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CUBO E PARALELEPÍPEDO
Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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(148) Dado um cubo de aresta “a”, calcular sua diagonal “d” e sua área total “S”.
Solução
(a) Cálculo de d:
Inicialmente calculemos a medida f de uma diagonal de face:
(b) Cálculo de S
A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes de lado a. A área de cada um
é a². Então, a área total do cubo é:
149. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcular as diagonais 𝐟𝟏, 𝐟𝟐 𝐞 𝐟𝟑 das faces,
a diagonal do paralelepípedo e sua área total S.
Solução
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2
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3
(228) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão
indicadas abaixo:
Solução
(a)
(i) Diagonal
d = a√3 → d = 2,5√3 → d =
25√3
10
:
5
5
→ 𝐝 =
𝟓√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(ii) Área total
ST = 6a2
→ ST = 6. (2,5)2
→ ST = 6.6,25 → 𝐒𝐓 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝐜𝐦²
(iii) Volume
Vcubo = a3
→ Vcubo = (2,5)3
→ 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓𝐜𝐦³
(b)
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4
Como a base do sólido é um quadrado, a
diagonal da base (d) vale:
𝐝 = 𝟐√𝟐
(i) Diagonal (D)
No triângulo retângulo destacado em amarelo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
D2
= d2
+ (2,5)2
→ D2
= (2√2)
2
+ 6,25 → D2
= 8 + 6,25 → D2
= 14,25 → D = √14,25 →
D = √
1425
100
:
25
25
→ D =
√57
√4
→ 𝐃 =
√𝟓𝟕
𝟐
𝐜𝐦
(ii) Área total
Áreas das bases:
Sb = 2.22
→ 𝐒𝐛 = 𝟖 𝐜𝐦²
Área lateral:
SL = 4. (2.2,5) → SL = 4.5 → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟎𝐜𝐦²
Área total:
ST = Sb + SL → ST = 8 + 20 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟖 𝐜𝐦²
(iv) Volume
V = 𝑆𝑏. h → V = 4.2,5 → 𝐕 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦³
(c)
No triângulo retângulo da base,
temos:
d2
= (1,5)2
+ 33
→
d2
= 2,25 + 9
d2
= 11,25
(i) Diagonal (D)
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5
No triângulo retângulo amarelo, temos:
D2
= d2
+ 22
→ D2
= 11,25 + 4 → D2
= 15,25 → D = √15,25 → D = √
1525
100
:
25
25
→ D = √
61
4
→
𝐃 =
√𝟔𝟏
𝟐
𝐜𝐦
(ii) Área total
Áreas das bases:
Sb = 2(3.1,5) → Sb = 2.4,5 → 𝐒𝐛 = 𝟗 𝐜𝐦²
Área lateral:
SL = 2(1,5.2) + 2(3.2) → SL = 2.3 + 2.6 → SL = 6 + 12 → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟖 𝐜𝐦²
Área total:
ST = Sb + SL → ST = 9 + 18 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟕 𝐜𝐦²
(iii) Volume
V = Sb. h → V = 3.1,5.2 → 𝐕 = 𝟗 𝐜𝐦²
(229) Represente através de expressões algébricas a medida da diagonal e a área total dos
paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo:
(i) Diagonal
d = a√3 → 𝐝 = 𝐱√𝟑
(ii) Área total
ST = 6a² → 𝐒𝐓 = 𝟔𝐱²
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6
(i) Diagonal
d = √a2 + b2 + c2 → d = √a2 + (3a)2 + (2a)2 →
d = √a2 + 9a2 + 4a2 → d = √14a² →→ 𝐝 = 𝐚√𝟏𝟒
(ii) Área total
ST = 2(ab + bc + ac) → ST = 2[(3a. a) + (3a. 2a) + (a. 2a)] →
ST = 2. [3a2
+ 6a2
+ 2a2
] → ST = 2.11a² → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟐𝐚²
(i) Diagonal
d = √a2 + b2 + c2 → d = √x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 →
d = √x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 → 𝐝 = √𝟑𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟓
(ii) Área total
ST = 2(ab + bc + ac) →
ST = 2[(x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) →
ST = 2[x2
+ x + x2
+ 2x + x + 2 + x2
+ 2x] →
ST = 2[3x2
+ 6x + 2] → 𝐒𝐓 = 𝟔𝐱𝟐
+ 𝟏𝟐𝐱 + 𝟒
(230) Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 m² de área total.
Solução
Área total do cubo
ST = 6a2
→ 36 = 6a2
→ a2
=
36
6
→ a2
= 6 → 𝐚 = √𝟔 𝐦
(231) Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões y, (y + 1) e (y - 1).
Solução
A diagonal do paralelepípedo é dada por:
d = √a2 + b2 + c2 → d = √y2 + (y + 1)2 + (y − 1)2 → d = √y2 + y2 + 2y + 1 + y2 − 2y + 1 →
𝐝 = √𝟑𝐲𝟐 + +𝟐
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(232) Calcule a medida da diagonal de um cubo, sabendo que a sua área total mede 37,5 cm².
Solução
(i) A área total do cubo é dada por:
ST = 6a2
→ 6a2
= 37,5 → a2
=
37,5
6
→ 𝑎2
= 6,25 → 𝑎 = √6,25 → 𝑎 = 2,5 𝑐𝑚
(ii) A diagonal do cubo é dada por:
d = a√3 → d = 2,5√3 → d =
25√3
10
:
5
5
→ 𝐝 =
𝟓√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(233) Calcule a medida da terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4
cm e 7 cm e que sua diagonal mede 𝟑√𝟏𝟎 cm.
Solução
(i) A diagonal do paralelepípedo é dada por:
d = √a2 + b2 + c2 → (3√10)
2
= (√42 + 72 + c2)
2
→ 9.10 = 16 + 49 + c2
→ 90 = 65 + c2
→
c2
= 90 − 65 → c2
= 25 → c = √25 → 𝐜 = 𝟓 𝐜𝐦
(234) Calcule a medida da aresta de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 cm a diagonal
da face.
Solução
Dcubo = dbase + 2 → a√3 = a√2 + 2 → a√3 − a√2 = 2 → a(√3 − √2) = 2 →
a =
2
(√3 − √2)
.
(√3 + √2)
(√3 + √2)
→ a =
2(√3 + √2)
(√3)² − (√2)²
→ a =
2(√3 + √2)
3 − 2
→ 𝐚 = 𝟐(√𝟑 + √𝟐)
(235) Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5 cm. Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo
para que sua diagonal passe a medir 5,5 cm?
Solução
d = a√3 → 2,5 = a√3 → 𝑎 =
2,5
√3
.
√3
√3
→ 𝑎 =
2,5√3
3
→ 𝑎 =
25√3
10
3
→ 𝑎 =
25√3
10
.
