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Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela
expressão do tipo:



     y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )




Gráfico de uma função do 2º grau:



                    O gráfico de uma função quadrática
                               é uma parábola



  Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente
olhando para a montanha russa.
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:




                              Representação gráfica




Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus
valores correspondentes para y.


                                x    y = f(x) = x²
                                -2        4
                                -1        1
                                0         0
                                1         1

                                          4
                                2
                                3         9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma
distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a
partir dele que determinamos todos os outros pontos.




Coordenadas do vértice



  A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por           .

  Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3




Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?




Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da
coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

                          y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola,
achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na
função, achamos a coordenada y!!!




Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se
anula.

                                     y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as
coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.




Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção
anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0




Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.




                               a>0          a<0
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O
que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada
para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha
triste).

Exemplos:


                                y = f(x) = x² - 4




                                    a = 1 >0


                               y = f(x) = -x² + 4




                                    a = -1 < 0
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o
valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o
vértice representa o valor máximo.




Quando o discriminante é igual a zero


Quando o valor de                  , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A
coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

                                   x²+2x+1=0

                                  x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)




Gráfico:




Quando o discrimintante é maior que zero
Quando o valor de                   , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
(São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

                                    x²-4x+3=0


                                    x=1, x`=3

Gráfico:




Quando o discriminante é menor que zero


Quando o valor de                  , a parábola não intercepta o eixo x. Não há
raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

                                     x²-x+2=0



Gráfico:
Resumindo:




                            a>0       a>0        a>0




                            a<0       a<0        a<0


Esboçando o gráfico

Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

                                   -x²-4x-3=0
                         Aplicando a fórmula de Bháskara
                                   x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

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Função do 2º Grau

  • 2. A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
  • 3. Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função y=x²: Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x y = f(x) = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 4 2 3 9
  • 4. Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por . Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 Temos: a=1, b=-4 e c=3 Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! Raízes (ou zeros) da função do 2º grau Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0 Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. Vejamos o gráfico:
  • 5. Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. x²+5x+6=0 Acharemos que x = -2 e x` = -3. Concavidade da parábola Explicarei esta parte com um simples desenho. a>0 a<0
  • 6. Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). Exemplos: y = f(x) = x² - 4 a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4 a = -1 < 0
  • 7. [Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. Quando o discriminante é igual a zero Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1 As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) Gráfico: Quando o discrimintante é maior que zero
  • 8. Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0 x=1, x`=3 Gráfico: Quando o discriminante é menor que zero Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função. Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0 Gráfico:
  • 9. Resumindo: a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 Esboçando o gráfico Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3
  • 10. 2ª etapa: Coordenadas do vértice Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2 Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 Portanto, V=(-2,1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3 Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo Feito isso, vamos esboçar o gráfico: