O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; e (4) equação segmentária de uma reta e como determinar pontos de interseção com os eixos.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento descreve os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo o sistema cartesiano de eixos, quadrantes, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação destes conceitos.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo a definição e cálculo do coeficiente angular, as formas de equação de uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica) e casos particulares como retas paralelas aos eixos e bissetrizes de quadrantes.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
Este documento descreve como determinar a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos, um ponto e a inclinação, ou um ponto e o ângulo com o eixo x. Explica que dois pontos determinam uma única reta e como alinhar um ponto genérico para obter a equação. Também mostra como calcular a inclinação e como usar um ponto e a inclinação para encontrar a equação geral e reduzida de uma reta.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento descreve os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo o sistema cartesiano de eixos, quadrantes, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação destes conceitos.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo a definição e cálculo do coeficiente angular, as formas de equação de uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica) e casos particulares como retas paralelas aos eixos e bissetrizes de quadrantes.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
Este documento descreve como determinar a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos, um ponto e a inclinação, ou um ponto e o ângulo com o eixo x. Explica que dois pontos determinam uma única reta e como alinhar um ponto genérico para obter a equação. Também mostra como calcular a inclinação e como usar um ponto e a inclinação para encontrar a equação geral e reduzida de uma reta.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
1) O documento explica como representar graficamente o estado de tensões em um ponto de um corpo usando o Círculo de Mohr;
2) O Círculo de Mohr permite determinar as tensões principais máximas e mínimas no corpo e seus respectivos planos de ocorrência;
3) Como exemplo, são calculadas as tensões principais para um estado de tensão específico e representado graficamente no Círculo de Mohr.
1) O documento discute como resolver equações e inequações trigonométricas. Isso envolve usar identidades fundamentais e reduzir ângulos ao primeiro quadrante.
2) Para resolver equações, pode-se usar identidades para reduzir termos ou substituir funções trigonométricas por variáveis auxiliares.
3) Para inequações, segue-se processos similares, mas a resposta deve considerar o círculo trigonométrico para determinar os intervalos de ângulos válidos.
O documento discute transformações de coordenadas e cônicas. Ele apresenta as fórmulas para translação e rotação de eixos, e define e mostra as equações para parábolas e elipses, incluindo seus elementos e aplicações.
Este documento apresenta definições e propriedades relacionadas a geometria vetorial no espaço, incluindo: 1) a definição de produto escalar de dois vetores; 2) como calcular o ângulo entre dois vetores ou duas retas usando o produto escalar; 3) como classificar a posição relativa de duas retas.
O documento descreve o círculo de Mohr e seu uso para analisar estados de tensão em elementos. Ele introduz as transformações de tensão e deformação, deduz as equações para os componentes principais de tensão e cisalhamento, e mostra como o círculo de Mohr pode ser usado graficamente para determinar tensões principais, planos principais e a máxima tensão de cisalhamento.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
O documento apresenta os conceitos de equação geral e reduzida de retas e circunferências, explicando como determiná-las a partir de pontos ou elementos geométricos dados. Também define retas secantes e tangentes em relação a circunferências.
O documento discute arcos e ângulos de circunferência. Explica que um arco de circunferência é uma parte da circunferência entre duas pontas e que pode ser medido em graus ou radianos. Também define ângulos centrais e como medir seus tamanhos em radianos.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento discute conceitos geométricos como ponto, reta e circunferência. Apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e ponto médio, equações de retas e circunferências, e relações entre essas figuras geométricas como posições relativas, ângulos e distâncias.
1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, equações de retas e suas representações gráficas.
2) É introduzido o conceito de coeficiente angular para representar a inclinação de uma reta no plano cartesiano.
3) São explicadas as principais equações para representar retas no plano cartesiano, como a equação geral, segmentária, paramétrica e reduzida.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Tema 2-transformac3a7c3a3o-da-deformac3a7c3a3o-alunoIFPR
Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
Este documento fornece informações sobre o estudo de retas no plano cartesiano, incluindo:
1) Como representar pontos e traçar retas no plano cartesiano usando coordenadas cartesianas.
2) Como escrever a equação geral de uma reta e as equações de retas paralelas aos eixos.
3) Como calcular a inclinação de uma reta e classificar o ângulo de inclinação.
4) Como escrever a equação de uma reta na forma reduzida a partir de sua inclinação e um ponto.
Este documento fornece notas de aula sobre resistência dos materiais. Resume conceitos-chave como transformações de tensões e deformações em elementos sob cargas, tensões principais, círculo de Mohr para representar estados planos de tensão. Inclui exemplos para ilustrar esses conceitos.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
Este documento descreve como calcular a inclinação e o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos nela. Explica que o coeficiente angular é igual a tangente da inclinação e mostra como calcular a inclinação e o coeficiente angular para uma reta passando pelos pontos (3,2) e (5,4).