1
3
→ 𝑎 =
25√3
30
:
5
5
→
𝐚 =
𝟓√𝟑
𝟔
Vamos supor que a aresta do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo:
d = a√3 → 5,5 = (
5√3
6
+ 𝑥) √3 →
55
10
= (
5√3 + 6𝑥
6
) √3 →
55
10
=
15 + 6𝑥√3
6
→
10(15 + 6x√3) = 330: (10) → 15 + 6x√3 = 33 → 6x√3 = 33 − 15 → 6x√3 = 18 ∶ (6) → x√3 = 3 →
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x =
3
√3
.
√3
√3
→ x =
3√3
3
→ 𝐱 = √𝟑
Resposta: A aresta deve ser aumentada em √𝟑 𝐜𝐦.
(236) A aresta de um cubo mede 2 cm. Em quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que
a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm?
Solução
d = a√3 → 𝐝 = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦
Vamos supor que a diagonal do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo:
d + x = a√3 → 2√3 + x = 3√3 → x = 3√3 − 2√3 → 𝐱 = √𝟑 𝐜𝐦
Resposta: A diagonal deve ser aumentada em √𝟑 𝐜𝐦.
(237) Em quanto diminui a aresta de um cubo quando a diagonal diminui em 3√𝟑 cm?
Solução
d = a√3 → a√3 − 3√3 = (a − x)√3 → √3(a − 3) = (a − x)√3 → a − 3 = a − x → −x = −3(−1) →
𝐱 = 𝟑 𝐜𝐦
(238) A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 164,64 cm². Calcule a diferença entre as suas
diagonais, sabendo que a aresta do menor mede 3,5 cm.
Solução
S1 − S2 = 164,64 → 6a1
2
− 6a2
2
= 164,64 → 6(a1
2
− 3,5²) = 164,64 → a1
2
− 12,25 =
164,64
6
→
a1
2
− 12,25 = 27,44 → a1
2
= 27,44 + 12,25 → a1
2
= 39,69 → a1 = √39,69 → 𝐚𝟏 = 𝟔, 𝟑
(i) Diagonal do cubo 1
D1 = a1√3 → 𝐃𝟏 = 𝟔, 𝟑√𝟑 𝐜𝐦
(ii) Diagonal do cubo 2
D2 = a2√3 → 𝐃𝟐 = 𝟑, 𝟓√𝟑 𝐜𝐦
(iii) Diferença entre as diagonais
D1 − D2 = 𝟔, 𝟑√𝟑 − 𝟑, 𝟓√𝟑 →
𝐃𝟏 − 𝐃𝟐 = 𝟐, 𝟖 √𝟑 𝐜𝐦
(239) Calcule a aresta de um cubo, sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas com todas
as diagonais e com as diagonais das seis faces vale 32 cm.
Solução
Sendo a aresta “a”, devemos ter o seguinte:
12 arestas = 12a
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12 diagonais das faces = 12a√2
4 diagonais do cubo = 4a√3
Somando todos os valores relacionados acima, temos:
12a + 12a√2 + 4𝑎√3 = 32 → 4𝑎(3 + 3√2 + √3) = 32 ÷ 4 → 𝑎(3 + 3√2 + √3) = 8 →
𝒂 =
𝟖
𝟑 + 𝟑√𝟐 + √𝟑
(240) Determine a área total de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 𝟐𝟓√𝟐 cm, sendo a
soma de suas dimensões igual a 60 cm.
Solução
(i) Vamos considerar “a”, “b” e “c” como as dimensões do
paralelepípedo e a diagonal que é igual a d = 25√2 cm. Logo:
d2
= a2
+ b2
+ c2
→ (25√2)
2
= a2
+ b2
+ c2
→
𝐚𝟐
+ 𝐛𝟐
+ 𝐜𝟐
= 𝟏𝟐𝟓𝟎 → 𝒅𝟐
= 𝟏𝟐𝟓𝟎
(ii) Pelo enunciado da questão, temos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 60 → (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= (60)² →
d2
+ S = 602
→ 1250 + S = 3600 → S = 3600 − 1250 →
𝐒 = 𝟐𝟑𝟓𝟎 𝐜𝐦²
Resposta: A área total do paralelepípedo é 2350 cm².
(241) Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62 cm² sua área total e 10 cm a soma de suas
dimensões.
Solução
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(i) A área total do paralelepípedo é dada por:
S = 2(ab + ac + bc) → 2(ab + ac + bc) = 62 ÷ 2 → 𝐚𝐛 + 𝐚𝐜 + 𝐛𝐜 = 𝟑𝟏 (i)
(ii) De acordo com o enunciado da questão, temos:
a + b + c = 10 → (a + b + c)2
= (10)2
→ a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + ac + bc) = 100 →
d2
+ S = 100 → d2
+ 62 = 100 → d2
= 100 − 62 → d2
= 38 → 𝐝 = √𝟑𝟖 𝐜𝐦
(242) Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à
soma dos quadrados das doze arestas.
Solução
Pelo enunciado da questão, devemos provar que:
4d2
= 4a2
+ 4b2
+ 4c2
→
4𝑑2
= 4(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2) ÷ 4 →
𝐝𝟐
= 𝐚𝟐
+ 𝐛𝟐
+ 𝐜² (c.q.d.)
(243) Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual
à soma das três do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais.
Solução
Sejam a1, b1 e c1 as dimensões de um paralelepípedo e a2, b2 e c2 as dimensões do outro. Temos:
Diagonais iguais:
a1
2
, b1
2
e c1
2
= a2
2
, b2
2
e c2
2
(𝑖)
Temos, também:
a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 (𝑖𝑖)
(a1 + b1 + c1)2
= a1
2
+ b1
2
+ c1
2
+ 2(𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐1)
(a2 + b2 + c2)2
= a2
2
+ b2
2
+ c2
2
+ 2(𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑐2)
De (i) e (ii), temos:
𝟐(𝐚𝟏𝐛𝟏 + 𝐚𝟏𝐜𝟏 + 𝐛𝟏𝐜𝟏) = 𝟐(𝐚𝟐𝐛𝟐 + 𝐚𝟐𝐜𝟐 + 𝐛𝟐𝐜𝟐) (c.q.d.).
(244) Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos
números 1, 2, 3 e que a área total do paralelepípedo é 352 cm².
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
a
1
=
b
2
=
c
3
= k → (a = k; b = 2k; c = 3k)(i)
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De acordo com o enunciado:
S = 352 cm2
→ 2(ab + ac + bc) = 352 ÷ 2 → ab + ac + bc = 176 (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
k. 2k + k. 3k + 2k. 3k = 176 → 2k2
+ 3k2
+ 6k2
= 176 → 11k2
= 176 ÷ 11 → k2
= 16 → k = 4
a = k → a = 𝟒 𝐜𝐦
b = 2k → b = 2.4 → b = 𝟖 𝐜𝐦
c = 3k → c = 3.4 → c = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4 cm, 8 cm e 12 cm.
(245) Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos
números 5, 8, 10 e que a diagonal mede 63 cm.
