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Função Quadrática A função do  2º grau
Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube  pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante. Sua área é função de x. A = (40 + 2x) . (20 + 2x) A = 800 + 80x + 40x + 4x2 A = f(x) = 4x2 + 120x + 800 Função quadrática ou função do 2º grau é toda função real do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c Sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Quando a > 0, a parábola é côncava para cima.  Quando a < 0, a parábola é côncava para baixo.
O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um quadrado dividido em 8 partes iguais, conforme indica a figura. A área de cada parte é função do lado do quadrado; portanto, a área pintada de vermelho é função do lado do quadrado.  Fórmula e gráfico da função do 2º grau Representando por x a medida do lado do quadrado e por y a área  da parte vermelha, temos a fórmula:
Vamos obter alguns pontos do gráfico atribuindo valores para x. Observe, abaixo, o gráfico de  y = 0,25 x2, para x ≥ 0
Vamos considerar que a função seja válida para todo x real. Atribuindo valores simétricos aos da tabela anterior, obtemos:
Contextualizando     Os formandos do ensino  fundamental reuniram-se e planejaram uma viagem para comemorar a formatura. A agência de turismo oferece o seguinte pacote promocional: o preço p para cada um será:                                     p = 180 – 0,6x  reais. Quanto a agência vai receber para promover a viagem? Se x alunos aderirem, cada um pagando p reais, a receita (R) será x.p; logo,  x.(180 – 0,6x). A receita é função do número x de aluno que viajarem. R(x) = - 0,6x + 180x A agência terá receita máxima se forem 150 alunos.
Vértice da parábola É o  ponto em que o eixo de simetria corta a parábola. Em  y = - 0,6x2 +180x , v é o ponto de coordenadas (150,13500) V = (150 , 13500) O valor máximo de y é 13500, que será a receita máxima da agência. Vamos representar por xv a abscissa do vértice eyva ordenada do vértice. V = (xv , yv) Os zeros da função quadrática (raízes da função) Zeros de uma função f  são os valores de x para os quais f(x) = 0
Os sinais da função quadrática Observemos o gráfico da função y = x2 – 4x + 3. Os zeros de f , 1 e 3 , são as abscissas dos pontos em que a parábola corta o eixo x. Para todos os valores de x menores que 1, temos f(x) > 0 Para x = 1 ou x = 3, temos f(x) = 0. Para os valores de x entre 1 e 3  , temos f(x) < 0 Para todos os valores de x maiores que 3 , temos  f(x) > 0 f(x) > 0, para x < 1 ou x > 3 f(x) = 0, para x = 1 ou x = 0 f(x) < 0, para 1 < x < 3
Construção de uma parábola Sendo a função f(x) = x2 – 2x + 2 1º passo: Determinar as raízes 3º passo:  Determinar onde a parábola corta o eixo ordenado(termo independente da função = c) e o seu simétrico em relação ao eixo de simetria. x2 – 2x + 2 = 0 ∆= b2 – 4ac ∆= - 4 x =  s= { } (não existe raiz real) 4º passo: Marcar os pontos no gráfico e traçar a curva 2º passo:  Determinar  xv  e  yv.
Bibliografia PanadésRubió, Angel; Freitas, Luciana Tenuda de. Matemática e sua tecnologias: ensino médio. Vol. 1. ed.1 – São Paulo: IBEP, 2005 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antônio. Matemática e Realidade: 9º Ano 6ª ed.São Paulo: Atual, 2009

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função quadrática

  • 1. Função Quadrática A função do 2º grau
  • 2. Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante. Sua área é função de x. A = (40 + 2x) . (20 + 2x) A = 800 + 80x + 40x + 4x2 A = f(x) = 4x2 + 120x + 800 Função quadrática ou função do 2º grau é toda função real do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c Sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0
  • 3. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Quando a > 0, a parábola é côncava para cima. Quando a < 0, a parábola é côncava para baixo.
  • 4. O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um quadrado dividido em 8 partes iguais, conforme indica a figura. A área de cada parte é função do lado do quadrado; portanto, a área pintada de vermelho é função do lado do quadrado. Fórmula e gráfico da função do 2º grau Representando por x a medida do lado do quadrado e por y a área da parte vermelha, temos a fórmula:
  • 5. Vamos obter alguns pontos do gráfico atribuindo valores para x. Observe, abaixo, o gráfico de y = 0,25 x2, para x ≥ 0
  • 6. Vamos considerar que a função seja válida para todo x real. Atribuindo valores simétricos aos da tabela anterior, obtemos:
  • 7. Contextualizando Os formandos do ensino fundamental reuniram-se e planejaram uma viagem para comemorar a formatura. A agência de turismo oferece o seguinte pacote promocional: o preço p para cada um será: p = 180 – 0,6x reais. Quanto a agência vai receber para promover a viagem? Se x alunos aderirem, cada um pagando p reais, a receita (R) será x.p; logo, x.(180 – 0,6x). A receita é função do número x de aluno que viajarem. R(x) = - 0,6x + 180x A agência terá receita máxima se forem 150 alunos.
  • 8. Vértice da parábola É o ponto em que o eixo de simetria corta a parábola. Em y = - 0,6x2 +180x , v é o ponto de coordenadas (150,13500) V = (150 , 13500) O valor máximo de y é 13500, que será a receita máxima da agência. Vamos representar por xv a abscissa do vértice eyva ordenada do vértice. V = (xv , yv) Os zeros da função quadrática (raízes da função) Zeros de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0
  • 9. Os sinais da função quadrática Observemos o gráfico da função y = x2 – 4x + 3. Os zeros de f , 1 e 3 , são as abscissas dos pontos em que a parábola corta o eixo x. Para todos os valores de x menores que 1, temos f(x) > 0 Para x = 1 ou x = 3, temos f(x) = 0. Para os valores de x entre 1 e 3 , temos f(x) < 0 Para todos os valores de x maiores que 3 , temos f(x) > 0 f(x) > 0, para x < 1 ou x > 3 f(x) = 0, para x = 1 ou x = 0 f(x) < 0, para 1 < x < 3
  • 10. Construção de uma parábola Sendo a função f(x) = x2 – 2x + 2 1º passo: Determinar as raízes 3º passo: Determinar onde a parábola corta o eixo ordenado(termo independente da função = c) e o seu simétrico em relação ao eixo de simetria. x2 – 2x + 2 = 0 ∆= b2 – 4ac ∆= - 4 x = s= { } (não existe raiz real) 4º passo: Marcar os pontos no gráfico e traçar a curva 2º passo: Determinar xv e yv.
  • 11. Bibliografia PanadésRubió, Angel; Freitas, Luciana Tenuda de. Matemática e sua tecnologias: ensino médio. Vol. 1. ed.1 – São Paulo: IBEP, 2005 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antônio. Matemática e Realidade: 9º Ano 6ª ed.São Paulo: Atual, 2009