1) O documento explica como representar graficamente o estado de tensões em um ponto de um corpo usando o Círculo de Mohr;
2) O Círculo de Mohr permite determinar as tensões principais máximas e mínimas no corpo e seus respectivos planos de ocorrência;
3) Como exemplo, são calculadas as tensões principais para um estado de tensão específico e representado graficamente no Círculo de Mohr.
1) O documento discute como resolver equações e inequações trigonométricas. Isso envolve usar identidades fundamentais e reduzir ângulos ao primeiro quadrante.
2) Para resolver equações, pode-se usar identidades para reduzir termos ou substituir funções trigonométricas por variáveis auxiliares.
3) Para inequações, segue-se processos similares, mas a resposta deve considerar o círculo trigonométrico para determinar os intervalos de ângulos válidos.
O documento discute transformações de coordenadas e cônicas. Ele apresenta as fórmulas para translação e rotação de eixos, e define e mostra as equações para parábolas e elipses, incluindo seus elementos e aplicações.
Este documento apresenta definições e propriedades relacionadas a geometria vetorial no espaço, incluindo: 1) a definição de produto escalar de dois vetores; 2) como calcular o ângulo entre dois vetores ou duas retas usando o produto escalar; 3) como classificar a posição relativa de duas retas.
O documento descreve o círculo de Mohr e seu uso para analisar estados de tensão em elementos. Ele introduz as transformações de tensão e deformação, deduz as equações para os componentes principais de tensão e cisalhamento, e mostra como o círculo de Mohr pode ser usado graficamente para determinar tensões principais, planos principais e a máxima tensão de cisalhamento.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
O documento apresenta os conceitos de equação geral e reduzida de retas e circunferências, explicando como determiná-las a partir de pontos ou elementos geométricos dados. Também define retas secantes e tangentes em relação a circunferências.
O documento discute arcos e ângulos de circunferência. Explica que um arco de circunferência é uma parte da circunferência entre duas pontas e que pode ser medido em graus ou radianos. Também define ângulos centrais e como medir seus tamanhos em radianos.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento discute conceitos geométricos como ponto, reta e circunferência. Apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e ponto médio, equações de retas e circunferências, e relações entre essas figuras geométricas como posições relativas, ângulos e distâncias.
1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, equações de retas e suas representações gráficas.
2) É introduzido o conceito de coeficiente angular para representar a inclinação de uma reta no plano cartesiano.
3) São explicadas as principais equações para representar retas no plano cartesiano, como a equação geral, segmentária, paramétrica e reduzida.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Tema 2-transformac3a7c3a3o-da-deformac3a7c3a3o-alunoIFPR
Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
Este documento fornece informações sobre o estudo de retas no plano cartesiano, incluindo:
1) Como representar pontos e traçar retas no plano cartesiano usando coordenadas cartesianas.
2) Como escrever a equação geral de uma reta e as equações de retas paralelas aos eixos.
3) Como calcular a inclinação de uma reta e classificar o ângulo de inclinação.
4) Como escrever a equação de uma reta na forma reduzida a partir de sua inclinação e um ponto.
Este documento fornece notas de aula sobre resistência dos materiais. Resume conceitos-chave como transformações de tensões e deformações em elementos sob cargas, tensões principais, círculo de Mohr para representar estados planos de tensão. Inclui exemplos para ilustrar esses conceitos.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
Este documento descreve como calcular a inclinação e o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos nela. Explica que o coeficiente angular é igual a tangente da inclinação e mostra como calcular a inclinação e o coeficiente angular para uma reta passando pelos pontos (3,2) e (5,4).
O documento apresenta exemplos de soma e subtração de polinômios e suas representações geométricas. Inclui a resolução de expressões como X2 + 2Y2 + XY + 2X + 4 e (3x2 + 2x + 5) - (5x2 + x + 5). Conclui demonstrando que a expressão que representa a área da soma das figuras geométricas é 3x2 + 5x + 1.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano. Ele define o que é coeficiente angular e apresenta três métodos para determiná-lo. Também explica as três formas de representar uma reta através de equações: reduzida, segmentária e paramétrica. Por fim, demonstra dois métodos para determinar a equação de uma reta, seja por dois pontos distintos nela ou por um ponto e o coeficiente angular.
Relações Trigonométricas No Triângulo RetânguloLedianeZeus
O documento discute as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Explica que a trigonometria surgiu devido a problemas de astronomia, agrimensura e navegação. Um triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois ângulos agudos. As principais relações trigonométricas são seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, que relacionam os lados e ângulos do triângulo.
