O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.

1. MATEMÁTICA
Editora Exato 11
ESTUDO DA RETA
1. COEFICIENTE ANGULAR
Considere uma reta t no plano xOy.
O
y
t
α
ângulo de inclinação
Define-se como coeficiente angular da reta
( )tt m o valor obtido calculando a tangente do ângulo
de inclinação, ou seja, tm tg= α, com
π
α ≠
2
.
1.1.Determinação do coeficiente angu-
lar
1ºCaso: com 2 pontos distintos
t
α
α
B
B
y
A
A
y
B
xA
x
B
x A
x∆x=
B
y A
y∆y=
Dados os pontos ( )A AA x ,x e ( )B BB x ,x no plano
acima: =Tm tg α y B A
x B A
y y
x x
∆ −
= =
∆ −
.
2ºcaso: equação da reta
Dada a reta (t) de equação ax by c 0+ + = com
≠ = −t
a
b 0 : m
b
.
3ºcaso: com o ângulo de inclinação.
Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-
nação α: = αtm tg .
2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-
sentada por uma equação de forma ax by c 0,+ + = com
a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente.
3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA
3.1. Equação reduzida da reta
Toda reta ( )t : ax by c 0+ + = não vertical pode
ser escrita como abaixo:
ax c
t : y
b b
= − − , em que
a
b
− representa o coefi-
ciente angular da reta t e
c
b
− representa o coeficiente
linear da reta.
3.2. Equação segmentária da reta
Toda reta não horizontal e não vertical pode
ser escrita como abaixo.
x y
1
p q
+ = , em que p e q são os pontos intercep-
tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o
eixo x e q representa o ponto de encontro da reta
com o eixo y).
3.3. Equação paramétrica da reta
A reta representa um conjunto de pares orde-
nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-
la em relação a um parâmetro t, ou seja ,
( )
( )
 =

=
x f t
y f t
.
Exemplo:
E.1) Escreva a equação 2x 3y 5 0+ − = na forma
reduzida e segmentária.
Resolução:
Equação reduzida
+ − = ⇒ = − + ⇒ = − +
2x 5
2x 3y 5 0 3y 2x 5 y
3 3
2
m
3
= −
(coeficiente angular)
Equação segmentária
( )+ = ⇒ + = ⇒
2x 3y
2x 3y 5 : 5 1
5 5
+ =
x y
1
5 5
2 3
ponto de encontro com o eixo y.
ponto de encontro com o eixo x.
4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA
4.1. Por dois pontos distintos
Dados os pontos ( )A, AA x y e ( )B BB x ,y .

2. Editora Exato 12
P(x, y)
B(x , y )B B
A(x , y )A A
ponto genérico
do plano
Como A, B e P são colineares temos:
A A
B B
x y 1
x y 1 0
x y 1
= .
4.2. Por um ponto e o coeficiente an-
gular
Dado o ponto ( )0 0B x ,y e o coeficiente angular
da reta (t) igual a mt.
∆ −
= α = ⇒ = ⇒
∆ −
y 0
t t
x 0
y y
m tg m
x x
y - y = m (x - x )0 0
equação fundamental
da reta
B(x , y )0 0
P(x ,y )
ponto genérico
do plano
α
t
5. CASOS PARTICULARES
5.1. Reta paralela aos eixos
Dada a reta ax by c 0+ + = .
Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x.
Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y.
5.2. Bissetrizes dos quadrantes
Bissetriz dos quadrantes ímpares x y 0− = .
Bissetriz dos quadrantes pares x y 0+ = .
6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
Considere duas retas r e s não verticais, com
coeficientes angulares, respectivamente, iguais a rm e
sm .
As retas r e s são paralelas quando r sm m= .
As retas são concorrentes quando ≠r sm m .
As retas são perpendiculares quando
r sm .m 1= − .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 (UFES) O valor de k para que a equação
kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo
ponto (5,0) é:
Resolução:
Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto
(5,0) na equação, temos:
.5 0 3 6 0
5 3 6 0
2 6 0
2 6
6
2
3
k k
k k
k
k
k
k
− − + =
− + =
+ =
−
= −
=
2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá-
fica da reta:
y
4
2
0 3 x
Resolução:
O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4),
então a equação da reta é dada por:
0 2 1
3 4 1 0
x y 1
=
0 3 2 4 0 6 0
2 3 6 0
ou
2 3 6 0
y x x
x y
x y
+ + − + − =
− + − =
− + =
EXERCÍCIOS
1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento
AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é:
a) 2y-3y -24=0
b) 3y-2x+17=0
c) 3y-2x+7=0
d) 2y+3x -43=0
e) Nenhuma.
2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo
ponto ( )A 3,4− , e cujo coeficiente angular é
1
2
, é:
a) x+2y+11=0
b) x-y+11=0
c) 2x-y+10=0
d) x-2y+11=0

3. Editora Exato 13
e) nenhuma
3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente
angular igual a
4
5
− ,e que passa pelo ponto
P(2,-5), é:
a) 4x+5y+12=0
b) 4x+5y+14=0
c) 4x+5y+17=0
d) 4x+5y+16=0
e) 4x+5y+15=0
4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x-
y-5=0 são congruentes, então c é igual a:
a) –3
b) –1
c) 5
d) 7
e) 9
5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e
4x+3y-5=0 são:
a) perpendiculares.
b) paralelas.
c) concorrentes.
d) coincidentes.
e) Nenhuma.
6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-
pendiculares. Então k vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares
que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-
ce a uma dessas retas, então a equação da outra
reta é:
a) x+2y-5=0
b) x-2y+3=0
c) 2x-y=0
d) 2x+y-4=0
e) 2x+2y+7=0
8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação
x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-
ficiente angular
2
3
.
y
s
0 r x
B
A
A área do triângulo OAB, em unidade de área, é
igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
GABARITO
1 D
2 D
3 C
4 A
5 A
6 D
7 B
8 D