O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.

1. PLANO CARTESIANO

3. Podemos escrever assim
Área do triângulo:

4. EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:
Ax + By + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r
se am + bn + c ≠ 0, P não é um ponto da reta r
EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0
Onde o ponto P (1,2) ∈ r
Já o ponto P (2, -5) ∉ r

5. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = mx + b onde,
m = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a
tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
m = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

6. Coeficiente angular = 3
ÂNGULO: 71.56º
Coeficiente angular =2
ÂNGULO: 63.43º
Coeficiente angular = 1
ÂNGULO: 45º
Em todas as retas o
coeficiente linear ( ponto
de intersecção com o
eixo das ordenadas -
eixo de y ) é zero b = 0.
PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

9. EXEMPLO:
Encontrar os coeficientes angular e linear da
reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).
RESOLUÇÃO:
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0
0 1 1 –4x +2y –2 = 0 2y = 4x +2
2 5 1 Ou y = 2x +1
X Y 1 COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Veja o gráfico a seguir.

10. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a
função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2
Observe que o coeficiente angular é o
número que multiplica o x na equação
reduzida da reta (no caso 2 ).
COEFICIENTE LINEAR = 1
O coeficiente linear é o número 5
que fica isolado (termo
independente) na equação
reduzida da reta (no caso 1) 1
este é o ponto que o gráfico
intercepta (“corta”) o eixo Oy. O
ponto que “corta” o eixo de x é a
raiz da equação.
Veja o esboço do gráfico dessa
função...

11. Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado
pelos pontos indicados na figura.

12. Consideremos dois pontos A e B tais que não
seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.
Traçando por A e B paralelas aos eixos
coordenados, obtemos o triângulo retângulo
ABC.

14. 02. Calcule a área da região hachurada:
A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2.
5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | =
3
A2 = ½ | 4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2 –1.3.1 –
2.1.4 – 1.5.1 |= 3,5
Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), os
vértices tomados no sentido horário ou anti-
horário, temos:
A= A1 + A2
OBS: as duas | | (barras), indica
que o valor está em módulo e
A = 6,5 u.a sempre será positivo

15. EXERCÍCIO 3
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3)
e C(1,1)?
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

16. 2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

17. EXERCÍCIO 04: Vamos determinar a distância entre
os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

18. EXERCÍCIO 05: Calcule o ponto médio entre os
pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO

19. EXERCÍCIO 05: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

21. EXERCÍCIO 6
As coordenadas do ponto médio do
segmento de extremidades (1, –2 ) e
( –1 – 4 ) são:
a) ( 3 , 1 )
b) ( 1 , 3 )
c) ( –2 , –3 )
d) ( 0 , –3 )
e) ( 3 , 3 )

22. EXERCÍCIO 7
Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3)
pertencem à reta r. A equação dessa
reta é
X Y 1
a) y = 3x – 1 -7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0
1 -7 1
b) y + 2x – 5 = 0 -4 3 1 = 0 – 10x – 5y – 25 = 0
c) y = 5 – 4x Dividindo toda a equação por (-5):
d) 2x + y + 5 = 0 2x + y + 5 = 0
e) y = 5x + 24

23. Questão 07 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1),
B(1,3) e C(4,1)?
XA YA -2 -1 1
1/2 XB 1 1
YB ½ 1 3 1
XC YC 1 4 1 1
observe que a área é
A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] | sempre positiva e que as
duas barrinhas | |
A = |1/2 [ – 18 ] | significam módulo
A=|–9|
A = 9 u.a. (unidade de área)

24. QUESTÃO 08
Determinar no eixo das ordenadas o ponto P,
cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5
unidades.
SOLUÇÃO

25. QUESTÃO 08
Determinar o ponto P do eixo das abcissas,
eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3).
SOLUÇÃO

28. OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos
Y=4
y = 2x – 3
y = – 3x + 6
x=6