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ESAS – Geometria I Página 1/6
Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano
Ficha Formativa de Matemática A – Geometria I
Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares.
Equação vetorial da reta:
Dado um ponto  0 0A x , y e um vetor  1 2u u , u

 , a equação
     0 0 1 2x , y x , y k. u , u ,k  
é a equação vetorial da reta que contém A e tem a direcção do vetor u

.
Exemplo: A equação vetorial da reta que contém o ponto  A 2 ,3 e tem a direcção do vetor  u 1 ,2

 é:
     x , y 2 ,3 k . 1,2 ,k   
Equação reduzida de uma reta:
A uma equação da forma y m x b  , em que m é o declive e b a
ordenada na origem, chama-se equação reduzida da reta.
Nota: equação da reta com declive m e que contém o ponto  0 0x , y
 0 0y y m x x  
Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2.
Resolução: Como m 3 e b 2 , a equação da reta é: y 3 x 2 
Nota :
 o declive de uma reta quando se conhecem dois pontos  A AA x , y e  B BB x , y é dado por: B A
B A
y y
m
x x



 o declive de uma reta quando se conhece o seu vetor director 1 2u (u , u )

 é dado por : 2
1
u
m
u

Exemplo: Determina o declive de uma reta que:
a) passa pelos pontos  A 2 ,3 e  B 1 ,2 ;
b) tem a direcção do vetor  u 1 , 3

  .
ESAS – Geometria I Página 2/6
Resolução:
a)  A 2 ,3 e B (1 , 2) B A
B A
y y 2 3 1
m
x x 1 ( 2) 3
 
  
  
b) u ( 1 , 3 )

  2
1
u 3
m 3
u 1
   

Exercícios Propostos:
1. Determina uma equação vetorial da reta que:
a) passa no ponto  A 1 , 2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3

  ;
b) passa pelos pontos  A 2 ,1 e  B 1 ,3 ;
c) passa na origem dos eixos coordenados e tem a direcção do vetor  v 1 , 4

  ;
d) contém o ponto  C 2 ,2 e tem a direcção do eixo Ox;
e) contém o ponto  D 1 , 5 e é paralela ao eixo Oy.
2. Determina a equação reduzida da reta que:
a) passa no ponto  A 1 , 2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3

 
b) tem declive – 3 e contém o ponto  A 1 , 1
c) tem declive 1 e passa pelo ponto  B 0 ,2 ;
d) passa pelo ponto  A 1 ,1 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3

  ;
e) contém o ponto  B 3 , 0 e é paralela ao vetor  v 1 , 2

  ;
f) contém o ponto  C 3 ,2 e tem a direcção do vetor  a 2 , 1

 .
3. Determina o declive de uma reta que:
a) contém os pontos  A 2 ,1 e  B 1,3 ;
b) contém os pontos  C 2 ,3 e  D 2 ,4 ;
c) tem a direcção do vetor  u 3 , 6

  ;
d) é paralela ao vetor  v 2 , 4

  
4. Representa graficamente cada uma das retas:
a) y x 2  ;
b) y x 3   .
Declive como tangente da inclinação de uma reta no plano
Ao traçarmos uma reta oblíqua num referencial o.n. do plano observamos que ela forma com o eixo dos Ox, dois
ângulos.
Chamamos inclinação de uma reta à amplitude  do ângulo definido pelo semieixo positivo do eixo Ox e pela reta .
ESAS – Geometria I Página 3/6
Sabendo que o declive m da reta é definido por:
B A
B A
y y
m
x x



E atendendo à definição de tangente de um ângulo de amplitude , podemos escrever:
B A
B A
y y
tg m
x x

  

Logo,
tg m 
Exemplo: Considera a reta r de equação:      r: x , y 1 ,2 k . 3 ,1 , k   
Determina:
a) o seu declive;
b) a sua inclinação
Resolução:
a) Sendo  r 3 , 1

 e 2
1
u
m
u
 então
1
m
3
 ;
b) m tg , logo
1
tg
3
  e então  1 1
tg 18,43 2 c.d.
3
  
      
 
