O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica plana como inclinação, declive e ângulo entre retas. Explica como calcular o declive de uma reta a partir de pontos ou do vetor diretor e como determinar a inclinação correspondente. Apresenta também a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas e como identificar retas perpendiculares. Por fim, inclui exercícios de aplicação destes conceitos.
O documento discute proporcionalidade direta, definindo-a como uma relação onde a razão entre os valores de duas grandezas é constante. Apresenta a constante de proporcionalidade e explica como representar graficamente e por expressão algébrica uma relação de proporcionalidade direta.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Este documento discute conceitos fundamentais sobre funções matemáticas. Define o que é uma função e seus elementos constituintes, como domínio, conjunto de chegada e correspondência entre elementos. Apresenta diferentes formas de representar funções, incluindo expressões algébricas, diagramas de setas, gráficos cartesianos e tabelas. Discutem-se propriedades e tipos de funções como injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Este documento discute a proporcionalidade inversa como função. Explica como construir tabelas e gráficos para representar funções de proporcionalidade inversa, onde o produto das variáveis independente e dependente é constante. Também mostra como analisar situações reais usando este conceito matemático.
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento lista diferentes figuras geométricas planas e sólidas, incluindo suas fórmulas para calcular área e volume. Ele fornece as fórmulas para calcular a área do retângulo, losango, triângulo, polígonos regulares, círculo, trapézio, quadrado e paralelogramo. Também fornece as fórmulas para calcular o volume e área de sólidos como cubo, paralelipípedo retangular, prisma regular, cilindro de revolução, pirâmide regular e cone de
1) O documento descreve funções afins cujos gráficos são retas da forma f(x)=ax+b, com exemplos de diferentes valores de a e b.
2) É explicado que, por ser uma reta, são necessários apenas dois pontos para representar graficamente uma função afim.
3) São mostrados passo-a-passo os procedimentos para representar graficamente funções afins através de tabelas de valores e construção dos respectivos gráficos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre sucessões numéricas, incluindo estudos de monotonia, limites, progressões aritméticas e geométricas. Resolve vários problemas envolvendo o cálculo de termos, razões, somas e limites de diferentes sucessões.
O documento discute proporcionalidade direta, definindo-a como uma relação onde a razão entre os valores de duas grandezas é constante. Apresenta a constante de proporcionalidade e explica como representar graficamente e por expressão algébrica uma relação de proporcionalidade direta.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Este documento discute conceitos fundamentais sobre funções matemáticas. Define o que é uma função e seus elementos constituintes, como domínio, conjunto de chegada e correspondência entre elementos. Apresenta diferentes formas de representar funções, incluindo expressões algébricas, diagramas de setas, gráficos cartesianos e tabelas. Discutem-se propriedades e tipos de funções como injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Este documento discute a proporcionalidade inversa como função. Explica como construir tabelas e gráficos para representar funções de proporcionalidade inversa, onde o produto das variáveis independente e dependente é constante. Também mostra como analisar situações reais usando este conceito matemático.
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento lista diferentes figuras geométricas planas e sólidas, incluindo suas fórmulas para calcular área e volume. Ele fornece as fórmulas para calcular a área do retângulo, losango, triângulo, polígonos regulares, círculo, trapézio, quadrado e paralelogramo. Também fornece as fórmulas para calcular o volume e área de sólidos como cubo, paralelipípedo retangular, prisma regular, cilindro de revolução, pirâmide regular e cone de
1) O documento descreve funções afins cujos gráficos são retas da forma f(x)=ax+b, com exemplos de diferentes valores de a e b.
2) É explicado que, por ser uma reta, são necessários apenas dois pontos para representar graficamente uma função afim.
3) São mostrados passo-a-passo os procedimentos para representar graficamente funções afins através de tabelas de valores e construção dos respectivos gráficos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre sucessões numéricas, incluindo estudos de monotonia, limites, progressões aritméticas e geométricas. Resolve vários problemas envolvendo o cálculo de termos, razões, somas e limites de diferentes sucessões.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
Representar um conjunto por extensão e por compreensão e diagrama de venusPaulo Mutolo
Existem quatro formas básicas de representar um conjunto: 1) Por extensão, listando os elementos entre chavetas; 2) Por compreensão, descrevendo as propriedades dos elementos; 3) Através de diagramas de Venn, representando graficamente; 4) Usando notação de intervalos para números reais.
