O documento descreve as funções quadráticas e como construir o gráfico de uma função do segundo grau. Explica como calcular as raízes, o vértice e o ponto de interseção com o eixo y para plotar graficamente a função.

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Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com
40m de comprimento e 20m de largura. O clube
pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em
volta dela uma faixa de largura constante.
Sua área é função de x.
A = (40 + 2x) . (20 + 2x)
A = 800 + 80x + 40x + 4x2
A = f(x) = 4x2 + 120x + 800
Função quadrática ou função do 2º grau é toda função real do tipo
f(x) = ax2 + bx + c
Sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0

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No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas
funções de segundo grau. A trajetória de uma bola
lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos
vários furos em várias alturas num bote cheio de água,
os pequenos jorros de água que saem pelos furos
descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma
de parábola, originando o seu nome, na Administração e
Contabilidade relacionando as funções custo, receita e
lucro e na Engenharia Civil presente nas diversas
construções.

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Função do 2.º grau
Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2.º grau,
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = ax2 + bx + c
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função do 2.º grau é uma curva chamada
parábola.
Tipos de parábolas:
Concavidade para cima Concavidade para baixo

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Coeficiente a > 0,
parábola com a concavidade voltada p/ cima
Coeficiente a < 0,
parábola com a concavidade voltada p/ baixo

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Raízes (zeros) da função do 2.º grau
Para determinar as raízes (ou zeros) da função do 2º grau
f(x) = ax2 + bx + c, basta calcular os valores de x que
tem imagem igual a zero.
Podemos estabelecer uma relação entre o discriminante ∆
e a intersecção da parábola com o eixo x.
2a
Δ
b
x



Ou seja, devemos resolver a equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0.
E, para isso, usamos a fórmula de báskara.

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• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a
parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola
não intercepta o eixo x.
ou
ou
• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e a parábola
intercepta o eixo x em dois pontos.
ou

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Estudo da concavidade da parábola
Quando a > 0, a concavidade da
parábola é voltada para cima.
Quando a < 0, a concavidade da
parábola é voltada para baixo.

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Vértice da parábola
O vértice V (xv, yv) é um ponto fundamental da parábola, o
único ponto pertencente ao eixo de simetria.
1 cm 1 cm
2 cm 2 cm

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• Calculamos a média aritmética das raízes x’ e x’’, para
obtermos a abscissa (xv) desse vértice.
• Em seguida, substituímos xv, na função e encontramos a
ordenada do vértice yv.
Outra maneira de obter o vértice V (xv, yv) de uma parábola
da equação f(x) = ax2 + bx + c, é:
2a
b
xv 

4a
Δ
yv 

Para determinar o vértice da parábola, fazemos o seguinte:
2
'
x'
x'
xv


*(Demonstração das fórmulas no livro 2 pág. 31)

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Outro ponto importante da parábola é o ponto de intersecção
da função com o eixo y.
Para determiná-lo, basta substituir x = 0 na função
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = a.02 + b.0 + c
f(0) = c
(0, c )
y
x

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Esboço do gráfico da função do 2.º grau

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Construção do gráfico da função do 2.º grau
Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y  IR.
1º passo: determinar as raízes da função
x2 – 6x + 8 = 0
∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32
∆ = 4
2
'
x'
4
x'
2.1
4
6)
(
x






2º passo: estudo da concavidade
a = +1  concavidade para cima
a = 1
b = -6
c = 8
* Exercício 6 pág 27 (livro 2)

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3º passo: determinar o vértice da parábola
3
2
2
4
V
2
'
x'
x'
V
x
x




 Vy = 32 – 6 . 3 + 8
Vy = 9 – 18 + 8
Vy = -1
V = (3, -1)
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y
(quando x=0)
f(x) = x2 - 6x + 8
f(0) = 02 – 6.0 + 8
f(0) = 8
Temos então o ponto (0,8)

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5º passo: esboço do gráfico
f(x) = x2 – 6x + 8
Termo
independente
Raízes da função
Vértice

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Construção do gráfico da função do 2.º grau
Passo a passo
1º passo: determinar as raízes da função
2º passo: estudo da concavidade
3º passo: determinar o vértice da parábola
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y
(quando x=0)
5º passo: esboço do gráfico