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Agrupamento de Escolas drª
Laura Ayres
Elaborado por:
Professoras Carla Cunha e Nélida Filipe
Equações do 2º Grau
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Quando escrevemos a equação na forma ax2 +
bx + c = 0, a ≠ 0, dizemos que a equação está escrita na forma
canónica:
Observe que:
a representa o coeficiente de x²;
b representa o coeficiente de x;
c representa o termo independente.
Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6.
7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.
x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.
Equações Completas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são
diferentes de zero.
Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20.
-x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.
Equações Incompletas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é
igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.
Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3.
-2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.
Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2.
x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.
 Será uma equação do 2º grau?
1.
2.
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
02231
2
xxx
03 22
xx
Raízes de uma Equação do 2º Grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as
suas raízes ou soluções.
Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a
incógnita de uma equação, a transforma
numa proposição verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se
conjunto solução e representa-se por S ou C.S..
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Utilizamos na
resolução de uma equação incompleta duas importantes propriedades dos
números reais, chamando-se à 1.ª Propriedade a “Lei do anulamento do
produto”, a qual permite factorizar a equação:
1ª Propriedade: Se x є R, y є R e x.y = 0 x = 0 ou y = 0
2ª Propriedade: Se x є R, y є R e x² = y x = √ y ou x = -√ y
1º Caso: Equações da forma
2º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
3º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
Resolução de Equações Incompletas
02
ax
ax² = 0
Consideremos a equação
Reduzimos a equação à forma canónica
Só há um número elevado a dois que é zero. Logo
Uma equação do 2º grau do tipo ax² = 0 tem uma e uma só solução: o
número zero. ax² = 0
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
22
85 xx
085 22
xx
0
013
2
2
x
x
0x
0x
 Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +bx = 0, (c = 0)
Consideremos a equação:
Comecemos por escrevê-la na forma canónica
Factorizamos o 1º membro
Aplicamos a lei do anulamento do produto
Logo,
xx 53 2
053 2
xx
053xx
3
5
0
0530
xx
xx
3
5
;0S
De um modo geral, temos, se
No geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem sempre duas soluções reais, sendo uma
delas nula e a outra igual ao simétrico do quociente entre b e a:
x = 0
e
x = - b/a
Logo,
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
0a
a
b
xx
baxx
baxx
bxax
0
00
0
02
a
b
S ;0
Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +c = 0, (b = 0)
Consideremos a equação
Resolvemo-la por dois processos diferentes:
0259 2
x
1º Processo 2ºProcesso
Aplicando casos notáveis para
factorizar o 1º membro e a lei do
anulamento do produto para
resolver:
3
5
3
5
9
25
9
25
9
25
259
0259
2
2
2
xx
xx
x
x
x
3
5
3
5
053053
05353
0259 2
xx
xx
xx
x
Logo,
A equação tem duas soluções simétricas.
Consideremos a equação
Resolvendo vem:
Não há nenhum número ao quadrado que vá dar um número negativo.
A equação é mpossível .
3
5
;
3
5
S
Resolução de Equações Incompletas
0259 2
x
9
25
259
0259
2
2
2
x
x
x
No geral, a equação do tipo ax² +c = 0, se :
Uma equação do 2º grau do tipo tem duas soluções simétricas se
a e c têm sinais contrários e é impossível se a e c têm o mesmo sinal.
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
a
c
x
a
c
x
a
c
Se
impossíveléequaçãoa
a
c
Se
a
c
xcaxcax
,0
.,0
.0 222
0a
Resolução de Equações Incompletas
02
cax
Resolução de Equações Incompletas
EXERCÍCIOS: Resolve cada uma das seguintes equações:
Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
063.4
2
5
2.3
.2
0.1
2
22
2
2
x
xx
xx
x
Resolução de Equações Completas
Fórmula de Bhaskara ou fórmula resolvente
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a
Fórmula de Bhaskara ou resolvente.
A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação
quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronómo
indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta
porém é atribuída aos babilónios antigos, e sua formalização ao matemático persa
Al-Khwarizmi.
A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a
passo a dedução da Fórmula resolvente.
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
(4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
2º passo: passar 4ac para o 2º membro.
4a²x² + 4abx = - 4ac
Fórmula de Bhaskara ou resolvente
3º passo: adicionar b² aos dois membros.
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
4º passo: factorizar o 1º membro.
(2ax + b) ² = b² - 4ac
5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros.
√ (2ax + b) ² = √ b² - 4ac
2ax + b = √ b² - 4ac
6º passo: passar b para o 2º membro.
2ax = - b √ b² - 4ac
Trinômio Quadrado Perfeito
Fórmula de Bhaskara ou resolvente
7º passo: dividir os dois membros por 2a.
2ax = - b √ b² - 4ac
2a 2a
Assim, encontramos a fórmula resolvente da equação do 2º grau:
x = - b √ b² - 4ac
2a
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac
2a 2a
Discriminante
Denominamos binómio discriminante o radical b2 - 4ac que é
representado pela letra grega Δ (delta).