O documento discute as diferenças entre conhecimento vulgar e científico. O conhecimento vulgar é adquirido através da observação diária e é expresso coloquialmente, enquanto o conhecimento científico exige métodos rigorosos, linguagem precisa e busca explicações. Há duas visões sobre a relação entre eles: a continuidade vê a ciência como aprofundamento do senso comum, enquanto a ruptura enfatiza que a ciência supera o senso comum para revelar a verdade subjacente.
As três frases são:
1) Retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares dependendo se possuem ponto comum ou distância constante entre elas.
2) Retas não coplanares ou reversas nunca possuem ponto comum pois estão em planos diferentes.
3) Duas retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes ou reversas dependendo se possuem ou não ponto comum e se estão no mesmo plano.
O documento discute o conceito de valor aspectual, que expressa a estrutura temporal interna de uma situação. Explica que o valor aspectual é construído com base em informação lexical e gramatical e pode representar uma situação como perfeitiva, imperfeitiva, genérica, habitual ou iterativa. Fornece exemplos de cada uma dessas categorias aspectuais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
O documento apresenta a fórmula resolvente para resolver equações do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c = 0. A fórmula é x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. Exemplos mostram como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de equações do tipo proposto.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
O documento fornece informações sobre o poeta português Luís Vaz de Camões, incluindo detalhes sobre sua vida, obras e estilo poético. Apresenta exemplos de poemas de Camões que ilustram sua poesia tanto na tradição lírica quanto na corrente renascentista.
O Ramalhete evolui ao longo da obra acompanhando o percurso da família Maia: na primeira fase é um local abandonado e degradado, na segunda fase renasce como símbolo de esperança após ser habitado pelos Maias, e na terceira fase assume um caráter lúgubre após a tragédia que destrói a família.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular áreas e volumes de figuras geométricas como círculos, polígonos regulares, cones e esferas.
2) Também apresenta fórmulas para progressões aritméticas e geométricas, trigonometria e complexos.
3) Por fim, apresenta regras de derivação, probabilidades e limites notáveis.
O documento fornece um resumo sobre trigonometria no 9o ano. Apresenta a origem da trigonometria nos egípcios e babilônios há mais de 2000 anos atrás. Também menciona fórmulas para seno, cosseno e tangente e lista valores destes para ângulos notáveis como 30, 45 e 60 graus.
Este documento discute várias teorias filosóficas sobre a definição de arte. Apresenta teorias essencialistas que defendem a existência de características inerentes às obras de arte, e teorias não-essencialistas que consideram características dependentes do contexto social. Discute teorias como a representacional, expressivista, formalista, institucional e histórica, e os seus argumentos e objeções.
1. O documento analisa os primeiros versos de "Os Lusíadas" de Camões, descrevendo sua estrutura poética.
2. A análise identifica os versos heróicos decassílabos e a rima cruzada emparelhada do poema.
3. Também explica que os versos transmitem uma ideia de marcha guerreira celebrando os feitos dos portugueses.
O documento descreve a oração subordinada adjetiva relativa, que é introduzida por um pronome ou quantificador relativo e depende de um antecedente na oração principal. Existem duas categorias: restritivas, que limitam o referente do nome, e explicativas, que fornecem informações adicionais sem alterar o referente.
O documento descreve como construir retângulos de área constante usando 12 quadradinhos de 1 cm de lado. A relação entre a base e altura é de proporcionalidade inversa, onde o produto das duas dimensões é sempre igual a 12. Isso pode ser representado graficamente por uma hipérbole.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Este documento apresenta dois testes de matemática para o 11o ano, com questões de escolha múltipla e questões abertas. O teste é composto por dois grupos, sendo o Grupo I focado em questões de escolha múltipla e o Grupo II contendo questões abertas que requerem raciocínio e cálculos matemáticos. As questões abordam tópicos como trigonometria, geometria e funções.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
Representar um conjunto por extensão e por compreensão e diagrama de venusPaulo Mutolo
Existem quatro formas básicas de representar um conjunto: 1) Por extensão, listando os elementos entre chavetas; 2) Por compreensão, descrevendo as propriedades dos elementos; 3) Através de diagramas de Venn, representando graficamente; 4) Usando notação de intervalos para números reais.
O documento discute as diferenças entre conhecimento vulgar e científico. O conhecimento vulgar é adquirido através da observação diária e é expresso coloquialmente, enquanto o conhecimento científico exige métodos rigorosos, linguagem precisa e busca explicações. Há duas visões sobre a relação entre eles: a continuidade vê a ciência como aprofundamento do senso comum, enquanto a ruptura enfatiza que a ciência supera o senso comum para revelar a verdade subjacente.
As três frases são:
1) Retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares dependendo se possuem ponto comum ou distância constante entre elas.
2) Retas não coplanares ou reversas nunca possuem ponto comum pois estão em planos diferentes.
3) Duas retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes ou reversas dependendo se possuem ou não ponto comum e se estão no mesmo plano.
O documento discute o conceito de valor aspectual, que expressa a estrutura temporal interna de uma situação. Explica que o valor aspectual é construído com base em informação lexical e gramatical e pode representar uma situação como perfeitiva, imperfeitiva, genérica, habitual ou iterativa. Fornece exemplos de cada uma dessas categorias aspectuais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
O documento apresenta a fórmula resolvente para resolver equações do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c = 0. A fórmula é x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. Exemplos mostram como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de equações do tipo proposto.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
O documento fornece informações sobre o poeta português Luís Vaz de Camões, incluindo detalhes sobre sua vida, obras e estilo poético. Apresenta exemplos de poemas de Camões que ilustram sua poesia tanto na tradição lírica quanto na corrente renascentista.
O Ramalhete evolui ao longo da obra acompanhando o percurso da família Maia: na primeira fase é um local abandonado e degradado, na segunda fase renasce como símbolo de esperança após ser habitado pelos Maias, e na terceira fase assume um caráter lúgubre após a tragédia que destrói a família.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular áreas e volumes de figuras geométricas como círculos, polígonos regulares, cones e esferas.
2) Também apresenta fórmulas para progressões aritméticas e geométricas, trigonometria e complexos.
3) Por fim, apresenta regras de derivação, probabilidades e limites notáveis.
O documento fornece um resumo sobre trigonometria no 9o ano. Apresenta a origem da trigonometria nos egípcios e babilônios há mais de 2000 anos atrás. Também menciona fórmulas para seno, cosseno e tangente e lista valores destes para ângulos notáveis como 30, 45 e 60 graus.
Este documento discute várias teorias filosóficas sobre a definição de arte. Apresenta teorias essencialistas que defendem a existência de características inerentes às obras de arte, e teorias não-essencialistas que consideram características dependentes do contexto social. Discute teorias como a representacional, expressivista, formalista, institucional e histórica, e os seus argumentos e objeções.
1. O documento analisa os primeiros versos de "Os Lusíadas" de Camões, descrevendo sua estrutura poética.
2. A análise identifica os versos heróicos decassílabos e a rima cruzada emparelhada do poema.
3. Também explica que os versos transmitem uma ideia de marcha guerreira celebrando os feitos dos portugueses.
O documento descreve a oração subordinada adjetiva relativa, que é introduzida por um pronome ou quantificador relativo e depende de um antecedente na oração principal. Existem duas categorias: restritivas, que limitam o referente do nome, e explicativas, que fornecem informações adicionais sem alterar o referente.
O documento descreve como construir retângulos de área constante usando 12 quadradinhos de 1 cm de lado. A relação entre a base e altura é de proporcionalidade inversa, onde o produto das duas dimensões é sempre igual a 12. Isso pode ser representado graficamente por uma hipérbole.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Este documento apresenta dois testes de matemática para o 11o ano, com questões de escolha múltipla e questões abertas. O teste é composto por dois grupos, sendo o Grupo I focado em questões de escolha múltipla e o Grupo II contendo questões abertas que requerem raciocínio e cálculos matemáticos. As questões abordam tópicos como trigonometria, geometria e funções.
Este documento apresenta três frases sobre um teste de ciências sobre o universo e a Terra:
1) O teste contém questões sobre o universo, o sistema solar e o planeta Terra;
2) Os alunos devem completar tabelas, associar conceitos, ordenar informações e classificar afirmações;
3) O teste avalia o conhecimento dos alunos sobre diversos tópicos astronômicos e planetários.
