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Aula 2 – Introdução à Funções




            Profª Aracéli Marins
Idéia Intuitiva de Funções

   As funções surgem, quando há
necessidade     de   escrever  uma
quantidade em termos da outra, em
outras palavras, quando uma depende
da outra.


               Profª Aracéli Marins
Definição de Função
   Uma função de um conjunto A em um
conjunto B é uma relação de A em B, tal
que todo elemento de A deve estar
relacionado com um elemento de B e este
deve ser único. Formalmente, uma função f
é uma lei a qual para cada elemento x em
um conjunto A faz corresponder
exatamente um elemento chamado f(x), em
um conjunto B.   Profª Aracéli Marins
Exercício 1
Uma caixa aberta em cima, tem um volume de
 10 m3. O comprimento da base é o dobro da
 largura. O material da base custa R$ 10,00
 por metro quadrado, ao passo que o
 material das laterais custa R$ 6,00 por metro
 quadrado. Expresse o custo total do material
 em função da largura da base.


                     Profª Aracéli Marins
Valor de uma função em um
   número


  Para determinar o valor da
função f em um número a de seu
domínio, basta calcular f(a).


            Profª Aracéli Marins
Exercício 2


Se f(x) =  3x3  – x + 2, encontre
 f(2), f(-2), f(a), f(-a), f(a + 1),
 2f(a), f(2a), f(a2), [f(a)]2 e
 f(a + h).

              Profª Aracéli Marins
Domínio e Imagem
 O conjunto A é chamado domínio da
  função, já que se trata de uma relação,
  em que todos os elementos de A tem
  um     e    apenas      um      elemento
  correspondente em B.
 A imagem da função f é o conjunto de
  todos os valores possíveis de f(x).
                   Profª Aracéli Marins
Exercício 3
      Encontre o domínio e a imagem
das funções:

     f x   x  3
     f(t) = t2 – 6t
               2
               x4
      f x  
                       Profª Aracéli Marins
Gráfico de uma Função
   O gráfico de uma função é o
    conjunto de todos os pares
    ordenados (x, f(x)) pertencentes à
    função f.



                Profª Aracéli Marins
Exercício 4
   Os registros de temperatura T (em ºF)
foram tomados de duas em duas horas a partir
da meia noite até as 14 horas, em Dallas, em
2 de junho de 2001. O tempo foi medido em
horas após a meia noite:
  t 0 2 4 6 8 10 12 14
 T 73 73 70 69 72 81 88 91
                    Profª Aracéli Marins
Use os registros para
esboçar um gráfico de T como
uma função de t, e use o gráfico
para estimar a temperatura as 11
horas da manhã.

           Profª Aracéli Marins
Maneiras de Representar uma
    função
   Verbalmente: quando se descreve
    uma função por palavras;
   Numericamente: por meio de
    tabelas ou valores;
   Visualmente: através de gráficos;
   Algebricamente:      utilizando-se
    uma fórmula explícita.
                 Profª Aracéli Marins
Tipos de Funções
   Funções Polinomiais: São funções em que a regra é
    descrita por um polinômio;
   Funções Racionais: São funções que podem ser
    escritas como a divisão entre duas funções
    polinomiais;
   Funções Algébricas: São funções cujas regras
    envolvem somas, divisões, radiciações com funções
    racionais;
   Funções
    logarítmicas, as exponenciais, as trigonométricas.
                 Transcendentes:    São     as   funções
                          Profª Aracéli Marins
Simetria de funções
   Uma função é dita par quando
                   f(-x) = f(x)

Uma função é dita ímpar quando
                f(-x) = - f(x)
Obs.: Quando uma função não é par nem ímpar
            é chamada assimétrica


                   Profª Aracéli Marins
Exercício 5
   Classifique as funções abaixo quanto a
    simetria:

       f x   2 x 2  x  1 ;

    
        f x   3 x  x 3 ;

       f x   x 4  3 x 2  2 .


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Funções Crescentes e
    Decrescentes

     Uma função f é chamada crescente
      em um intervalo I se:
    f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I
     Uma função f é chamada
      decrescente em um intervalo I se:
    f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I


                 Profª Aracéli Marins
Exercício 6
   Mostre se as funções abaixo são crescentes
    ou decrescentes:

       f x    x  3 ;

       f x   6 x  1.




                             Profª Aracéli Marins
Interceptos de Funções
   São os locais em que o gráfico da
    função f “corta” os eixos;
   O local em que intercepta o eixo x é
    chamado raiz e são os valores de x para
    os quais f(x) = 0;
   O local em que intercepta o eixo y é
    chamado intercepto-y, e é o f(0)

                  Profª Aracéli Marins
Combinações, Composições e
Inversão de Funções




            Profª Aracéli Marins
Combinações de Funções
     A partir de duas ou mais
  funções,       podemos      fazer
  combinações, de forma a obter
  novas funções, essas combinações
  são:
 Soma de funções;
 Subtração;
 Divisão;
 Multiplicação.
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Álgebra de Funções

Sejam f e g funções. Então as funções
f + g, f – g, fg e f/g estão definidas da
seguinte forma: f  g x   f x   g x 
                    f  g x   f x   g x 
                    fg x   f x g x 
                   f           f x 
                     x  
                   g           g x 
                    Profª Aracéli Marins
                    
Exercício 7

Dadas f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1,
determine:
 f + g

 f * g

 f – g

 f / g

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Composição de Funções
  Dadas as funções f e g chama-se
  função composta de g com f, a
  função denotada por f o g, tal que
  para todo x:

         (f o g)(x) = f(g(x))