Assim, tendo em atenção a variação de sinal de tg , podemos concluir que :
 Declive positivo, m 0 então 0 90     :
 Declive nulo, m 0 então 0   ou 180  
 Declive negativo, m 0 então 90 180    :
Quando a inclinação de uma reta é de 90(reta vertical), a tangente não está definida, pelo que não é possível
atribuir ao declive um número real.
ESAS – Geometria I Página 4/6
Exercícios Propostos:
5. Para cada uma das retas, indica o declive e a inclinação:
a) r: y 2 x 1 
b)
1
r: y x 3
2
 
c)      r: x , y 1,2 k . 1, 1 ,k   
d)      r: x , y 2 ,3 k . 3 ,3 ,k   
Ângulo de duas retas
Dadas as retas, r e s, concorrentes e não perpendiculares:
O ângulo de duas retas concorrentes corresponde ao ângulo de amplitude  , por elas definido, tal que:
0 90   
Nota que: Se as retas forem paralelas, o ângulo por elas definido tem de amplitude 0 .
Se as retas forem perpendiculares, o ângulo tem de amplitude 90.
Para determinar a amplitude  do ângulo definido pelas retas concorrentes r e s, utiliza-se a fórmula:
^
r s
cos(r s )
r s
 
 
 



sendo r e s
 
os vetores diretores das retas r e s , respetivamente.
Exemplo: Determina, com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo definido pelas retas r e s:
     r: x , y 2 ,1 k . 1, 3 ,k    
3
s: y x 1
2
 
Resolução:
Em relação à reta r, um vetor diretor será  r 1 , 3

  ,
Em relação à reta s, s
3
m
2
 , logo um vetor diretor será  s 2 ,3

 .
Então,
   
 
22 2 2
r s
1 , 3 . 2 ,3 2 9 7
cos
10 13 1301 3 2 3r s
 
 

 
    
   
Recorrendo à calculadora, concluímos que:
1 7
cos 52
130
  
   
 
ESAS – Geometria I Página 5/6
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo definido pelas retas é 90, o que é equivalente a calcular o ângulo
definido pelos vetores diretores das retas.
Considerando:
Conclusão: Duas retas são perpendiculares se o declive de uma é igual ao simétrico do inverso da outra.
Retas Relação entre os declives
r: y mx b 
1 1s: y m x b 
1
1
m
m
 
Exemplo: Dada a reta de equação
1
r: y x 2
3
  .
Determina uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto  A 3 , 4 .
Resolução: Podemos estabelecer que
Uma equação da reta s é:  y 4 3 x 3 y 3x 9 4 y 3x 5            
Exercícios Propostos:
6. Dada a reta r: y 2x 3   .
Determinar uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto  B 2 ,3 .
7. Calcula m de modo que  u 2 ,m

 seja perpendicular a  v 3,2

 .
8. Considera a reta r de equação y 2x 3   .
O valor de k para o qual o vetor  u 2 ,k

 tem direcção perpendicular à reta r é :
(A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3
Reta Vetor diretor
r: y mx b   r 1 ,m


1 1s: y m x b   1s 1 ,m


Reta Declive
r
1
m
3

s 1m 3 
ESAS – Geometria I Página 6/6
9. Na figura está representado um triângulo equilátero de perímetro 12 cm.
O valor do produto escalar AB. AC
 
é:
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 8
10. Acerca de dois vetores u e v
 
, sabe-se que u v 2
 
  e u . v 4
 
 
Então podemos afirmar que os vetores u e v
 
são:
(A) perpendiculares (B) não colineares
(C) colineares do mesmo sentido (D) colineares de sentidos contrários
11. Considera num referencial ortonormado Oxy , os pontos  A 1 ,3 e  B 2 ,1 e a reta r de equação
r: y 3x 2  
a) Determina o ângulo que a reta r faz com o eixo dos yy .
b) Calcula o ângulo definido pelas retas r e AB, com aproximação às centésimas de grau .
SOLUÇÕES:
1a)      x,y 1, 2 k 1,3 ,k     1b)      x,y 2,1 k 3,2 ,k   
1c)      x,y 0,0 k 1, 4 ,k    1d)      x,y 2,2 k 1,0 ,k   
1e)      x,y 1,5 k 0,1 ,k    2a) y 3x 5 
2b) y 3x 2  2c) y x 2  2d) y 3x 4 
2e) y 2x 6  2f)
1 7
y x
2 2
  3a)
2
m
3
 3b)
1
m
4

3c) m 2  3d) m 2 5a) Declive:m 2 Inclinação: 63,43 
5b) Declive:
1
m
2
  Inclinação: 153,43  5c) Declive: m 1  Inclinação: 135 
5d) Declive: m 3 Inclinação: 60  6.
1
y x 2
2
 