1) O documento descreve os diferentes sistemas possíveis para a posição relativa de três planos: determinado, indeterminado ou impossível.
2) Explica como determinar a posição relativa verificando se os vetores normais são colineares e resolvendo ou não o sistema de equações.
3) Apresenta exercícios propostos para resolver sistemas e indicar a sua posição relativa.
1) No centro do Sol, a fusão de átomos de hidrogénio origina hélio. A radiação solar que atinge a Terra é de cerca de 1373 W/m2.
2) Na superfície terrestre, a radiação disponível divide-se em componentes direta, difusa e refletida, provenientes do Sol e do ambiente.
3) Coletores solares captam a radiação e transferem a energia para água, aquecendo-a.
Thomas Morgan estudou a hereditariedade em moscas da fruta (Drosophila melanogaster) e descobriu que certos genes estão ligados aos cromossomos sexuais. Ele observou que os resultados dos cruzamentos eram diferentes dependendo do sexo dos pais, o que levou à teoria de que os genes nos cromossomos X são transmitidos de forma diferente.
O documento apresenta os conceitos de equação do plano e equação da reta no espaço tridimensional. Explica como obter a equação do plano definido por um ponto e um vetor normal, por três pontos não colineares e casos particulares de planos paralelos aos planos coordenados. Apresenta também como obter a equação vetorial e equações cartesianas de uma reta no espaço a partir de um ponto e vetor diretor. Fornece exemplos passo a passo de como aplicar os conceitos.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
Este documento apresenta definições e propriedades relacionadas a geometria vetorial no espaço, incluindo: 1) a definição de produto escalar de dois vetores; 2) como calcular o ângulo entre dois vetores ou duas retas usando o produto escalar; 3) como classificar a posição relativa de duas retas.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; e (4) equação segmentária de uma reta e como determinar pontos de interseção com os eixos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento descreve os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo o sistema cartesiano de eixos, quadrantes, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação destes conceitos.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
1) O documento apresenta uma coletânea de exercícios de preparação para um teste em trigonometria, álgebra e geometria analítica.
2) Os exercícios abordam tópicos como equações trigonométricas, vetores, triângulos, retas e planos.
3) As respostas são fornecidas sob a forma de alternativas múltiplas.
1. O ponto da reta r com abscissa 5 tem coordenadas (5, 10, 3).
2. Para que o ponto P pertença à reta s, deve-se ter m = -3 e n = -4.
3. A equação reduzida da reta que passa por A(4, 0, -3) na direção do vetor (2, 4, 5) é x = 2y + 8.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, incluindo questões sobre distância entre pontos, pontos médios de segmentos, alinhamento de pontos e triângulos.
2. São fornecidos 22 exercícios com suas respectivas respostas no gabarito no final.
3. Os exercícios abordam diferentes conceitos geométricos como determinação de pontos, valores de variáveis, comprimentos de segmentos e propriedades de figuras planas.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
1. O documento discute equações de retas e pontos de interseção entre retas no plano cartesiano. Inclui determinar equações de retas passando por pontos dados e cálculo de pontos de interseção.
2. Também inclui representação gráfica de retas, cálculo de retas paralelas e perpendiculares a outras, e análise da posição relativa de retas.
3. No final, analisa se um triângulo é isósceles baseado nas equações das retas que passam pelos lados.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o estudo de pontos, retas e suas equações.
2) É mostrado como calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo e a área de figuras planas como triângulos e quadriláteros.
3) São apresentados e explicados métodos para se obter a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos ou a inclinação.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
Este documento propõe um teste de avaliação de Matemática A para o 10o ano de escolaridade. O teste é dividido em dois grupos, sendo o Grupo I composto por itens de múltipla escolha e o Grupo II por itens que requerem cálculos e justificativas. O teste avalia conteúdos como geometria no espaço, cálculo vetorial e geometria plana.
O documento apresenta exercícios sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano. Inclui determinação de coordenadas de pontos, equações de retas, coeficiente angular, interseção de retas, cálculo de áreas e baricentro de triângulos.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
1. ESAS – Geometria I Página 1/6
Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano
Ficha Formativa de Matemática A – Geometria I
Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares.