             Profª Aracéli Marins
Exercício 8
   Dadas as funções f, g e h, abaixo, determine
    todas as funções compostas possíveis entre
    elas.
                 f x   3 x  4

                             1
                         x
                           2
                g x  

                h x   x
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Inversão de funções
   Dada uma função f, a função inversa de
    f, denotada por f -1, é tal que:

                f(f -1(x)) = x



                  Profª Aracéli Marins
Exercício 9
   Determine a função inversa das funções
    abaixo:

            f x    2 x  1
                     5x
                        7
                     3
            g x  


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MatemáTica Intro FunçõEs

  • 1. Aula 2 – Introdução à Funções Profª Aracéli Marins
  • 2. Idéia Intuitiva de Funções As funções surgem, quando há necessidade de escrever uma quantidade em termos da outra, em outras palavras, quando uma depende da outra. Profª Aracéli Marins
  • 3. Definição de Função Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação de A em B, tal que todo elemento de A deve estar relacionado com um elemento de B e este deve ser único. Formalmente, uma função f é uma lei a qual para cada elemento x em um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. Profª Aracéli Marins
  • 4. Exercício 1 Uma caixa aberta em cima, tem um volume de 10 m3. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da largura da base. Profª Aracéli Marins
  • 5. Valor de uma função em um número Para determinar o valor da função f em um número a de seu domínio, basta calcular f(a). Profª Aracéli Marins
  • 6. Exercício 2 Se f(x) = 3x3 – x + 2, encontre f(2), f(-2), f(a), f(-a), f(a + 1), 2f(a), f(2a), f(a2), [f(a)]2 e f(a + h). Profª Aracéli Marins
  • 7. Domínio e Imagem  O conjunto A é chamado domínio da função, já que se trata de uma relação, em que todos os elementos de A tem um e apenas um elemento correspondente em B.  A imagem da função f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x). Profª Aracéli Marins
  • 8. Exercício 3 Encontre o domínio e a imagem das funções:  f x   x  3  f(t) = t2 – 6t  2 x4 f x   Profª Aracéli Marins
  • 9. Gráfico de uma Função  O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) pertencentes à função f. Profª Aracéli Marins
  • 10. Exercício 4 Os registros de temperatura T (em ºF) foram tomados de duas em duas horas a partir da meia noite até as 14 horas, em Dallas, em 2 de junho de 2001. O tempo foi medido em horas após a meia noite: t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 Profª Aracéli Marins
  • 11. Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t, e use o gráfico para estimar a temperatura as 11 horas da manhã. Profª Aracéli Marins
  • 12. Maneiras de Representar uma função  Verbalmente: quando se descreve uma função por palavras;  Numericamente: por meio de tabelas ou valores;  Visualmente: através de gráficos;  Algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita. Profª Aracéli Marins
  • 13. Tipos de Funções  Funções Polinomiais: São funções em que a regra é descrita por um polinômio;  Funções Racionais: São funções que podem ser escritas como a divisão entre duas funções polinomiais;  Funções Algébricas: São funções cujas regras envolvem somas, divisões, radiciações com funções racionais;  Funções logarítmicas, as exponenciais, as trigonométricas. Transcendentes: São as funções Profª Aracéli Marins
  • 14. Simetria de funções  Uma função é dita par quando f(-x) = f(x) Uma função é dita ímpar quando f(-x) = - f(x) Obs.: Quando uma função não é par nem ímpar é chamada assimétrica Profª Aracéli Marins
  • 15. Exercício 5  Classifique as funções abaixo quanto a simetria:  f x   2 x 2  x  1 ;  f x   3 x  x 3 ;  f x   x 4  3 x 2  2 . Profª Aracéli Marins
  • 16. Funções Crescentes e Decrescentes  Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se: f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I  Uma função f é chamada decrescente em um intervalo I se: f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I Profª Aracéli Marins
  • 17. Exercício 6  Mostre se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes:  f x    x  3 ;  f x   6 x  1. Profª Aracéli Marins
  • 18. Interceptos de Funções  São os locais em que o gráfico da função f “corta” os eixos;  O local em que intercepta o eixo x é chamado raiz e são os valores de x para os quais f(x) = 0;  O local em que intercepta o eixo y é chamado intercepto-y, e é o f(0) Profª Aracéli Marins
  • 19. Combinações, Composições e Inversão de Funções Profª Aracéli Marins
  • 20. Combinações de Funções A partir de duas ou mais funções, podemos fazer combinações, de forma a obter novas funções, essas combinações são:  Soma de funções;  Subtração;  Divisão;  Multiplicação. Profª Aracéli Marins
  • 21. Álgebra de Funções Sejam f e g funções. Então as funções f + g, f – g, fg e f/g estão definidas da seguinte forma: f  g x   f x   g x   f  g x   f x   g x   fg x   f x g x  f f x    x   g g x  Profª Aracéli Marins  
  • 22. Exercício 7 Dadas f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1, determine: f + g f * g f – g f / g Profª Aracéli Marins
  • 23. Composição de Funções Dadas as funções f e g chama-se função composta de g com f, a função denotada por f o g, tal que para todo x: (f o g)(x) = f(g(x)) Profª Aracéli Marins
  • 24. Exercício 8  Dadas as funções f, g e h, abaixo, determine todas as funções compostas possíveis entre elas. f x   3 x  4 1 x 2 g x   h x   x Profª Aracéli Marins
  • 25. Inversão de funções  Dada uma função f, a função inversa de f, denotada por f -1, é tal que: f(f -1(x)) = x Profª Aracéli Marins
  • 26. Exercício 9  Determine a função inversa das funções abaixo: f x    2 x  1 5x 7 3 g x   Profª Aracéli Marins