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Quadráticas com o auxílio do
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Heitor Carvalho – 68117
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2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/aplicacoes_win
plot_PIBID_bahia1.pdfinplot%20-%20Vol%201.pdf
Assista ao vídeo Roda de Samba
disponível no link abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=apT
g7Xe3cAA
Função Quadrática
Definição:
A função f: R → R, dada por
f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c
reais e a ≠ 0, denomina-se função
quadrática ou função polinomial
do 2º grau.
São exemplos de função de função do 2º
grau:
f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3
f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0
f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9
f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0
O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes
fundamentais:
01) Zeros da função: é ou são os pontos em que o gráfico corta o
eixo das abscissas (eixo x), ou seja, onde y = 0.
02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das
ordenadas (eixo y). Neste ponto x = 0.
Toda gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola.
Zeros de uma Função Quadrática
Denomina-se zeros ou raízes de uma função
quadrática os valores de x que anulam a função, ou
seja, que tornam f(x) = 0.
•Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e
distintos (x’ ≠ x’’).
•Se ∆ = 0, a função apresenta duas raízes reais e
iguais (x’ = x’’).
•Se ∆ < 0, a função não tem raíz real.
Exemplo: Vamos encontrar, se existir, os
zeros da função f(x) = x² - 4x – 5.
Solução:
054² xx
)5.(1.4)²4(
4² acb
0362016
Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
a
b
x
2
Calculemos agora seus zeros:
1.2
36)4(
x
1
2
2
2
64
''
5
2
10
2
64
'
2
64
x
x
x
Logo, os zeros da função são – 1 e 5.
Obs: Também podemos calcular o valor do x
do vértice se fizermos a média aritmética
entre os valores de suas raízes.
Estudo do Vértice da Parábola
A parábola, que representa o gráfico da
função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V,
chamado vértice, cujas coordenadas são:
)(
2
abscissa
a
b
xv )(
4
ordenada
a
yv
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
-2
-3
x
y
-4
Vértice da função: y = x2 – 2x – 3
a2
b
x v
a4
y v
12
2
x v
2
2
x v
1x v
14
16
y v
4
16
y v
4y v
)4,1(V
V
Exemplo:
Observações:
I: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do
valor de a:
a > 0 a < 0
II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da
função, podendo ser mínimo ou máximo:
a > 0 a < 0
mínimo
máximo
0
a
b
2
a4
0
0
Relembrando: vértice
da parábola é o ponto
aa
b
V
4
,
2
Construção de gráfico de uma
função quadrática usando o Winplot
Através do gráfico responda: qual é a concavidade da
parábola? O que acontece se alterarmos o sinal de a?
E se multiplicarmos a por uma constante maior que 1. O
que acontece? (Reflita sobre as perguntas através dos
gráficos construídos por você no Winplot)
Note que quando mudamos o sinal do coeficiente a , ela é
refletida em ralação ao eixo x, ou seja, passa a ter
concavidade voltada para cima.
Quando multiplicamos esse a por uma constante maior
que 1, a amplitude da parábola diminui isto é, se
aproxima do eixo y.
Agora, feche a janela. Iremos
representar o vértice da parábola de
uma função quadrática. Seja a função
dada por y = x² + 2x + 1.
Represente essa função usando os
comandos citados anteriormente e
digite na caixa de texto “x^2+2x+1”.
Use os comandos: “Um”  “Extremos”.
Para encontrar os zeros da função use
os comandos: “Um”  ”zeros” 
”Marcar ponto”
(OBS: Os zeros são os valores que x
assume quando y = 0, isto é, onde o
gráfico corta o eixo das abcissas).
• Para estudarmos o sinal da
função quadrática os comando do Winplot
que facilitam essa tarefa são: “Um”
”traço” ”marcar ponto”.
• Também podemos variar o valor do
coeficiente angular da função quadrática
e observar o que acontece, use os
comandos: “Anim”  “Parâmetros A – W
...”. (Escolha o parâmetro A, utilize a
barra de rolagem para fazer A variar e
verifique o que acontece para fazer o
gráfico de F).
Fixação:
1) Repita o procedimento anterior com as
seguintes funções:
a) Y = -x² + 6x
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Muito obrigado!!!!!

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Função Quadrática

  • 1. Explorando as Funções Quadráticas com o auxílio do Winplot Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Heitor Carvalho – 68117 Lucas Silveira - 68112 Matheus Brasiel – 68101 Mayara Permanhane - 68204
  • 2. • Links para baixar o Winplot: • http://www.winportal.com.br/winplot Qualquer dúvida, consultem o seguinte arquivo: http://math.exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20W http://pibid.mat.ufrgs.br/2009- 2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/aplicacoes_win plot_PIBID_bahia1.pdfinplot%20-%20Vol%201.pdf
  • 3. Assista ao vídeo Roda de Samba disponível no link abaixo: http://www.youtube.com/watch?v=apT g7Xe3cAA
  • 4. Função Quadrática Definição: A função f: R → R, dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0, denomina-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau.
  • 5. São exemplos de função de função do 2º grau: f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3 f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0 f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9 f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0
  • 6. O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes fundamentais: 01) Zeros da função: é ou são os pontos em que o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja, onde y = 0. 02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. 03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y). Neste ponto x = 0. Toda gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola.
  • 7. Zeros de uma Função Quadrática Denomina-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. •Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintos (x’ ≠ x’’). •Se ∆ = 0, a função apresenta duas raízes reais e iguais (x’ = x’’). •Se ∆ < 0, a função não tem raíz real.
  • 8. Exemplo: Vamos encontrar, se existir, os zeros da função f(x) = x² - 4x – 5. Solução: 054² xx )5.(1.4)²4( 4² acb 0362016 Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim: a b x 2 Calculemos agora seus zeros:
  • 10. Obs: Também podemos calcular o valor do x do vértice se fizermos a média aritmética entre os valores de suas raízes. Estudo do Vértice da Parábola A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são: )( 2 abscissa a b xv )( 4 ordenada a yv
  • 11. -1 2 3 1 2 3 4 5 -2 410 -1 -2 -3 x y -4 Vértice da função: y = x2 – 2x – 3 a2 b x v a4 y v 12 2 x v 2 2 x v 1x v 14 16 y v 4 16 y v 4y v )4,1(V V Exemplo:
  • 12. Observações: I: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do valor de a: a > 0 a < 0 II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função, podendo ser mínimo ou máximo: a > 0 a < 0 mínimo máximo
  • 14. 0
  • 15. 0 Relembrando: vértice da parábola é o ponto aa b V 4 , 2
  • 16. Construção de gráfico de uma função quadrática usando o Winplot
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  • 19. Através do gráfico responda: qual é a concavidade da parábola? O que acontece se alterarmos o sinal de a? E se multiplicarmos a por uma constante maior que 1. O que acontece? (Reflita sobre as perguntas através dos gráficos construídos por você no Winplot) Note que quando mudamos o sinal do coeficiente a , ela é refletida em ralação ao eixo x, ou seja, passa a ter concavidade voltada para cima. Quando multiplicamos esse a por uma constante maior que 1, a amplitude da parábola diminui isto é, se aproxima do eixo y.
  • 20. Agora, feche a janela. Iremos representar o vértice da parábola de uma função quadrática. Seja a função dada por y = x² + 2x + 1. Represente essa função usando os comandos citados anteriormente e digite na caixa de texto “x^2+2x+1”.
  • 21.
  • 22. Use os comandos: “Um”  “Extremos”. Para encontrar os zeros da função use os comandos: “Um”  ”zeros”  ”Marcar ponto” (OBS: Os zeros são os valores que x assume quando y = 0, isto é, onde o gráfico corta o eixo das abcissas).
  • 23.
  • 24. • Para estudarmos o sinal da função quadrática os comando do Winplot que facilitam essa tarefa são: “Um” ”traço” ”marcar ponto”.
  • 25.
  • 26. • Também podemos variar o valor do coeficiente angular da função quadrática e observar o que acontece, use os comandos: “Anim”  “Parâmetros A – W ...”. (Escolha o parâmetro A, utilize a barra de rolagem para fazer A variar e verifique o que acontece para fazer o gráfico de F).
  • 27.
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  • 29. Fixação: 1) Repita o procedimento anterior com as seguintes funções: a) Y = -x² + 6x b) Y = x² - 4 c) Y = x² + 2x + 6 Muito obrigado!!!!!