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  Matemática 3º ano – 3º Bimestre/2012
            Plano de Trabalho 2


            Geometria analítica




Tarefa: 2
Cursista: Roberto monteiro Barata
Tutor: Claudio Rocha de Jesus
Pré requisito: plano cartesiano, noções de geometria plana.


Metodologia: Turma dividida em grupos de dois alunos, trabalho em grupo e

avaliação também em grupo. Aula em laboratório de informática com o uso do

geogebra.
Introdução
     A geometria analítica também chamada de geometria da posição, trabalha

com o sistemas de coordenadas cartesianas. Os estudos iniciais estão ligados

ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de

coordenadas cartesianas.

     Utilizei o roteiro de ação 1 Para iniciar os estudos com a turma.
DESENVOLVIMENTO

Atividades – Distância entre dois pontos, e o estudo
da reta.

Habilidade relacionada: Função do primeiro grau, sistema de equações do
primeiro grau etc...
Pre-requisitos: Plano cartesiano.
Tempo de Duracao: 100 minutos
Recursos Educacionais Utilizados: Laboratório de informática utilizando o
geogebra, E o GPS.
Organizacao da turma: Duplas.
Objetivos: Mostrar a aplicação prática da geometria analítica.
Metodologia adotada: Aulas expositivas e práticas em laboratório
de informática.

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Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.

DISTÂNCIA ENTRE PONTOS NO PLANO

     É sempre interessante saber qual é a distância de um ponto onde

estamos, até determinado local, por exemplo, um supermercado ou uma

escola, não é verdade? Essa informação é-nos útil para tomar certas decisões,

tais como, qual meio de transporte utilizar, qual o tempo de deslocamento etc.

Ferramentas como o GPS ou o Googlemaps, na Internet, auxiliam-nos a fazer

essas estimativas. Mas como fazemos na prática sem a utilização dessas

tecnologias?

     Uma vez que já sabemos como localizar pontos no plano através de um

sistema de coordenadas, surge uma pergunta muito natural: como calcular a

distância entre pontos localizados, conforme um determinado sistema?

     Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto P até a origem O (que

no caso é o raio do ponto, nas coordenadas polares). Para isto, utilizaremos o

Teorema de Pitágoras, veja




     Para localizarmos o ponto P, escolhemos o trajeto cartesiano. A partir da

origem, andamos x unidades para a direita e y unidades para cima. Estamos

caminhando pelos eixos! Dessa forma, como os eixos são perpendiculares,

formamos um triângulo retângulo. Com isto, calcular a distância d é uma tarefa
simples. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que em qualquer triângulo

retângulo, o quadrado da hipotenusa d é igual à soma dos quadrados dos

catetos x e y. Isto é,

     Agora que já sabemos como calcular a distância de um ponto P qualquer

à origem do sistema, vamos calcular a distância entre pontos de mesmas

ordenadas ou de mesmas abscissas. Esses casos irão nos auxiliar a calcular o

caso geral, a distância entre dois pontos quaisquer do plano.

     Considere os pontos P(x,y) e Q(x’,y) de mesma ordenada, observe a

figura abaixo:




     A distância entre eles será dada por d =         =          Calculamos

a distância em módulo para garantir que d seja um número real não negativo.

     Analogamente, temos o mesmo raciocínio para pontos de mesma

abscissa, veja:
Neste caso, temos que a distancia entre os pontos P(x,y) e Q(x,y’) é dada

pelo número real não negativo: d =        =

     A partir de agora, consideremos a distância entre dois pontos P e Q por

d=d(P, Q), para ficar mais claro o que estamos calculando. Quando temos

pontos quaisquer, não necessariamente com mesmas abscissas ou ordenadas,

o procedimento a ser adotado é similar.

     Consideramos o ponto R(x’,y) que tem mesma abscissa que o ponto Q e

mesma ordenada que o ponto P, formando assim um triângulo PQR, retângulo

em R.




     Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos catetos”
Exemplo

Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.

xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5




   EXERCÍÍCIIOS
   EXERC C OS



  01. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é

  02. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:


  03. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
  04. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
  05. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é




             AS RETAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS


     Até agora, já falamos um pouco da história da geometria analítica, de

localização de pontos, de como calcular a distância entre eles e, para fechar,

vamos discutir um pouco sobre as possíveis formas de representar uma reta,

não só através de seu esboço no plano cartesiano, como também de forma

algébrica. Vamos lá?