7. m 3  8. k 1 Resp. (B)
9. AB.AC 8
 
 Resp. (B) 10. Resp. (D)
11a)
3 10
cos
10
 18,43  11b)
9 130
cos
130
 37,87 

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11 geometria i

  • 1. ESAS – Geometria I Página 1/6 Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano Ficha Formativa de Matemática A – Geometria I Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares. Equação vetorial da reta: Dado um ponto  0 0A x , y e um vetor  1 2u u , u   , a equação      0 0 1 2x , y x , y k. u , u ,k   é a equação vetorial da reta que contém A e tem a direcção do vetor u  . Exemplo: A equação vetorial da reta que contém o ponto  A 2 ,3 e tem a direcção do vetor  u 1 ,2   é:      x , y 2 ,3 k . 1,2 ,k    Equação reduzida de uma reta: A uma equação da forma y m x b  , em que m é o declive e b a ordenada na origem, chama-se equação reduzida da reta. Nota: equação da reta com declive m e que contém o ponto  0 0x , y  0 0y y m x x   Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2. Resolução: Como m 3 e b 2 , a equação da reta é: y 3 x 2  Nota :  o declive de uma reta quando se conhecem dois pontos  A AA x , y e  B BB x , y é dado por: B A B A y y m x x     o declive de uma reta quando se conhece o seu vetor director 1 2u (u , u )   é dado por : 2 1 u m u  Exemplo: Determina o declive de uma reta que: a) passa pelos pontos  A 2 ,3 e  B 1 ,2 ; b) tem a direcção do vetor  u 1 , 3    .
  • 2. ESAS – Geometria I Página 2/6 Resolução: a)  A 2 ,3 e B (1 , 2) B A B A y y 2 3 1 m x x 1 ( 2) 3         b) u ( 1 , 3 )    2 1 u 3 m 3 u 1      Exercícios Propostos: 1. Determina uma equação vetorial da reta que: a) passa no ponto  A 1 , 2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3    ; b) passa pelos pontos  A 2 ,1 e  B 1 ,3 ; c) passa na origem dos eixos coordenados e tem a direcção do vetor  v 1 , 4    ; d) contém o ponto  C 2 ,2 e tem a direcção do eixo Ox; e) contém o ponto  D 1 , 5 e é paralela ao eixo Oy. 2. Determina a equação reduzida da reta que: a) passa no ponto  A 1 , 2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3    b) tem declive – 3 e contém o ponto  A 1 , 1 c) tem declive 1 e passa pelo ponto  B 0 ,2 ; d) passa pelo ponto  A 1 ,1 e tem a direcção do vetor  u 1 , 3    ; e) contém o ponto  B 3 , 0 e é paralela ao vetor  v 1 , 2    ; f) contém o ponto  C 3 ,2 e tem a direcção do vetor  a 2 , 1   . 3. Determina o declive de uma reta que: a) contém os pontos  A 2 ,1 e  B 1,3 ; b) contém os pontos  C 2 ,3 e  D 2 ,4 ; c) tem a direcção do vetor  u 3 , 6    ; d) é paralela ao vetor  v 2 , 4     4. Representa graficamente cada uma das retas: a) y x 2  ; b) y x 3   . Declive como tangente da inclinação de uma reta no plano Ao traçarmos uma reta oblíqua num referencial o.n. do plano observamos que ela forma com o eixo dos Ox, dois ângulos. Chamamos inclinação de uma reta à amplitude  do ângulo definido pelo semieixo positivo do eixo Ox e pela reta .
  • 3. ESAS – Geometria I Página 3/6 Sabendo que o declive m da reta é definido por: B A B A y y m x x    E atendendo à definição de tangente de um ângulo de amplitude , podemos escrever: B A B A y y tg m x x      Logo, tg m  Exemplo: Considera a reta r de equação:      r: x , y 1 ,2 k . 3 ,1 , k    Determina: a) o seu declive; b) a sua inclinação Resolução: a) Sendo  r 3 , 1   e 2 1 u m u  então 1 m 3  ; b) m tg , logo 1 tg 3   e então  1 1 tg 18,43 2 c.d. 3             Assim, tendo em atenção a variação de sinal de tg , podemos concluir que :  Declive positivo, m 0 então 0 90     :  Declive nulo, m 0 então 0   ou 180    Declive negativo, m 0 então 90 180    : Quando a inclinação de uma reta é de 90(reta vertical), a tangente não está definida, pelo que não é possível atribuir ao declive um número real.