Equação vetorial da reta:
Dado um ponto 0 0A x , y e um vetor 1 2u u , u
, a equação
0 0 1 2x , y x , y k. u , u ,k
é a equação vetorial da reta que contém A e tem a direcção do vetor u
.
Exemplo: A equação vetorial da reta que contém o ponto A 2 ,3 e tem a direcção do vetor u 1 ,2
é:
x , y 2 ,3 k . 1,2 ,k
Equação reduzida de uma reta:
A uma equação da forma y m x b , em que m é o declive e b a
ordenada na origem, chama-se equação reduzida da reta.
Nota: equação da reta com declive m e que contém o ponto 0 0x , y
0 0y y m x x
Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2.
Resolução: Como m 3 e b 2 , a equação da reta é: y 3 x 2
Nota :
o declive de uma reta quando se conhecem dois pontos A AA x , y e B BB x , y é dado por: B A
B A
y y
m
x x
o declive de uma reta quando se conhece o seu vetor director 1 2u (u , u )
é dado por : 2
1
u
m
u
Exemplo: Determina o declive de uma reta que:
a) passa pelos pontos A 2 ,3 e B 1 ,2 ;
b) tem a direcção do vetor u 1 , 3
.
2. ESAS – Geometria I Página 2/6
Resolução:
a) A 2 ,3 e B (1 , 2) B A
B A
y y 2 3 1
m
x x 1 ( 2) 3
b) u ( 1 , 3 )
2
1
u 3
m 3
u 1
Exercícios Propostos:
1. Determina uma equação vetorial da reta que:
a) passa no ponto A 1 , 2 e tem a direcção do vetor u 1 , 3
;
b) passa pelos pontos A 2 ,1 e B 1 ,3 ;
c) passa na origem dos eixos coordenados e tem a direcção do vetor v 1 , 4
;
d) contém o ponto C 2 ,2 e tem a direcção do eixo Ox;
e) contém o ponto D 1 , 5 e é paralela ao eixo Oy.
2. Determina a equação reduzida da reta que:
a) passa no ponto A 1 , 2 e tem a direcção do vetor u 1 , 3
b) tem declive – 3 e contém o ponto A 1 , 1
c) tem declive 1 e passa pelo ponto B 0 ,2 ;
d) passa pelo ponto A 1 ,1 e tem a direcção do vetor u 1 , 3
;
e) contém o ponto B 3 , 0 e é paralela ao vetor v 1 , 2
;
f) contém o ponto C 3 ,2 e tem a direcção do vetor a 2 , 1
.
3. Determina o declive de uma reta que:
a) contém os pontos A 2 ,1 e B 1,3 ;
b) contém os pontos C 2 ,3 e D 2 ,4 ;
c) tem a direcção do vetor u 3 , 6
;
d) é paralela ao vetor v 2 , 4
4. Representa graficamente cada uma das retas:
a) y x 2 ;
b) y x 3 .
Declive como tangente da inclinação de uma reta no plano
Ao traçarmos uma reta oblíqua num referencial o.n. do plano observamos que ela forma com o eixo dos Ox, dois
ângulos.
Chamamos inclinação de uma reta à amplitude do ângulo definido pelo semieixo positivo do eixo Ox e pela reta .
3. ESAS – Geometria I Página 3/6
Sabendo que o declive m da reta é definido por:
B A
B A
y y
m
x x
E atendendo à definição de tangente de um ângulo de amplitude , podemos escrever:
B A
B A
y y
tg m
x x
Logo,
tg m
Exemplo: Considera a reta r de equação: r: x , y 1 ,2 k . 3 ,1 , k
Determina:
a) o seu declive;
b) a sua inclinação
Resolução:
a) Sendo r 3 , 1
e 2
1
u
m
u
então
1
m
3
;
b) m tg , logo
1
tg
3
e então 1 1
tg 18,43 2 c.d.
3
Assim, tendo em atenção a variação de sinal de tg , podemos concluir que :
Declive positivo, m 0 então 0 90 :
Declive nulo, m 0 então 0 ou 180
Declive negativo, m 0 então 90 180 :
Quando a inclinação de uma reta é de 90(reta vertical), a tangente não está definida, pelo que não é possível
atribuir ao declive um número real.
