O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.

1. Geometria Analítica
Equação geral da reta
Cálculo do coeficiente angular de uma reta
Equação Fundamental da Reta
Equação Reduzida da Reta
Equação segmentária da reta

2. Equação Geral da Reta
Para determinarmos a equação geral de uma reta, utilizamos os conceitos
relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0
aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz
quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da
equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos
alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da
equação geral:
Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1)
e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º
coluna da matriz é completada com o algarismo 1.

3. Equação Geral da Reta
Exemplo 1: Obter a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8).
Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2
Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)
Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus
significa:

4. Equação Geral da Reta
1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.
2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.
3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.
4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos
termos da diagonal secundária.

5. Equação Geral da Reta
[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 *
1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0
[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0
8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
–6x + 2y + 2 = 0
Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta:
–6x + 2y + 2 = 0.
Exemplo 2
Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2)
e B(–2, 5).

6. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Sabemos que o valor do coeficiente angular de
uma reta é a tangente do seu ângulo de
inclinação. Através dessa informação podemos
encontrar uma forma prática para obter o valor
do coeficiente angular de uma reta sem
precisar fazer uso do cálculo da tangente.
Vale ressaltar que se a reta for perpendicular
ao eixo das abscissas, o coeficiente angular
não existirá, pois não é possível determinar a
tangente do ângulo de 90º.
Para representarmos uma reta não vertical em
um plano cartesiano é preciso ter no mínimo
dois pontos pertencentes a ela. Desse
modo, considere uma reta s que passa pelos
pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um
ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

7. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox
formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo
Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam
ângulos correspondentes iguais.

8. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Levando em consideração o triângulo BCA e
que o coeficiente angular é igual à tangente do
ângulo de inclinação, teremos:
tgα = cateto oposto / cateto adjacente
tgα = yB – yA / xB – xA
Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão
da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.
m = tgα = Δy / Δx

9. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa
pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?
Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A (2,6) e B (4,14) é:
Exemplo 3
O coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A (8,1) e B (9,6) é:

10. Equação Fundamental da Reta
Podemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o
ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um
ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada
do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe:
Considerando uma reta r, o ponto C(xC, yC) pertencente à reta, seu coeficiente
angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos
pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente
angular.
m = y – y0/x – x0
m (x – x0) = y – y0
Portanto, a equação fundamental da reta será
determinada pela seguinte expressão:
y – y0 = m (x – x0)

11. Equação Fundamental da Reta
Exemplo 1
Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e
coeficiente angular igual a m = – 2.
Exemplo 2
Obtenha uma equação para a reta
representada abaixo:
Exemplo 3
Determine a equação da reta que passa
pelo ponto de coordenadas (6; 2) e
possui inclinação de 60º.

12. Equação Reduzida da Reta
Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e
y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente
linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto
é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa
expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo
das ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o
domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de
representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das
abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta
passa no eixo das ordenadas (y).

13. Equação Reduzida da Reta
Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e
Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas
maneiras, observe:
1º maneira
Determinar o coeficiente angular da reta.
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (–5 – 7) / (–1 – 2)
m = –12 / –3
m = 4
De acordo com o ponto P(2, 7), temos:
y – y1 = m * (x – x1)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1

14. Equação Reduzida da Reta
2ª maneira
Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.
Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:
P(2, 7)
7 = m * 2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7
Q(–1, –5)
–5 = m * (–1) + c
–5 = –m + c
–m + c = –5

15. Equação Reduzida da Reta
Nesse caso, os valores dos coeficientes
angular (m) e linear (c) serão calculados por
um sistema de equações. Veja:
Isolando c na 2ª equação:
–m + c = –5
c = –5 + m
Substituindo c na 1ª equação:
2m + c = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4
Calculando o valor de c:
c = –5 + m
c = –5 + 4
c = –1
Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –
5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

16. Equação segmentária da reta
O estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a
diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a
medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante
importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua
inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os
seguintes tipos de equação: equação geral da reta, equação reduzida, equação
paramétrica e equação segmentária. Faremos o estudo da equação segmentária da reta
e sua utilização.
Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para
obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:

17. Equação segmentária da reta

18. Equação segmentária da reta
Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral
é: s: 2x + 3y – 6 = 0
Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo
independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6
Dividindo a equação por 6, obtemos:

19. Equação segmentária da reta
Exemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as
coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.
Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t
devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:
7x + 14y = 28
Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:

20. Equação segmentária da reta
Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta
com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é
abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é
abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:
(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.
(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.