O documento apresenta os conceitos de equação geral e reduzida de retas e circunferências, explicando como determiná-las a partir de pontos ou elementos geométricos dados. Também define retas secantes e tangentes em relação a circunferências.

1. Componentes: Erlan Luana Tiago

3. Fazendo y A - y B = a, x B - x A = b e x A y B - x B y A =c, como a e b não são simultaneamente nulos (A ≠ B), temos: ax + by + c = 0 (equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P (m, n): se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c ≠0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A (1, 3) e B (2, 4). Considerando um ponto P (x, y) da reta, temos:

4. Vamos verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: -3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1 - 2 + 2 ≠ 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

5. Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy : Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos: Fazendo , vem: y = mx + q Chamada equação reduzida da reta, em que , fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox . Quando a reta for paralela ao eixo Oy , não existe a equação na forma reduzida.

6. Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q (0, q), com : A equação geral de r é dada por:

7. Dividindo essa equação por pq , temos: Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P (3, 0) e Q (0, 2), conforme o gráfico:

8. São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

9. Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r . Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações: x = t + 2 t = x -2 Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação geral de r )

10. Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: Assim, sendo C (a, b) o centro e P (x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P (d CP ) é o raio dessa circunferência. Então:

11. Portanto, (x - a) 2 + (y - b) 2 =r 2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x 2 + y 2 = r 2 .

12. Equação Geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C (2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 ) 2 +( y + 3 ) 2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

13. Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

14. (Fórmula de resolução) Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência.