Matemática

1. U N Ç
F
O
Ã
O
D
2° G R A
U

2. DEFINIÇÃO:
Uma função é denominada polinomial do 2° grau ou
função quadrática quando, para valores reais de a, b e c,
sendo a não nulo. É definida pela lei de formação
f(x) = ax²+bx+c

3. EXEMPLOS:
f(x) = x2
+ 3x – 1
é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
f(x) = –x2
+ 5
é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
f(x) = –2x2
+ 4x
é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

4. f(x) = x2
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–2
–1
4 5
–4
–5
4
5
4
2
1
1
0
0
1
–1
4
–2
y = x2
x
y = x2
Im = [0, +∞[
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

5. f(x)= – x2
x
y
0
1 2 3
–3 –2 –1
–2
–1
4 5
–4
–5
– 4
2
– 1
1
0
0
– 1
–1
– 4
–2
y = – x2
x
y = – x2
–3
–4
Im = ]– ∞, 0]
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

6. A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso
geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo
y = f(x) = ax2
+ bx + c.
• Os gráficos de funções quadráticas são curvas
chamadas parábolas.
• O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é
chamado de vértice.
• A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de
eixo da parábola.
• Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para
cima.
• Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para
baixo.

7. V
V
eixo da
parábola
eixo da
parábola
a > 0 a < 0
VEJA UM RESUMO

8. V
eixo de simetria da
parábola
A A1
B B1
C1
D1
C
D
r1
r2
r3
r4
EIXO DE SIMETRIA

9. 1º. Caso: a > 0
x
y
 y = 2x2
 y = x2
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
Im = [0, +∞[
 y = x2
1
2
PROPRIEDADES DO COEFICIENTE “A”

10. 2º. Caso: a < 0
PROPRIEDADES DO COEFICIENTE “A”
x
y
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
 y = –2x2
Im = ]–∞, 0]
 y =- x2
1
2
 y = - x2

11. Conclusão:
PROPRIEDADES DO COEFICIENTE “A”
x
y
Quanto maior o valor absoluto de a, mais próxima a parábola estará do eixo y
Quanto menor o valor absoluto de a, mais distante a parábola estará do eixo y
0
 y = –2x2
 y =- x2
1
2
 y = - x2
 y = 2x2
 y = x2
 y = x2
1
2

12. PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA
Raiz ou zero da função
Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x)
são os valores de x tais que f(x) = 0.
Na função quadrática y = ax2
+ bx + c (a ≠ 0), achar as
raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

13. • Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula.
O número real  é o discriminante da equação. O valor dele
indica se a função tem ou não raízes reais.
  > 0 tem
⇔ duas raízes reais distintas.
  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
(ou 1 raiz real dupla).
  < 0 ⇔ não tem raízes reais.
a
2
b
x



 sendo  = b2
– 4ac
PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA

14. • O ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas (y)
é no valor de c da função, ou seja, é o valor de f(x) quando x=0.
PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA
Pois, dada a função f(x)=ax²+bx+c, temos que:
f(0)=a.0²+b.0+c = c

15. RESUMO GERAL
a>0, concavidade voltada para cima a<0, concavidade voltada para baixo
Coeficiente a
=0 , uma única reais real, a
parábola intersecta o eixo x em
um ponto.
>0 , dois zeros reais real, a
parábola intersecta o eixo x em
dois pontos distintos.
<0 , não tem raiz real, a
parábola não intersecta o eixo
do x.
Discriminante  = b2
–
4ac
x
x
x
x1= x2
x1= x2
x1 x2
x
x1 x2
x
x
Coeficiente c
É o ponto onde a parábola intersecta o eixo das ordenas (y)

16. EXEMPLOS
Analise os seguintes gráficos em relação aos seus pontos
notáveis. (a, c e )
x
y
0
c

17. EXEMPLOS
Determine, se existirem, os zeros da função quadrática e dê as
coordenadas desses pontos.
a) f(x) = x² + 4x + 3
b) f(x) = x² + 10x + 25

18. AGORA É SUA VEZ!
EXERCÍCIOS 1 E 2 PÁG.: 25 E 26