O documento apresenta os conceitos fundamentais de triângulos retângulos, incluindo a definição, características, teorema de Pitágoras e relações trigonométricas. Exemplos ilustram como aplicar o teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos.

1. AULA 3
MATEMÁTICA

2. Definição: Triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º )
Características:
 Num triângulo retângulo, o lado situado em frente ao ângulo reto
é chamado de HIPOTENUSA.
 Os dois lados que formam o ângulo reto são chamados de
CATETOS . De acordo com suas posições, os catetos podem ser:
 Cateto oposto: é o lado situado em frente ao ângulo dado.
 Cateto adjacente : é o lado que ajuda a formar o ângulo dado .
Triângulo retângulo

3. .
a
c
b
ângulo reto
ângulo dado  α
medida da hipotenusa  a
medida do cateto oposto ( em frente a α)  b

medida do cateto adjacente (junto a α)  c
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente


4. Hipotenusa
(a)Cateto
(b)
Triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras:
Cateto
(c)
a² = b² + c²

5. a² = b² + c²
Exemplo: O perímetro de um triângulo retângulo de
catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a:
12cm
5cm
Hip
(a)
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13
5 + 12 +13 = 30cmPerímetro =

6. Hipotenusa
Cateto
oposto
Cateto
adjacente


 +  = 90º
Ângulos:
Agudos
Sen() = C.O
HIP
Cos() = C.A
HIP
Tan() = C.O
C.A
Relações trigonométricas:
SOH CAH TOA
Razões Trigonométricas

7. HIP² = CAT² + CAT²
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos()
é igual a:
x
10cm
8cm 10² = 8² + x²
100 = 64 + x²
36 = x²
x = 6
Cos() = 6 = 3
10 5

(Hip)
(C.O)
(C.A)
3
5

8. 1º RELAÇÃO : Seno de um ângulo agudo
SENO : é a razão entre a medida do cateto oposto
e a medida da hipotenusa .
cateto oposto
sen
hipotenusa

a
b


9. 2º RELAÇÃO : Cosseno de um ângulo agudo
COSSENO : é a razão entre a medida do cateto
adjacente e a medida da hipotenusa .
a
c
c
cos
a
 


10. 3º RELAÇÃO : Tangente de um ângulo
agudo
TANGENTE : é a razão entre a medida do cateto
oposto e o cateto adjacente .
c
b


11. Resumindo :
ÂNGULOS SENO COSSENO TANGENTE
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
1
3
2
2
3
2
30º
45º
60º

12. Exemplo: Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em
um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do
prédio é:
h
Sen(30º) = C.O
HIP
30º
HIP
C.O
C.A
12m60º
1 = h
2 12
 2h =12  h = 6m
ÂNGULOS SENO COSSENO TANGENTE
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
1
3
2
2
3
2
30º
45º
60º

13. Logo:
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo
 é igual a:
2cm
4cm
 = 60ºcos() = C.A = 2 = 1
HIP 4 2

HIP
C.O
C.A
ÂNGULOS SENO COSSENO TANGENTE
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
1
3
2
2
3
2
30º
45º
60º

14. Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das
mais importantes descobertas da Matemática. Com
ele pode-se descobrir a medida de um lado de um
triângulo retângulo, a partir da medida de seus
outros dois lados.
http://1.bp.blogspot.com/-e85-mlHLfYY/UghDZNqts-I/AAAAAAAAAJM/622Vob8kA0o/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQ5bPF2CTXBn92cOw0ezDCM0lXB59Mjram0sIui90uYGSfxgeoRRQ
http://3.bp.blogspot.com/-j0KKPfDiE6M/T7MDQrxbUbI/AAAAAAAAACw/PHxQBHFedvw/s1600/Digitalizar0004.jpg
http://celeimatica3.com.sapo.pt/9ano_trigonometria/media/9c6-12-01.PNG
A partir dele podemos determinar a altura de prédios, torres,
montanhas, largura de rios, dentre outras inúmeras aplicações.

15. Diagonal de um quadrado
O triângulo ADC é retângulo em D.
Podemos aplicar então o teorema de
Pitágoras:
Como determinar a medida da diagonal do quadrado
ABCD, da figura abaixo, com aresta medindo a?
A B
CD
d
a
a a
a

16. Altura de um triângulo equilátero
O triângulo ABH é retângulo em H.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
A
B C
h
H
a a
a
aa
Como determinar a medida da altura de um triângulo
equilátero de aresta medindo a?

17. Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de
largura. Nadando na diagonal dessa piscina, um atleta consegue
nadar ida e volta em um total de
A) 54 m.
B) 56 m.
C) 58 m.
D) 60 m.
E) 62 m.
Exemplo:
D) 60 m.