4. ESAS – Geometria I Página 4/6
Exercícios Propostos:
5. Para cada uma das retas, indica o declive e a inclinação:
a) r: y 2 x 1
b)
1
r: y x 3
2
c) r: x , y 1,2 k . 1, 1 ,k
d) r: x , y 2 ,3 k . 3 ,3 ,k
Ângulo de duas retas
Dadas as retas, r e s, concorrentes e não perpendiculares:
O ângulo de duas retas concorrentes corresponde ao ângulo de amplitude , por elas definido, tal que:
0 90
Nota que: Se as retas forem paralelas, o ângulo por elas definido tem de amplitude 0 .
Se as retas forem perpendiculares, o ângulo tem de amplitude 90.
Para determinar a amplitude do ângulo definido pelas retas concorrentes r e s, utiliza-se a fórmula:
^
r s
cos(r s )
r s
sendo r e s
os vetores diretores das retas r e s , respetivamente.
Exemplo: Determina, com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo definido pelas retas r e s:
r: x , y 2 ,1 k . 1, 3 ,k
3
s: y x 1
2
Resolução:
Em relação à reta r, um vetor diretor será r 1 , 3
,
Em relação à reta s, s
3
m
2
, logo um vetor diretor será s 2 ,3
.
Então,
22 2 2
r s
1 , 3 . 2 ,3 2 9 7
cos
10 13 1301 3 2 3r s
Recorrendo à calculadora, concluímos que:
1 7
cos 52
130
5. ESAS – Geometria I Página 5/6
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo definido pelas retas é 90, o que é equivalente a calcular o ângulo
definido pelos vetores diretores das retas.
Considerando:
Conclusão: Duas retas são perpendiculares se o declive de uma é igual ao simétrico do inverso da outra.
Retas Relação entre os declives
r: y mx b
1 1s: y m x b
1
1
m
m
Exemplo: Dada a reta de equação
1
r: y x 2
3
.
Determina uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto A 3 , 4 .
Resolução: Podemos estabelecer que
Uma equação da reta s é: y 4 3 x 3 y 3x 9 4 y 3x 5
Exercícios Propostos:
6. Dada a reta r: y 2x 3 .
Determinar uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto B 2 ,3 .
7. Calcula m de modo que u 2 ,m
seja perpendicular a v 3,2
.
8. Considera a reta r de equação y 2x 3 .
O valor de k para o qual o vetor u 2 ,k
tem direcção perpendicular à reta r é :
(A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3
Reta Vetor diretor
r: y mx b r 1 ,m
1 1s: y m x b 1s 1 ,m
Reta Declive
r
1
m
3
s 1m 3
6. ESAS – Geometria I Página 6/6
9. Na figura está representado um triângulo equilátero de perímetro 12 cm.
O valor do produto escalar AB. AC
é:
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 8
10. Acerca de dois vetores u e v
, sabe-se que u v 2
e u . v 4
Então podemos afirmar que os vetores u e v
são:
(A) perpendiculares (B) não colineares
(C) colineares do mesmo sentido (D) colineares de sentidos contrários
11. Considera num referencial ortonormado Oxy , os pontos A 1 ,3 e B 2 ,1 e a reta r de equação
r: y 3x 2
a) Determina o ângulo que a reta r faz com o eixo dos yy .
b) Calcula o ângulo definido pelas retas r e AB, com aproximação às centésimas de grau .
SOLUÇÕES:
1a) x,y 1, 2 k 1,3 ,k 1b) x,y 2,1 k 3,2 ,k
1c) x,y 0,0 k 1, 4 ,k 1d) x,y 2,2 k 1,0 ,k
1e) x,y 1,5 k 0,1 ,k 2a) y 3x 5
2b) y 3x 2 2c) y x 2 2d) y 3x 4
2e) y 2x 6 2f)
1 7
y x
2 2
3a)
2
m
3
3b)
1
m
4
3c) m 2 3d) m 2 5a) Declive:m 2 Inclinação: 63,43
5b) Declive:
1
m
2
Inclinação: 153,43 5c) Declive: m 1 Inclinação: 135
5d) Declive: m 3 Inclinação: 60 6.
1
y x 2
2
7. m 3 8. k 1 Resp. (B)
9. AB.AC 8
Resp. (B) 10. Resp. (D)
11a)
3 10
cos
10
18,43 11b)
9 130
cos
130
37,87