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
a
5
=
b
8
=
c
10
= k → (a = 5k; b = 8k; c = 10k)(i)
De acordo com o enunciado:
d2
= a2
+ b2
+ c2
→ a2
+ b2
+ c2
= (63)2
→ a2
+ b2
+ c2
= 3969 (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
(5k)2
+ (8k)2
+ (10k)2
= 3969 → 25k2
+ 64k2
+ 100k2
= 3969 → 189k2
= 3969 ÷ 189 → k2
= 21
𝐤 = √𝟐𝟏𝐜𝐦
a = 5k → 𝐚 = 𝟓√𝟐𝟏 𝐜𝐦
b = 8k → 𝐛 = 𝟖√𝟐𝟏 𝐜𝐦
c = 10k → 𝐜 = 𝟏𝟎√𝟐𝟏 𝐜𝐦
(246) As dimensões de um paralelepípedo são inversamente proporcionais aos números 6, 4 e 3.
Determine-as, sabendo que a área total desse paralelepípedo é 208 m².
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
6a = 4b = 3c = k →
6a = k → a =
k
6
4b = k → b =
k
4
3c = k → c =
k
3
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De acordo com o enunciado:
S = 208 → 2(ab + ac + bc) = 208 ÷ 2 →
ab + ac + bc = 104
Substituindo os valores de “a”, “b” e “c”, nesta equação, temos:
k
6
.
k
4
+
k
6
.
k
3
+
k
4
.
k
3
= 104 →
k2
24
+
k2
18
+
k2
12
= 104 → mmc = 72 →
3k2
+ 4k2
+ 6k2
72
=
7488
72
→
3k2
+ 4k2
+ 6k2
= 7488 → 13k2
= 7488 ÷ 13 → k2
= 576 → k = √576 → 𝐤 = 𝟐𝟒 𝐦
a =
k
6
→ a =
24
6
→ 𝐚 = 𝟒 𝐦
b =
k
4
→ b =
24
4
→ 𝐛 = 𝟔 𝐦
c =
k
3
→ c =
24
3
→ 𝐜 = 𝟖 𝐦
Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4m, 6m e 8 m.
(247) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a “a”, “b” e “c”. Dada a
diagonal d, calcule essas dimensões.
Solução
Devemos ter o seguinte:
x
a
=
𝑦
𝑏
=
𝑧
𝑐
= 𝑘 → (𝑥 = 𝑎𝑘; 𝑦 = 𝑏𝑘; 𝑧 = 𝑐𝑘)
De acordo com o enunciado:
d2
= x2
+ y2
+ z2
→ d2
= (ak)2
+ (bk)2
+ (ck)2
→ d2
= a2
k2
+ b2
k2
+ c2
k2
→ d2
= k2(a2
+ b2
+ c2)
k2
=
d²
(a2 + b2 + c2)
→ k =
√d²
√a2 + b2 + c2
→ 𝐤 =
𝐝
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐
𝑥 = 𝑎𝑘 → x = a.
d
√a2 + b2 + c2
→ 𝐱 =
𝐚𝐝
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐
𝑦 = 𝑏𝑘 → y = b.
d
√a2 + b2 + c2
→ 𝐲 =
𝐛𝐝
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐
𝑧 = 𝑐𝑘 → z = c.
d
√a2 + b2 + c2
→ 𝐳 =
𝐜𝐝
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐
(248) Com uma corda disposta em cruz, deseja-se amarrar um pacote em forma de ortoedro, cujas
dimensões são 1,40 m, 0,60 m e 0,20 m. Se para fazer os nós gastam-se 20 cm, responda: Quantos metros
de corda serão necessários para amarrar o pacote?
Solução
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13
(249) As dimensões de um ortoedro são inversamente proporcionais a r, s e t. Calcule essas dimensões,
dada a diagonal d.
Solução
(250) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais a “r”, “s”, “t”.
Calcule essas dimensões, sabendo que a área é S.
Solução
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14
(251) As áreas de três faces adjacentes de um ortoedro estão entre si como p, q e r. A área total é 2,2.
Determine as três dimensões.
Solução
(252) Se a aresta de um cubo mede 100 cm, encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.
Solução
Devemos ter o seguinte:
Note que o triângulo ABC é retângulo em B.
D = Diagonal do cubo
d = diagonal de uma face
Sabemos que:
d = a√2 → 𝐝 = 𝟏𝟎𝟎√𝟐
D = a√3 → 𝐃 = 𝟏𝟎𝟎√𝟑
Assinalando os valores conhecidos, no triângulo retângulo ABC, temos:
Usando a relação métrica: a.h = bc, temos:
𝑥. √3 = 100. √2 𝑥 =
100√2
√3
.
√3
√3
→
𝒙 =
𝟏𝟎𝟎√𝟔
𝟑
𝐜𝐦
253. Calcule a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo.
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Solução
(i) ST = 6a2
→ ST = 6(2)2
→ ST = 6.4 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟒 𝐜𝐦𝟐
(ii) V = a3
→ V = 23
→ 𝐕 = 𝟖 𝐜𝐦³
(i) ST = 2(ab + ac + bc)
ST = 2(3,5 x 1,5 + 3,5 x 2 + 1,5 x 2)
ST = 2(5,25 + 7 + 3)
𝐒𝐓 = 𝟑𝟎, 𝟓𝟎 𝐜𝐦²
(ii) V = a.b.c
V = 3,5 x 1,5 x 2
𝐕 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝐜𝐦³
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(i) ST = 6a2
→ ST = 6(1,5)2
→ ST = 6.2,25 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟑, 𝟓𝟎 𝐜𝐦²
(ii) V = a³ → V = (1,5)3
→ 𝐕 = 𝟑, 𝟑𝟕𝟓 𝐜𝐦³
(254) Represente através de expressões algébricas a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas
medidas estão indicadas abaixo.
Solução
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17
(i) ST = 2(ab + ac + bc) → ST = 2 (a. a + a.
a
2
+ 𝑎.
𝑎
2
) →
ST = 2 (a2
+
a2
2
+
𝑎2
2
) → ST = 2 (
2a2
+ a2
+ a2
2
)
→ ST = 2 (
4a2
2
) → 𝐒𝐓 = 𝟒𝐚²
(ii) V = a. b. c → V = a. a.
a
2
→ 𝐕 =
𝐚𝟑
𝟐
(i) ST = 6a2
→ 𝐒𝐓 = 𝟔. 𝐛²
(ii) V = a3
→ 𝐕 = 𝐛³
(i) ST = 2(ab + ac + bc) →
ST = 2[(2x(2x + 1) + 2x. x + (2x + 1). x] →
ST = 2(4x2
+ 2x + 2x2
+ 2x2
+ x) →
ST = 2(8x2
+ 3x) →
𝐒𝐓 = 𝟏𝟔𝐱𝟐
+ 𝟔𝐱
V = a. b. c → V = 2x. (2x + 1). x → V = 2x2(2x + 1) → 𝐕 = 𝟒𝐱𝟑
+ 𝟐𝐱²
(255) Calcule a medida da aresta de um cubo de 27 m³ de volume.
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18
Solução
V = a3
→ 27 = a3
→ a = √27
3
→ 𝐚 = 𝟑 𝐦
(256) Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas
dimensões são 5 cm, 7 cm e 9 cm.
