Estatística: Probabilidade - Conceitos Iniciais, definições, exemplos e exercícios.

1. AULA 22
ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro
PROBABILIDADE
PARTE 1

2. PROBABILIDADE

3. PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
• A palavra probabilidade deriva do Latim probare
(provar ou testar).
• Informalmente, provável é uma das muitas palavras
utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo
também substituída por algumas palavras como
“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,
dependendo do contexto.

4. 1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO

5. 1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO - EXEMPLOS

6. 2. CONCEITOS ESSENCIAIS
2.1 Espaço Amostral
Consideremos uma experiência onde pode
ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n
resultados possíveis será chamado ponto amostral, e
o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou
seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será
chamado espaço amostral da experiência.

7. PROBABILIDADE
2.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 1:
Lançamento de uma moeda:
Existem dois resultados possíveis, portanto
S = {“cara”, “coroa”}

8. PROBABILIDADE
2.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 2:
Lançamento de um dado:
Existem 6 resultados possíveis, portanto:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

9. 3. DEFINIÇÕES

10. PROBABILIDADE
3.1 Evento
Chama-se evento qualquer subconjunto A do
espaço amostral S.
A está contido em S.

11. PROBABILIDADE
3.1 Evento (continuação)
Exemplo 1:
No lançamento de um dado, o evento
“número ímpar” é A = { 1; 3; 5}
A está contido em S.

12. PROBABILIDADE
3.1.1 Evento Impossível:
O conjunto vazio também é um subconjunto
de S, portanto, também é um evento; o conjunto
vazio é chamado evento impossível, pois nunca
ocorre.
Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de
um dado é um evento impossível.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A={ } ou A = φ

13. PROBABILIDADE
3.1.2 Evento Certo:
O conjunto S é subconjunto de si próprio,
portanto S também é um evento; S é chamado de
evento certo, pois sempre acontece.
Exemplo: Sair o número 1 a 6 no
lançamento de um dado é um evento certo.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

14. PROBABILIDADE
3.1.3 Eventos Complementares:
Chama - se de evento complement ar
de um evento A num espaço amostral S,
ao evento A tal que A = S – A.
Exemplo:
No lançamento de um dado, o evento
complementar do evento “número ímpar” é
o evento “número par”.
A = { 1, 3, 5}
A = {2, 4, 6}

15. PROBABILIDADE
3.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos
quando A ∩ B = φ
(lê - se : A e B igual a conjunto vazio)
Exemplo:
No lançamento de um dado:
A: Sair número par.
B: Sair número ímpar.
A ∩ B =φ
Pois se sair um número par não há como
sair um número ímpar e vice - versa.

16. PROBABILIDADE
4. Probabilidade de Um Evento:
É calculada pela fórmula:
n( A )
P( A) =
n(S )
Onde :
P ( A) é a probabilidade de ocorrer o evento A
n(A) é o número de elementos do evento A
n(S) é o número de elementos do evento S

17. Exercícios
Probabilidade
de um
Evento

18. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a
probabilidade de ocorrer:
a) A: um número primo.
Resolução:
A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.
n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
n( A)
P( A) =
n(S )
3 1
P( A) = = ou 0,5 = 50%
6 2

19. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a
probabilidade de ocorrer:
b) B: um número múltiplo de 3.
Resolução:
B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.
n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
n(B )
P(B ) =
n(S )
2 1
P( A) = = ou 0, 3 = 33,33%
6 3

20. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao
acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?
Resolução:
A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3
retirados de S.
n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 18
n( A )
P( A) =
n(S )
6 1
P( A) = = ou 0,3333... = 33,3%
18 3

21. PROBABILIDADE
3. Soma de Probabilidades:
É calculada pela fórmula:
Dica esperta: Em
P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) problemas de “soma
de probabilidades”
sempre
encontramos a
palavra OU.
Onde :
P ( A ∪ B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A
P(B) é a probabilidade de ocorrer o evento B
P(A ∩ B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B

