 2        =             , ∀x ∈ 1 *
                 x x + 2x + 2 x(x + 2x + 2)
                                 2



                 A(x 2 + 2x +2) + (Bx + C)x          1
                                            =                 , ∀x ∈ 1 *
                       x(x 2 + 2x + 2)        x(x 2 + 2x + 2)
                                                                      ⎧    1
                                                                      ⎪A = 2
                                                    ⎧ A+B=0           ⎪
                                                    ⎪                 ⎪      1
                 (A + B)x 2 + (2A + C)x + 2A ≡ 1 → ⎨2A + C = 0 → ⎨B = −
                                                    ⎪     2A = 1      ⎪      2
                                                    ⎩
                                                                      ⎪C = − 1
                                                                      ⎪
                                                                      ⎩


                 Portanto: A + B + C = – 1

             85 Determine um polinômio P(x) de grau 2 que verifique a identidade P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3.

                 Solução:
                 Supondo P(x) = ax2 = bx + c, temos: P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = ax2 + (2a + b)x + (a + b + c).

                 Então:
                                          ⎧a = 1         ⎧a = 1
                                          ⎪              ⎪
                 P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3 ⇔ ⎨2a + b = 2 ⇔ ⎨b = 0
                                          ⎪a + b + c = 3
                                          ⎩              ⎪c = 2
                                                         ⎩


                 Logo, P(x) = x2 + 2.




 34
Professor: Fabrício Maia

86 Que condições devem satisfazer os números a, b e c para que o polinômio ax2 + bx + c seja o quadrado de um




                                                                                                                     Matemática
   polinômio do 1º grau?

   Solução:
   Devemos ter ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2, com m ≠ 0; portanto:
    ⎧a = m2
    ⎪
    ⎨b = 2mn
    ⎪c = n2
    ⎩
   Podemos eliminar m e n e obter a relação entre a, b e c e calculando b2.

   b2 = (2mn)2 = 4m2n2 = 4ac

   Resposta: A condição é b2 = 4ac e a ≠ 0 (pois m ≠ 0)

87 Na figura abaixo indicamos 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, exceto os 4 que marcamos numa
   mesma reta. Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos?                 G
                                                                                     H           F
                                                                                 I                   E
                                                                                         B   C
                                                                                  A              D
   Solução:

   Se não houvessem 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C9, 3. Desse número, devemos subtrair as
   combinações formadas por 3 pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C4, 3, pois essas combinações não
   correspondem a triângulos. Assim, o número de triângulos que podemos formar é C9, 3 – C4, 3.

   Temos:

               9!   9 x 8 x 7 x 6!
     C9,3 =       =                = 84
              3!6! 3x 2x1x 6!
               4! 4 x 3!
     C4,3   =     =          =4
              3!1! 3 !x 1
    Logo: C9,3 – C4, 3 = 84 – 4 = 80.

88 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se,
   entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

   Solução:

   Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias tomadas 6 a 6, uma
   vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total de misturas seria C10, 6 se não houvesse
   problema com nenhuma mistura. Devemos, porém, subtrair desse número as combinações em que entrariam as
   duas substâncias que, se misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram essas duas substâncias
   são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito substâncias (excluímos
   aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8 é C8, 4.
   Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é C10, 6 – C8, 4.

   Solução:

   Temos:

               10! 10 x 9 x 8 x 7x 6!
    C10,6 =        =                    = 210
              6!4!     6!x 4 x 3x 2x1
               8!    8 x 7 x 6 x5 x 4!
    C8,4    =      =                   = 70
              4!4! 4x 3x 2x1x 4!



   Logo: C10, 6 – C8, 4 = 210 – 70 = 140.




                                                                                                                      35
Matemática                                                                                                     Professor: Fabrício Maia

                                                                                                                        n
                                                                                       ⎛ 2 1⎞
             89 Dê a condição sobre o inteiro positivo n para que o desenvolvimento de ⎜ x − ⎟ apresente um termo
                                                                                       ⎝    x⎠
                independente de x e não-nulo.

                Solução:
                                                                      n                             k
                                                                                      ⎛     ⎞
                O termo geral do desenvolvimento de ⎛ x 2 − 1 ⎞ é T = ⎛ n ⎞ (x 2 )n−k ⎜ − 1 ⎟ = ⎛ n ⎞ x 2n−2k ( −1)k x −k = ⎛ n ⎞ ( −1)k x 2n−3k
                                                    ⎜         ⎟       ⎜k ⎟                      ⎜k ⎟                        ⎜k ⎟
                                                    ⎝       x⎠        ⎝ ⎠             ⎝ x⎠      ⎝ ⎠                         ⎝ ⎠
                                                                                               2n
                Para o termo independente de x devemos ter 2n – 3k = 0, logo k =                  . Como k dever ser inteiro, concluímos
                                                                                                3
                que n deve ser um múltiplo de 3.
                                                                       x 2 + ax + b
             90 Calcule a e b de modo que a fração algébrica                        tenha o mesmo valor numérico para todo x ∈ 1 .
                                                                          2x 2 + 1
                Solução:
                                 x 2 + ax + b
                Devemos ter:                  = k, ∀x ∈ 1 ; logo: x2+ ax + b ≡ 2kx2 + k
                                    2x 2 + 1

                 ⎧1 = 2k
                 ⎪
                 ⎨a = 0
                 ⎪b = k
                 ⎩

                                                  1
                A resposta é a = 0 e b =            .
                                                  2

                                                                                                3 +1            3 −1
             91 Calcule o valor numérico de x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, para x =             4
                                                                                                        e y=    4
                                                                                                                        .
                                                                                                    3               3
                Solução:
                                                                                    4           4
                                                      ⎛ 3 +1   3 − 1⎞  ⎛2 3⎞   24 ⋅ 32
                x + 4x y + 6x y + 4xy + y = (x + y) = ⎜ 4
                  4     3       2 2           3    4
                                                      ⎜ 3
                                                           4 + 4    ⎟ =⎜ 4 ⎟ =         = 48.
                                                      ⎝          3 ⎟⎠
                                                                       ⎜ 3 ⎟
                                                                       ⎝   ⎠     3

             92 O número 2 é raiz dupla de ax3 + bx + 16. Determine a e b.

                Solução:
                Como admite raiz dupla, o grau da equação ax3 + bx + 16 = 0 é maior que 1. Então, a ≠ 0 e concluímos que o
                grau é 3. Há, portanto, 3 raízes. Supondo que as raízes são 2, 2 e α, com α ≠ 2, temos pelas relações de Girard:

                 ⎧                         ⎧
                 ⎪2 + 2 + α = 0            ⎪α = − 4
                 ⎪                         ⎪                ⎧α = − 4
                 ⎪                 b       ⎪        a       ⎪
                 ⎨2 ⋅ 2 + 2α + 2α = , logo ⎨4α + 4 = , logo ⎨a = 1
                 ⎪                 a       ⎪        b       ⎪b = −12
                             −16                −4          ⎩
                 ⎪2⋅ 2 ⋅ α =               ⎪α =
                 ⎪
                 ⎩            a            ⎪
                                           ⎩     a
                Portanto: a = 1 e b = – 12
                                      12
                                             ⎛ 12 ⎞ k
             93 Qual é o valor de     ∑ ⎜k
                                        ⎝
                                                  ⎟9 ?
                                                  ⎠
                                      k =0

                Solução:
                 12
                      ⎛12 ⎞ k 12 ⎛12 ⎞ 12−k k
                 ∑ ⎜k
                   ⎝
                          ⎟ 9 = ∑⎜k ⎟ ⋅1 ⋅ 9
                          ⎠
                 k =0           k =0 ⎝ ⎠
                                            Este fator é igual a 1, portanto não altera o valor do termo.

                Notando que ⎛12 ⎞ ⋅ 1 −k ⋅ 9k é o termo geral do binômio (1 + 9)12, concluímos que:
                            ⎜k ⎟
                                     12

                            ⎝ ⎠
                 12
                      ⎛12 ⎞ k
                 ∑⎜k
                  ⎝
                          ⎟ 9 = (1+ 9) = 10 ( o que dá 1 trilhão).
                          ⎠
                                      12   12

                 k =0




 36
Professor: Fabrício Maia




                                                                                                                    Matemática
94 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com números negativos. De quantos
   modos podemos escolher 4 etiquetas diferentes tal que o produto dos números nelas marcados seja positivo?

    Solução:
    Teremos o produto positivo em cada caso seguinte:
    I) Escolhendo 4 etiquetas com números positivos; ou
    II) Escolhendo 4 etiquetas com números negativos; ou
    III) Escolhendo 2 etiquetas com números positivos e 2 com números negativos.

    Números disponíveis:      6 positivos        6 negativos
                                  ↓                  ↓
    Possibilidades:          4 positivos         0 negativos    C6,4

                                            ou

                             0 positivos         4 negativos    C6,4

                                            ou

                             2 positivos         2 negativos    C6,2 ⋅ C6,2

    Vamos calcular o número de possibilidades de cada caso (lembrando que não importa a ordem das etiquetas).
    I) O número de modos a escolher 4 números positivos, dispondo de 6 números positivos, é C6,4 .

                 6!    6 x 5 x 4!
       C6,4 =        =            = 15
                4!2!   4! x 2 x 1

    II) Como temos também 6 números negativos, o número de modos de escolher 4 deles é C6,4 = 15.
    III) Dos 6 positivos devemos escolher 2( C6,2 ) e, para cada escolha destes, dos 6 negativos devemos escolher
                                                                                                6!
       também 2 (C6, 2). O número de possibilidades deste caso é C6,2 ⋅ C6,2 . Como C6,2 =          = 15, temos
                                                                                               2!4!
       15 ⋅ 15 = 225 possibilidades.
       Então, o total de possibilidades para o produto positivo é 15 + 15 + 225 = 255.


95 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 – x) (1 + x)8.

