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Apoio Escolar – Explicações – Ana Tapadinhas

                                                                 Matemática 10º Ano



Função Quadrática
Definição de Função Quadrática

Uma função f:           chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com
a 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x   .

                                         f:
                                      x  ax² + bx + c

Alguns exemplos:

* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0

* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1

* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4

* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0

Observe que não são funções quadráticas:

* f(x) = 3x
* f(x) = 2 x
* f(x) = x³ + 2x² + x + 1



Gráfico da Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3

Observe a tabela abaixo:


                    x       Y = f(x) = x² -4x + 3     (x, y)
                    0                 3               (0, 3)
                    1                 0               (1, 0)
                    2                -1               (2, -1)
                    3                 0               (3, 0)
                    4                 3               (4, 3)
Gráfico:




Zeros da Função Quadrática

Os zeros de f(x) = ax² +bx + c são os números x      tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros
da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.

Determinação dos Zeros da Função Quadrática

A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau
                                              b
ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x =           com = b² - 4.a.c
                                               2.a
(discriminante).



Observações:

1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola
intersecta o eixo x em dois pontos distintos).
2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola
intersecta o eixo x em um só ponto).




3) Quando < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não
intersecta o eixo x).




4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a 0.
Existindo zeros reais tal que:

         b                                b
x1 =                      e       x2 =             , obtemos:
          2.a                              2.a

             b                     b              2b                 b
x 1 +x 2 =                    +               =                 =
              2.a                   2.a                2.a          a

                       b
Logo, x 1 +x 2 =         .
                      a

             b                    b           b² ( ) 2 b²       b² 4ac c
x1. x 2 =                     .           =           =               =
              2.a                  2.a           4a ²           4a ²    a

                    c
Logo, x 1 .x 2 =      .
                    a
Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c

Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função
quadrática f(x) = ax² + bx + c.




Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.




Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola
(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
Parâmetro b:

Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das
ordenadas poderá estar subindo ou descendo.




Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola
está no eixo das ordenadas.




Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.




A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).

Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
Imagem da Função Quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite
determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser
calculadas de duas maneiras:

1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:

                                       b
                               xv=             e      yv =
                                      2a                       4a

2ª Maneira:

* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o
ponto médio das mesmas. Assim:
                                               x     x2
                                        xv= 1
                                                   2

* Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a
coordenada y v .

Examine os exemplos:

1º) f(x) = 2x² - 8x
                                                                      x1       x2       0 4
Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v =                       =       =2
                                                                           2             2

Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice:
                                y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v )
                                y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8




                                        * O vértice é o ponto (2, 8).
                                        * A função assume valor mínimo -8 quando x = 2
                                        * Im(f) = {y      │y 0}
                                        * Essa função não tem valor máximo.




2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a         0, também
                                              b
pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) =    ,    .
                                             2a   4a
Neste caso, temos:

f(x) = -4x + 4x + 5

       b        4 1
xv=      =       =
      2a        8 2

                (16 80)       96
yv=         =                    =6
       4a          16         16

V = (1/2, 6)




                * O vértice é o ponto (1/2, 6).
                * A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2
                * Im(f) = {y      │y 6}
                * Essa função não tem valor mínimo.

De modo geral, dada a função f:                tal que f(x) = ax² + bx + c, com a   0, se
V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a>0       y v é o valor mínimo de f      Im(f) = {y │y       yv }




a<0      y v é o valor máximo de f       Im(f) = {y │y      yv }
Estudo do sinal da função quadrática

Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0, significa determinar os
valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é
negativa (f(x) < 0).
O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante = b² - 4ac da
equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.
Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com
o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos.
Acompanhe:

1º Caso: > 0
Neste caso:
* A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ;
* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

              a>0                                                               a<0




                                                                   f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2
 f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2
 f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2                                     f(x) > 0 para x 1 < x < x 2
    f(x) < 0 para x 2 < x < x 1                                    f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 2


2º Caso:      =0

Neste caso:
* A função admite um zero real duplo x 1 = x 2
* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.
         a>0                                                             a<0




f(x) = 0 para x = x 1 = x 2                                     f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
  f(x) > 0 para x x 1                                             f(x) < 0 para x x 1
3º Caso:    <0

Neste caso:
* A função não admite zeros reais;
* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

           a>0                                                            a<0




   f(x) > 0 para todo x real                                    f(x) < 0 para todo x real




Exemplos:

1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:

a) f(x) = x² - 7x + 6       b) f(x) = 9x² + 6x + 1              c) f(x) = -2x² +3x – 4


a) f(x) = x² - 7x + 6

a=1>0
  = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0
Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1

Então:

* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6
* f(x)< 0 para x < 1 ou x > 6
* f(x) < 0 para 1 < x < 6

Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e
negativa para x entre 1 e 6.

b) f(x) = 9x² + 6x + 1

a=9>0
  = (6)² - 4 (9) (1) = 0
Zeros da função: x = -1/3
Então:

* f(x) = 0 para x = -1/3
* f(x) > 0 para todo x -1/3

c) f(x) = -2x² +3x – 4

a = -2 < 0
   = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0

Portanto,     < 0 e a função não tem zeros reais.


Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.

2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para
todo x real?

Condições:

* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)
* <0
Cálculo de :

  = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k

Daí:

4 – 4k < 0      -4k < -4    4k > 4        k >4/4   k>1

Logo, k      │k > 1.

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  • 1. Apoio Escolar – Explicações – Ana Tapadinhas Matemática 10º Ano Função Quadrática Definição de Função Quadrática Uma função f: chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x . f: x  ax² + bx + c Alguns exemplos: * f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0 * f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1 * f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4 * f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0 Observe que não são funções quadráticas: * f(x) = 3x * f(x) = 2 x * f(x) = x³ + 2x² + x + 1 Gráfico da Função Quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3 Observe a tabela abaixo: x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y) 0 3 (0, 3) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1) 3 0 (3, 0) 4 3 (4, 3)
  • 2. Gráfico: Zeros da Função Quadrática Os zeros de f(x) = ax² +bx + c são os números x tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta. Determinação dos Zeros da Função Quadrática A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau b ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = com = b² - 4.a.c 2.a (discriminante). Observações: 1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).
  • 3. 2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto). 3) Quando < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não intersecta o eixo x). 4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a 0. Existindo zeros reais tal que: b b x1 = e x2 = , obtemos: 2.a 2.a b b 2b b x 1 +x 2 = + = = 2.a 2.a 2.a a b Logo, x 1 +x 2 = . a b b b² ( ) 2 b² b² 4ac c x1. x 2 = . = = = 2.a 2.a 4a ² 4a ² a c Logo, x 1 .x 2 = . a
  • 4. Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola. Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
  • 5. Parâmetro b: Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo. Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola está no eixo das ordenadas. Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y. A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
  • 6. Imagem da Função Quadrática A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo. As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser calculadas de duas maneiras: 1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas: b xv= e yv = 2a 4a 2ª Maneira: * Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o ponto médio das mesmas. Assim: x x2 xv= 1 2 * Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a coordenada y v . Examine os exemplos: 1º) f(x) = 2x² - 8x x1 x2 0 4 Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v = = =2 2 2 Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v ) y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8 * O vértice é o ponto (2, 8). * A função assume valor mínimo -8 quando x = 2 * Im(f) = {y │y 0} * Essa função não tem valor máximo. 2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
  • 7. Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a 0, também b pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) = , . 2a 4a Neste caso, temos: f(x) = -4x + 4x + 5 b 4 1 xv= = = 2a 8 2 (16 80) 96 yv= = =6 4a 16 16 V = (1/2, 6) * O vértice é o ponto (1/2, 6). * A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2 * Im(f) = {y │y 6} * Essa função não tem valor mínimo. De modo geral, dada a função f: tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 0, se V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então: a>0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y │y yv } a<0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y │y yv }
  • 8. Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é negativa (f(x) < 0). O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante = b² - 4ac da equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a. Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos. Acompanhe: 1º Caso: > 0 Neste caso: * A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ; * A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos. a>0 a<0 f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2 f(x) > 0 para x 1 < x < x 2 f(x) < 0 para x 2 < x < x 1 f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 2 2º Caso: =0 Neste caso: * A função admite um zero real duplo x 1 = x 2 * A parábola que representa a função tangencia o eixo x. a>0 a<0 f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) > 0 para x x 1 f(x) < 0 para x x 1
  • 9. 3º Caso: <0 Neste caso: * A função não admite zeros reais; * A parábola que representa a função não intersecta o eixo x. a>0 a<0 f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real Exemplos: 1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções: a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4 a) f(x) = x² - 7x + 6 a=1>0 = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0 Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1 Então: * f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6 * f(x)< 0 para x < 1 ou x > 6 * f(x) < 0 para 1 < x < 6 Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e negativa para x entre 1 e 6. b) f(x) = 9x² + 6x + 1 a=9>0 = (6)² - 4 (9) (1) = 0 Zeros da função: x = -1/3
  • 10. Então: * f(x) = 0 para x = -1/3 * f(x) > 0 para todo x -1/3 c) f(x) = -2x² +3x – 4 a = -2 < 0 = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0 Portanto, < 0 e a função não tem zeros reais. Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa. 2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para todo x real? Condições: * a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0) * <0 Cálculo de : = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k Daí: 4 – 4k < 0 -4k < -4 4k > 4 k >4/4 k>1 Logo, k │k > 1.