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As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a
época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações
polinomiais do segundo grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem
desenvolvidas e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes atuais ou pelo
método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados
geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi
feito a partir do século XVIII.

          Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes
casos possíveis.

X2 + Px = q

X2 = Px + q

X2 + q = Px

          O caso X2 + Px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria soluções. Na Grécia,
a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático Euclides, nos elementos resolve
equações polinomiais do segundo grau através de métodos geométricos.

          Diophanto, também chamado “ pai da álgebra”, introduziu na equação do segundo
grau, alguns símbolos, onde até então a equação e sua solução eram representadas em forma
discursiva. Na índia as equações polinomiais do 2° grau era resolvidascompletando quadrados.
Eles descartavam as raízes irracionais. A abordagem chinesa para a resolução destas equações
foi o método fan – fan publicado por Zhu Shijie, no século XIII.

          No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções
da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura não é
usada em nenhum outro país. A função polinomial é muito utilizada para modelar situações
práticas em diversas áreas do conhecimento dadas a simplicidade do seu estudo e suas
propriedades. Assim como a função potência, a função polinomial é muito utilizada em
problemas que envolvem o estudo da produção em relação a utilização de insumos, situação
como o estudo da receita, do custo e dos lucros já analisados anteriormente, podem ser
estudadas de maneira mais ampla com funções polinomiais de grau superior a 2.

          Função polinomial e preço de um produto.

           O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que
pode ser aproximado pela função P(T)= T 3 – 6T2 + 9T + 10, onde T representa o número do
mês a partir do mês T = 0 que marca o inicio das analises.Construindo uma tabela para alguns
meses determinados os preços P do produto e esboçamos o respectivo gráfico.

Tempo (T)(meses)        0       1        2      3       4       5



Preço(P)(R$)    10,00 14,00 12,00 10,00 14,00 30,00



        Preço P(T) = T 3 – 6T2 +9T + 10 de um produto no decorrer dos meses T.

P

30



14

12

10



        1       2       3       4        5      T

0

Passo 2) Resolver as seguintes situações – problemas:

1.      Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula,
quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura.O seu salário mensal s
está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de
20 e um máximo de 30 blusas por mês.

F (n) = 2n

Para n = 20             f (n) = 2 . 20 = 40

Para n = 30             f (n) = 2 . 30 = 60

D f (n) = 20 ≤ 30

I m = 40 ≤ y ≤ 60

2.     Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L = R,
em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que
produziu x unidades, verificou-se que R (x) = 6000x – x2 e C (x) = x2 – 2000x. Nessas condições,
qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo do
custo?

L=R–C

L = 6000x – x2 – (x2 – 2000x)

L = 6000x – x2 - x2 + 2000x

L = -2x2 + 8000x

*Para que o lucro da empresa seja máximo:

L (x) = -2x2 + 8000x

x = - b =-8000 = - 8000 = 2000

   2a 2 . (-2)       -4

          O lucro será máximo para a produção de 2000 unidades.

*Custo mínimo;

C (x) = x2 – 2000x

          Custo mínimo = y =+    = + 4.000.000 = 4.000.000 = 1.000.000

                                  4a           4.1          4

b2– 4ac

    (- 2000)2 – 4 .1 .0

     4.000.000

          O custo mínimo será de R$ 1.000.000,00

Passo 3) Reunir todos os conteúdos desenvolvidos nessa etapa anotar todo o processo de
resolução e os resultados obtidos. Reservar arquivo para ser entregue ao final desta ATPS.
Etapa 4:

Passo 1)Fazer uma pesquisa para conhecer um pouco de geometria analítica, principalmente,
as noções de como construir a equação da reta que passa por um ponto, conhecida sua
inclinação e o calculo da declividade da reta. Para a pesquisa, utilizar o livro – texto e a
bibliografia complementar da disciplina.

Discutir os conceitos estudados e enumerar até 10 conteúdos estudados.

Equação Geral da Reta

        Toda reta do plano possuiuma reta da forma:

ax + by + c = 0

na qual a, b,c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.

Exemplos:

a)      – 5x + 3y – 1 = 0

b)      9x -4y – 13 = 0

Equação reduzida da reta

       È toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma
reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (
termo independente da equação) .

