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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1. INTRODUÇÃO:
⇒ A palavra semelhante significa:
☞ Observe os triângulos ABC e RST da figura:
R
A
6cm 7cm
3cm 3,5cm
B 4cm C
S 8cm T
☎ Comparando esses dois triângulos, dá para
percebermos que eles têm a mesma forma,
sendo um deles uma ampliação ou uma redução
do outro. Em geometria, dizemos que eles são
triângulos semelhantes. Assim:
☞ Dois triângulos são semelhantes quando têm:
♣ Os ângulos respectivamente congruentes;
♣ Os lados correspondentes (são os lados opostos
ao mesmo ângulo) proporcionais;
☞ A razão de semelhança do menor triângulo para
o maior é:
ou seja (Razão de semelhança)
☞ Se a razão de semelhança de dois triângulos é
igual a 1, os triângulos são congruentes.
Exemplo 1: Determine x e y, sabendo-se que os
triângulos são semelhantes .
R
A
6 y
3 4
B 5 C S x
T
Solução:
⇒ Os triângulos são semelhantes:
2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA:
⇒ Se uma reta paralela a um dos lados de um
triângulo intercepta os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo que ela
determina é semelhante ao primeiro.
A
D E
B C
☞ Como é paralelo a , temos:
☞ Portanto, os triângulos ADE e ABC são
semelhantes, o que implica:







.,, formamesmaatêmsejaouforma
arelaçãoemparecidogeometriaem
parecidogeralem






RTaparaleloéAC
STaparaleloéBC
RSaparaleloéAB
7
5,3
8
4
6
3

2
1
8
3
24
243
3
6
4
10
3
30
303
3
6
5


yyy
y
xxx
x
DE BC
 
 
 












entescorrespondCE
entescorrespondBD
comumAA
Exemplo 1: Na figura, temos . Qual o
valor de x.
A
x 12
D E
B C
y
Solução:
⇒ Cálculo de x:
⇒ Cálculo de y:
3. CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA:
⇒ Se dois triângulos possuem dois ângulos
correspondentes congruentes, então eles são
semelhantes.
A
R
B C S T
Os terceiros ângulos semelhante
Serão obrigatoriamente
congruentes
Então:
Dois ângulos congruentes
Triângulos semelhantes
Lados proporcionais
Exemplo 1: Calcular x:
D
6
A 4 E
C x
3
B
Solução:
☞ Temos que:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Uma rampa de inclinação constante,
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota
que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa
está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da
rampa.
Resp: 20, 5 metros
2. (FRANCO) Um edifício projeta uma sombra de 30
m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta
uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício,
sabendo que o edifício e o poste são
perpendiculares ao solo ?
Resp: 90 m
3. (FRANCO) Calcule o valor de x.
a)
AC
AE
BC
DE
AB
AD

BCDE //
   
8
6
48
486
481218184812
612.4.12
12
6124






xxx
xxxx
xx
x
x
24
12
288
1618.12
1612
612



yy
y
y
RSTABCSBeRA 

 
 