    Solução:

    Quando multiplicamos (1 – x) pelo polinômio obtido desenvolvendo (1 + x)8, o termo em x5 resulta da adição de
    dois produtos:


    (1 – x) (1 + ... + termo em x4 + termo em x5 + ... + x8)
    Termo em x5 = 1 ⋅ [termo em x5 de (1 + x)8] + [(– x) ⋅ termo em x4 de (1 + x)8]
                                    ⎛ 8 ⎞ 8−k k ⎛ 8 ⎞ k
    O termo geral de (1 + x)8 é T = ⎜ k ⎟ ⋅ 1 ⋅ x = ⎜ k ⎟ x .
                                    ⎝ ⎠             ⎝ ⎠

                         ⎛8⎞ 5      8! 5 8 x 7 x 6 5
    Para k = 5 temos T = ⎜ 5 ⎟ x =       x =        x = 56x5.
                         ⎝ ⎠       5! 3!     3x 2x1


                         ⎛8 ⎞ 4     8! 4 8 x 7 x 6 x 5 4
    Para k = 4 temos T = ⎜ 4 ⎟ x =       x =           x = 70x 4 .
                         ⎝ ⎠       4! 4!     4x3x2x 1

    Então, no produto (1 – x) (1 + x) 8 temos:
    Termo em x5 = [1 x 56x5] + [(– x) ⋅ 70x4] = 56x5 – 70x5 = – 14x5
    O coeficiente pedido é igual a – 14.




                                                                                                                     37
Matemática                                                                                   Professor: Fabrício Maia

             96 Se A é uma matriz quadrada de ordem três com detA = 5, então o valor de det(2A) é:
                A) 6                B) 11             C) 15              D) 30               E) 40

                 Solução:
                 Sabemos que:
                 det(k.A) = kn ⋅ det(A), onde:
                 n → é a ordem da matriz A

                 Então: det(2A) = 23 ⋅ det(A) = 8 ⋅ 5 = 40.

                 Resposta: E

             97 Se a matriz A satisfaz A2 – 2A + I = 0, então A– 1:
                A) não existe.
                B) é igual a I.
                C) é igual a A.
                D) é igual a A – 2I.
                E) é igual a 2I – A.

                 Solução:
                 Sabemos que: A ⋅ A– 1 = A –1 ⋅ A = I
                 Então:
                 A2 – 2A + I = 0 → I = 2A – A2→
                 → I = 2AI – A2 → I = 2IA – AA →
                 → I = (2I – A) ⋅ A → A–1 = 2I – A

                 Resposta: E

             98 Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Para voltar
                aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%.
                Determine o valor de A.
                A) 10                  B) 20              C) 25              D) 30           E) 40

                 Solução:
                                                     80
                 Preço inicial = P → com desconto =     P
                                     14444244443    100
                                          novo preço


                                                         80     A 80
                 Para voltar ao preço inicial, temos:       P+    ⋅    P=P
                                                        100    100 100

                                                         A 80       20
                                                           ⋅    P=     P
                                                        100 100    100

                                                         A   1
                                                           =
                                                        100 4

                                                        A = 25



                 Resposta: C




 38
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo emBanco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Elias Silveira de Albuquerque
 
Lista de exercicios
Lista de exerciciosLista de exercicios
Lista de exercicios
Nick Kreusch
 
Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000
resolvidos
 
Matemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosMatemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercícios
reboferrari
 
Fisica exercicios resolvidos 011
Fisica exercicios resolvidos  011Fisica exercicios resolvidos  011
Fisica exercicios resolvidos 011
comentada
 
Cn2008 2009
Cn2008 2009Cn2008 2009
Cn2008 2009
2marrow
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
oim_matematica
 
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
thieresaulas
 
Lista 3 expressões algébricas
Lista 3   expressões algébricasLista 3   expressões algébricas
Lista 3 expressões algébricas
Ariosvaldo Carvalho
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
Isabella Silva
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
Otávio Sales
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
texa0111
 
03 operaes algbricas
03 operaes algbricas03 operaes algbricas
03 operaes algbricas
resolvidos
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
2marrow
 
Funções - Exercícios
Funções - ExercíciosFunções - Exercícios
Funções - Exercícios
Everton Moraes
 
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
LAURA BARROS
 
Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016
ProfessoraIve
 
Comentario exatas
Comentario exatasComentario exatas
Comentario exatas
Marcus Paulo
 
79 logaritimos (1)
79 logaritimos (1)79 logaritimos (1)
79 logaritimos (1)
Andréia Rossigalli
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
trigono_metrico
 

Mais procurados (20)

Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo emBanco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
 
Lista de exercicios
Lista de exerciciosLista de exercicios
Lista de exercicios
 
Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000
 
Matemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosMatemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercícios
 
Fisica exercicios resolvidos 011
Fisica exercicios resolvidos  011Fisica exercicios resolvidos  011
Fisica exercicios resolvidos 011
 
Cn2008 2009
Cn2008 2009Cn2008 2009
Cn2008 2009
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
 
Lista 3 expressões algébricas
Lista 3   expressões algébricasLista 3   expressões algébricas
Lista 3 expressões algébricas
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
03 operaes algbricas
03 operaes algbricas03 operaes algbricas
03 operaes algbricas
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
 
Funções - Exercícios
Funções - ExercíciosFunções - Exercícios
Funções - Exercícios
 
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
Cefet mg-2011-1-prova-completa-c-gabarito (1)
 
Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016
 
Comentario exatas
Comentario exatasComentario exatas
Comentario exatas
 
79 logaritimos (1)
79 logaritimos (1)79 logaritimos (1)
79 logaritimos (1)
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
 

Destaque

Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completoGabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
2marrow
 
Matematica 2 exercicios gabarito 10
Matematica 2 exercicios gabarito 10Matematica 2 exercicios gabarito 10
Matematica 2 exercicios gabarito 10
comentada
 
Geometria Espacial e de Posição
Geometria Espacial e de PosiçãoGeometria Espacial e de Posição
Geometria Espacial e de Posição
Everton Moraes
 
Matemática Básica - Exercícios
Matemática Básica - ExercíciosMatemática Básica - Exercícios
Matemática Básica - Exercícios
Everton Moraes
 
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
trigono_metrico
 
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosGeometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
Everton Moraes
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricasEXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
Otávio Sales
 
Geometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - ExercíciosGeometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - Exercícios
Everton Moraes
 

Destaque (9)

Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completoGabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
 
Matematica 2 exercicios gabarito 10
Matematica 2 exercicios gabarito 10Matematica 2 exercicios gabarito 10
Matematica 2 exercicios gabarito 10
 
Geometria Espacial e de Posição
Geometria Espacial e de PosiçãoGeometria Espacial e de Posição
Geometria Espacial e de Posição
 
Matemática Básica - Exercícios
Matemática Básica - ExercíciosMatemática Básica - Exercícios
Matemática Básica - Exercícios
 
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
 
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosGeometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricasEXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricas
 
Geometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - ExercíciosGeometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - Exercícios
 

Semelhante a Mat 140 questoes resolvidas vol i

Matemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidasMatemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidas
Edgerson Souza
 
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Pastora Camargo
 
Simave proeb 2011 para 3º ano
Simave proeb 2011 para 3º anoSimave proeb 2011 para 3º ano
Simave proeb 2011 para 3º ano
Idelma
 
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Jakson Raphael Pereira Barbosa
 
Mat logaritmos 005
Mat logaritmos  005Mat logaritmos  005
Mat logaritmos 005
trigono_metrico
 
Ap matematica
Ap matematicaAp matematica
Ap matematica
marcioluiz2008
 
Mat equacoes do 1 grau 003
Mat equacoes do 1 grau  003Mat equacoes do 1 grau  003
Mat equacoes do 1 grau 003
trigono_metria
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
Ariosvaldo Carvalho
 
matematica
matematica matematica
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Polinômios www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Polinômios
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios
Clarice Leclaire
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Polinômioswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Polinômios
www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios
Aulas Apoio
 
Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1
Alexandre Bonifácio
 
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
Roberta Araujo do Amorim
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Polinômios
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Polinômioswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Polinômios
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Polinômios
Aulas De Matemática Apoio
 
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
AUTONOMO
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
thieresaulas
 
Mat75a
Mat75aMat75a
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br -Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -Matemática -  Logaritmo www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -Matemática -  Logaritmo
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br -Matemática - Logaritmo
Clarice Leclaire
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Logaritmo www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Logaritmo
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Logaritmo
Beatriz Góes
 
Lista efomm math aleph
Lista efomm math alephLista efomm math aleph
Lista efomm math aleph
Curso Progressão Autêntico
 

Semelhante a Mat 140 questoes resolvidas vol i (20)

Matemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidasMatemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidas
 
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
 
Simave proeb 2011 para 3º ano
Simave proeb 2011 para 3º anoSimave proeb 2011 para 3º ano
Simave proeb 2011 para 3º ano
 
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
 
Mat logaritmos 005
Mat logaritmos  005Mat logaritmos  005
Mat logaritmos 005
 
Ap matematica
Ap matematicaAp matematica
Ap matematica
 
Mat equacoes do 1 grau 003
Mat equacoes do 1 grau  003Mat equacoes do 1 grau  003
Mat equacoes do 1 grau 003
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
matematica
matematica matematica
matematica
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Polinômios www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Polinômios
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Polinômioswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Polinômios
www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios
 
Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1
 
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
2972340 matematica-exercicios-resolvidos-logaritmos-resolvidos
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Polinômios
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Polinômioswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Polinômios
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Polinômios
 
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
 
Mat75a
Mat75aMat75a
Mat75a
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br -Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -Matemática -  Logaritmo www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -Matemática -  Logaritmo
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br -Matemática - Logaritmo
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Logaritmo
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Logaritmo www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Logaritmo
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Logaritmo
 
Lista efomm math aleph
Lista efomm math alephLista efomm math aleph
Lista efomm math aleph
 

Mais de trigono_metrico

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
trigono_metrico
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
trigono_metrico
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
trigono_metrico
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
trigono_metrico
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
trigono_metrico
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
trigono_metrico
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
trigono_metrico
 
Apostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo iApostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo i
trigono_metrico
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
trigono_metrico
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
trigono_metrico
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
trigono_metrico
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
trigono_metrico
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
trigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
trigono_metrico
 
Apostila 1 ec
Apostila 1 ecApostila 1 ec
Apostila 1 ec
trigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 010
Mat exercicios resolvidos  010Mat exercicios resolvidos  010
Mat exercicios resolvidos 010
trigono_metrico
 

Mais de trigono_metrico (20)

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
 
Apostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo iApostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo i
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
 
Apostila 1 ec
Apostila 1 ecApostila 1 ec
Apostila 1 ec
 
Mat exercicios resolvidos 010
Mat exercicios resolvidos  010Mat exercicios resolvidos  010
Mat exercicios resolvidos 010
 

Último

Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptxCartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Zenir Carmen Bez Trombeta
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
silvamelosilva300
 
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdfJOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
ClaudiaMainoth
 
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdf
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdfAula Contrato Individual de Trabalho .pdf
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdf
Pedro Luis Moraes
 
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de cursoDicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Simone399395
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
joseanesouza36
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
fagnerlopes11
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
CarinaSantos916505
 
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdfAULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
SthafaniHussin1
 
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
mamaeieby
 
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
JoanaFigueira11
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
TomasSousa7
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGTUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
ProfessoraTatianaT
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
vinibolado86
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
lveiga112
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
Manuais Formação
 

Último (20)

Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptxCartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
 
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
 
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdfJOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
 
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdf
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdfAula Contrato Individual de Trabalho .pdf
Aula Contrato Individual de Trabalho .pdf
 
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de cursoDicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
 
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdfAULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
 
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
 
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGTUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
 
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
 

Mat 140 questoes resolvidas vol i

  • 1. Professor: Fabrício Maia Matemática 140 questões resolvidas ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ “A força não provém da capacidade física e sim de uma vontade indomável” (Mahatma Gandhi) 01 Os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x – 1 são: A) – 1 e 3 D) 0 e – 1 B) – 1 e 2 E) 0 e 2 C) – 3 e – 1 Solução: ⎧ y = x 2 + bx Temos: ⎨ y = x − 1 ⎩ x 2 + bx = x − 1 Comparando: x 2 + (b − 1) x + 1 = 0 Como as equações têm um único ponto comum, então: Δ=0 (b − 1)2 − 4 ⋅ 1⋅ 1 = 0 (b − 1)2 = 4 Daí: b − 1 = 2 → b = 3 ou b − 1 = −2 → b = −1 Resposta: A 02 Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g (2 – x) é: A) x > 0 D) x > 1,5 B) x > 0,5 E) x > 2 C) x > 1 Solução: Temos: f(x) > g(2 –x) 4x + 1 > 42 – x (base > 1) Daí: x + 1 > 2 –x 1 2x > 1 → x > 2 Resposta: B 03 log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a: A) 1 D) 10 B) 3 E) 1.000 C) 5 Solução: Lembre: logb + logc = logb⋅c a a a Temos: log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 = log 100000 = log 105 = 5 Soma = 5 Resposta: C 5
  • 2. Matemática Professor: Fabrício Maia 04 Utilizando a tabela abaixo, conclui-se que 5 371.293 é igual a: A) 11 N log N B) 13 9 0,95 C) 14 11 1,04 D) 15 13 1,11 E) 17 15 1,18 17 1,23 ... ... 371.293 5,55 Solução: Tomando: n = 5 371.293 1 Daí: log n = log 5 371.293 → log n = log (371. 293) 5 1 1 log n = ⋅ log371.293 (veja tabela) → log n = ⋅ 5,55 → log n = 1,11 (veja tabela) 5 5 logo: n = 13 Resposta: B 05 O número de pontos de interseção dos gráficos de y = 3 logx e de y = log 9x, sendo x > 0, é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: { Sabemos : y = 3 ⋅ logx Temos: y = log 9x f(x) = loga x (x > 0 e 0 < a ≠ 1) Comparando: 3 ⋅ log x = log9x log x 3 = log9x Daí: x 3 = 9x x 3 − 9x = 0 x(x 2 − 9) = 0 x = 0(n.s) ou x 2 − 9 = 0 → x = 3 ou x = −3(n.s) Resposta: B ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎜ 2 ⎟+ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 06 A equação =1 ⎛k + 2⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ A) não admite soluções. B) admite uma solução entre 1 e 5. C) admite uma solução entre 5 e 12. D) admite uma solução entre 12 e 20. E) admite uma solução maior que 20. Solução: ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ Lembre: ⎜ p ⎟ + ⎜ p + 1⎟ = ⎜ p + 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2 ⎞ Daí: ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6
  • 3. Professor: Fabrício Maia Matemática ⎛ k + 2⎞ Substituindo: ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ =1 ⎛ k + 2⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ k + 2⎞ ⎛ k + 2⎞ ⎜ 3 ⎟=⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ logo: 3 + 5 = k + 2 → k = 6 Resposta: C 07 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (1 + x2 – x3)9 é: A) – 1 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4 Solução: Sabemos: Se p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, com an ≠ 0, a soma dos coeficientes do polinômio é dada por p(1). Assim: A soma dos coeficientes de (1 + x2 – x3)9 é dada por: Scoef. =(1 + 12 – 13)9 = (1 + 1 – 1)9 = 1 Resposta: C 08 Encontre o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (x2 + 2x + 1)4. Solução: Lembre: ⎛n⎞ Termo geral: Tp +1 = ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp ⎝p⎠ Temos: (x + 2x + 1)4 = [(x + 1)2]4 = (x +1)8 2 ⎛ 8 ⎞ 8−p p Termo geral: Tp+1 = ⎜ p ⎟ ⋅ x ⋅ 1 ⎝ ⎠ Queremos: 8 – p = 2 → p = 6 ⎛8⎞ 2 6 Daí: T7 = ⎜ 6 ⎟ ⋅ x ⋅ 1 = 28x 2 ⎝ ⎠ Resposta: 28 ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ 09 Calcule n sabendo que ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Solução: ⎛n ⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ Lembre: ⎜ 0 ⎟ + ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 2 n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛n⎞ ⎛n ⎞ ⎛n⎞ Daí: ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 144443 44244 ⎛n ⎞ 2n − ⎜ ⎟ ⎝0⎠ Agora: 2n – ⎛ ⎞ = 8 ⋅ 191 n ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2n − 1 = 8.191 2n = 8.192 2n = 213 → n = 13 Resposta: 13 7