Exemplos:

a)      y = 8x – 10

Coeficiente angular = 8
Coeficiente linear = -10

b)      y= - 4x + 12

Coeficiente angular = -4

Coeficiente linear = 12

Calculo do coeficiente angular e da equação da reta

       Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinaçãoα ) e achar a
equação da reta, utiliza-se uma única formula:

IMPORTANTE: A partir da formula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a
equação da reta da seguinte forma:

m =y2 – y1

        x2 – x1

Coeficiente angular equação da reta

2 valores para o y. O valor do m.

2 valores para o n. 1 valor para o n.

1 valor para o x.

Equação fundamental da reta

       Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa
equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA,yA)e do coeficiente angular m dessa reta.

        Considere uma reta r não- vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto
A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P (x, y ) tal que P ≠ A.

                           y

                                                       P(x,y)

                                          A(xA, yA)

                  O                       m = tga      x

        A equação fundamenta da retaé:

m =y -yA               y – yA = m (x – xA)

                                 x - xA

Equação geral da reta

        Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
ax + by + c = 0

Em que :

•       a, b e c são números reais;

•       a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral da reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

A(xa, ya) e B ( xb, ya)

Para issousa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P (x,y) de r.

                    x       y         1

                    xa    ya          1   =0         ax + by + c = 0

                    xa    ya          1

                                                        r

                    y     B(xB, yB)

        P(x,y)

                                  A(xA, yA)



                    O                                        x




Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta rque passa por Q(0, q), e tem coeficiente angular m = tg
(α):

y – q = m ( x- 0)

                                                                                    P(0,q)

y – q = mx

y – mx + q                                     α

                                                                             O
        x
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o
coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida
pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

ax + by + c = 0                by = - ax – c

                  y =- a x -        c

                          b b

                  m =- a

                      b

Onde:             q =- c

                           b

Equação segmentária da reta

        Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e ( p, 0).

        y

                  Q(0, q)



                                        P(p,0)

        O         x



Vamos escrever a equação da reta r:



        x         y            1

        0         q            1        =0       qx + py – pq   qx + py = pq

        p         0            1



Dividindo essa equação por pq, obtenhamos a equação segmentária da reta:

                      x+ y = 1

                      p        q

Passo 2) Resolver as seguintes situações problemas:
1.      Sendo R(q) = q2 – 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontre
algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.Qual
será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1000 unidades?

                     R(q) = q2 – 7q – 8

                     R (q) = 2q – 7 – 0

                     R (q) = 2q – 7



R (1000) = (1000)2 – 7 . 1000 - 8

R (1000) = 1000.000 – 7000 – 8

R (1000) = 992.992

        A receita será mais que 992.992,00 quando a quantidade de brinquedos vendidos
ultrapassar 1000 unidades.

2.     Uma industria tem seu custo total representado pela função C (q) = q2 – 6q + 8, onde q
representa a quantidade de tijolos produzidas e C (q) o custo total em reais, para obtermos a
equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:



a)       Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.

C(q) = q2 – 6q + 8

C(q) = 2q – 6 + 0

C(q) = 2q – 6

b)      Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q2 – 6q + 8 no ponto q = 1,
construindo seu gráfico.

Anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos.

Y – yo = m (x – x0)

Y – 0 = - 4 (x- 1)                             Ponto (1,0) de tangência

Y = - 4x + 4

        Para esboçar o gráfico, temos os pontos (1,0) e para encontrar o outro ponto
atribuímos x = 0, assim:

y = - 4 . 0 + 4 = (0,4)

m = C’ (x)
m = 2q – 6 + 0

m = 2q – 6

q=1     m=            2 .1 – 6

m=2–6

m=-4

Passo 3) Pesquisar nos sites abaixo, ou em outras referencias bibliográficas, conteúdos
referentes a derivadas e ampliar seu entendimento de questões que vão além da pratica das
técnicas e regras de derivação.Produzir um texto com 2 exemplos.

•       Derivadas.

       A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente
trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x),
no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da
função no ponto x0.

        A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:

y’ ,dy/dx ou f’(x).

        A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dado por:

df (x0) = f’(x0) = lim f(x) – f(x0) = lim f(x0 + h) –f(x0)

dx               x->x0      x – x0 h -> 0 h



Algumas derivadas básicas

        Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.