     Existem diversos tipos de representações algébricas para as retas: a

equação fundamental, a reduzida, a geral e também a paramétrica. É claro que

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o que está em jogo aqui não é saber a nomenclatura ou decorar cada equação.

Muito mais importante do que isso é entender que característica da reta cada

representação privilegia, ou seja, quais informações da reta podem ser

rapidamente recuperadas por cada tipo de equação.

Sempre podemos associar a uma reta, uma equação com uma utilidade

específica. Por exemplo, a forma fundamental dá-nos um ponto da reta e seu

coeficiente angular; a forma reduzida explicita o coeficiente angular e o linear; a

forma geral tem esse nome porque permite a representação de qualquer reta

do plano, seja ela horizontal, vertical ou oblíqua; e, finalmente, a paramétrica

permite o estudo de cada variável em função de um só parâmetro real, além de

deixar explícito o vetor diretor da reta.

          Mais uma vez, é interessante enfatizar a ponte que é feita entre a

Geometria e a Álgebra através da Geometria Analítica. As retas são objetos

geométricos e podem ser entendidas através de equações, objetos

essencialmente algébricos.

          Ao fixar um sistema de coordenadas no plano, podemos associar as

retas desse plano às equações. Mas o que isso quer dizer? Chama-se equação

de uma reta r no plano a expressão algébrica de igualdade que envolva as

variáveis x e y, a qual será satisfeita se, e somente se, o ponto (x,y) pertencer à

reta r.

          Sabemos que as retas são gráficos de funções afins. E que estas

representam diversos fenômenos naturais e/ou cotidianos a nossa volta. Por

exemplo: o crescimento de uma planta, o montante acumulado em regime de

juros simples ou, até mesmo, a área de um retângulo do qual sabemos sua

base. Como saber se, em um determinado fenômeno, o modelo matemático a
ser adotado tem graficamente o comportamento retilíneo? Estes são

fenômenos onde acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para

f(x). Veja:




                        A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL


      Toda reta indica uma direção e esta forma um ângulo de inclinação com

relação ao eixo horizontal. Nesta altura, um conceito relevante é o de

coeficiente angular de uma reta. Essa informação é privilegiada pela chamada

equação fundamental, a qual é obtida a partir do coeficiente angular e um

ponto qualquer que pertença à reta.

      O coeficiente angular m de uma reta é o quociente entre uma dada

variação em y(Δy) pela variação correspondente em x(Δx). Devido ao fato do

coeficiente angular ser definido como uma razão, esta só está bem definida,

quando o denominador é diferente de zero. Logo, precisamos que haja a

possibilidade de variar a coordenada x. Se a abscissa de todos os pontos da
reta for constante, a variação em x é nula e; portanto, o coeficiente angular

desta reta não está bem definido. Retas com essa característica são chamadas

de retas verticais.

                                                   (x0, y0) (x1, y1)




     2. Se a reta for decrescente




Como a tangente é uma função que só depende do ângulo e não do triângulo

formado, temos que essa razão ΔΔyx é constante na reta dada. Portanto, a

partir de um ponto qualquer (x0, y0) de uma reta r e de seu coeficiente angular

temos que qualquer ponto (x,y) da reta pode ser expresso pela equação:
Como                                   é a Equação Fundamental da reta r

     Esta equação exprime a condição para que o ponto (x,y) pertença à reta r.

     Note que se a reta é vertical, seu ângulo de inclinação é de 90° e sua

tangente não está definida; logo, não temos equação fundamental para retas

verticais. Este é um argumento algébrico para o fato de retas verticais não

possuírem coeficiente angular. Se a reta é horizontal, temos ângulo de

inclinação nulo e, assim, a tangente desse ângulo é nula também. A equação

fundamental fica definida por y = y0, nesse caso.

Analisando o sinal do coeficiente angular, obtemos uma informação

geométrica, a saber, a posição relativa da reta no plano. Quando o coeficiente

angular de uma reta é positivo, temos que o ângulo de inclinação é agudo e

isto quer dizer que a reta é crescente. Se o coeficiente angular for negativo,

temos um ângulo de inclinação obtuso e, assim, a reta é decrescente.

Como mencionado anteriormente, o gráfico de uma função afim é dado por

uma reta. Neste caso, o coeficiente angular é conhecido como taxa de variação

da função. Um exemplo de grandeza física que é definida como taxa de

variação é a velocidade média de um corpo em movimento. Digamos que um

automóvel iniciou seu percurso no ponto O, como nos mostra a figura abaixo.

Ao descrevermos o trajeto do automóvel pela função s(t), onde s(t) nos dá a

distância percorrida pelo automóvel no tempo t, a razão   nos dá a velocidade




média do objeto no percurso.

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Se quisermos saber a velocidade instantânea do objeto num determinado

período de tempo t0, devemos calcular um limite de taxas de variação. Este

limite é chamado de derivada da função s no ponto t0.




                          A EQUAÇÃO REDUZIDA


      Se a reta não for vertical, essa terá interseção com o eixo y. A ordenada

desta interseção b chamamos de coeficiente linear da reta, isto é, o ponto (0,b)

é um ponto da reta r. Note que podemos calcular o coeficiente angular de

qualquer reta a partir de dois pontos. Imagine que queremos utilizar um ponto

qualquer (x,y) e o ponto d é a interseção com o eixo y (o,b). Deste modo,

temos:


Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente
angular m = tg(α):




Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em
que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o
eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax
+ by + c = 0:



Onde:




                             A EQUAÇÃO GERAL


        Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os

conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax +

by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante

de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa

determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados

(x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a

matriz geral da determinação da equação geral:




Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados:        (x1, y1) e

(x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y)
Exemplo

Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e
B(–2, 5).




[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
–3x – y – 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada
pela expressão: –3x – y – 1 = 0.
Posições relativas entre retas



                                    Retas paralelas



Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:



                                          (r) y = a1x + b1

                                          (s) y = a2x + b2



Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:




                                                       a1    a2
                                                                  PARALELAS DISTINTAS
                                                       b1    b2




                                                       a1    a2
                                                                  PARALELAS COINCIDENTES
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Exercícios

1) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.
2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0
3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0



                                    Retas perpendiculares



Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:



                                           (r) y = a1x + b1

                                           (s) y = a2x + b2



Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:




                                                                1
                                                      a1                PERPENDICULARES
                                                               a2




Exercícios

1) Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam
   perpendiculares.

2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x
   + 3y - 12 = 0.
3) Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
Avaliação será feita da seguinte maneira:



1º A avaliação da aprendizagem será feita sempre no final de cada aula
com perguntas e exercícios.

2º Trabalho em grupo;

3º Prova.