  • 4. Matemática Professor: Fabrício Maia 10 O número total de pares (x, y) que satisfazem a equação (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 é: A) infinito B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 Solução: Se a,b ∈ 1 e n é par, então : an + bn = 0 ⇔ a = b = 0 Temos: (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 ⎧x2 + y2 − 1 = 0 Daí: ⎨ ⎩ xy = 0 → x = 0 ou y = 0 se x = 0 → y 2 = 1 → y = ±1 se y = 0 → x 2 = 1 → x = ±1 pares : (0,1),(0, −1),(1,0),( −1,0) Resposta: E 11 A parábola de equação y = x2 – 6 tem vértice M e corta o eixo x nos pontos A e B. Qual a área do triângulo ABM? A) 1 B) 6 C) 6 D) 6 6 E) 12 6 Solução: Lembre: f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0 b Coordenadas do vértice: x v = − 2a Δ yv = − ou y v = f(x v ) 4a Temos: – Coordenadas do vértice: y = x2 – 6 −0 xv = → xv = 0 2 ⋅1 y v = 02 − 6 → y v = −6 Então: M(0; –6) – Pontos de interseção com o eixo x: x 2 − 6 =→ x = 6 ou x = − 6 A( − 6; 0) e B( 6, 0) Logo, a área do ΔABM é dada por: 1 Área = | DABM | 2 0 −6 1 | DABM |= 6 0 1 = 12 6 − 6 0 1 1 Área: ⋅ 12 6 = 6 6 u.a 2 Resposta: D 4 12 A distância do vértice da parábola y = (x – 2)(x – 6) à reta y = x +5 é: 3 72 29 43 43 A) B) C) 43 D) E) 25 25 25 5 8
  • 5. Professor: Fabrício Maia Matemática Solução: I) f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0 Coordenadas do vértice: ⎧ x = x1 + x 2 ⎪ v ⎨ 2 ⎪ y v = f(x v ) ⎩ II) Distância de um ponto a uma reta. ax + by + c = 0 | ax 0 + by 0 + c | dp,r = a2 + b2 r P(xo, y o) Temos: y = (x − 2) ⋅ (x − 6) → parábola raízes : 2 e 6 2+6 xv = =4 2 y v = f(4) = (4 − 2) ⋅ (4 − 6) = 2 ⋅ ( −2) = − 4 Distância do vértice à reta: 4x – 3y + 15 = 0 | 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −4) + 15 | d= 42 + ( −3)2 d = ??? 43 d= 5 (4, – 4) Resposta: E 13 Resolvendo a inequação log1/2(2x + 1) > log1/2(– 3x + 4), obtemos: 1 4 4 3 1 3 3 4 A) − <x< B) 0 < x < C) x < D) − <x< E) <x< 2 3 3 5 2 5 5 3 Solução: Lembre: loga > loga → x < y x y (0 < base < 1) Temos: log 1 (2x + 1) > log 1 ( −3x + 4) 2 2 ⎧ 3 Então: ⎪2x + 1 < −3x + 4 → 5x < 3 → x < 5 ⎪ ⎪ 1 ⎨2x + 1 > 0(C.E) → x > − ⎪ 2 ⎪ −3x + 4 > 0 (C.E) → x < 4 ⎪ ⎩ 3 9
  • 6. Matemática Professor: Fabrício Maia Interseção (I) (III) 3 4 5 3 (II) (I) Δ (II) Δ (III) −1 −1 3 2 2 5 Resposta: D 14 Se o número complexo z = 1 – i é uma das raízes da equação x10 – a = 0, o valor de a é: A) 16 B) 32 C) 64 D) – 16i E) – 32i Solução: Temos: x10 = a, se z é raiz, então z10 = a. Daí: a = (1 − i)10 a = [(1 − i)2 ]5 a = ( −2i)5 a = −32i5 → a = −32i Resposta: E 15 A reta y = ax + 1 intercepta a curva x2 + 4y2 = 1 somente num ponto. Calcule 8a2. Solução: ⎧y = ax + 1 Temos: ⎨ 2 ⎩x + 4y = 1 2 Substituindo (I) em (II): x 2 + 4(ax + 1)2 = 1 x 2 + 4a2x 2 + 8ax + 4 − 1 = 0 x 2 (1 + 4a2 ) + 8ax + 3 = 0 (Equação do 2o grau) Condição: Δ = 0 (única solução) Daí: (8a)2 − 4 ⋅ (1 + 4a2 ) ⋅ 3 = 0 64a2 − 12 − 48a2 = 0 16a2 = 12 8a2 = 6 Resposta: 6 16 A condição para que o trinômio mx2 + (m + 1)x + 1 seja sempre positivo, qualquer que seja x, é que: A) m > 0 B) (m + 1)2 + 4m < 0 C) (m − 1)2 ≤ 0 D) m ≠ 1,m > 0 E) não há valores de m tais que o trinômio proposto, qualquer que seja x, se torne sempre positivo. Solução: Devemos ter: + + + + + + { Δ<0 a>0 1ª condição: a > 0 → m > 0 2ª condição: Δ < 0 → (m + 1) − 4 ⋅ m ⋅ 1 < 0 → 2 → m + 2m + 1− 4m < 0 → m2 − 2m + 1 < 0 → 2 → (m − 1)2 < 0(absurdo, pois,(m − 1)2 ≥ 0, ∀m ∈ 1 ) Resposta: E 10
  • 7. Professor: Fabrício Maia 17 Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução de f[f(x)] = 3, é: Matemática A) {1} B) {2} C) {3} D) {1, 2, 3} E) vazio Solução: A A Temos: 1 1 2 2 se x = 1 → f(f(1)) = f(3) = 2 → f(f(1)) = 2(n.s) 3 3 se x = 2 → f(f(2)) = f(1) = 3 → f(f(2)) = 3(OK) se x = 3 → f(f(3)) = f(2) = 1 → f(f(3)) = 1(n.s) S = {2} Resposta: B 6S 18 Seja S a soma, em radianos, das raízes da equação 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0, x ∈[0, π]. Calcule . π Solução: ⎛ p +q⎞ ⎛ p −q ⎞ Fórmula de Werner: cosp + cosq = 2cos ⎜ cos ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎧ ⎛x⎞ ⎛x⎞ Temos: ⎪ 1+ cos x = cos0 + cos x = 2cos ⎜ ⎟ ⋅ cos ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎨ ⎪ cos2x + cos3x = 2cos ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞ ⎪ ⎜ 2 ⎟ cos ⎜ 2 ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞ Então: 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ + 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛x⎞ ⎡ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎤ 2cos ⎜ ⎟ ⋅ ⎢cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎥ = 0 ⎝ 2⎠ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞ 2cos ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ cos ( − x) = 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞ 4 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ cos(x) = 0 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ x x π Daí: cos = 0 → = + kπ → x = π + 2kπ 2 2 2 ou 3x 3x π π 2kπ cos =0→ = + kπ → x = + 2 2 2 3 3 ou π cos x = 0 → x = = kπ 2 π π se k = 0 → x = π, ou 3 2 se k = 1, 2, 3, ... → raízes já encontradas ou fora do intervalo dado. π π Raízes: π, , 2 3 π π 6 π + 3π + 2π Soma das raízes = S = π + + = 2 3 6 11π S= 6 6S Logo : = 11 π Impor tan te : cos( − x) = cos(x), ∀x ∈ Df Resposta: 11 11
  • 8. Matemática Professor: Fabrício Maia 3 x(1 − x) 19 A função f(x) = x− é crescente, para todo x pertencente a: 2 4 ⎡ 25 ⎞ ⎡ 25 ⎞ ⎡ 5 ⎞ ⎡ 5⎞ A) ⎢− , +∞ ⎟ B) ⎢− , +∞ ⎟ C) ⎢− , +∞ ⎟ D) ⎢ −∞, ⎟ E) 1 ⎣ 16 ⎠ ⎣ 4 ⎠ ⎣ 2 ⎠ ⎣ 4⎠ Solução: 3 x – x2 Temos: f(x) = x− 2 4 6x − x + x 2 f(x) = 4 x 2 + 5x f(x) = 4 1 2 5 f(x) = x + x 4 4 Parábola crescente 5 − 5 xv = 4 = − 1 2 2⋅ 4 f é crescente ∀ x ≥ − 5 2 Resposta: C 20 Se p e q são raízes não-nulas de x2 + 5px – 8q = 0, calcule p + q. Solução: Girard {x1 + x 2 = −5p x1 ⋅ x 2 = −8q Daí: {p + q = −5q p ⋅ q = −8q 2ª equação p ⋅ q = −8q (como q é diferente de zero) Temos: p = −8 Logo : p + q = −5p p + q = −5 ⋅ ( −8) p + q = 40 Resposta: 40 21 Quantos valores inteiros satisfazem a inequação (2x – 7) (x – 1) ≤ 0. A) zero B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 12
  • 9. Professor: Fabrício Maia Matemática Estudo do sinal Solução: – – – + + + 7 2 – – – + + + 1 + + – – + + produto 1 7 2 Inteiros: 1, 2, 3 Resposta: D 22 Sobre a equação 1.983x2 – 1.984x – 1.985 = 0, a afirmativa correta é: A) não tem raízes. D) tem duas raízes positivas. B) tem duas raízes simétricas. E) tem duas raízes negativas. C) tem duas raízes reais distintas. Solução: Temos: Δ = B2 − 4ac Δ = ( −1984)2 − 4.1983 ⋅ ( −1985) Δ = 1984 2 + 4.1983 ⋅ 1985 Então : Δ > 0 → raízes reais e distintas Resposta: C 23 Seja f uma função real tal que f (x + 1) = (f (x))2 e f (0) = 10. Então f (4) é igual a: A) 1016 B) 100 C) 10258 D) 101 E) 121 Solução: Temos que: f(x + 1) = [f(x)]2 se x = 0 → f(1) = [f(0)]2 → f(1) = 102 se x = 1 → f(2) = [f(1)]2 → f(2) = 104 se x = 2 → f(3) = [f(2)]2 → f(3) = 108 se x = 3 → f(4) = [f(3)]2 → f(4) = 1016 Resposta: A 24 Se o domínio da função f, definida por f(x) = 1 – 2x, é o intervalo ]–3, 2], então Imf é: A) ]–7, 3] B) [–3, 7[ C) ]–3, 7] D) [–3, 5[ E) ]–3, 3] Solução: 1− y Temos: y = 1 − 2x → x = 2 Veja: x ∈] − 3,2] Então: −3 < x ≤ 2 Agora : 1− y −3 < ≤2 2 −6 < 1 − y ≤ 4 −7 < − y ≤ 3 7 > y ≥ −3 ou −3 ≤ y < 7 → y ∈ [−3,7[ Resposta: B 13
  • 10. Matemática Professor: Fabrício Maia 25 Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, ∀x ∈ 1 , então f(1 – x) vale: A) 2 – x2 B) 2 + x2 C) x2 + 2x – 4 D) 3x2 – 2x + 4 E) x2 + x – 1 Solução: k−3 Tomando: 2x + 3 = k → x = 2 Então: 2 ⎛k −3⎞ ⎛k − 3⎞ f(k) = 4 ⎜ ⎟ + 6⎜ 2 ⎟ +1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ f(k) = (k − 3)2 + 3(k − 3) + 1 f(k) = k 2 − 3k + 1 Agora: f(1 − k) = (1 − k)2 − 3(1 − k) + 1 f(1 − k) = k2 + k − 1 Por tanto : f(1 − x) = x 2 + x − 1 Resposta: E 26 A distância do centro da circunferência x2 + y2 – 6x – 8y + 21 = 0 à bissetriz do Iº e IIIº quadrantes, vale: 3 2 A) 5 B) 2 C) 3 D) E) 2 2 Solução: Circunferência x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 Centro (a,b) Daí: – 2a = – 6 → a = 3 – 2b = – 8 → b = 4 Bissetriz dos quadrantes ímpares x−y=0 y=x C(3,4) | 1⋅ 3 − 1⋅ 4 + 0 | 1 2 distância = = = 1 + ( −1) 2 2 2 2 Resposta: E 3 27 A reta y = x é tangente a uma circunferência do centro (2, 0). O raio dessa circunferência é: 3 A) 3 B) 2 C) 3 D) 1 E) 0,5 14