EDCABC
retoEA
vpoCC









..
8243
4
6
3
 xx
x
16
x
3 3 3 3
Resp: 8
b)
6 x
x
8
Resp:
T E S T E S
1. (FRANCO) Os lados de um triângulo medem,
respectivamente, 7,9 e 14dm. Qual é o perímetro
do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior
é de 21dm?
a) 45dm b) 55dm c) 60dm d)
75dm
2. (FRANCO) Na figura ao lado, os triângulos
são semelhantes. Então, o valor de x é:
A
a) 8
b) 10
c) 12 D
d) 16 15 18
10 x
B E F C
3. (FRANCO) Na figura ao lado os segmentos
e são paralelos. Quanto mede o segmento
? B
a) 136
b) 163 D
c) 204 136
d) 306
50
A C 75 E
4. (FRANCO) Seja paralelo a . Qual o
valor de ? B
a) 2 E
b) 3 15
c) 4
d) 5 4
A C D
12
5. (FRANCO) Seja paralelo a . Então, o
lado mede: A
a) 4 4
b) 6 10 E
c) 8 D
d) 12
B 20 C
6. (FRANCO) Na figura ao lado, . Então,
o valor de x é: B
a) 3 x
b) 6
c) 9 D
d) 4, 5
3
C
A
12 4
7. (FRANCO) Na figura ao lado, o valor de x é:
a) 12
b) 16
c) 18 4 8
d) 12,5 x
2
3
8. (FRANCO) O perímetro do triângulo ABC é:
A
a) 13,25m
b) 14,50m 3m 3,5m
c) 14,55m
d) 15,75m M N
7
24
AB
CD
AE
EC AB
EC
DE BC
DE
CDAB //
4m
1,5m
B C
9. (FRANCO) A medida, em metros, do segmento
da figura abaixo é : C
a) 4 3
b) 6 A 4 2
c) 8 B
d) 10 D
10. (FRANCO) Na figura abaixo, ,
e . Se , a
soma em centímetros é igual a:
a) 8 D E
b) 10
c) 8,5 C
d) 9,5
A B
11. (FRANCO) Na figura abaixo a medida de x vale:
A
a) 11,25 10
b) 11,75
c) 12,25 15
d) 12,75 15
x
B C
20
12. (FRANCO) Dada a figura, sendo o segmento
PQ paralelo ao segmento AB e a medida do
segmento AC igual a 16, calcular x e y.
A
a) e x
b) e Q
c) e y
d) e
3 5
B P C
13. (FRANCO) A sombra de uma árvore mede 4,5m.
À mesma hora, a sombra de um bastão de
0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da
árvore é:
a) 3m b) 5m c) 4,8m d)
6,75m
14. (FRANCO) A sombra de um poste vertical,
projetada pelo sol sobre um chão plano, mede
12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um
bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A
altura do poste é:
a) 12m b) 20m c) 72m d)
7,2m
15. (FRANCO) Certa noite, uma moça de 1,50m de
altura estava a 2m de distância de um poste de
4m de altura. O comprimento da sombra da moça
no chão era de:
a) 1,20m b) 1,80m c) 2,40m d)
3,20m
G A B A R I T O
1. A 6. C 11. A
2. C 7. C 12. A
3. C 8. D 13. D
4. D 9. B 14. B
5. C 10. C 15. A
AD
cmAC 4
cmCE 3 cmBC 5 DEAB //
ABDC 
6x 10y
2x 5y
3x 5y
7x 9y