Trigonometria sem mistérios - Primeiro PassoOrientador
O documento fornece uma introdução à trigonometria, começando com o desenho de uma circunferência dividida em quadrantes. Explica como medir ângulos em graus e radianos e como isso está relacionado à medida da circunferência. Introduz o círculo trigonométrico e define os eixos de seno e cosseno.
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano ilton brunoIlton Bruno
1) O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre monômios para o 8o ano. A lista contém 8 questões sobre coeficientes de monômios, redução de termos semelhantes, perímetro de figuras, valor numérico de expressões, produtos, quocientes e potências.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notávelAlessandra Dias
1) O documento fornece uma lista de sugestões de vídeos, atividades online e exercícios sobre produtos notáveis para estudantes do 8o ano revisarem.
2) A lista inclui 9 exercícios sobre produtos notáveis com suas respectivas respostas no gabarito.
3) Os estudantes são encorajados a assistir aos vídeos, resolver os exercícios e conferir as respostas para revisar o conteúdo.
1) O documento discute várias propriedades trigonométricas importantes do triângulo retângulo além do Teorema de Pitágoras, como medições indiretas, razões trigonométricas e leis dos senos e cossenos.
2) Tales de Mileto foi um dos primeiros a usar propriedades geométricas, como a semelhança de triângulos, para resolver problemas práticos como medir a altura da Pirâmide de Quéops.
3) O documento ensina como construir e usar um teodolito, um
O documento resume os principais conceitos de trigonometria nos triângulos retângulos e circunferência trigonométrica, incluindo a lei de Pitágoras, relações trigonométricas, arcos notáveis, redução de ângulos ao primeiro quadrante, e as funções seno, cosseno e tangente.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento é uma prova de matemática contendo 7 questões. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos como determinar valores desconhecidos em figuras, calcular produção de peças com base em valor recebido, e determinar quantias com base em informações sobre posses de pessoas.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.
A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o estudo de pontos, retas e suas equações.
2) É mostrado como calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo e a área de figuras planas como triângulos e quadriláteros.
3) São apresentados e explicados métodos para se obter a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos ou a inclinação.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica plana como inclinação, declive e ângulo entre retas. Explica como calcular o declive de uma reta a partir de pontos ou do vetor diretor e como determinar a inclinação correspondente. Apresenta também a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas e como identificar retas perpendiculares. Por fim, inclui exercícios de aplicação destes conceitos.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
René Descartes é considerado o pai da Geometria Analítica por ter desenvolvido um método para representar pontos no plano cartesiano e analisar geometricamente equações algébricas. O documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica como o plano cartesiano, quadrantes, distância entre pontos, equações de retas e suas representações gráficas.
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
1. O documento discute equações de retas e pontos de interseção entre retas no plano cartesiano. Inclui determinar equações de retas passando por pontos dados e cálculo de pontos de interseção.
2. Também inclui representação gráfica de retas, cálculo de retas paralelas e perpendiculares a outras, e análise da posição relativa de retas.
3. No final, analisa se um triângulo é isósceles baseado nas equações das retas que passam pelos lados.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente em relação a um círculo unitário e apresentando suas propriedades fundamentais.
2) É apresentada a conversão entre graus e radianos, assim como os valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos específicos como 30°, 45° e 60°.
3) São mostradas as definições, gráficos e propriedades das funções seno, cosseno e tangente, incluindo a relação fundamental entre elas
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
1. O ponto da reta r com abscissa 5 tem coordenadas (5, 10, 3).
2. Para que o ponto P pertença à reta s, deve-se ter m = -3 e n = -4.
3. A equação reduzida da reta que passa por A(4, 0, -3) na direção do vetor (2, 4, 5) é x = 2y + 8.
O documento discute modelos de regressão linear, descrevendo como eles podem ser usados para modelar a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). Explica como calcular os parâmetros da equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados e como medir a precisão do modelo com o erro padrão da estimativa e o coeficiente de determinação.
As principais fórmulas para cálculo de área e volume de figuras geométricas são resumidas. Para cubo, volume é lado ao cubo e área é 6 vezes o lado ao quadrado. Para paralelepípedo, volume é lado por largura por altura e área é soma das áreas das faces. Prismas e pirâmides possuem fórmulas para cálculo de área total e volume.
A Grande Pirâmide de Quéops tem 230m de aresta na base e 147m de altura, e seu volume pode ser calculado. Uma pirâmide de base quadrada com 3m de aresta e 4m de altura será construída na frente da prefeitura, e o volume de concreto necessário para sua construção é de 27m3.
O documento discute figuras geométricas planas e não planas, com foco nos sólidos geométricos chamados de poliedros. Apresenta os cinco poliedros de Platão - tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro e dodecaedro - que são poliedros com faces regulares idênticas e todos os vértices com mesmo número de arestas. Também menciona a fórmula de Euler que relaciona número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo.