Solução
a = 5 cm; b = 7 cm e c = 9 cm
(i) Diagonal:
D = √a2 + b2 + c² → D = √52 + 72 + 9² → D = √25 + 49 + 81 → D = √𝟏𝟓𝟓 𝐜𝐦
(ii) Área total:
ST = 2(ab + ac + bc) → ST = 2(5.7 + 5.9 + 7.9) → ST = 2(35 + 45 + 63) → ST = 2.143 →
𝐒𝐓 = 𝟐𝟖𝟔 𝐜𝐦²
(iii) Volume:
V = a. b. c → V = 5.7.9 → 𝐕 = 𝟑𝟏𝟓 𝐜𝐦³
(257) Determine as medidas da aresta e da diagonal de um cubo cujo volume é 1728 cm³.
Solução
(i) Aresta:
V = 1728 → a3
= 1728 → a = √1728
3
→ a = √23. 23. 3³
3
→ a = 2.2.3 → 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
(ii) Diagonal:
D = a√3 → 𝐃 = 𝟏𝟐√𝟑 𝐜𝐦
(258) Calcule o volume de um cubo cuja área total mede 600 cm².
Solução
ST = 6a2
→ 6a2
= 600 ÷ 6 → a2
= 100 → a = √100 → 𝐚 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦
Volume:
V = a3
→ V = (10)3
→ 𝐕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐦³
(259) Determine o volume de um cubo de área total 96 cm².
Solução
ST = 6a2
→ 6a2
= 96 ÷ 6 → a2
= 16 → a = √16 → 𝐚 = 𝟒 𝐜𝐦
V = a3
→ V = 43
→ 𝐕 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³
(260) Quer-se confeccionar um cubo por meio de uma folha de zinco de 8,64 m². Qual será o
comprimento da aresta do cubo? Qual será o volume do cubo?
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19
Solução
(i) Aresta do cubo:
ST = 6a2
→ 6a2
= 8,64 ÷ 6 → a2
= 1,44 → a = √1,44 → 𝐚 = 𝟏, 𝟐 𝐦
(ii) Volume do cubo:
V = a3
→ V = (1,2)3
→ 𝐕 = 𝟏, 𝟕𝟐𝟖 𝐦³
(261) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, cuja soma das medidas das
arestas vale 30 cm.
Solução
(i) Um cubo possui 12 arestas, logo:
12a = 30 → a =
30
12
→ a = 𝟐, 𝟓 𝐜𝐦
(ii) Diagonal do cubo:
D = a√3 → 𝐃 = 𝟐, 𝟓√𝟑 𝐜𝐦
(iii) Área total do cubo:
S = 6a2
→ S = 6. (2,5)2
→ S = 6,6,25 → 𝐒 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝐜𝐦²
(iv) Volume do cubo:
V = a3
→ V = (2,5)3
→ 𝐕 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓 𝐜𝐦³
(262) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma
face mede 5√𝟐 cm.
Solução
(i) No triângulo retângulo ABC, destacado na figura ao lado,
temos:
d2
= a2
+ a2
→ (5√2)
2
= 2a2
→ 50 = 2a2
→ a2
=
50
2
→
a2
= 25 → a = √25 → 𝐚 = 𝟓 𝐜𝐦
(ii) Diagonal:
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D = a√3 → 𝐃 = 𝟓√𝟑 𝐜𝐦
(iii) Área total:
S = 6a2
→ S = 6.52
→ S = 6.25 → 𝐒 = 𝟏𝟓𝟎 𝐜𝐦²
(iv) Volume:
V = a3
→ V = 53
→ 𝐕 = 𝟏𝟐𝟓 𝐜𝐦³
(263) Expresse a área total e o volume de um cubo:
(a) em função da medida da diagonal da face (f );
(b) em função da medida da sua diagonal (d).
Solução
Vamos supor que “f” seja a medida da diagonal de uma face. No
triângulo retângulo ABC, destacado ao lado, temos:
f2
= a2
+ a2
→ f2
= 2a2
→ a2
=
f2
2
→ a = √
f2
2
→ 𝐚 =
𝐟
√𝟐
(a)
(i) Área total em função da medida da diagonal de face:
S = 6a2
→ S = 6. (
f
√2
)
2
→ S = 6 (
f2
2
) → 𝐒 = 𝟑𝐟²
(ii) Volume em função da medida da diagonal de face:
V = a3
→ V = (
f
√2
)
3
→ V =
f³
(√2)². √2
→ V =
f3
2√2
.
√2
√2
→ 𝐕 =
𝐟³√𝟐
𝟒
(b)
(i) Área total em função da medida da diagonal (d):
d = a√3 → a =
d
√3
.
√3
√3
→ 𝐚 =
𝐝√𝟑
𝟑
S = 6a2
→ S = 6 (
d√3
3
)
2
→ S = 6 (
3d2
9
) → S = 6 (
d2
3
) → 𝐒 = 𝟐𝐝²
(ii) Volume em função da medida da diagonal d:
V = a3
→ V = (
d√3
3
)
3
→ V =
d3
. (√3)². √3
27
→ V =
3d³√3
27
→ 𝐕 =
𝐝³√𝟑
𝟗
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264. Calcule as medidas da aresta e da diagonal de um cubo, sabendo que seu volume é oito vezes o
volume de um outro cubo que tem 2 cm de aresta.
Solução
(i) Vamos supor que 𝑉1 𝑒 𝑉2 sejam os volumes dos dois cubos e 𝑎1 𝑒 𝑎2 , suas arestas Logo:
𝐕𝟏 = 𝟖. 𝐕𝟐 (i)
V2 = a2³ → V2 = 2³ → 𝐕𝟐 = 𝟖 𝐜𝐦³ (ii)
(ii) Substituindo (ii) em (i), temos:
V1 = 8. V2 → V1 = 8.8 → 𝐕𝟏 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³
Aresta:
V1 = a1
3
→ 64 = a1
3
→ 𝑎1 = √64
3
→ 𝐚𝟏 = 𝟒 𝐜𝐦
Diagonal:
D = a1√3 → 𝐃 = 𝟒√𝟑 𝐜𝐦
(265) Se aumentamos a aresta de um cubo em 2√𝟓 cm , obtemos um outro cubo cuja diagonal mede 30
cm. Determine a área total e o volume do cubo primitivo.
Solução
Observação
Tudo indica que houve um erro no enunciado da questão, pois, o certo seria aumentar a aresta em:
2√𝟑 cm, logo, teríamos:
Aresta original = a
Aumento da aresta = (a + 2√𝟑)
Diagonal:
D = a√3 → 30 = (a + 2√3)√3 → 30 = a√3 + 2.3 → 30 = a√3 + 6 → a√3 = 24 → a =
24
√3
.