  • 4. ESAS – Geometria I Página 4/6 Exercícios Propostos: 5. Para cada uma das retas, indica o declive e a inclinação: a) r: y 2 x 1  b) 1 r: y x 3 2   c)      r: x , y 1,2 k . 1, 1 ,k    d)      r: x , y 2 ,3 k . 3 ,3 ,k    Ângulo de duas retas Dadas as retas, r e s, concorrentes e não perpendiculares: O ângulo de duas retas concorrentes corresponde ao ângulo de amplitude  , por elas definido, tal que: 0 90    Nota que: Se as retas forem paralelas, o ângulo por elas definido tem de amplitude 0 . Se as retas forem perpendiculares, o ângulo tem de amplitude 90. Para determinar a amplitude  do ângulo definido pelas retas concorrentes r e s, utiliza-se a fórmula: ^ r s cos(r s ) r s          sendo r e s   os vetores diretores das retas r e s , respetivamente. Exemplo: Determina, com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo definido pelas retas r e s:      r: x , y 2 ,1 k . 1, 3 ,k     3 s: y x 1 2   Resolução: Em relação à reta r, um vetor diretor será  r 1 , 3    , Em relação à reta s, s 3 m 2  , logo um vetor diretor será  s 2 ,3   . Então,       22 2 2 r s 1 , 3 . 2 ,3 2 9 7 cos 10 13 1301 3 2 3r s                 Recorrendo à calculadora, concluímos que: 1 7 cos 52 130         
  • 5. ESAS – Geometria I Página 5/6 Retas Perpendiculares Duas retas são perpendiculares quando o ângulo definido pelas retas é 90, o que é equivalente a calcular o ângulo definido pelos vetores diretores das retas. Considerando: Conclusão: Duas retas são perpendiculares se o declive de uma é igual ao simétrico do inverso da outra. Retas Relação entre os declives r: y mx b  1 1s: y m x b  1 1 m m   Exemplo: Dada a reta de equação 1 r: y x 2 3   . Determina uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto  A 3 , 4 . Resolução: Podemos estabelecer que Uma equação da reta s é:  y 4 3 x 3 y 3x 9 4 y 3x 5             Exercícios Propostos: 6. Dada a reta r: y 2x 3   . Determinar uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto  B 2 ,3 . 7. Calcula m de modo que  u 2 ,m   seja perpendicular a  v 3,2   . 8. Considera a reta r de equação y 2x 3   . O valor de k para o qual o vetor  u 2 ,k   tem direcção perpendicular à reta r é : (A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3 Reta Vetor diretor r: y mx b   r 1 ,m   1 1s: y m x b   1s 1 ,m   Reta Declive r 1 m 3  s 1m 3 
  • 6. ESAS – Geometria I Página 6/6 9. Na figura está representado um triângulo equilátero de perímetro 12 cm. O valor do produto escalar AB. AC   é: (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 8 10. Acerca de dois vetores u e v   , sabe-se que u v 2     e u . v 4     Então podemos afirmar que os vetores u e v   são: (A) perpendiculares (B) não colineares (C) colineares do mesmo sentido (D) colineares de sentidos contrários 11. Considera num referencial ortonormado Oxy , os pontos  A 1 ,3 e  B 2 ,1 e a reta r de equação r: y 3x 2   a) Determina o ângulo que a reta r faz com o eixo dos yy . b) Calcula o ângulo definido pelas retas r e AB, com aproximação às centésimas de grau . SOLUÇÕES: 1a)      x,y 1, 2 k 1,3 ,k     1b)      x,y 2,1 k 3,2 ,k    1c)      x,y 0,0 k 1, 4 ,k    1d)      x,y 2,2 k 1,0 ,k    1e)      x,y 1,5 k 0,1 ,k    2a) y 3x 5  2b) y 3x 2  2c) y x 2  2d) y 3x 4  2e) y 2x 6  2f) 1 7 y x 2 2   3a) 2 m 3  3b) 1 m 4  3c) m 2  3d) m 2 5a) Declive:m 2 Inclinação: 63,43  5b) Declive: 1 m 2   Inclinação: 153,43  5c) Declive: m 1  Inclinação: 135  5d) Declive: m 3 Inclinação: 60  6. 1 y x 2 2   7. m 3  8. k 1 Resp. (B) 9. AB.AC 8    Resp. (B) 10. Resp. (D) 11a) 3 10 cos 10  18,43  11b) 9 130 cos 130  37,87 