TrapéZio E Seus Elementos Otimo

O que é trapézio? Onde fica os pontos médios das diagonais do trapézio? Quais são as linhas notáveis de um trapézio? Como é calculada a área do trapézio? Sites utilizados Créditos finais Exercícios Teorema de Pitágoras Leitura complementar

O que é trapézio? O trapézio é um quadrilátero com 1 par de lados paralelos (as bases do trapézio). Ele pode ser classificado como: Trapézio retângulo: possui 1 e, conseqüentemente, 2 ângulos retos e não possui eixos de simetria. Trapézio isósceles: possui os dois lados, que não são bases, os ângulos de uma mesma base e as diagonais congruentes, possui 1 eixo de simetria., a mediana é paralela às bases e é igual à semi-soma das bases Trapézio escaleno: possui os dois lados, que não são bases, não congruentes e não possui eixos de simetria.

Quais são as linhas notáveis de um trapézio? Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos. Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um trapézio é o segmento de reta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Mediana de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos.

Onde fica os pontos médios das diagonais do trapézio? Os pontos médios das diagonais dos trapézios ficam numa mesma reta que está na metade da altura do trapézio e paralela à base.

Como é calculada a área do trapézio? Há algumas maneiras de calcular a área (S) desse polígono, mas eu vou explicar apenas duas. Vamos à primeira: S = h(a+c) 1 2 h a c

Vamos entender esta fórmula geometricamente e algebricamente: h 1 2 1 2 h h c a

a c 1 2 h Transformando em um retângulo... S = h (a+c) 1 2 S = l 1 l 2 a+c

Juntando as fórmulas das áreas dos dois triângulos e do retângulo: Bt 1 Bt 2 c a a h

c-a = Bt 1 + Bt 2 Bt 1 + Bt 2 = Bt 1 +2 c-a = Bt 1+2 h(c-a) 2 hc-ha+2ha 2 hc+ha 2 Vejamos a transformação da fórmula: A = + ha A = A = Fatorando... A = h(a+c) 2 h(a+c) A = 1 2 Fazendo o M.M.C....

Vamos para a segunda fórmula:

Vamos entendê-la: Para começar tenho que explicar o que é sen (seno): Num triângulo retângulo existe o “sen” de um ângulo que é dado pela fórmula: Ǿ Sen Ǿ = C o H H C o Obs.: o C o (cateto oposto) é o cateto oposto ao ângulo. Se for o outro ângulo, o C o é outro.

Para saber o seno, só consultando uma tabela ou uma calculadora que tenha seno. Veja uma tabela com os senos dos 5 principais ângulos: 1 3 2 2 2 1 2 0 sen 90 o 60 o 45 o 30 o 0 o

Agora tá fácil, né? Existe uma fórmula para calcular a área de qualquer quadrilátero que é baseada na área de dois triângulos: S = d h 1 + h 2 2 d h 2 h 1 Ângulo reto

Quando você calcula o sen Ǿ · d, você está calculando: sen Ǿ · Sd 1 + sen Ǿ · Sd 2 . E, como eu já disse, sen x = . Sd 1 Sd 2 Ǿ C o H Isolando C o fica assim: C o = sen x · H Não sei se vocês já perceberam, mas os C o são o h 1 e h 2 da fórmula da área de qualquer quadrilátero. Provando que as fórmulas e são iguais. Obs: Sd 1 e Sd 2 são 2 hipotenusas. S = d h 1 + h 2 2 h 2 h 1

Teorema de Pitágoras Para fazer alguns exercícios podemos precisar do Teorema de Pitágoras. Com ele podemos calcular um cateto ou uma hipotenusa, sabendo as outras duas medidas. Veja a fórmula: H 2 = C 1 2 + C 2 2

Sites utilizados http://www.webcalc.com.br/matematica/ http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ25/CabriJava/tra.htm http://www.eduardochaves.uaivip.com.br/figuras%20planas.htm http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm109/propriedadesdostrapezios.htm

Leitura complementar Em algumas comunidades agrícolas do Brasil é usada uma fórmula de calcular a área (S) de terrenos na forma de um quadrilátero. Veja: S = a + b c + d 2 2 a b d c Porém, essa fórmula não dá muito certo, mas existe outras que dão. Como aquela que eu já expliquei. Qual!?!