√3
√3
→
a =
24√3
3
→ 𝐚 = 𝟖√𝟑
(i) Área total:
S = 6a2
→ S = 6. (8√3)
2
→ S = 6.64.3 → 𝐒 = 𝟏𝟏𝟓𝟐 𝐜𝐦²
(ii) Volume:
V = a3
→ V = (8√3)
3
→ V = 512. (√3)
2
. √3 → V = 512.3. √3 → 𝐕 = 𝟏𝟓𝟑𝟔√𝟑 𝐜𝐦³
(266) Em quanto aumenta o volume de um cubo, em cm³, se a aresta de 1 metro aumenta em 1 cm?
Solução
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Aresta 1m (100cm) => v=100³ cm³
aresta (101cm)=> V= 101³ cm³
d= V - v
d= 101³ - 100³
d= 30301 cm³
d= 30301/100³ = 0,030301 m³
(267) O que ocorre com a área total e com o volume de um cubo quando:
(a) A aresta dobra
(b) A aresta é reduzida a 1/3
(c) A aresta é reduzida à metade
(d) sua aresta é multiplicada por k.
Solução
(a) A ARESTA DOBRA
Aresta original = a
(i) Área original:
𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐
𝐎 𝐝𝐨𝐛𝐫𝐨 𝐝𝐚 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟐𝐚
(ii) Área final:
𝐒′
= 𝟔(𝟐𝐚)𝟐
→ 𝐒′
= 𝟔. 𝟒, 𝐚𝟐
→ 𝐒′
= 𝟒(𝟔𝐚𝟐) → 𝐒′
= 𝟒. 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: A área do cubo origial é quadruplicada.
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³
𝐎 𝐝𝐨𝐛𝐫𝐨 𝐝𝐚 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟐𝐚
(ii) Volume final:
𝐕′
= (𝟐𝐚)𝟑
→ 𝐕′
= 𝟖𝐚𝟑
→ 𝐕′
= 𝟖. 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por 8.
(b) A ARESTA É REDUZIDA A 1/3
Aresta original = a
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(i) Área original:
𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐
𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 𝐚
𝟏
𝟑
=
𝐚
𝟑
(ii) Área final:
𝐒′
= 𝟔. (
𝐚
𝟑
)
𝟐
→
𝐒′
= 𝟔. (
𝐚𝟐
𝟗
) →
𝐒′
=
𝟏
𝟗
. 𝟔𝐚𝟐
→
𝐒′
=
𝟏
𝟗
. 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/9 .
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³
𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 𝐚
𝟏
𝟑
=
𝐚
𝟑
(ii) Volume final:
𝐕′
= (
𝐚
𝟑
)
𝟑
→
𝐕′
=
𝐚𝟑
𝟐𝟕
→
𝐕′
=
𝟏
𝟐𝟕
. 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: O volume original é reduzido a 1/27.
(c) A ARESTA É REDUZIDA À METADE
Aresta original = a
(i) Área original:
𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐
𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 à 𝐦𝐞𝐭𝐚𝐝𝐞 =
𝐚
𝟐
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24
(ii) Área final:
𝐒′
= 𝟔. (
𝐚
𝟐
)
𝟐
→
𝐒′
= 𝟔. (
𝐚𝟐
𝟒
) →
𝐒′
=
𝟏
𝟒
. 𝟔𝐚𝟐
→
𝐒′
=
𝟏
𝟒
. 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/4 .
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³
𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 à 𝐦𝐞𝐭𝐚𝐝𝐞 =
𝐚
𝟐
(ii) Volume final:
𝐕′
= (
𝐚
𝟖
)
𝟑
→
𝐕′
=
𝐚𝟑
𝟖
→
𝐕′
=
𝟏
𝟖
. 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: O volume original é reduzido a 1/8.
(d) SUA ARESTA É MULTIPLICADA POR k.
Aresta original = a
(i) Área original:
𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐
Aresta multiplicada por k: ak
(ii) Área final:
𝐒′
= 𝟔(𝐚𝐤)𝟐
→ 𝐒′
= 𝟔. 𝐚𝟐
. 𝐤² → 𝐒′
= 𝐤². 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: A área do cubo origial é multiplicada por k²
(iii) Cálculo do volume:
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Aresta original = a
(i) Volume original:
𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³
Aresta multiplicada por k: ak
(ii) Volume final:
𝐕′
= (𝐚𝐤)𝟑
→ 𝐕′
= 𝐚𝟑
. 𝐤𝟑
→ 𝐕′
= 𝐤𝟑
. 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥
Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por k³.
(268) Enche-se um recipiente cúbico de metal com água. Dado que um galão do líquido tem um volume
de 21600 cm³ e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode
conter.
Solução
N° de galões =
Vrecipiente
Vgalão
→
N° de galões =
(120 cm)3
21600 cm3
→ N° de galões =
1728000
21600
𝐍° 𝐝𝐞 𝐠𝐚𝐥õ𝐞𝐬 = 𝟖𝟎 𝐠𝐚𝐥õ𝐞𝐬
(269) Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é
de 5 cm.
Solução
Sejam A e B os centros das duas faces
contíguas e C ponto médio da aresta comum
às faces consideradas.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo ABC destacado ao lado, vem:
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26
(270) O segmento de reta que liga um dos vértices de um cubo ao centro de uma das faces opostas mede
60 cm. Calcule o volume desse cubo.
Solução
(i) No triângulo retângulo amarelo, destacado ao lado, devemos
ter o seguinte:
x2
+ (
a
2
)
2
= (60)2
→ 𝑥2
+
𝑎2
4
= 3600 → 𝐱𝟐
= 𝟑𝟔𝟎𝟎 −
𝐚𝟐
𝟒
(ii) Observe o triângulo retângulo azul, destacado na figura ao
lado:
x2
= a2
+ (
a
2
)
2
→ 3600 −
𝑎2
4
= 𝑎2
+
𝑎2
4
→
3600 −
𝑎2
4
=
4𝑎2
+ 𝑎2
4
→ 3600 =
5𝑎2
4
+
𝑎2
4
→ 3600 =
6𝑎2
4
→
600 =
𝑎2
4
→ 2400 = 𝑎2
→ 𝑎 = √2400 → 𝑎 = √22. 6.10² →
𝐚 = 𝟐𝟎√𝟔 𝐜𝐦
(iii) Cálculo do volume:
V = a3
→ V = (20√6)
3
→ V = (20√6)
2
. (20√6) → 2400.20. √6 → 𝐕 = 𝟒𝟖. 𝟎𝟎𝟎√𝟔 𝐜𝐦³
(271) Calcule o volume de um cubo, sabendo que, quando se aumenta sua aresta em 1 metro, a área
lateral do cubo cresce 164 m².
Solução
(i) Cubo original:
Aresta = a
Área lateral = 4a²
(ii) Cubo final:
Aresta = a + 1
SL = 4a2
→ 4a2
+ 164 = 4(a + 1)2
→ 4a2
+ 164 = 4(a2
+ 2a + 1) → 4a2
+ 164 = 4a2
+ 8a + 4 →
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27
164 = 8a + 4 → 8a = 164 − 4 → 8a = 160 → a =
160
8
→ 𝐚 = 𝟐𝟎 𝐦
Cálculo do volume:
V = a3
→ V = (20)3
→ 𝐕 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝐦³
272. A medida da superfície total de um cubo é 726 cm². Quanto devemos aumentar sua diagonal para
que o volume aumente 1.413 cm³?