  • 11. Professor: Fabrício Maia Matemática Solução: (2,0) 3x − 3y = 0 distância de um ponto a uma reta. | 3 ⋅ 2 − 3⋅0 + 0 | 2 3 R= = ( 3)2 + ( −3)2 12 2 3 R= 2 3 R =1 Resposta: D 28 Se S = 1! + 2! + 3! + ... + 89!, então o dígito das unidades de S é: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 Solução: Veja: 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24 A partir de 5!, os resultados serão múltiplos de 10. Então: S = 1+4 + 6 424 + 5!4 ... 4 89! 1 4 2 2 +4 4 4 3 1 + 2+4 4 3 33 múltiplo de 10 S = 3 + 14243 30 + 10α’ múltiplo de 10 S = 3 + 10α → dígito das unidades é 3. Resposta: B kx +2y = −1 { 29 O sistema linear de equações nas incógnitas x e y 2x − y = m é impossível se, e somente se: 1 1 1 1 A) k = – 4 e m ≠ B) k ≠ − 4 e m = C) k ≠ − 4 e m ≠ D) k = − 4 E) k = − 4 e m = 2 2 2 2 Solução: { kx + 2y = −1 Sistema 4x − 2y = 2m Somando: (k + 4)x = 2m − 1 Impossível ⎧k + 4 = 0 → k = −4 ⎪ ⎨2m − 1 ≠ 0 → m ≠ 1 ⎪ ⎩ 2 Resposta: A 30 Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b, são dados pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nessas condições o valor de x é: A) ab − a − b B) a + b − 2ab C) a2 + b2 D) a + b + 2ab E) ab + a + b 15
  • 12. Matemática Professor: Fabrício Maia Solução: o Pitágoras a–x b–x P x = (a − x) + (b − x) 2 2 2 x Q x 2 = a2 − 2ax + x 2 + b2 − 2bx + x 2 x x 2 − 2(a + b)x + a2 + b2 = 0 A B Δ = [−2(a + b)]2 − 4 ⋅ 1(a2 + b2 ) Δ = 4(a + b)2 − 4(a2 + b2 ) Δ = 8ab Daí: 2(a + b) ± 8ab 2(a + b) ± 2 2ab x2 = = 2 2 x = a + b + 2ab (absurdo, veja figura) ou x = a + b − 2ab Resposta: B 31 Num triângulo retângulo de catetos 1 e 3cm , a altura relativa à hipotenusa mede, em cm: 3 2 A) 2 B) 3 C) 3 D) E) 2 2 Solução: A Temos: 1 3 h B C a Relações métricas I) a2 = 12 + ( 3)2 → a2 = 4 → a = 2 3 II) 1⋅ 3 = a ⋅ h → 3 = 2h → h = 2 Resposta: D f(10−8 ) − f(103 ) 32 Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de é: 10−8 − 103 A) 104 B) 102 C) 10 D) 10–5 E) 10–11 Solução: Saiba: Se f(x) = ax + b, com a ≠ 0, então: f(s) − f(v) = a, com s ≠ v. s−v f(10−8 ) − f(103 ) Assim, = 100 (coeficiente angular) 10−8 − 103 Resposta: B 33 Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Solução: n(n − 3) Lembre: Fórmula do número de diagonais d = . 2 Então: 54 = n(n – 3) 2 n2 – 3n – 108 = 0 n = 12 ou n = –9 (n.s) Resposta: E 16
  • 13. Professor: Fabrício Maia Matemática 34 O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem, exatamente: A) 15 diagonais B) 20 diagonais C) 25 diagonais D) 30 diagonais E) 35 diagonais Solução: Lembre: Soma dos ângulos internos Si = (n – 2) ⋅ 180º Então: 1440º = (n − 2) ⋅ 180º 1400º =n−2 180º 8 =n−2 n = 10 n(n − 3) 10 ⋅ 7 Portanto: d = = 2 2 d = 35 Resposta: E 35 Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo AEB, em graus, é: A) 30 D) 75 B) 49 E) 90 C) 60 A D E B C Solução: Figura: A D E x θ α B C ΔBCE é eqüilátero → α = 60º ABCD é um quadrado → θ = 30º Veja: BC ≡ BE (lado do quadrado = lado do ΔBCE) Daí: ΔABE é isósceles A x x E θ + 2x = 180º θ 30º + 2x = 180º B x = 75º Resposta: D 36 Na figura abaixo, EFG é um triângulo retângulo, EF = 2cm , EG = 6cm e EP = PQ = QG. Então α + β + θ é igual a: π 7π 4π π F A) B) C) D) 3 18 9 2 α β θ E P Q G 17
  • 14. Matemática Professor: Fabrício Maia Solução: F 2 α β θ E 2 P 2 Q 2 G 2 ΔEPF → tgα = → tgα = 1→ α = 45º 2 2 1 ΔEQF → tgβ = → tgβ = 4 2 2 1 ΔEGF → tgθ = → tgθ = 6 3 tgβ + tgθ Sabemos: tg(β + θ) = 1− tgβ ⋅ tgθ 1 1 5 + Então: tg(β + θ) = 2 3 = 6 =1 1 1 5 1− ⋅ 2 3 6 tg(β + θ) = 1 → β + θ = 45º Portanto: α +β+ θ = 90º Resposta: D 37 A área compreendida entre as retas 4y = x – 2, y = 2x – 4 e x = 0 é igual a: A) 3,0 u.a B) 3,5 u.a C) 4,0 u.a D) 4,5 u.a E) 6,0 u.a Solução: Temos: ⎧ x −2 ⎪ y= 4 ⎪ retas ⎨ y = 2x − 4 ⎪ x = 0 (eixo y) ⎪ ⎩ Gráfico: y y = 2x − 4 x −2 y= 4 x A C B −1 A(0, );B (0, − 4) e C(2,0) 2 1 0 − 1 2 DABC = 0 −4 1 = −1+ 8 = 7 2 0 1 Logo: 1 7 Área = ⋅ 7 = u.a 2 2 Resposta: B 18
  • 15. Professor: Fabrício Maia Matemática 38 A razão de uma progressão geométrica, cujos termos são os três lados de um triângulo retângulo é: 1+ 5 1+ 2 1+ 3 1+ 2 A) B) C) D) 2 5 2 3 Solução: C ⎛x ⎞ x xq P.G.⎜ ;x;xq ⎟ ⎝ q ⎠ q A x B 2 ⎛x⎞ (xq)2 = x 2 + ⎜ ⎟ Pitágoras ⎝q⎠ x2 x 2q2 = x 2 + 2 q 1 q2 = 1+ q2 Dividindo ambos os membros por x2 q4 − q2 − 1 = 0 1± 5 1+ 5 q2 = → q2 = 2 2 1+ 5 Portanto: q = 2 Atenção!!! q é positivo. Resposta: A 39 Sejam a e b números reais. Se a > b > 0, a2 – b2 = 4 e log2(a + b) – log3(a – b) = 2, então a2 + b2 é igual a: A) 13/2 B) 15/2 C) 17/2 D) 19/2 Solução: Fazendo: log2 (a + b) = x → a + b = 2x log3 (a − b) = y → a − b = 3y Sistema: ⎧2 ⋅ 3 = 4 x y ⎨ ⎩x − y = 2 → x = 2 + y Substituindo: 2x ⋅ 3y = 4 22+y ⋅ 3y = 4 22 ⋅ 2y ⋅ 3y = 4 4 ⋅ 6y = 4 6y = 1 → y = 0 → x = 2 { Assim: a + b = 4 a−b =1 5 3 Resolvendo: a = eb= 2 2 34 17 Logo: a2 + b2 = = 4 2 Resposta: C 19
  • 16. Matemática Professor: Fabrício Maia 40 Se x1 e x2 são as raízes da equação 32logx 3 = xlogx (3x) , então 9(x1 + x2) é igual a: A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 Solução: Lembre: I) aloga b = b II)Se loga b = x → ax = b Temos: 32logx 3 = xlogx 3x Então: 3 2logx 3 = 3x 1 Tomando: log3 x = k → logx 3 = e x = 3k k 1 2. Substituindo: 3 k = 3 ⋅ 3k 2 3k = 3k +1 2 Comparando: k + 1 = k k2 + k − 2 = 0 1 k = −2 → x = 3−2 → x = 9 ou k = 1 → x = 31 →= 3 Logo : ⎛1 ⎞ 9(x1 + x 2 ) = 9 ⎜ + 3 ⎟ = 1+ 27 = 28 ⎝9 ⎠ Resposta: D 3 41 O número de raízes de equação + cos x = 0 é: 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3 Solução: Sabemos: −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x. 3 Temos: + cos x = 0 2 3 cos x = − 2 cos x = −1,5 (absurdo, pois o mínimo de cos x é – 1) Resposta: A 42 O número de raízes da equação tg2x – sen2x = 0, 0 ≤ x < 2π, é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3 Solução: sen2x Temos: − sen2x = 0 cos2 x sen2x − sen2x cos2 x = 0 sen2x(1 − cos2 x) = 0 sen2x ⋅ sen2x = 0 sen4 x = 0 Daí: senx = 0 x = 0 ou x = π Resposta: C 20
  • 17. Professor: Fabrício Maia Matemática ∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 2p = 729 n n 43 Determine n, sabendo que ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ p =0 n ⎛n⎞ Solução: (a + b)n = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp (binômio de Newton) p =0 ⎝ ⎠ p ∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 1n−p ⋅ 2p = (1+ 2)n = 3n n n Veja: ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ p=0 Então: 3n = 729 → n = 6 Resposta: 6 44 O domínio real da função f(x) = 2senx − 1 para 0 ≤ x < 2π, é: π 5π π 5π π 2π A) ≤x≤ B) 0 ≤ x ≤ ou ≤ x < 2π C) 0 ≤ x < π D) ≤x≤ 6 6 6 6 3 3 Solução: s Condição: 150º 30º 2senx − 1 ≥ 0 1 2 1 sen x ≥ c 2 π 5π Daí: ≤x≤ 6 6 Resposta: A 45 Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contêm exatamente 18 elementos é: A) 360 B) 190 C) 180 D) 120 E) 18 Solução: Temos: M = {a1, a2, a3 ..., a20}. A ordem dos elementos não altera um conjunto. Daí: nº de subconjuntos com 18 elementos = C20, 18 Resposta: B 46 Se Cn, 2 + 2.An,2 + 100 = A2n, 2, então n é igual a: 25 A) 24 B) 8 C) 6 D) 10 E) − 3 Solução: n! n ⋅ (n − 1) Temos: Cn,2 = = (n − 2)!2! 2 n! An,2 = = n ⋅ (n − 1) (n − 2) (2n)! A2n,2 = = (2n) ⋅ (2n − 1) (2n − 2)! n(n − 1) Então: + 2 ⋅ n(n − 1) + 100 = (2n)(2n − 1) 2 n2 − n + 4n2 − 4n + 200 = 8n2 − 4n 3n2 + n − 200 = 0 25 n = 8 ou n = − (n.s) 3 Resposta: B 21