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Semelhança de triângulos

  • 1. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. INTRODUÇÃO: ⇒ A palavra semelhante significa: ☞ Observe os triângulos ABC e RST da figura: R A 6cm 7cm 3cm 3,5cm B 4cm C S 8cm T ☎ Comparando esses dois triângulos, dá para percebermos que eles têm a mesma forma, sendo um deles uma ampliação ou uma redução do outro. Em geometria, dizemos que eles são triângulos semelhantes. Assim: ☞ Dois triângulos são semelhantes quando têm: ♣ Os ângulos respectivamente congruentes; ♣ Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais; ☞ A razão de semelhança do menor triângulo para o maior é: ou seja (Razão de semelhança) ☞ Se a razão de semelhança de dois triângulos é igual a 1, os triângulos são congruentes. Exemplo 1: Determine x e y, sabendo-se que os triângulos são semelhantes . R A 6 y 3 4 B 5 C S x T Solução: ⇒ Os triângulos são semelhantes: 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA: ⇒ Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. A D E B C ☞ Como é paralelo a , temos: ☞ Portanto, os triângulos ADE e ABC são semelhantes, o que implica:        .,, formamesmaatêmsejaouforma arelaçãoemparecidogeometriaem parecidogeralem       RTaparaleloéAC STaparaleloéBC RSaparaleloéAB 7 5,3 8 4 6 3  2 1 8 3 24 243 3 6 4 10 3 30 303 3 6 5   yyy y xxx x DE BC                   entescorrespondCE entescorrespondBD comumAA
  • 2. Exemplo 1: Na figura, temos . Qual o valor de x. A x 12 D E B C y Solução: ⇒ Cálculo de x: ⇒ Cálculo de y: 3. CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA: ⇒ Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. A R B C S T Os terceiros ângulos semelhante Serão obrigatoriamente congruentes Então: Dois ângulos congruentes Triângulos semelhantes Lados proporcionais Exemplo 1: Calcular x: D 6 A 4 E C x 3 B Solução: ☞ Temos que: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (FRANCO) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. Resp: 20, 5 metros 2. (FRANCO) Um edifício projeta uma sombra de 30 m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo ? Resp: 90 m 3. (FRANCO) Calcule o valor de x. a) AC AE BC DE AB AD  BCDE //     8 6 48 486 481218184812 612.4.12 12 6124       xxx xxxx xx x x 24 12 288 1618.12 1612 612    yy y y RSTABCSBeRA       EDCABC retoEA vpoCC          .. 8243 4 6 3  xx x
  • 3. 16 x 3 3 3 3 Resp: 8 b) 6 x x 8 Resp: T E S T E S 1. (FRANCO) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 7,9 e 14dm. Qual é o perímetro do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21dm? a) 45dm b) 55dm c) 60dm d) 75dm 2. (FRANCO) Na figura ao lado, os triângulos são semelhantes. Então, o valor de x é: A a) 8 b) 10 c) 12 D d) 16 15 18 10 x B E F C 3. (FRANCO) Na figura ao lado os segmentos e são paralelos. Quanto mede o segmento ? B a) 136 b) 163 D c) 204 136 d) 306 50 A C 75 E 4. (FRANCO) Seja paralelo a . Qual o valor de ? B a) 2 E b) 3 15 c) 4 d) 5 4 A C D 12 5. (FRANCO) Seja paralelo a . Então, o lado mede: A a) 4 4 b) 6 10 E c) 8 D d) 12 B 20 C 6. (FRANCO) Na figura ao lado, . Então, o valor de x é: B a) 3 x b) 6 c) 9 D d) 4, 5 3 C A 12 4 7. (FRANCO) Na figura ao lado, o valor de x é: a) 12 b) 16 c) 18 4 8 d) 12,5 x 2 3 8. (FRANCO) O perímetro do triângulo ABC é: A a) 13,25m b) 14,50m 3m 3,5m c) 14,55m d) 15,75m M N 7 24 AB CD AE EC AB EC DE BC DE CDAB //
  • 4. 4m 1,5m B C 9. (FRANCO) A medida, em metros, do segmento da figura abaixo é : C a) 4 3 b) 6 A 4 2 c) 8 B d) 10 D 10. (FRANCO) Na figura abaixo, , e . Se , a soma em centímetros é igual a: a) 8 D E b) 10 c) 8,5 C d) 9,5 A B 11. (FRANCO) Na figura abaixo a medida de x vale: A a) 11,25 10 b) 11,75 c) 12,25 15 d) 12,75 15 x B C 20 12. (FRANCO) Dada a figura, sendo o segmento PQ paralelo ao segmento AB e a medida do segmento AC igual a 16, calcular x e y. A a) e x b) e Q c) e y d) e 3 5 B P C 13. (FRANCO) A sombra de uma árvore mede 4,5m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da árvore é: a) 3m b) 5m c) 4,8m d) 6,75m 14. (FRANCO) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é: a) 12m b) 20m c) 72m d) 7,2m 15. (FRANCO) Certa noite, uma moça de 1,50m de altura estava a 2m de distância de um poste de 4m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: a) 1,20m b) 1,80m c) 2,40m d) 3,20m G A B A R I T O 1. A 6. C 11. A 2. C 7. C 12. A 3. C 8. D 13. D 4. D 9. B 14. B 5. C 10. C 15. A AD cmAC 4 cmCE 3 cmBC 5 DEAB // ABDC  6x 10y 2x 5y 3x 5y 7x 9y