Lembra daquela que é baseada na área de dois triângulos e daquela que utiliza o seno? Aquelas mesmo! S = d h 1 + h 2 2

Exercícios Classifique como trapézio escaleno, isósceles ou retângulo Isósceles Escaleno Retângulo

H 2 - C 2 = h 2 Calcule as áreas (medidas em cm) 5 11 5 5 (11-5) 2 2 h 5 2 - = h 2 25 - 9 = h 2 h = 4 S = h(a+c) 1 2 S = 4(5+11) 1 2 S = 32 cm 2

5 8 5 h H 2 - C 2 = h 2 25 - 9 = h 2 h = 4 S = h(a+c) 1 2 S = 4(5+8) 1 2 S = 26 cm 2

4 2 2 3 4 1 S = h tra (a+c) - 1 bh tri 2 2 S = 5(3+(2+4+2)) - 1 4 · 4 2 2 S = 19,5 cm 2

6 x x-2 h H 2 - C 2 = h 2 (x-2) 2 - (x-6) 2 = h 2 x 2 - 4x + 4 - (x 2 -12x+ 36) = h 2 x 2 - 4x + 4 - x 2 + 12x - 36 = h 2 h = 8x - 32 S = 8x - 32(a+c) 1 2 S = (5+8) 8x - 32 4 S = 2x - 8 (13) S = 169(2x - 8) S = 338x - 1352 cm 2

h/4 h 5 9 H 2 - C 2 = h 2 7 7 2 - = h 2 9-5 2 2 49 - 4 = h 2 h = 45 m t = = 7 5 + 9 2 m t2 = = 8 7 + 9 2 7 h = 5 1 4 3 4 S = h (m t2 + c) 1 2 1 4 S = 5 17 1 2 3 4 S = 17 5 3 8 S= 5 cm 2 51 8 8

1 2 A figura representa um porta-retrato. Sabe-se que a largura da moldura é de 2,6 cm, o lado externo da moldura mede 7,7 cm e o lado interno 2,3. Qual é a área total da moldura? S = h(a+c)6 S = 2,6(2,3+7,7)6 1 2 S = 2,6(10)3 S = 2,6(30) S = 78 cm 2

Calcule a área de um trapézio cuja base maior é o dobro da menor (x) e cuja altura é metade da base menor. S = h(a+c) 1 2 S = x (x + 2x) 1 2 1 2 S = x (3x) 1 4 S = 3x 2 4

Calcule a superfície (S) dessa caixa de cartucho de impressora 3 4 4 11 10 8 S = 2 3(8+11) + 2(4 ·10) + 11 · 10 + 8 ·10 1 2 S = 57 + 80 + 110 + 80 = 327 cm 2

Determine a área do hexágono (cm) 12 4 10 3 S = h t (a+c) + b r h r 1 2 S = 6(3 + 12) + 12 · 4 1 2 S = 3 · 15 + 12 · 4 S = 45 + 48 S = 93 cm 2

Resolva os problemas Num trapézio de altura 4 cm, a base maior tem o triplo da base menor. Determine as medidas dessas bases, sabendo que a área do trapézio é 12 cm 2 . S = h(a+c) 1 2 12 = 4(x + 3x) 1 2 12 = 2 · 4x 8x = 12 x = 3 2 A base maior tem 9/2 cm e a base menor tem 3/2 cm

Num trapézio, a medida da base maior excede a medida da base menor em 3 cm. Sabendo que a altura relativa às bases mede 6 cm e que a área do trapézio é 45 cm 2 . Determine as medidas de suas bases. 45 = 6(x + (x + 3)) 1 2 As bases medem 6 cm e 9 cm S = h(a+c) 1 2 45 = 3(2x + 3) 45 = 6x + 9 6x = 36 x = 6

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