  • 18. Matemática Professor: Fabrício Maia 47 Deseja-se acondicionar em um certo número de caixas, 1590 bolinhas brancas, 1060 amarelas e 583 azuis, de modo que cada caixa contenha bolinhas de todas as cores. Calcule o número máximo de caixas de modo que qualquer dessas caixas contenha, para cada cor, quantidades iguais de bolinhas. Solução: x → número de caixas. p → quantidade de bolas brancas em cada caixa. q → quantidade de bolas amarelas em cada caixa. r → quantidade de bolas azuis em cada caixa. 1590 Temos: =p x 1060 =q x 583 =r x Veja: x = m.d.c. (1590,1060,583) x = 53 * MDC (1590, 1060) = 530 * MDC (530, 583) = 53 1 2 1 10 1590 1060 530 583 530 53 530 0 0 Resposta: 53 48 Sejam N o conjunto dos números inteiros positivos e E = {(x,y) ∈ N2; x4y4 – 10x2y2 + 9 = 0}. Determine o número de elementos de E. Solução: Temos: x 4 y 4 − 10x 2y 2 + 9 = 0 (x 2y 2 )2 − 10x 2y 2 + 9 = 0 Fazendo: x 2 y 2 = k Equação: k 2 − 10k + 9 = 0 k = 1 → x 2 y 2 = 1 → (xy)2 = 1 ou k = 9 → x 2 y 2 = 9 → (xy)2 = 9 Como x e y são inteiros positivos, tem-se: xy = 1 → (1,1) ou xy = 3 → (1,3) ou (3,1) E = {(1,1),(1,3),(3,1)} Resposta: 3 2x + 3 3 49 Considere a função real definida por f(x) = ,x ≠ − . 1 1 2 x+ 3 2 Então o valor da soma 1⋅ f(1) + 2 ⋅ f(2) + 3 ⋅ f(3) + ... + 20 ⋅ f(20) é: A) 120 B) 600 C) 210 D) 620 E) 1.260 22
  • 19. Professor: Fabrício Maia Matemática Solução: 2x + 3 6 Temos: f(x) = = 2x + 3 ⋅ 2x + 3 2x + 3 6 Então: f(x) = 6 Agora: Soma: 1⋅ 6 +2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 + ... + 20 ⋅ 6 Soma: (1+ 2 + 3 + ... + 20) ⋅ 6 Soma: (1+ 20) ⋅ 20 ⋅ 6 = 21⋅ 10 ⋅ 6 → Soma = 1.260 2 Resposta: E 50 Sejam x e y números reais satisfazendo as equações logy x + logx y = 2 e x2y + y2 = 12x. Determine o valor do produto xy. Solução: 1 Tomando: logy x = m → logx y = m 1 Daí: m + =2 m m − 2m + 1 = 0 2 m =1 → x = y Substituindo na 2ª equação x 2y + y 2 = 12x x 2 ⋅ x + x 2 = 12x x 3 + x 2 − 12x = 0 x(x 2 + x − 12) = 0 x = 0 (n.s) ou x = −4 (n.s) ou x=3 → y=3 Resposta: 9 51 Os conjuntos A e B possuem 3 e 4 elementos, respectivamente. Quantas funções de A em B têm o conjunto imagem igual a B? A) Nenhuma B) 34 C) 43 D) 3! E) 4! Solução: Veja: I) Numa função de A em B devemos ter todos os elementos de A associados a um único valor em B. II) Se o conjunto imagem é o próprio B, então existe um elemento em A com duas imagens, pois todos os elementos de A estão associados. Portanto, não existem funções de A em B sobrejetoras. Resposta: A 52 As funções injetoras de A = {1, 2, 3, 4} em B = {5, 6, 7, 8, 9, 0} são em número de: A) 720 B) 360 C) 15 D) 24 E) 30 Solução: Lembre: Se f é injetora, então: x1 ≠ x 2 → f(x1 ) ≠ f(x 2 ) Daí: A 1 f(1): 6 possibilidades em B 2 f(2): 5 possibilidades em B 3 f(3): 4 possibilidades em B 4 f(4): 3 possibilidades em B Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6.5.4.3 = 360 funções injetoras Resposta: B 23
  • 20. Matemática Professor: Fabrício Maia 53 Para ser aprovado numa disciplina, um aluno precisa ter média maior ou igual a 50, obtida num conjunto de 5 provas, sendo quatro parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame, com peso 2 (dois). Um certo aluno obteve em matemática, nas quatro provas parciais, notas iguais a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado nessa disciplina, deverá obter, na prova-exame, nota mínima igual a: A) 20 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 Solução: 1⋅ 30 + 1⋅ 60 + 1⋅ 50 + 1⋅ 70 + 2 ⋅ x 210 + 2x Média ponderada = = 6 6 210 + 2x Temos: ≥ 50 6 210 + 2x ≥ 300 2x ≥ 90 x ≥ 45 → xmin = 45 Resposta: D 54 O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão n por 4 é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Temos: n 12 7 q Daí: n = 12q + 7 n = 12q + 4 + 3 n = 4(3q + 1) + 3 n = 4q'+ 3, onde q' = 3q + 1 Veja: n 4 3 q’ Resposta: D 55 Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015? A) 25 B) 50 C) 64 D) 75 E) 250 Solução: Temos: 1015 = (2 ⋅ 5)15 = 215 ⋅ 515 Veja: (A) 25 = 52 divide 1015 (OK) (B) 50 = 2 ⋅ 52 divide 1015 (OK) (C) 64 = 26 divide 1015 (OK) (D) 75 = 3 ⋅ 52 não divide 1015 (problema fator 3) (B) 250 = 2 ⋅ 53 divide 1015 (OK) Resposta: D 56 A fração geratriz de 3,74151515... é: 37.415 3.741.515 37.041 37.041 370.415 A) B) C) D) E) 10.000 10.000 9.900 9.000 99.000 Solução: 37.415 − 374 37.041 Temos: 3,7415 = = 9.900 9.900 Resposta: C 24
  • 21. Professor: Fabrício Maia Matemática 57 Se A e B são conjuntos, A – (A – B) é igual a: A) A B) B C) A – B D) A ∪ B E) A ∩ B B Solução: A Lembre: A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B} É fácil ver: A – (A – B) = A ∩ B A–B Resposta: E a 58 O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão ? b a b 5 2 3 1 A) B) C) 2 D) E) 3 3 2 2 Solução: Sendo x a medida do lado do menor quadrado, os outros quadrados terão seus lados com as medidas indicadas na figura. 34444244441 5x 1442443 1 2 31 4 3x 2x 4 4 43 2x 3x 2x 2 x x x Assim: a = 5x e b = 3x a 5 Portanto, = b 3 Resposta: A 59 A equação x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, de coeficientes reais, admite as raízes 2 – i e 3 + 2i. Então d é: A) 75 B) 65 C) 25 D) 15 E) 10 Solução: Sabemos que: Se os coeficientes de um polinômio P(x) são reais, então: a + bi raiz de P(x) → a – bi também é: Temos: 2 – i raiz → 2 + i também é. 3 + 2i raiz → 3 – 2i também é. Daí, aplicando Girard na equação: x1.x 2.x3.x 4 = d (2 − i) ⋅ (2 + i) ⋅ (3 + 2i) ⋅ (3 − 2i) = d (4 − i2 ) ⋅ (9 − 4i2 ) = d 5 ⋅ 13 = d d = 65 Resposta: B 25
  • 22. Matemática Professor: Fabrício Maia 2x 2 − 8x 60 O número de soluções reais da equação = x é: x 2 − 4x A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Temos: 2x 2 − 8x =x x 2 − 4x 2x − 8x = x 3 − 4x 2 2 x 3 − 6x 2 + 8x = 0 x(x 2 − 6x + 8) = 0 x = 0 (n. serve) → denominador nulo ou x 2 − 6x + 8 = 0 ou x=2 ou x = 4 (n. serve) → denominador nulo S = {2} Resposta: B 61 Determine o número de soluções reais da equação 2x = log2 x . A) Nenhuma B) Uma C) Duas D) Três E) Infinitas Solução: Graficamente: y y = 2x y = log2 x x 0 Como não existe interseção, a equação não admite soluções. Resposta: A 62 Se n é o maior número inteiro pertencente ao domínio da função f(x) = 1− log2 x , determine o valor de n3 + 3n2 + 2. A) 2 B) 20 C) 21 D) 22 E) 32 Solução: Domínio → campo de existência → condição de existência da função → 1− log2 x ≥ 0 → log2 x ≤ 1 → 0 < x ≤ 21 → 0 < x ≤ 2 → maior inteiro x = 2. Logo, a expressão é igual a 23 + 3 ⋅ 22 + 2 = 22 . Resposta: D 26
  • 23. Professor: Fabrício Maia Matemática 1 63 Dado x ≠ 1 e positivo, calcule o valor de x . Lnx e A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Sabemos que: I) aloga b = b 1 II) loga b = logb a III)Lx = Lnx = loge x 1 log x e x e Então, a expressão dada x é igual a: Exp. = Lnx = = 1. e e e Resposta: B log10 c log10 a log10 b ⎛ a⎞ ⎛b⎞ ⎛c⎞ 64 Prove que ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1. ⎝b⎠ ⎝c⎠ ⎝ a⎠ Prova: Tomemos: log10 a = x → 10x = a log10 b = y → 10y = b log10 c = z → 10z = c z x y ⎛ 10x ⎞ ⎛ 10y ⎞ ⎛ 10z ⎞ Então: 1º membro = ⎜ y ⎟ ⋅⎜ z ⎟ ⋅⎜ x ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 10xz 10xy 10yz 1º membro = ⋅ ⋅ 10yz 10xz 10xy 1º membro = 1 c.q.p 65 Determine o produto das soluções reais da equação 9 ⋅ xlog3 x = x 3 . A) 4 B) 8 C) 25 D) 27 E) 90 Solução: Tomemos: log3 x = k → 3k = x Assim: 9 ⋅ (3k )k = (3k )3 2 3k + 2 = 33k → k 2 + 2 = 3k → k 2 − 3k + 2 = 0 k = 1→ x = 3 ou k =2→ x =9 Portanto, o produto das soluções é 27. Resposta: D 27