Solução
(i) Área total do cubo:
S = 6a2
→ 6a2
= 726 → a2
=
726
6
→ a2
= 121 → a = √121 → 𝐚 = 𝟏𝟏 𝐜𝐦
Volume do cubo:
V = a3
→ V = (11)3
→ 𝐕 = 𝟏𝟑𝟑𝟏 𝐜𝐦³
O volume deve aumentar 1413 cm³. Logo:
V’ = 1331+1413
V′
= 2744
Valor da nova aresta:
a′3
= 2744 → a′ = √2744
3
→ 𝑎′ = √23. 73
3
→ 𝐚′ = 𝟏𝟒 𝐜𝐦
Note que a aresta do cubo original sofreu um aumento de: 14 cm – 11 cm = 3 cm. Logo.
Diagonalfinal − Diagonaloriginal → 𝑎′
. √3 − 𝑎. √3 → 14√3 − 11√3 → 3√3 cm
(273) Calcule a aresta e a área total de um cubo de volume igual ao do ortoedro cujas dimensões são 8
cm, 27 cm e 125 cm.
Solução
Um ortoedro é um tipo de paralelepípedo ortogonal com faces que formam entre si ângulos retos. Os ortoedro
são prismas retangulares retos, e também são chamados paralelepípedos retangulares.
De acordo com o enunciado:
Vcubo = Vorotoedro →
a3
= a. b. c
(i) Aresta do cubo
a3
= 8.27.125 → a3
= 27000 → a = √27000
3
→ 𝐚 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦
(ii) Área total do cubo:
S = 6a2
→ S = 6(30)2
→ S = 6.900 → 𝐒 = 𝟓𝟒𝟎𝟎 𝐜𝐦²
(274) Calcule o comprimento da aresta e a área total de um cubo equivalente a um paralelepípedo
retângulo, cujas dimensões são 8 cm, 64 cm e 216 cm.
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28
Solução
Vcubo = Vorotoedro
(i) Aresta do cubo:
a3
= a. b. c → 𝑎3
= 8.64.216 → 𝑎3
= 110.592 → 𝑎 = √110592
3
→ 𝐚 = 𝟒𝟖 𝐜𝐦
(ii) Área total do cubo:
S = 6a2
→ S = 6(48)2
→ S = 6.2304 → 𝐒 = 𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒 𝐜𝐦²
(275) O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270 dm³. Uma de suas arestas mede 5 dm e a razão
entre as outras duas é
𝟐
𝟑
. Determine a área total desse paralelepípedo.
Solução
Vamos supor que:
c = 5 dm
Vparalelepípedo = a. b. c
(𝐢) 𝐕𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐞𝐩í𝐩𝐞𝐝𝐨 = 𝟐𝟕𝟎 𝐝𝐦𝟑
→ a. b. 5 = 270 → a. b =
270
5
→ 𝐚. 𝐛 = 𝟓𝟒 (𝐢)
(ii) razão entre duas dimensões:
a
b
=
2
3
→ 3a = 2b → 𝐚 =
𝟐𝐛
𝟑
(𝐢𝐢)
(ii) Substituindo (ii) em (i), temos:
a. b = 54 →
2b
3
. b = 54 →
b2
3
= 27 → b2
= 81 → b = √81 → 𝐛 = 𝟗 𝐝𝐦
Como:
a =
2b
3
→ a =
2.9
3
→ 𝐚 = 𝟔 𝐝𝐦
(iii) Área total:
S = 2(ab + bc + ac) → S = 2(6.9 + 9.5 + 6.5) → S = 2(54 + 45 + 30) → S = 2(129) →
𝐒 = 𝟐𝟓𝟖 𝐝𝐦²
(276) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule
essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63 cm.
Solução
(i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então:
a
3
=
b
6
=
c
9
= k → a = 3k; b = 6k e c = 9k
(ii) Diagonal = 63
𝐷2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
→ 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= (63)2
→ (3𝑘)2
+ (6𝑘)2
+ (9𝑘)2
= 3969 →
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29
9k2
+ 36k2
+ 81k2
= 3969 → 126k2
= 3969 → k2
=
3969
126
→ k2
= 31,5 → k = √31,5 →
k = √
315
10
→ k =
√315
√10
→ k =
√32. 35
√10
→ k =
3√35
√10
.
√10
√10
→ k =
3√350
10
→ k =
3√52. 14
10
→
k =
15√14
10
÷
5
5
→ 𝐤 =
𝟑√𝟏𝟒
𝟐
a = 3. k → a = 3.
3√14
2
→ 𝐚 =
𝟗 √𝟏𝟒
𝟐
𝐜𝐦
b = 6k → b = 6.
3√14
2
→ 𝐛 = 𝟗√𝟏𝟒 𝐜𝐦
c = 9k → c = 9.
3√14
2
→ 𝐜 =
𝟐𝟕√𝟏𝟒
𝟐
𝐜𝐦
Área total:
S = 2(ab + bc + ac) → S = 2 (
9 √14
2
. 9√14 + 9√14.
27√14
2
+
9 √14
2
.
27√14
2
) →
S = 2 (
81.14
2
+
243.14
2
+
243.14
4
) → S = 2 (81.7 + 243.7 +
243.7
2
) →
S = 2 (567 + 1701 +
1701
2
) → S = 2 (
1134 + 3402 + 1701
2
) → 𝐒 = 𝟔𝟐𝟑𝟕 𝐜𝐦²
Volume:
V = a. b. c → V =
9 √14
2
. 9√14.
27√14
2
→ V =
2187.14. √14
4
→ 𝐕 =
𝟏𝟓𝟑𝟎𝟗√𝟏𝟒
𝟐
𝐜𝐦³
Observação: Na resposta do livro aparece: 𝟓𝟔𝟕√𝟏𝟒 𝐜𝐦³
(277) As dimensões a, b e c de um ortoedro são proporcionais a 6, 3 e 2. Sabendo que a área total é 288
cm², calcule as dimensões, a diagonal e o volume do paralelepípedo.
Solução
(i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então:
a
6
=
b
3
=
c
2
= k → a = 6k; b = 3k e c = 2k
Área total = 288
S = 2(ab + bc + ac) → 2(ab + bc + ac) = 288 ÷ 2 → ab + bc + ac = 144 →
6k. 3k + 3k. 2k + 6k. 2k = 144 → 18k2
+ 6k2
+ 12k2
= 144 → 36k2
= 144 → k2
=
144
36
→ k2
= 4
k = √4 → 𝐤 = 𝟐
a = 6k → 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
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30
b = 3k → 𝐛 = 𝟔 𝐜𝐦
c = 2k → 𝐜 = 𝟒 𝐜𝐦
Diagonal:
D = √a2 + b2 + c² → D = √122 + 62 + 4² → D = √144 + 36 + 16 → D = √196 → 𝐃 = 𝟏𝟒 𝐜𝐦
Volume:
V = a. b. c → V = 12.6.4 → 𝐕 = 𝟐𝟖𝟖 𝐜𝐦³
(278) A altura de um ortoedro mede 10 cm e as bases são quadrados de diagonal 𝟓√𝟐 cm. Calcule a
área da superfície lateral e o volume.
Solução
Diagonal do quadrado = L√𝟐
L√2 = 5√2 → 𝐋 = 𝟓 𝐜𝐦
A superfície lateral é composta por 4 retângulos de dimensões:
5 x 10. Logo:
SL = 4(5.10) → SL = 4.50 → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐦²
Volume:
V = a. b. c → V = 5.5.10 → 𝐕 = 𝟐𝟓𝟎 𝐜𝐦³
(279) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito em forma
de ortoedro (aberto em cima), sabendo que o depósito tem 2 m de largura, 1,50 m de altura e 1,20 m de
comprimento.
Solução
Área da placa:
S = 2. Area A + 2. Área B + 1. Área C
S = 2(2.1,5 + (1,20.1,5) + 2.1,20 →
S = 2(3 + 1,8) + 2,40 →
S = 2.4,8 + 2,40 →
S = 9,6 + 2,40 →
𝐒 = 𝟏𝟐 𝐦²
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31
(280) A área de um paralelepípedo reto-retângulo é 720 cm². Determine seu volume, sabendo que a soma
de suas dimensões vale 34 cm e que a diagonal de uma das faces vale 20 cm.
Solução
(281) Determine as dimensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas dimensões igual a 45
cm, a diagonal da base igual a 25 cm e a área total igual a 1 300 cm².
Solução
(282) Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo, dada a soma de suas dimensões
43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180a².
Solução
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32
(283) Calcule as dimensões de um ortoedro cuja diagonal mede 13 cm, de área total 192 cm², e sabendo
que a área da seção por um plano que contém duas arestas opostas é 60 cm².
Solução
A área da secção que ele descreve é a da figura abaixo.
Seja x a largura, y o comprimento e z a altura desse sólido.
Temos:
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33
(284) Determine o volume de um ortoedro de 90 cm² de superfície, supondo que quatro faces do ortoedro
são retângulos congruentes e que cada uma das outras é um quadrado de área igual à metade da área
do retângulo.
Solução
(i) De acordo com o enunciado:
a2
=
ab
2
→ a =
b
2
→ 𝐛 = 𝟐𝐚
(ii) Área do ortordro = 90 cm²
S = 2a2
+ 4a. b → 2a2
+ 4a. b = 90 ÷ 2 → a2
+ 2ab = 45 →
a2
+ 2a. 2a = 45 → a2
+ 4a2
= 45 → 5a2
= 45 → a2
=
45
5
→ a2
= 9 →
𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦
b = 2a → b = 2.3 → 𝐛 = 𝟔 𝐜𝐦
Volume:
V = Sb. h → V = a2
. b → V = 32
. 6 → V = 9.6 → 𝐕 = 𝟓𝟒 𝐜𝐦³
(285) Um cubo e um ortoedro têm ambos soma das arestas igual a 72 cm. A dimensão menor do ortoedro
é
𝟐
𝟑
da aresta do cubo e a dimensão maior do ortoedro é
𝟒
𝟑
da dimensão menor do ortoedro. Determine a
relação entre os volumes de ambos os sólidos.
Solução
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34
(286) Uma banheira tem a forma de um ortoedro cujas dimensões são 1,20 m de comprimento, 0,90 m
de largura e 0,50 m de altura. Quantos litros de água pode conter? Se toda a água da banheira for
colocada em um depósito em forma de cubo de 3 m de aresta, que altura alcançará a água?
Solução
(i) Capacidade em Litros:
V = a. b. c → V = 1,20 x 0,90 x 0,50 → 𝐕 = 𝟎, 𝟓𝟒 𝐦³
Para transformar de m³ para dm³ devemos multiplicar por
1000. Logo:
V = 0,54 x 1000 → V = 540 dm3
→ 𝐕 = 𝟓𝟒𝟎 𝐋𝐢𝐭𝐫𝐨𝐬
(ii) Altura da água em um cubo de aresta de 3m de aresta
Vcubo = a. a. h → 0,54 = 3.3. h → 9h = 0,54 → h =
0,54
9
→ 𝐡 = 𝟎, 𝟎𝟔 𝐦
(287) A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal
do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo
retângulo.
Solução
(288) Calcule a área total S de um paralelepípedo retângulo em função de seu volume V e do lado L, de
sua base, sabendo que a base é um quadrado.
Solução
(i) Volume
V = a. b. c → V = L. L. c → V = L2
. c → 𝐋𝟐
=
𝐕
𝐜
𝐨𝐮 𝐜 =
𝐕
𝐋²
(ii) Área da base
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35
Sb = L2
(𝑖𝑖)
Igualando (i) em (ii), temos:
V
c
= L2
→ 𝐕 = 𝐋𝟐
. 𝐜 → V = L. L. c → 𝐋 =
𝐕
𝐋𝐜
Área total
S = 2(ab + ac + bc) → S = 2(L. L + Lc + Lc) → S = 2(L2
+ 2Lc) → S = 2 (
V
c
+ 2.
V
Lc
. c) →
S = 2 (
V
c
+
2V
L
) → S = 2 (
V
V
L2
+
2V
L
) → S = 2 (V.
L2
V
+
2V
L
) → S = 2 (L2
+
2V
L
) → 𝐒 = 𝟐𝐋𝟐
+
𝟒𝐕
𝐋
289. Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o
volume 900 m³ e a área total 600 m².
Solução
(i) Vamos supor que as dimensões sejam: “a”, “b” e “c”. Logo:
a + b = 25
V = 900 → abc = 900 → 𝐚𝐛 =
𝟗𝟎𝟎
𝒄
(i)
St = 600 → 2(ab + ac + bc) = 600 ÷ 2 → ab + ac + bc = 300 → ab + c(a + b) = 300 →
900
c
+ 25𝑐 = 300 → 900 + 25𝑐2
= 300𝑐 → 25𝑐2
− 300𝑐 + 900 = 0 ÷ 25 → 𝐜𝟐
− 𝟏𝟐𝐜 + 𝟑𝟔 = 𝟎
∆= 122
− 4.1.36 → ∆= 144 − 144 → ∆= 0 c =
12 ± 0
2
→ 𝐜 = 𝟔 𝐦
Substituindo o valor de c = 6 m em (i), temos:
ab =
900
c
ab =
900
6
→ ab = 150 → 𝐛 =
𝟏𝟓𝟎
𝐚
(𝐢𝐢)
Sabemos que:
a + b = 25 → a +
150
a
= 25 → 𝑎2
+ 150 = 25𝑎 → 𝐚𝟐
− 𝟐𝟓𝐚 + 𝟏𝟓𝟎 = 𝟎
∆= 625 − 600 → ∆= 25 𝑎 =
25 ± 5
2
→ 𝐚′
= 𝟏𝟓 𝐦 𝐞 𝐚′′
= 𝟏𝟎 𝐦
Quando a = 15
b =
150
a
→ b =
150
15
→ 𝐛 = 𝟏𝟎 𝐦
Quando a = 10
b =
150
a
→ b =
150
10
→ 𝐛 = 𝟏𝟓 𝐦
Logo:
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36
As dimensões do paralelepípedo são: 10 m, 15 m e 6 m
(290) Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas dimensões têm igual
medida e que a diagonal mede 9 cm, sendo 144 cm² sua área total.
