A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x.
7. Equação geral da reta
A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas
variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os
pontos da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos eixos;
8. Retas paralelas aos eixos
A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O 4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
9. Retas paralelas ao eixo y
A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O 3
–2
r s Equação de r: x = –2
1
t
Equação de s: x = 1
Equação de t: x = 3
Geral: retas ∕∕ eixo y:
x = k
k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.
10. Retas paralelas ao eixo x
A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O
3
–1 p
u
Equação de w: y = 3
2
w Equação de u: y = 2
Equação de p: y = –1
Geral: retas ∕∕ eixo x:
y = h
h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
11. Retas não-paralelas aos eixos
A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,
determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão
alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B
P(x, y)
12. Equação geral da reta
Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma
equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais,
sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0.
A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas,
todas equivalentes.
2x – y – 3 = 0
4x – 2y – 6 = 0
6x – 3y – 9 = 0 ... e assim por diante.
Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.
13. Exemplos
Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral
3x + 2y – 5 = 0.
x = 1 ⇒ 3.1 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1
x = 3 ⇒ 3.3 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = –4 ⇒ y = –2
x
y
O
3
1
r
–2
1
14. Exemplos
Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de
equação geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem
satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0
N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
16. 40 m
Inclinação de uma reta
Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme
figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na
horizontal, a pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo
de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da
rampa.
6 m
Inclinação = tg α = = 0,15 = 15 %
17. Inclinação de uma reta
Vamos analisar agora duas situações extremas.
Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que
a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º.
(tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
18. Inclinação de uma reta
Vamos analisar agora duas situações extremas.
O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse
caso, não se define a inclinação da rampa e o
ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é
definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
19. Q
Inclinação de uma reta
Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida
no plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQ
xP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
x
y
a =
r
20. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 30º =
x
y
O
30º
M
3
√3
21. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O
45º
M
22. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O
60º
M
23. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
24. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
25. Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3
–√3
26. Exemplos
Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–2)
5 – 3
a =
3
2
a =
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
27. Exemplos
Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2
3
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
3 – (–2)
–1 – 3
a =
5
– 4
a =
a < 0 e α é obtuso
(90º < α < 180º)
b) M(–2, 3) e N(3, –1)
–1
28. Exemplos
Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
M N
–1 3
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–1)
3 – 3
a =
a = 0
a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)
c) M(–1, 3) e N(2, 3)
29. Exemplos
Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
M
N
–1
2
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
2 – 2
3 – (–1)
a =
a = não é definida
α = 90º (reto)
d) M(2, –1) e N(2, 3)
α
⇓
30. Inclinação de uma reta - resumo
O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula,
conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
α = 0º ⇔ a = 0.
0º < α < 90º ⇔ a > 0.
α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
90º < α < 180º ⇔ a < 0.
31. Exemplos
Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O
120º
45º 45º
r s
t
ar = tg 45º = 1
as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3
= – tg 60º =
33. Equação reduzida da reta
Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e
um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r
que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3
–1 =
a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5
34. Equação reduzida da reta – Caso Geral
Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe
pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x, y)
xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP
a =
a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta
35. Equação reduzida da reta
Na equação reduzida y = ax + b, temos:
Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado,
por isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo
y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
36. Exemplos
Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a
equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular
e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy.
O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4.
2x – y + 4 = 0 ⇒ –y = –2x – 4 ⇒ y = 2x + 4
a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º.
b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4).
Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos
fazer y = 0.
y = 0 ⇒ 2x – 0 + 4 = 0 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2 ⇒ (–2, 0)
37. Exemplos
Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
38. Exemplos
O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação
reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
A reta corta o eixo y no ponto
de ordenada 2, ponto (0, 2),
logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135º
a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
39. Exemplos
Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos
A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)
a =
x
y
= =
Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9
= ⇒ a = –3
Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x