  • 24. Matemática Professor: Fabrício Maia 66 Seja x tal que log10 2,log10 (2x − 1) e log10 (2x + 3) estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Calcule 22x. A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 25 Solução: Temos que: (log10 2,log10 (2x − 1),log10 (2x + 3) P.A → → 2 ⋅ log10 (2x − 1) = log10 2 + log10 (2x + 3) → → log10 (2x − 1)2 = log10 2(2x + 3) → → (2x − 1)2 = 2 ⋅ (2x + 3) Tome: 2x = a Então: a2 – 2a + 1 = 2a + 6 → a2– 4a – 5 = 0 a = 5 → 2x = 5 ou a = – 1 (não serve) Portanto, 22x = 25 Resposta: E 67 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3,5 e 7. Sabendo que a diagonal mede 4 83cm , calcule o volume do paralelepípedo. A) 105cm3 B) 1575cm3 C) 4725cm3 D) 6720cm3 E) 8575cm3 Solução: 7k D 5k 3k Diagonal (D) → D = (3k)2 + (5k)2 + (7k)2 4 83 = 83k2 4 83 = k 83 k=4 Volume (V) → V = 12 ⋅ 20 ⋅ 28 V = 6720cm3 Resposta: D 68 Um prisma reto de altura igual a 9cm tem como base um triângulo. Sabendo que dois dos lados desse triângulo medem 3cm e 4cm e que o ângulo formado por esses lados mede 45º, determine o volume do prisma. A) 3 2cm3 B) 9 2cm3 C) 27 2cm3 D) 54 2cm3 E) 81 2cm3 Solução: Volume do prisma: (Área da base) x (altura) 3 ⋅ 4 ⋅ sen45º ⎞ Então: V = ⎛ ⎜ ⎟⋅9 ⎝ 2 ⎠ 2 V = 6⋅ ⋅ 9 = 27 2cm3 2 9 3 45º Resposta: C 4 28
  • 25. Professor: Fabrício Maia Matemática 69 A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a área total desse cubo. A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27 Solução: a D a a aresta = a 123 4 4 diagonal = a 3 volume = a3 P.G. (a, a 3 , a3) → ( a 3 )2 = a ⋅ a3 → 3a2 = a4 → a2 = 3 Portanto, a área total será 18u.a. Resposta: D g 3 70 Uma esfera de raio r é inscrita num cone equilátero com geratriz de comprimento g. Determine o valor de . r A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12 Solução: 2R 2R 2r 0 r 2R 0 = incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro. Veja: I) g = 2R (geratriz) g 3 g 3 II) = 3r → = 6 2 r Resposta: B 25 71 O raio da base de um cone circular reto mede 4cm e sua altura cm . Determine, em cm3, o volume do cilindro π circular reto de maior área lateral, inscrito no cone. A) 4 B) 10 C) 25 D) 40 E) 50 Solução: 25 π h α r 4 29
  • 26. Matemática Professor: Fabrício Maia Área (lateral do cilindro) = 2πrh = AL 25 = π →h= h 25 Veja: tgα = (4 − r) 4 −r 4 4π Subst. h na área lateral, vem: ⎡ 25 ⎤ 25 AL = 2πr ⎢ (4 − r) ⎥ → AL = (4r − r 2 ) ⎣ 4π ⎦ 2 123 parábola Para que AL seja máxima, basta que r seja igual a abscissa do vértice da parábola. 25 25 Então: r = 2 → h = → V = π ⋅ 22 ⋅ = 50cm3 2π 2π Resposta: E ˆ π 72 Determine a área (em m2) do setor circular hachurado na figura abaixo, sabendo que o ângulo ABC mede rad 6 6 e o diâmetro AB mede 8 m. π C A) 24 D) 54 B) 48 E) 54 3 B A C) 48 3 Solução: C R 30º B A R πR2 [setor] = 6 ΔABC é retângulo R 3 cos 30º = = 6 2 8 π 6 6 Então: 2R = 3 ⋅ 8 ⋅ → 4R2 = 3 ⋅ 64 ⋅ → π π 6 πR2 → R2 = 3 ⋅ 16 ⋅ → = 3 ⋅ 16 → [setor] = 48m2 . π 6 Resposta: B 73 Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h. sabe-se que a média harmônica entre o raio r e a altura h é 4 e que sua área total é 2πm2. Mostre que o raio r satisfaz a sentença r3 – r + 2 = 0. Solução: h r 30
  • 27. Professor: Fabrício Maia Matemática Área total 2πrh +2πr 2 = 2π rh + r 2 = 1 (I) Média harmônica 2rh =4 r +h 2r h= (II) r−2 Subst. (II) em (I), vem: ⎛ 2r ⎞ 2 2r2 ⎟ +r = 1→ r − 2 +r = 1→ 2 r⎜ ⎝r − 2⎠ → 2r2 + r2 (r − 2) = r − 2 → 2r2 + r3 − 2r2 = r − 2 → → r3 = r − 2 → r 3 − r + 2 = 0 1− 2senx −senx . Calcule o valor de D ⎛π⎞ 74 Seja o determinante D(x) = 1+ 2senx ⎜ 12 ⎟ . cos x ⎝ ⎠ 1 2 3 1 3 1 A) B) C) D) 3+ E) + 2 2 2 2 2 4 Solução: D(x) = 1 − 2sen2x + senx cos x sen(2x) D(x) = cos(2x) + 2 ⎛π⎞ sen ⎜ ⎟ ⎛ π⎞ ⎛π⎞ ⎝6⎠ D ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ + ⎝ 12 ⎠ ⎝6⎠ 2 ⎛π⎞ 3 1 D⎜ ⎟ = + ⎝ 12 ⎠ 2 4 Resposta: E 3 senAº cos Aº 75 Seja R a raiz positiva da equação x2 + x – = 0. Se R = sen11º cos11º , onde 0 < A < 90. Calcule o valor de A. 4 A) 30 B) 41 C) 60 D) 75 E) 80 Solução: 3 Temos: x 2 + x − =0 4 1 1 x= → R= ou 2 2 −3 x= (não serve) 2 Assim, R = senAº cos11º − sen11º cos Aº R = sen(Aº −11º ) 1 = sen(Aº −11º ) 2 Então: Aº – 11º = 30º Aº = 41º → A = 41 Resposta: B 31
  • 28. Matemática Professor: Fabrício Maia 76 Determine a soma das raízes da equação. A) 0 D) 4 1 1 1 1 B) 1 E) 5 1 x 1 1 C) 2 =0 1 1 x+2 1 1 1 1 x–4 Solução: Aplicando chió, vem: 1 1 1 1 1 x 1 1 =0 1 1 x+2 1 1 1 1 x−4 x −1 0 0 Daí: 0 x +1 0 = 0 0 0 x −5 (x − 1) ⋅ (x + 1)(x − 5) = 0 x = 1, – 1 ou 5 Portanto, a soma das raízes é 5. Resposta: E { 77 Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções. Determine o valor de m4 – 8m2 + 23. mx + 4y = 6 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 Solução: Sejam: r: a1x + b1y + c1 = 0 s: a2x + b2y + c2 = 0 Se r e s são coincidentes, então: a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 Assim, temos: 1 m 3 = = → m=2 m 4 6 * retas coincidentes → infinitas soluções. Portanto, m4 – 8m2 + 23 = 7 Resposta: B 78 Se (xo, yo, zo) é uma solução do sistema ⎧ x + y = 2 encontre o valor de x 2 + y 2 − 2z 2 . ⎨ o o o ⎩ xy + z = 1 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: ⎧ x o + y o = 2 → x o + y o + 2x o y o = 4 2 2 ⎨ ⎩ x o y o + zo = 1 → − 2x o y o − 2zo = −2 2 2 Somando: x 2 + y 2 − 2z o = 2 o o 2 Resposta: C 32
  • 29. Professor: Fabrício Maia Matemática 79 Considere a função real definida no conjunto dos números reais não-negativos por f(x) = x + x – 2. Determine o número real k, tal que f(2k) = 0. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Temos que: 2k + 2k − 2 = 0 2k − 2 = − 2k 22k − 4 ⋅ 2k + 4 = 2k 22k − 5 ⋅ 2k + 4 = 0 2k = 1 → k = 0 ou 2k = 4 → k = 2 (não serve) Veja: se k = 2 → f(2k) = f(4) = 4 ≠ 0 Resposta: A 80 Sendo a reta y = ax + b tangente à elipse x2 + 4y2 = 1, determine o valor de 8(b2 – a2). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Substituindo a reta na equação da elipse, vem: x2 + 4y2 = 1 x2 + 4(a2x2 + 2abx + b2) = 1 (1 + 4a2) x2 + 8abx + 4b2 – 1 = 0 Como a reta é tangente, então a interseção é um único ponto. Δ=0 (único ponto) Daí: (8ab)2 – 4(1 + 4a2) ⋅ (4b2 – 1) = 0 64a2b2 – 16b2 + 4 – 64a2b2 + 16a2 = 0 8a2 – 8b2 + 2 = 0 8(b2– a2) = 2 Resposta: C 81 Determine o valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta os ramos da hipérbole x2 – y2 = 1. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solução: Interseção → x2 – ( x + b)2 = 1 → x2 – x2 – 2bx – b2 = 1 → – 2bx =1+ b2 1 + b2 →x= (x da interseção) −2b Veja: para que não exista interseção, basta tomarmos b = 0. Resposta: A n ⎛ ⎞ 82 Determine o menor inteiro n > o, de modo que ⎜ 3 + 1 i ⎟ seja real positivo. ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎠ A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24 33
  • 30. Matemática Professor: Fabrício Maia Solução: n ⎛ 3 1⎞ ⎜ 2 + 2 i ⎟ = (cos 30º + isen30º ) = 14243) + isen(n ⋅ 30º ) Temos que: ⎜ cos(n ⋅ 30º n ⎟ 14243 ⎝ ⎠ um zero Então: n ⋅ 30º = k ⋅ 360º n = 12k Portanto: n = 12 (menor inteiro positivo) Resposta: C 83 Encontre o módulo do complexo 1 , tal que 1 2 = i. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3 Solução: Temos: 12 = i →| 12 | = | i | → →| 1 ⋅ 1 | = | 0 + 1 | → | 1 | ⋅ | 1 | = 02 + 12 → i →| 1 | ⋅ | 1 | = 1 → | 1 | = 1 Resposta: A 1 A Bx + C 84 Se A , B e C são números reais, tais que = + , para todo x, x ∈ 1 * , calcule o valor de x(x 2 + 2x + 2) x x 2 + 2x + 2 A + B + C. Solução: A Bx + C 1 + 2 = , ∀x ∈ 1 * x x + 2x + 2 x(x + 2x + 2) 2 A(x 2 + 2x +2) + (Bx + C)x 1 = , ∀x ∈ 1 * x(x 2 + 2x + 2) x(x 2 + 2x + 2) ⎧ 1 ⎪A = 2 ⎧ A+B=0 ⎪ ⎪ ⎪ 1 (A + B)x 2 + (2A + C)x + 2A ≡ 1 → ⎨2A + C = 0 → ⎨B = − ⎪ 2A = 1 ⎪ 2 ⎩ ⎪C = − 1 ⎪ ⎩ Portanto: A + B + C = – 1 85 Determine um polinômio P(x) de grau 2 que verifique a identidade P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3. Solução: Supondo P(x) = ax2 = bx + c, temos: P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = ax2 + (2a + b)x + (a + b + c). Então: ⎧a = 1 ⎧a = 1 ⎪ ⎪ P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3 ⇔ ⎨2a + b = 2 ⇔ ⎨b = 0 ⎪a + b + c = 3 ⎩ ⎪c = 2 ⎩ Logo, P(x) = x2 + 2. 34