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Trabalho2

  • 1. Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CICIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 3º ano – 3º Bimestre/2012 Plano de Trabalho 2 Geometria analítica Tarefa: 2 Cursista: Roberto monteiro Barata Tutor: Claudio Rocha de Jesus
  • 2. Pré requisito: plano cartesiano, noções de geometria plana. Metodologia: Turma dividida em grupos de dois alunos, trabalho em grupo e avaliação também em grupo. Aula em laboratório de informática com o uso do geogebra.
  • 3. Introdução A geometria analítica também chamada de geometria da posição, trabalha com o sistemas de coordenadas cartesianas. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Utilizei o roteiro de ação 1 Para iniciar os estudos com a turma.
  • 4. DESENVOLVIMENTO Atividades – Distância entre dois pontos, e o estudo da reta. Habilidade relacionada: Função do primeiro grau, sistema de equações do primeiro grau etc... Pre-requisitos: Plano cartesiano. Tempo de Duracao: 100 minutos Recursos Educacionais Utilizados: Laboratório de informática utilizando o geogebra, E o GPS. Organizacao da turma: Duplas. Objetivos: Mostrar a aplicação prática da geometria analítica. Metodologia adotada: Aulas expositivas e práticas em laboratório de informática.
  • 5. DISTÂNCIA ENTRE PONTOS NO PLANO É sempre interessante saber qual é a distância de um ponto onde estamos, até determinado local, por exemplo, um supermercado ou uma escola, não é verdade? Essa informação é-nos útil para tomar certas decisões, tais como, qual meio de transporte utilizar, qual o tempo de deslocamento etc. Ferramentas como o GPS ou o Googlemaps, na Internet, auxiliam-nos a fazer essas estimativas. Mas como fazemos na prática sem a utilização dessas tecnologias? Uma vez que já sabemos como localizar pontos no plano através de um sistema de coordenadas, surge uma pergunta muito natural: como calcular a distância entre pontos localizados, conforme um determinado sistema? Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto P até a origem O (que no caso é o raio do ponto, nas coordenadas polares). Para isto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras, veja Para localizarmos o ponto P, escolhemos o trajeto cartesiano. A partir da origem, andamos x unidades para a direita e y unidades para cima. Estamos caminhando pelos eixos! Dessa forma, como os eixos são perpendiculares, formamos um triângulo retângulo. Com isto, calcular a distância d é uma tarefa
  • 6. simples. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa d é igual à soma dos quadrados dos catetos x e y. Isto é, Agora que já sabemos como calcular a distância de um ponto P qualquer à origem do sistema, vamos calcular a distância entre pontos de mesmas ordenadas ou de mesmas abscissas. Esses casos irão nos auxiliar a calcular o caso geral, a distância entre dois pontos quaisquer do plano. Considere os pontos P(x,y) e Q(x’,y) de mesma ordenada, observe a figura abaixo: A distância entre eles será dada por d = = Calculamos a distância em módulo para garantir que d seja um número real não negativo. Analogamente, temos o mesmo raciocínio para pontos de mesma abscissa, veja:
  • 7. Neste caso, temos que a distancia entre os pontos P(x,y) e Q(x,y’) é dada pelo número real não negativo: d = = A partir de agora, consideremos a distância entre dois pontos P e Q por d=d(P, Q), para ficar mais claro o que estamos calculando. Quando temos pontos quaisquer, não necessariamente com mesmas abscissas ou ordenadas, o procedimento a ser adotado é similar. Consideramos o ponto R(x’,y) que tem mesma abscissa que o ponto Q e mesma ordenada que o ponto P, formando assim um triângulo PQR, retângulo em R. Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”
  • 8. Exemplo Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles. xa: 2 xb: 4 ya: -3 yb: 5 EXERCÍÍCIIOS EXERC C OS 01. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é 02. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é: 03. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: 04. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)? 05. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é AS RETAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS Até agora, já falamos um pouco da história da geometria analítica, de localização de pontos, de como calcular a distância entre eles e, para fechar, vamos discutir um pouco sobre as possíveis formas de representar uma reta, não só através de seu esboço no plano cartesiano, como também de forma algébrica. Vamos lá? Existem diversos tipos de representações algébricas para as retas: a equação fundamental, a reduzida, a geral e também a paramétrica. É claro que
  • 9. o que está em jogo aqui não é saber a nomenclatura ou decorar cada equação. Muito mais importante do que isso é entender que característica da reta cada representação privilegia, ou seja, quais informações da reta podem ser rapidamente recuperadas por cada tipo de equação. Sempre podemos associar a uma reta, uma equação com uma utilidade específica. Por exemplo, a forma fundamental dá-nos um ponto da reta e seu coeficiente angular; a forma reduzida explicita o coeficiente angular e o linear; a forma geral tem esse nome porque permite a representação de qualquer reta do plano, seja ela horizontal, vertical ou oblíqua; e, finalmente, a paramétrica permite o estudo de cada variável em função de um só parâmetro real, além de deixar explícito o vetor diretor da reta. Mais uma vez, é interessante enfatizar a ponte que é feita entre a Geometria e a Álgebra através da Geometria Analítica. As retas são objetos geométricos e podem ser entendidas através de equações, objetos essencialmente algébricos. Ao fixar um sistema de coordenadas no plano, podemos associar as retas desse plano às equações. Mas o que isso quer dizer? Chama-se equação de uma reta r no plano a expressão algébrica de igualdade que envolva as variáveis x e y, a qual será satisfeita se, e somente se, o ponto (x,y) pertencer à reta r. Sabemos que as retas são gráficos de funções afins. E que estas representam diversos fenômenos naturais e/ou cotidianos a nossa volta. Por exemplo: o crescimento de uma planta, o montante acumulado em regime de juros simples ou, até mesmo, a área de um retângulo do qual sabemos sua base. Como saber se, em um determinado fenômeno, o modelo matemático a
  • 10. ser adotado tem graficamente o comportamento retilíneo? Estes são fenômenos onde acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para f(x). Veja: A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL Toda reta indica uma direção e esta forma um ângulo de inclinação com relação ao eixo horizontal. Nesta altura, um conceito relevante é o de coeficiente angular de uma reta. Essa informação é privilegiada pela chamada equação fundamental, a qual é obtida a partir do coeficiente angular e um ponto qualquer que pertença à reta. O coeficiente angular m de uma reta é o quociente entre uma dada variação em y(Δy) pela variação correspondente em x(Δx). Devido ao fato do coeficiente angular ser definido como uma razão, esta só está bem definida, quando o denominador é diferente de zero. Logo, precisamos que haja a possibilidade de variar a coordenada x. Se a abscissa de todos os pontos da
  • 11. reta for constante, a variação em x é nula e; portanto, o coeficiente angular desta reta não está bem definido. Retas com essa característica são chamadas de retas verticais. (x0, y0) (x1, y1) 2. Se a reta for decrescente Como a tangente é uma função que só depende do ângulo e não do triângulo formado, temos que essa razão ΔΔyx é constante na reta dada. Portanto, a partir de um ponto qualquer (x0, y0) de uma reta r e de seu coeficiente angular temos que qualquer ponto (x,y) da reta pode ser expresso pela equação:
  • 12. Como é a Equação Fundamental da reta r Esta equação exprime a condição para que o ponto (x,y) pertença à reta r. Note que se a reta é vertical, seu ângulo de inclinação é de 90° e sua tangente não está definida; logo, não temos equação fundamental para retas verticais. Este é um argumento algébrico para o fato de retas verticais não possuírem coeficiente angular. Se a reta é horizontal, temos ângulo de inclinação nulo e, assim, a tangente desse ângulo é nula também. A equação fundamental fica definida por y = y0, nesse caso. Analisando o sinal do coeficiente angular, obtemos uma informação geométrica, a saber, a posição relativa da reta no plano. Quando o coeficiente angular de uma reta é positivo, temos que o ângulo de inclinação é agudo e isto quer dizer que a reta é crescente. Se o coeficiente angular for negativo, temos um ângulo de inclinação obtuso e, assim, a reta é decrescente. Como mencionado anteriormente, o gráfico de uma função afim é dado por uma reta. Neste caso, o coeficiente angular é conhecido como taxa de variação da função. Um exemplo de grandeza física que é definida como taxa de variação é a velocidade média de um corpo em movimento. Digamos que um automóvel iniciou seu percurso no ponto O, como nos mostra a figura abaixo. Ao descrevermos o trajeto do automóvel pela função s(t), onde s(t) nos dá a distância percorrida pelo automóvel no tempo t, a razão nos dá a velocidade média do objeto no percurso.
  • 13. Se quisermos saber a velocidade instantânea do objeto num determinado período de tempo t0, devemos calcular um limite de taxas de variação. Este limite é chamado de derivada da função s no ponto t0. A EQUAÇÃO REDUZIDA Se a reta não for vertical, essa terá interseção com o eixo y. A ordenada desta interseção b chamamos de coeficiente linear da reta, isto é, o ponto (0,b) é um ponto da reta r. Note que podemos calcular o coeficiente angular de qualquer reta a partir de dois pontos. Imagine que queremos utilizar um ponto qualquer (x,y) e o ponto d é a interseção com o eixo y (o,b). Deste modo, temos: Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α): Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o
  • 14. eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: Onde: A EQUAÇÃO GERAL Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral: Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y)
  • 15. Exemplo Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5). [– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0 [– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0 – 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0 –3x – y – 1 = 0 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.
  • 16. Posições relativas entre retas Retas paralelas Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos as seguintes possibilidades: a1 a2 PARALELAS DISTINTAS b1 b2 a1 a2 PARALELAS COINCIDENTES b1 b2
  • 17. Exercícios 1) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. 2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0 3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0 Retas perpendiculares Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos a seguinte possibilidade: 1 a1 PERPENDICULARES a2 Exercícios 1) Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. 2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0. 3) Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
  • 18. Avaliação será feita da seguinte maneira: 1º A avaliação da aprendizagem será feita sempre no final de cada aula com perguntas e exercícios. 2º Trabalho em grupo; 3º Prova.