18. Em um dos efeitos visuais, para promover o
início de vendas dos apartamentos, um feixe
retilíneo de luz parte do topo do prédio e
atinge o solo em um determinado ponto,
conforme indicado na figura. Desse modo,
pode-se concluir, corretamente, que a altura
do prédio, em metros, indicada por h na
figura, é:
A) 22.
B) 24.
C) 25.
D) 28.
E) 30.
Exemplo:
B) 24.

19. VÍDEOS
Mão na Forma - O Barato do Pitágoras:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6965
O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 1
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7187
O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 2
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7188
ATIVIDADES PRÁTICAS
Quebra-cabeças Pitagóricos:
http://www.mat.ufmg.br/~elaine/Aperfeicoamento/Pitagoras.pdf
O Teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo com material
emborrachado:
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Ar
tigo_Lamas.pdf
SITES ÚTEIS
Brasil Escola: http://www.brasilescola.com/
Só Matemática: http://www.somatematica.com.br/
Se quiser ir mais a fundo ...

20. ANÁLISE COMBINATÓRIA
É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de
elementos sem precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar,
tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc.
Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como:
loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações
mais específicas, como confecções de horários, de planos de
produção, de números de placas de automóveis etc.

21. A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que
permite resolver problemas envolvendo contagem,
como o número de possibilidades de ocorrência de um
evento, o número de subconjuntos de um conjunto
finito, mas sem que seja necessário recorrer a
contagem direta; em outras palavras, sem enumerar
seus elementos.
Exemplo 1
Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos
modos é possível selecionar um casal homem-mulher?
Resp.: 3 . 4 = 12 casais

22. A lanchonete de uma escola oferece em seu cardápio 8 tipos de
sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 5 sabores de sorvete. Renata
quer escolher 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete. Quantas
opções ela tem para pedir um lanche?
8 tipos 4 tipos 5 tiposX X =
TOTAL DE
OPÇÕES
160
Exemplo 2
Exemplo 3
De quantos modos 3 pessoas podem sentar em 5 cadeiras
colocadas em fila?
Resp.: A primeira pessoa tem 5 opções de escolha, já a segunda
pessoa, admitindo-se que não sente no colo da outra, tem 4
opções e a 3ª pessoa tem 3 opções.
Logo temos 5.4.3 = 60

23. 3 tipos 6 tipos 2 paresX X =
TOTAL DE
OPÇÕES
36

24. 3 8 8 7 1 4 34 3 21 5 55 5 5 0
RESOLVENDO
10 10 10
Quantas
opções de
algarismos?
Quantas
opções de
algarismos
Quantas
opções de
algarismos
Pelo PFC podemos obter até 10.10.10 números de telefones
terminados em zero com o prefixo 3887, ou seja, 1000 números
distintos.
03 8 8 7

25. 25
Ex.: 2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Convenção 0! = 1 1! = 1
Fatorial é uma operação !
Exemplo: Simplificar a expressão:
9900
!98
!9899100
!98
!100

xx

26. Exercícios:
1) Calcule o valor numérico de cada uma das expressões:
a) 5! + 2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 2 = 122
b) = =
2) Calcule o valor de x na equação (x+2)! = 2(x+1)!
(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)……1 = 2[(x+1)x(x-1)(x-2)...1]
(x+2) = 2  x = 0
!0
!1!2!3 
1
11.21.2.3 
7
1
126



27. 27
PROBABILIDADE
Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e
observar o número da face superior. Observa-se no
experimento que:
a)Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, , de um experimento
realizado sob condições fixas, é o conjunto de todos os
resultados possíveis do experimento, entendendo-se por
resultado possível todo resultado elementar e indivisível
do experimento.

28. No caso da moeda, são dois resultados possíveis:
CARA ou COROA.
É muito provável que você já tenha recorrido
a uma moeda para tomar alguma decisão em jogos
e brincadeiras.

29. É possível saber a chance de algo acontecer?
Sim, é possível medir a chance de algo acontecer.
Essa medida é chamada PROBABILIDADE e é dada por uma
razão entre dois números.

30. 1. Para obter verbas para a formatura
do 9º Ano, a equipe de Rose rifou
uma bicicleta. A rifa tinha 100
números e Rose comprou 4 deles.
Qual a chance de Rose ganhar a
bicicleta?
Imagem: Tom O Fitz / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic
Resolução:
Para calcular a medida da chance, isto é, da probabilidade de Rose
ganhar a rifa, devemos estabelecer uma razão:
4 em 100
bilhetes comprados por Rose
número total de bilhetes
A razão ou dá a probabilidade de Rose ganhar a bicicleta:
1 em 25 ou 4%.
=

32. http://catiaosorio.files.wordpress.com/2012/05/alumno_estudiando.gif
http://3.bp.blogspot.com/-8dXu40fJKCI/TlL8JArP-KI/AAAAAAAAAMg/-7j4sDlljfQ/s1600/teste-QI-blog-barbie-02.jpg
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