  • 31. Professor: Fabrício Maia 86 Que condições devem satisfazer os números a, b e c para que o polinômio ax2 + bx + c seja o quadrado de um Matemática polinômio do 1º grau? Solução: Devemos ter ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2, com m ≠ 0; portanto: ⎧a = m2 ⎪ ⎨b = 2mn ⎪c = n2 ⎩ Podemos eliminar m e n e obter a relação entre a, b e c e calculando b2. b2 = (2mn)2 = 4m2n2 = 4ac Resposta: A condição é b2 = 4ac e a ≠ 0 (pois m ≠ 0) 87 Na figura abaixo indicamos 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, exceto os 4 que marcamos numa mesma reta. Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos? G H F I E B C A D Solução: Se não houvessem 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C9, 3. Desse número, devemos subtrair as combinações formadas por 3 pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C4, 3, pois essas combinações não correspondem a triângulos. Assim, o número de triângulos que podemos formar é C9, 3 – C4, 3. Temos: 9! 9 x 8 x 7 x 6! C9,3 = = = 84 3!6! 3x 2x1x 6! 4! 4 x 3! C4,3 = = =4 3!1! 3 !x 1 Logo: C9,3 – C4, 3 = 84 – 4 = 80. 88 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? Solução: Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias tomadas 6 a 6, uma vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total de misturas seria C10, 6 se não houvesse problema com nenhuma mistura. Devemos, porém, subtrair desse número as combinações em que entrariam as duas substâncias que, se misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram essas duas substâncias são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito substâncias (excluímos aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8 é C8, 4. Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é C10, 6 – C8, 4. Solução: Temos: 10! 10 x 9 x 8 x 7x 6! C10,6 = = = 210 6!4! 6!x 4 x 3x 2x1 8! 8 x 7 x 6 x5 x 4! C8,4 = = = 70 4!4! 4x 3x 2x1x 4! Logo: C10, 6 – C8, 4 = 210 – 70 = 140. 35
  • 32. Matemática Professor: Fabrício Maia n ⎛ 2 1⎞ 89 Dê a condição sobre o inteiro positivo n para que o desenvolvimento de ⎜ x − ⎟ apresente um termo ⎝ x⎠ independente de x e não-nulo. Solução: n k ⎛ ⎞ O termo geral do desenvolvimento de ⎛ x 2 − 1 ⎞ é T = ⎛ n ⎞ (x 2 )n−k ⎜ − 1 ⎟ = ⎛ n ⎞ x 2n−2k ( −1)k x −k = ⎛ n ⎞ ( −1)k x 2n−3k ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2n Para o termo independente de x devemos ter 2n – 3k = 0, logo k = . Como k dever ser inteiro, concluímos 3 que n deve ser um múltiplo de 3. x 2 + ax + b 90 Calcule a e b de modo que a fração algébrica tenha o mesmo valor numérico para todo x ∈ 1 . 2x 2 + 1 Solução: x 2 + ax + b Devemos ter: = k, ∀x ∈ 1 ; logo: x2+ ax + b ≡ 2kx2 + k 2x 2 + 1 ⎧1 = 2k ⎪ ⎨a = 0 ⎪b = k ⎩ 1 A resposta é a = 0 e b = . 2 3 +1 3 −1 91 Calcule o valor numérico de x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, para x = 4 e y= 4 . 3 3 Solução: 4 4 ⎛ 3 +1 3 − 1⎞ ⎛2 3⎞ 24 ⋅ 32 x + 4x y + 6x y + 4xy + y = (x + y) = ⎜ 4 4 3 2 2 3 4 ⎜ 3 4 + 4 ⎟ =⎜ 4 ⎟ = = 48. ⎝ 3 ⎟⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ 3 92 O número 2 é raiz dupla de ax3 + bx + 16. Determine a e b. Solução: Como admite raiz dupla, o grau da equação ax3 + bx + 16 = 0 é maior que 1. Então, a ≠ 0 e concluímos que o grau é 3. Há, portanto, 3 raízes. Supondo que as raízes são 2, 2 e α, com α ≠ 2, temos pelas relações de Girard: ⎧ ⎧ ⎪2 + 2 + α = 0 ⎪α = − 4 ⎪ ⎪ ⎧α = − 4 ⎪ b ⎪ a ⎪ ⎨2 ⋅ 2 + 2α + 2α = , logo ⎨4α + 4 = , logo ⎨a = 1 ⎪ a ⎪ b ⎪b = −12 −16 −4 ⎩ ⎪2⋅ 2 ⋅ α = ⎪α = ⎪ ⎩ a ⎪ ⎩ a Portanto: a = 1 e b = – 12 12 ⎛ 12 ⎞ k 93 Qual é o valor de ∑ ⎜k ⎝ ⎟9 ? ⎠ k =0 Solução: 12 ⎛12 ⎞ k 12 ⎛12 ⎞ 12−k k ∑ ⎜k ⎝ ⎟ 9 = ∑⎜k ⎟ ⋅1 ⋅ 9 ⎠ k =0 k =0 ⎝ ⎠ Este fator é igual a 1, portanto não altera o valor do termo. Notando que ⎛12 ⎞ ⋅ 1 −k ⋅ 9k é o termo geral do binômio (1 + 9)12, concluímos que: ⎜k ⎟ 12 ⎝ ⎠ 12 ⎛12 ⎞ k ∑⎜k ⎝ ⎟ 9 = (1+ 9) = 10 ( o que dá 1 trilhão). ⎠ 12 12 k =0 36
  • 33. Professor: Fabrício Maia Matemática 94 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com números negativos. De quantos modos podemos escolher 4 etiquetas diferentes tal que o produto dos números nelas marcados seja positivo? Solução: Teremos o produto positivo em cada caso seguinte: I) Escolhendo 4 etiquetas com números positivos; ou II) Escolhendo 4 etiquetas com números negativos; ou III) Escolhendo 2 etiquetas com números positivos e 2 com números negativos. Números disponíveis: 6 positivos 6 negativos ↓ ↓ Possibilidades: 4 positivos 0 negativos C6,4 ou 0 positivos 4 negativos C6,4 ou 2 positivos 2 negativos C6,2 ⋅ C6,2 Vamos calcular o número de possibilidades de cada caso (lembrando que não importa a ordem das etiquetas). I) O número de modos a escolher 4 números positivos, dispondo de 6 números positivos, é C6,4 . 6! 6 x 5 x 4! C6,4 = = = 15 4!2! 4! x 2 x 1 II) Como temos também 6 números negativos, o número de modos de escolher 4 deles é C6,4 = 15. III) Dos 6 positivos devemos escolher 2( C6,2 ) e, para cada escolha destes, dos 6 negativos devemos escolher 6! também 2 (C6, 2). O número de possibilidades deste caso é C6,2 ⋅ C6,2 . Como C6,2 = = 15, temos 2!4! 15 ⋅ 15 = 225 possibilidades. Então, o total de possibilidades para o produto positivo é 15 + 15 + 225 = 255. 95 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 – x) (1 + x)8. Solução: Quando multiplicamos (1 – x) pelo polinômio obtido desenvolvendo (1 + x)8, o termo em x5 resulta da adição de dois produtos: (1 – x) (1 + ... + termo em x4 + termo em x5 + ... + x8) Termo em x5 = 1 ⋅ [termo em x5 de (1 + x)8] + [(– x) ⋅ termo em x4 de (1 + x)8] ⎛ 8 ⎞ 8−k k ⎛ 8 ⎞ k O termo geral de (1 + x)8 é T = ⎜ k ⎟ ⋅ 1 ⋅ x = ⎜ k ⎟ x . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛8⎞ 5 8! 5 8 x 7 x 6 5 Para k = 5 temos T = ⎜ 5 ⎟ x = x = x = 56x5. ⎝ ⎠ 5! 3! 3x 2x1 ⎛8 ⎞ 4 8! 4 8 x 7 x 6 x 5 4 Para k = 4 temos T = ⎜ 4 ⎟ x = x = x = 70x 4 . ⎝ ⎠ 4! 4! 4x3x2x 1 Então, no produto (1 – x) (1 + x) 8 temos: Termo em x5 = [1 x 56x5] + [(– x) ⋅ 70x4] = 56x5 – 70x5 = – 14x5 O coeficiente pedido é igual a – 14. 37
  • 34. Matemática Professor: Fabrício Maia 96 Se A é uma matriz quadrada de ordem três com detA = 5, então o valor de det(2A) é: A) 6 B) 11 C) 15 D) 30 E) 40 Solução: Sabemos que: det(k.A) = kn ⋅ det(A), onde: n → é a ordem da matriz A Então: det(2A) = 23 ⋅ det(A) = 8 ⋅ 5 = 40. Resposta: E 97 Se a matriz A satisfaz A2 – 2A + I = 0, então A– 1: A) não existe. B) é igual a I. C) é igual a A. D) é igual a A – 2I. E) é igual a 2I – A. Solução: Sabemos que: A ⋅ A– 1 = A –1 ⋅ A = I Então: A2 – 2A + I = 0 → I = 2A – A2→ → I = 2AI – A2 → I = 2IA – AA → → I = (2I – A) ⋅ A → A–1 = 2I – A Resposta: E 98 Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Para voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor de A. A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 Solução: 80 Preço inicial = P → com desconto = P 14444244443 100 novo preço 80 A 80 Para voltar ao preço inicial, temos: P+ ⋅ P=P 100 100 100 A 80 20 ⋅ P= P 100 100 100 A 1 = 100 4 A = 25 Resposta: C 38