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Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3ª ano
Distância entre dois pontos e ponto
médio de um segmento
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
PLANO CARTESIANO
 O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a
origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo
horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical
(eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que
chamamos de quadrantes.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
x
y
O (0, 0)
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
Eixo das
abscissas
Eixo das
ordenadas
Origem
PLANO CARTESIANO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
COORDENADAS NO PLANO
 3 é a abscissa de P;
 4 é a ordenada de P;
 3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
 Em geral:
 A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas
coordenadas (abscissa e ordenada).
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
SINAIS NO PLANO
x
y
+
+
+
+
–
–
– –
y = 0
O( 0, 0)
x = 0
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
BISSETRIZES DOS QUADRANTES
x
y
x = y
(abscissa = ordenada)
x = – y
(abscissa = - ordenada)
1ª bissetriz
2ª bissetriz
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
2
2
)
y
y
(
)
x
x
(
AB A
B
A
B 



A
B
xA xB
yA
yB
x
y
C
 Aplicando o teorema de
Pitágoras no triângulo ABC,
temos:
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
0
(AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
 Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB),
respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela
aplicação do teorema de Pitágoras.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo
em B, então k é igual a:
A(0,0)
B(3,1)
C(2,k)
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos:
(dAC)² = (dAB)² + (dBC)²
(2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)²
(Operando os quadrados e termos
semelhantes): 2k = 8  k = 4
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos
congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy
formam segmentos que mantêm as mesmas relações.
 Determinando a ordenada yM
do ponto médio M, temos:
A
B
M
xA xM xB
yA
yM
yB
x
y  Determinando a abcissa xM do
ponto médio M, temos:
xM =
xA + xB
2
0
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
yM =
yA + yB
2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades
A(5,-2) e B(-1, -4) são:
Seja M(xM, yM) o ponto médio, então:
xM = xA + xB
2
= 5 + (-1) = 2
2
yM = yA + yB
2
= -2 + (-4) = -3
2
M(2,-3)
EXEMPLO 1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de
um triângulo, quais são os seus vértices?
No triângulo, usaremos a fórmula do
ponto médio em cada um de seus lados:
xA + xC = 2 yA + yc = 1
2 2
xA + xB = 3 yA + yB = 3
2 2
xB + xC = 6 yB + yC = 2
2 2
Resolvendo os sistemas, temos:
A(1,2), B(7, 4) e C(5,0)
A
B C
(2,1)
(3,3)
(6,2)
EXEMPLO 2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
EXEMPLO 3
 Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).
P(1, –1)
Q(–2, 3)
R(a, b)
–2 =
a + 1
2
a + 1 = – 4
⇒ ⇒ a = – 5
3 =
b – 1
2
b – 1 = 6
⇒ ⇒ b = 7
⇒ R (–5, 7)
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
MEDIANA
 Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto
ao meio.
G
A(xA , yA)
B(xB , yB) C(xC , yC)
M1
M2
M3
G é chamado BARICENTRO (ponto de
encontro das medianas) do Triângulo.
AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1
G(xG , yG)
xG = xA + xB + xC
3
yG = yA + yB + yC
3
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu
baricentro.
O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo:
xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1
3 3
yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3
3 3
G(1;5/3)
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
 Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) ,
C(xC , yC) e
x
y
C
B
A
xA xB xC
yC
yB
yA
0
 D = 0  A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados
 D  0  A, B e C formam um triângulo.
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
D =
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja
sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b?
C sobre o eixo das abcissas C(a, 0)
A, B e C são colineares  det = 0
Portanto: = 0
a = 7
C(7;0)
-1 2 1
3 1 1
a 0 1
EXEMPLO 1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 (PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k.
A, B e C são pontos não alinhados  det  0, ou seja:
 0  k  2
EXEMPLO 2
k 0 1
1 -2 1
3 2 1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO
 Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para
calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer:
 Calcular o seguinte determinante, a
partir das coordenadas dos vértices.
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
D =
 A área do triângulo é metade do módulo
desse determinante.
AABC =
|D|
2
xA xB xC
yA
yC
yB
y
x
C
B
A
0
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
 Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices
de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir
das coordenadas de seus vértices?
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
N
P
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16
AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4
AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2
AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4
AT = 16 – (4 + 2 + 4)
AT = 6
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
N
P
5
4
1
5
4
3
6
1
3
6
1
2
1
1
2
+6
–12
D = – 28 + 40 = 12
+4 +30
–10 –6
Área =
|D|
2
|12|
2
= 6
=
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
QUESTÕES http://zonadaponte.com.sap
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Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e
R(3,5), é:
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano
cartesiano x0y vale:
a) 14
b) 13
c) 12
d) 9
e) 8
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for
igual a:
a) -5
b) -1
c) -3
d) -4
e) -2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano
sejam colineares é:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 10
e) 5
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os
vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois
segmentos congruentes. Então, M é:
a) (2, 2)
b) (0, 4)
c) (5, 6)
d) (2, 4)
e) (4, 0)
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio
arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para
facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema
cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações
nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende
acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as
coordenadas do local do acampamento.
P(15/2 ; 15/2)
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
EXTRAS
GEOGEBRA
 Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica
de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento.
 Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
REFERÊNCIAS
Sites:
 http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
 http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
 http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm
 http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-
reta.htm
Livros:
 I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
 Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
 I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