Los cuerpos geométricos mencionados incluyen cilindros, conos, troncos de cono y esferas. El documento lista estos objetos geométricos de forma jerárquica, con cilindros y conos en la parte superior, seguidos de troncos de cono, y esferas en la parte inferior.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
1. Geometria Analítica
Equação geral da reta
Cálculo do coeficiente angular de uma reta
Equação Fundamental da Reta
Equação Reduzida da Reta
Equação segmentária da reta
2. Equação Geral da Reta
Para determinarmos a equação geral de uma reta, utilizamos os conceitos
relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0
aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz
quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da
equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos
alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da
equação geral:
Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1)
e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º
coluna da matriz é completada com o algarismo 1.
3. Equação Geral da Reta
Exemplo 1: Obter a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8).
Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2
Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)
Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus
significa:
4. Equação Geral da Reta
1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.
2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.
3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.
4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos
termos da diagonal secundária.
5. Equação Geral da Reta
[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 *
1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0
[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0
8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
–6x + 2y + 2 = 0
Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta:
–6x + 2y + 2 = 0.
Exemplo 2
Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2)
e B(–2, 5).
6. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Sabemos que o valor do coeficiente angular de
uma reta é a tangente do seu ângulo de
inclinação. Através dessa informação podemos
encontrar uma forma prática para obter o valor
do coeficiente angular de uma reta sem
precisar fazer uso do cálculo da tangente.
Vale ressaltar que se a reta for perpendicular
ao eixo das abscissas, o coeficiente angular
não existirá, pois não é possível determinar a
tangente do ângulo de 90º.
Para representarmos uma reta não vertical em
um plano cartesiano é preciso ter no mínimo
dois pontos pertencentes a ela. Desse modo,
considere uma reta s que passa pelos pontos
A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de
inclinação com o eixo Ox igual a α.
7. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox
formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo
Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam
ângulos correspondentes iguais.
8. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Levando em consideração o triângulo BCA e
que o coeficiente angular é igual à tangente do
ângulo de inclinação, teremos:
tgα = cateto oposto / cateto adjacente
tgα = yB – yA / xB – xA
Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão
da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.
m = tgα = Δy / Δx
9. Cálculo do coeficiente angular de uma
reta
Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa
pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?
Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A (2,6) e B (4,14) é:
Exemplo 3
O coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A (8,1) e B (9,6) é:
10. Equação Fundamental da Reta
Podemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o
ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um
ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada
do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe:
Considerando uma reta r, o ponto C(xC, yC) pertencente à reta, seu coeficiente
angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos
pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente
angular.
m = y – y0/x – x0
m (x – x0) = y – y0
Portanto, a equação fundamental da reta será
determinada pela seguinte expressão:
y – y0 = m (x – x0)
11. Equação Fundamental da Reta
Exemplo 1
Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e
coeficiente angular igual a m = – 2.
Exemplo 2
Obtenha uma equação para a reta
representada abaixo:
Exemplo 3
Determine a equação da reta que passa
pelo ponto de coordenadas (6; 2) e
possui inclinação de 60º.
12. Equação Reduzida da Reta
Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e
y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente
linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é,
as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa expressão, ao
atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das
ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o
domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de
representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das
abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta
passa no eixo das ordenadas (y).
13. Equação Reduzida da Reta
Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e
Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras,
observe:
1º maneira
Determinar o coeficiente angular da reta.
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (–5 – 7) / (–1 – 2)
m = –12 / –3
m = 4
De acordo com o ponto P(2, 7), temos:
y – y1 = m * (x – x1)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1
14. Equação Reduzida da Reta
2ª maneira
Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.
Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:
P(2, 7)
7 = m * 2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7
Q(–1, –5)
–5 = m * (–1) + c
–5 = –m + c
–m + c = –5
15. Equação Reduzida da Reta
Nesse caso, os valores dos coeficientes
angular (m) e linear (c) serão calculados por
um sistema de equações. Veja:
Isolando c na 2ª equação:
–m + c = –5
c = –5 + m
Substituindo c na 1ª equação:
2m + c = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4
Calculando o valor de c:
c = –5 + m
c = –5 + 4
c = –1
Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5),
corresponde à expressão y = 4x – 1.
16. Equação segmentária da reta
O estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a
diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a
medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante
importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua
inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os
seguintes tipos de equação: equação geral da reta, equação reduzida, equação
paramétrica e equação segmentária. Faremos o estudo da equação segmentária da reta
e sua utilização.
Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para
obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:
18. Equação segmentária da reta
Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral
é: s: 2x + 3y – 6 = 0
Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo
independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6
Dividindo a equação por 6, obtemos:
19. Equação segmentária da reta
Exemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as
coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.
Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t
devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:
7x + 14y = 28
Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:
20. Equação segmentária da reta
Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta
com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é
abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é
abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:
(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.
(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.