*Derivada de uma constante;

           d(c) = 0

        dx

*Derivada da potência;

          d(xx) = n . xx – 1

        Portanto:

          d(x) = 1

        dx
*Soma / Subtração;

         d(u +v) =du +dv

       dx               dx      dx

*Produtos por uma constante;

        d(cu) = cdu

       dx       dx

*Derivada do produto;

         d(uv) = u dv+ v du

       dx               dx      dx




*Derivada da divisão;

                        vdu - u dv

         du = dx        dx

       dx   v           v2

*Potência de uma função;

       d (un) = n . un – 1 du

       dx               dx

*Derivada de uma função composta;

         d(u0v) = dvdu0v

       dx       dxdx
BIBLIOGRAFIA



•     www.matematicaaplicada/derivada.com.br

•     www.wiki.equaçãodareta.wikipedia.com.br

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As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios

  • 1. As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do segundo grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvidas e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes casos possíveis. X2 + Px = q X2 = Px + q X2 + q = Px O caso X2 + Px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria soluções. Na Grécia, a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático Euclides, nos elementos resolve equações polinomiais do segundo grau através de métodos geométricos. Diophanto, também chamado “ pai da álgebra”, introduziu na equação do segundo grau, alguns símbolos, onde até então a equação e sua solução eram representadas em forma discursiva. Na índia as equações polinomiais do 2° grau era resolvidascompletando quadrados. Eles descartavam as raízes irracionais. A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan – fan publicado por Zhu Shijie, no século XIII. No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura não é usada em nenhum outro país. A função polinomial é muito utilizada para modelar situações práticas em diversas áreas do conhecimento dadas a simplicidade do seu estudo e suas propriedades. Assim como a função potência, a função polinomial é muito utilizada em problemas que envolvem o estudo da produção em relação a utilização de insumos, situação como o estudo da receita, do custo e dos lucros já analisados anteriormente, podem ser estudadas de maneira mais ampla com funções polinomiais de grau superior a 2. Função polinomial e preço de um produto. O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser aproximado pela função P(T)= T 3 – 6T2 + 9T + 10, onde T representa o número do
  • 2. mês a partir do mês T = 0 que marca o inicio das analises.Construindo uma tabela para alguns meses determinados os preços P do produto e esboçamos o respectivo gráfico. Tempo (T)(meses) 0 1 2 3 4 5 Preço(P)(R$) 10,00 14,00 12,00 10,00 14,00 30,00 Preço P(T) = T 3 – 6T2 +9T + 10 de um produto no decorrer dos meses T. P 30 14 12 10 1 2 3 4 5 T 0 Passo 2) Resolver as seguintes situações – problemas: 1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula, quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura.O seu salário mensal s está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de 20 e um máximo de 30 blusas por mês. F (n) = 2n Para n = 20 f (n) = 2 . 20 = 40 Para n = 30 f (n) = 2 . 30 = 60 D f (n) = 20 ≤ 30 I m = 40 ≤ y ≤ 60 2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L = R, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R (x) = 6000x – x2 e C (x) = x2 – 2000x. Nessas condições,
  • 3. qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo do custo? L=R–C L = 6000x – x2 – (x2 – 2000x) L = 6000x – x2 - x2 + 2000x L = -2x2 + 8000x *Para que o lucro da empresa seja máximo: L (x) = -2x2 + 8000x x = - b =-8000 = - 8000 = 2000 2a 2 . (-2) -4 O lucro será máximo para a produção de 2000 unidades. *Custo mínimo; C (x) = x2 – 2000x Custo mínimo = y =+ = + 4.000.000 = 4.000.000 = 1.000.000 4a 4.1 4 b2– 4ac (- 2000)2 – 4 .1 .0 4.000.000 O custo mínimo será de R$ 1.000.000,00 Passo 3) Reunir todos os conteúdos desenvolvidos nessa etapa anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos. Reservar arquivo para ser entregue ao final desta ATPS.