22. Exercícios
SOMA DE
PROBABILIDADES

23. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a
probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:
Resolução :
Vamos fazer por partes :
Passo 1 : Calculando P(A).
Sendo o evento A : ser retirado um número par :
A = { 2, 4, 6} são os números pares retirados S.
n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.
n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
n( A )
P( A) =
n(S ) 1
P(A) =
3 1 2
P( A) = =
6 2

24. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Passo 2 : Calculando P(B).
Sendo o evento B : ser retirado um número múltiplo de 3 :
B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados de S.
n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.
n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
n( B )
P(B ) = 1
n(S ) P(B ) =
2 1 3
P(B ) = =
6 3

25. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Passo 3 : Calculando P(A ∩ B).
Sendo o evento A ∩ B : ser retirado um número par e múltiplo de 3 :
A ∩ B = { 6} é o número par e múltiplo de 3 retirado de S.
n(A ∩ B) = 1 é o número de elementos do evento A ∩ B.
n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
n( A ∩ B )
P( A ∩ B ) =
n(S ) 1
P( A ∩ B ) =
1 6
P( A ∩ B ) =
6

26. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Passo 4 (FINAL) : Calculando P(A ∪ B).
Sendo :
1
P(A) =
2
1
Calculando a soma das probabilidades :
P (B ) =
3 P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
1
P( A ∩ B ) =
6 1 1 1
P ( A ∪ B) = + −
2 3 6
tirando o mmc dos denominadores e fazendo
as operações temos :
3+2−1
P ( A ∪ B) =
6
4 2
P ( A ∪ B ) = = ou 0,6666... = 66,67%
6 3

27. PROBABILIDADE
4.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:
Multiplicação das probabilidades.
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S.
A e B são ditos independentes se a probabilidade de
um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro
Dica esperta:
ocorrer, isto é, se: Em problemas
de “multiplicação
P ( A ∩ B) = P( A) x P (B /de ) A
probabilidades”
sempre
Onde :
encontramos a
P ( A ∩ B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A E, B
vogal e escrita
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou
subentendida.
P(B/A) é a probabilidade de ocorrer o evento B tendo ocorrido
o evento A

28. Exercício
MULTIPLICAÇÃO DE
PROBABILIDADES

29. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.
Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2
bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.
Resolução :
Vamos fazer por partes :
Passo 1 : Calculando P(A).
S = {6 bolas amarelas, 9 bolas brancas}
n(S ) =15 é o número de elementos do espaço amostral.
Sendo o evento A : ser retirado uma bola amarela
A = { 6 bolas amarelas} são as bolas amarelas possíveis de serem retiradas de S.
n(A) = 6 é o número de elementos do evento A.
n( A)
P( A) =
n(S ) 2
P(A) =
6 2 5
P( A) = =
15 5

30. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Passo 2 : Calculando P(B/A).
Sendo o evento B/A : retirar a 2ª bola branca, tendo retirada
a 1ª amarela.
Consequência :
S = {5 bolas amarelas, 9 bolas brancas} , o espaço amostral foi modificado,
pois foi retirada uma bola amarela!
n(S ) = 14 é o número de elementos do espaço amostral.
B/A = { 9 bolas brancas} são as bolas brancas possíveis de serem retiradas de S.
n(B/A) = 9 é o número de elementos do evento A.
n( A)
P( A) =
n(S ) 9
9 P(B / A) =
P( A) = 14
14

31. RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Passo 3 (FINAL) : Calculando P(A ∩ B).
Sendo : Calculando a multiplicação
2 das probabilidades :
P(A) =
5 P ( A ∩ B) = P( A) x P (B / A)
9 2 9
P (B / A) = P ( A ∩ B) = x
14 5 14
18
P ( A ∩ B) =
70
Simplificando a fração temos :
9
P ( A ∩ B) = ou 0,2571 = 25,71%
35

32. DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
jalmat@hotmail.com