Δ = b2 - 4ac
Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara:
x = - b √ Δ
2a
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O)
2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O)
3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)
Discriminante
Δ > O Δ = O Δ < O
O valor de √Δ é real
e a equação tem duas
raízes reais
diferentes, assim
representadas:
O valor de √Δ é nulo
e a equação tem
duas raízes reais e
iguais, assim
representadas:
O valor de √Δ
não existe em IR,
não existindo,
portanto, raízes
reais.
x’ = - b + √Δ
2a
x” = - b - √Δ
2a
x’ = x” = -b
2a
As raízes da equação
são número
complexos.

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Equacoes do 2-_grau

  • 1. Agrupamento de Escolas drª Laura Ayres Elaborado por: Professoras Carla Cunha e Nélida Filipe
  • 2. Equações do 2º Grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
  • 3. Definição: Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Quando escrevemos a equação na forma ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, dizemos que a equação está escrita na forma canónica: Observe que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.
  • 4. Equações Completas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20. -x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.
  • 5. Equações Incompletas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4. Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) 3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.
  • 6.  Será uma equação do 2º grau? 1. 2. Ficha de Trabalho equ incompletas.docx 02231 2 xxx 03 22 xx
  • 7. Raízes de uma Equação do 2º Grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as suas raízes ou soluções. Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, a transforma numa proposição verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto solução e representa-se por S ou C.S.. Ficha de Trabalho equ incompletas.docx
  • 8. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta duas importantes propriedades dos números reais, chamando-se à 1.ª Propriedade a “Lei do anulamento do produto”, a qual permite factorizar a equação: 1ª Propriedade: Se x є R, y є R e x.y = 0 x = 0 ou y = 0 2ª Propriedade: Se x є R, y є R e x² = y x = √ y ou x = -√ y 1º Caso: Equações da forma 2º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) 3º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) Resolução de Equações Incompletas 02 ax
  • 9. ax² = 0 Consideremos a equação Reduzimos a equação à forma canónica Só há um número elevado a dois que é zero. Logo Uma equação do 2º grau do tipo ax² = 0 tem uma e uma só solução: o número zero. ax² = 0 Ficha de Trabalho equ incompletas.docx Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: 22 85 xx 085 22 xx 0 013 2 2 x x 0x 0x
  • 10.  Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) Consideremos a equação: Comecemos por escrevê-la na forma canónica Factorizamos o 1º membro Aplicamos a lei do anulamento do produto Logo, xx 53 2 053 2 xx 053xx 3 5 0 0530 xx xx 3 5 ;0S
  • 11. De um modo geral, temos, se No geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem sempre duas soluções reais, sendo uma delas nula e a outra igual ao simétrico do quociente entre b e a: x = 0 e x = - b/a Logo, Ficha de Trabalho equ incompletas.docx 0a a b xx baxx baxx bxax 0 00 0 02 a b S ;0
  • 12. Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) Consideremos a equação Resolvemo-la por dois processos diferentes: 0259 2 x 1º Processo 2ºProcesso Aplicando casos notáveis para factorizar o 1º membro e a lei do anulamento do produto para resolver: 3 5 3 5 9 25 9 25 9 25 259 0259 2 2 2 xx xx x x x 3 5 3 5 053053 05353 0259 2 xx xx xx x
  • 13. Logo, A equação tem duas soluções simétricas. Consideremos a equação Resolvendo vem: Não há nenhum número ao quadrado que vá dar um número negativo. A equação é mpossível . 3 5 ; 3 5 S Resolução de Equações Incompletas 0259 2 x 9 25 259 0259 2 2 2 x x x
  • 14. No geral, a equação do tipo ax² +c = 0, se : Uma equação do 2º grau do tipo tem duas soluções simétricas se a e c têm sinais contrários e é impossível se a e c têm o mesmo sinal. Ficha de Trabalho equ incompletas.docx a c x a c x a c Se impossíveléequaçãoa a c Se a c xcaxcax ,0 .,0 .0 222 0a Resolução de Equações Incompletas 02 cax
  • 15. Resolução de Equações Incompletas EXERCÍCIOS: Resolve cada uma das seguintes equações: Ficha de Trabalho equ incompletas.docx 063.4 2 5 2.3 .2 0.1 2 22 2 2 x xx xx x
  • 16. Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara ou fórmula resolvente Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara ou resolvente. A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronómo indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos babilónios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula resolvente. 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a) 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 2º passo: passar 4ac para o 2º membro. 4a²x² + 4abx = - 4ac
  • 17. Fórmula de Bhaskara ou resolvente 3º passo: adicionar b² aos dois membros. 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac 4º passo: factorizar o 1º membro. (2ax + b) ² = b² - 4ac 5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. √ (2ax + b) ² = √ b² - 4ac 2ax + b = √ b² - 4ac 6º passo: passar b para o 2º membro. 2ax = - b √ b² - 4ac Trinômio Quadrado Perfeito
  • 18. Fórmula de Bhaskara ou resolvente 7º passo: dividir os dois membros por 2a. 2ax = - b √ b² - 4ac 2a 2a Assim, encontramos a fórmula resolvente da equação do 2º grau: x = - b √ b² - 4ac 2a Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac 2a 2a
  • 19. Discriminante Denominamos binómio discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta). Δ = b2 - 4ac Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara: x = - b √ Δ 2a De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O) 2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O) 3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)
  • 20. Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √Δ não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √Δ 2a x” = - b - √Δ 2a x’ = x” = -b 2a As raízes da equação são número complexos.