  • 4. Etapa 4: Passo 1)Fazer uma pesquisa para conhecer um pouco de geometria analítica, principalmente, as noções de como construir a equação da reta que passa por um ponto, conhecida sua inclinação e o calculo da declividade da reta. Para a pesquisa, utilizar o livro – texto e a bibliografia complementar da disciplina. Discutir os conceitos estudados e enumerar até 10 conteúdos estudados. Equação Geral da Reta Toda reta do plano possuiuma reta da forma: ax + by + c = 0 na qual a, b,c são constantes e a e b não simultaneamente nulos. Exemplos: a) – 5x + 3y – 1 = 0 b) 9x -4y – 13 = 0 Equação reduzida da reta È toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear ( termo independente da equação) . Exemplos: a) y = 8x – 10 Coeficiente angular = 8
  • 5. Coeficiente linear = -10 b) y= - 4x + 12 Coeficiente angular = -4 Coeficiente linear = 12 Calculo do coeficiente angular e da equação da reta Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinaçãoα ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única formula: IMPORTANTE: A partir da formula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma: m =y2 – y1 x2 – x1 Coeficiente angular equação da reta 2 valores para o y. O valor do m. 2 valores para o n. 1 valor para o n. 1 valor para o x. Equação fundamental da reta Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA,yA)e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não- vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P (x, y ) tal que P ≠ A. y P(x,y) A(xA, yA) O m = tga x A equação fundamenta da retaé: m =y -yA y – yA = m (x – xA) x - xA Equação geral da reta Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
  • 6. ax + by + c = 0 Em que : • a, b e c são números reais; • a e b não são simultaneamente nulos. Podemos obter a equação geral da reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: A(xa, ya) e B ( xb, ya) Para issousa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P (x,y) de r. x y 1 xa ya 1 =0 ax + by + c = 0 xa ya 1 r y B(xB, yB) P(x,y) A(xA, yA) O x Equação reduzida da reta Vamos determinar a equação da reta rque passa por Q(0, q), e tem coeficiente angular m = tg (α): y – q = m ( x- 0) P(0,q) y – q = mx y – mx + q α O x
  • 7. Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: ax + by + c = 0 by = - ax – c y =- a x - c b b m =- a b Onde: q =- c b Equação segmentária da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e ( p, 0). y Q(0, q) P(p,0) O x Vamos escrever a equação da reta r: x y 1 0 q 1 =0 qx + py – pq qx + py = pq p 0 1 Dividindo essa equação por pq, obtenhamos a equação segmentária da reta: x+ y = 1 p q Passo 2) Resolver as seguintes situações problemas:
  • 8. 1. Sendo R(q) = q2 – 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1000 unidades? R(q) = q2 – 7q – 8 R (q) = 2q – 7 – 0 R (q) = 2q – 7 R (1000) = (1000)2 – 7 . 1000 - 8 R (1000) = 1000.000 – 7000 – 8 R (1000) = 992.992 A receita será mais que 992.992,00 quando a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1000 unidades. 2. Uma industria tem seu custo total representado pela função C (q) = q2 – 6q + 8, onde q representa a quantidade de tijolos produzidas e C (q) o custo total em reais, para obtermos a equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma: a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal. C(q) = q2 – 6q + 8 C(q) = 2q – 6 + 0 C(q) = 2q – 6 b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q2 – 6q + 8 no ponto q = 1, construindo seu gráfico. Anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos. Y – yo = m (x – x0) Y – 0 = - 4 (x- 1) Ponto (1,0) de tangência Y = - 4x + 4 Para esboçar o gráfico, temos os pontos (1,0) e para encontrar o outro ponto atribuímos x = 0, assim: y = - 4 . 0 + 4 = (0,4) m = C’ (x)
  • 9. m = 2q – 6 + 0 m = 2q – 6 q=1 m= 2 .1 – 6 m=2–6 m=-4 Passo 3) Pesquisar nos sites abaixo, ou em outras referencias bibliográficas, conteúdos referentes a derivadas e ampliar seu entendimento de questões que vão além da pratica das técnicas e regras de derivação.Produzir um texto com 2 exemplos. • Derivadas. A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y’ ,dy/dx ou f’(x). A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dado por: df (x0) = f’(x0) = lim f(x) – f(x0) = lim f(x0 + h) –f(x0) dx x->x0 x – x0 h -> 0 h Algumas derivadas básicas Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes. *Derivada de uma constante; d(c) = 0 dx *Derivada da potência; d(xx) = n . xx – 1 Portanto: d(x) = 1 dx
  • 10. *Soma / Subtração; d(u +v) =du +dv dx dx dx *Produtos por uma constante; d(cu) = cdu dx dx *Derivada do produto; d(uv) = u dv+ v du dx dx dx *Derivada da divisão; vdu - u dv du = dx dx dx v v2 *Potência de uma função; d (un) = n . un – 1 du dx dx *Derivada de uma função composta; d(u0v) = dvdu0v dx dxdx
  • 11. BIBLIOGRAFIA • www.matematicaaplicada/derivada.com.br • www.wiki.equaçãodareta.wikipedia.com.br