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Geometria Analítica

  • 1. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3ª ano Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
  • 2. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento PLANO CARTESIANO  O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical (eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes.
  • 3. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento x y O (0, 0) 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Eixo das abscissas Eixo das ordenadas Origem PLANO CARTESIANO
  • 4. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento P x y O 4 3 P(3, 4) COORDENADAS NO PLANO  3 é a abscissa de P;  4 é a ordenada de P;  3 e 4 são as coordenadas de P; P(x, y)  Em geral:  A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada).
  • 5. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento SINAIS NO PLANO x y + + + + – – – – y = 0 O( 0, 0) x = 0
  • 6. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento BISSETRIZES DOS QUADRANTES x y x = y (abscissa = ordenada) x = – y (abscissa = - ordenada) 1ª bissetriz 2ª bissetriz
  • 7. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 2 2 ) y y ( ) x x ( AB A B A B     A B xA xB yA yB x y C  Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (AB)2 = (BC)2 + (AC)2 0 (AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO  Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.
  • 8. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo em B, então k é igual a: A(0,0) B(3,1) C(2,k) Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (dAC)² = (dAB)² + (dBC)² (2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)² (Operando os quadrados e termos semelhantes): 2k = 8  k = 4 EXEMPLO
  • 9. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy formam segmentos que mantêm as mesmas relações.  Determinando a ordenada yM do ponto médio M, temos: A B M xA xM xB yA yM yB x y  Determinando a abcissa xM do ponto médio M, temos: xM = xA + xB 2 0 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO yM = yA + yB 2
  • 10. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(5,-2) e B(-1, -4) são: Seja M(xM, yM) o ponto médio, então: xM = xA + xB 2 = 5 + (-1) = 2 2 yM = yA + yB 2 = -2 + (-4) = -3 2 M(2,-3) EXEMPLO 1
  • 11. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? No triângulo, usaremos a fórmula do ponto médio em cada um de seus lados: xA + xC = 2 yA + yc = 1 2 2 xA + xB = 3 yA + yB = 3 2 2 xB + xC = 6 yB + yC = 2 2 2 Resolvendo os sistemas, temos: A(1,2), B(7, 4) e C(5,0) A B C (2,1) (3,3) (6,2) EXEMPLO 2
  • 12. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 3  Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3). P(1, –1) Q(–2, 3) R(a, b) –2 = a + 1 2 a + 1 = – 4 ⇒ ⇒ a = – 5 3 = b – 1 2 b – 1 = 6 ⇒ ⇒ b = 7 ⇒ R (–5, 7)
  • 13. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento MEDIANA  Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto ao meio. G A(xA , yA) B(xB , yB) C(xC , yC) M1 M2 M3 G é chamado BARICENTRO (ponto de encontro das medianas) do Triângulo. AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1 G(xG , yG) xG = xA + xB + xC 3 yG = yA + yB + yC 3
  • 14. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu baricentro. O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo: xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1 3 3 yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3 3 3 G(1;5/3) EXEMPLO
  • 15. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS  Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) , C(xC , yC) e x y C B A xA xB xC yC yB yA 0  D = 0  A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados  D  0  A, B e C formam um triângulo. xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 D =
  • 16. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b? C sobre o eixo das abcissas C(a, 0) A, B e C são colineares  det = 0 Portanto: = 0 a = 7 C(7;0) -1 2 1 3 1 1 a 0 1 EXEMPLO 1
  • 17. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  (PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k. A, B e C são pontos não alinhados  det  0, ou seja:  0  k  2 EXEMPLO 2 k 0 1 1 -2 1 3 2 1
  • 18. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO  Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer:  Calcular o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices. xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 D =  A área do triângulo é metade do módulo desse determinante. AABC = |D| 2 xA xB xC yA yC yB y x C B A 0
  • 19. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento  Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices? x y 4 1 A B C 2 6 3 5 EXEMPLO
  • 20. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento x y 4 1 A B C 2 6 3 5 ③ ① ② M N P AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3) AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16 AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4 AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2 AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4 AT = 16 – (4 + 2 + 4) AT = 6
  • 21. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento x y 4 1 A B C 2 6 3 5 ③ ① ② M N P 5 4 1 5 4 3 6 1 3 6 1 2 1 1 2 +6 –12 D = – 28 + 40 = 12 +4 +30 –10 –6 Área = |D| 2 |12| 2 = 6 =
  • 22. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento QUESTÕES http://zonadaponte.com.sap o.pt/gifs/escola/esc003.gif
  • 23. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e R(3,5), é: a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.
  • 24. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano cartesiano x0y vale: a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8
  • 25. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2
  • 26. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5
  • 27. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois segmentos congruentes. Então, M é: a) (2, 2) b) (0, 4) c) (5, 6) d) (2, 4) e) (4, 0)
  • 28. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento. P(15/2 ; 15/2)
  • 29. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXTRAS GEOGEBRA  Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento.  Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
  • 30. Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento REFERÊNCIAS Sites:  http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm  http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm  http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm  http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento- reta.htm Livros:  I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.  Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.  I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.