Solução
(291) A área da superfície total de um cubo é igual à de um ortoedro de área 216 cm². A altura do
ortoedro é de 3 cm e uma das dimensões da base é 1/3 da outra. Determine a relação entre os volumes
de ambos os sólidos.
Solução
(292) Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo, com 192 cm³ de volume, diagonal medindo
o triplo da diagonal de uma das faces de menor área, que é o triplo da menor dimensão do
paralelepípedo.
Solução
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37
(293) Cinco cubos podem ser dispostos um sobre o outro, formando um ortoedro. Também podemos
dispor 6 cubos iguais aos anteriores, pondo 3 sobre 3, obtendo um outro ortoedro. Determine a razão
entre os volumes e a razão entre as áreas dos ortoedros obtidos.
Solução
(i) Note que quando os cubos são empilhados resultam num ortoedro de base
quadrada com aresta “a” e altura igual a 5a.
O volume desse ortoedro é:
V1 = a. a. 5a → 𝐕𝟏 = 𝟓𝐚³
Area total:
S1 = 5SL + 2Sb → S1 = 5. (4a2) + 2. a2
→ S1 = 20a2
+ 2a² → 𝐒𝟏 = 𝟐𝟐𝐚²
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38
(ii) Note que quando os cubos são
empilhados resultam num ortoedro de
base retangular igaul a 3a.a e altura 2a.
Logo:
Volume
V2 = 3a. a. 2a → V2 = 6a³
Área total
S2 = 2. a. 3a + 2.2a. 2a + 2.2a. 2a →
S2 = 6a2
+ 8a2
+ 4a² → 𝐒𝟐 = 𝟐𝟐𝐚²
Razão entre os volumes:
V2
𝑉1
=
𝟔𝒂𝟑
𝟓𝒂³
→
V2
𝑉1
=
𝟔
𝟓
Razão entre as áreas:
S2
S1
=
22a2
22a²
→
𝐒𝟐
𝐒𝟏
= 𝟏
(294) Com seis cubos iguais, construímos um ortoedro, dispondo os cubos um sobre o outro de maneira
que suas faces estejam exatamente superpostas. Determine a relação entre as áreas do ortoedro e de um
cubo, sendo os volumes dos cubos os mesmos.
(Resposta:
𝟏𝟏
𝟑
)
(295) Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor
superfície.
(Resposta: O ortoedro de menor superfície é o cubo).
296. Sobre a base quadrada de um ortoedro, constrói-se exteriormente a ele um cubo que tem por base
o quadrado cujos vértices são os pontos médios da base do ortoedro. Determine o volume e a área da
superfície do sólido assim obtido, sabendo que a altura do ortoedro mede 2/3 do lado da base e a soma
de suas dimensões é de 16 cm.
Solução
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39
(297) Calcule as medidas x e y das arestas de dois cubos, conhecendo a soma x + y = L , (L, é dado) e a
soma dos volumes v³ (v é dado). Discuta.
Solução
(298) Demonstre que:
(a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer.
(b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da
diagonal.
Solução
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40
(299) Sabendo que as faces de um cubo são inscritíveis em círculos de 7,29𝝅 cm² de área, calcule:
(a) a medida da sua diagonal;
(b) a medida da sua área total;
(c) a medida do seu volume.
Solução
300. Demonstre que, em todo paralelepípedo, a soma dos quadrados das áreas das seções, determinadas
pelos seis planos diagonais, é igual ao dobro da soma dos quadrados das áreas das seis faces.
Solução
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41
(301)
(a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor superfície?
(b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume?
Respostas:
(746) Determine a aresta de um cubo, sabendo que seu volume é o dobro do volume de um outro cubo
de aresta A.
Solução
Seja “𝑎1” a aresta do cubo 1. De acordo com o enunciado, o volume do cubo 1 é o dobro do volume do cubo
2. Logo:
V1 = 2. V2
(a1)3
= (2. A3)
a1 = √2A3
3
𝐚𝟏 = 𝐀√𝟐
𝟑
----------------------------------------------
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS – ESFERA E CUBO
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42
(880) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta.
Solução
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43
(881) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.
Solução
Pela figura, temos que a Diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo:
Em um cubo inscrito em uma esfera, temos:
(i) DiagonalCubo = Diagonal esfera
a√3 = 2R
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44
(ii) Como o raio da esfera vale 3, temos
a√3 = 2.3 → a =
6
√3
.
√3
√3
→ 𝐚 =
𝟔√𝟑
𝟑
(iii) Volume do cubo
V = a3
→ V = (
6√3
3
)
3
→ V =
216. √32. 3
27
→ V = 8.3√3 → 𝐕 = 𝟐𝟒√𝟑 cm³
(882) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 cm de raio.
Solução
Solução
Observação: Trata-se do mesmo caso anterior, sendo que a esfera está circunscrita ao cubo. Logo:
Diagonalcubo = Diâmetroesfera
a√3 = 2r
a =
2r
√3
a =
2r
√3
.
√3
√3
a =
2r√3
3
Vcubo = a3
Vcubo = (
2.8√3
3
)
3
Vcubo = (
16√3
3
)
3
Vcubo =
4096.3√3
27
𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 =
𝟒𝟎𝟗𝟔√𝟑
𝟗
𝐜𝐦³
(883) Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25𝝅 cm² de
superfície.
Solução
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45
Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐚 𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
Sesfera = 4πr2
25π = 4πr2
4r2
= 25
r2
=
25
4
r =
5
2
a = 2r
a = 2.
5
2
a = 5 cm
Á𝐫𝐞𝐚 𝐥𝐚𝐭𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨
SL = 4a2
SL = 4.52
SL = 4.25
𝐒𝐋 = 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐦²
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨
V = a3
V = 53
𝐕 = 𝟏𝟐𝟓 𝐜𝐦³
(884) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm².
Solução
ST = 6a2
6a2
= 54
a2
=
54
6
a2
= 9
𝐚 = 𝟑
Diagonalcubo = Diâmetroesfera
a√3 = 2r
r =
a√3
2
𝐫 =
𝟑√𝟑
𝟐
Volume da esfera
V =
4
3
πr3
V =
4
3
π (
3√3
2
)
3
V =
4
3
.
27.3√3
8
π
𝐕 =
𝟐𝟕√𝟑
𝟐
𝛑 𝐜𝐦³
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46
(885) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede 2,304𝝅 cm³.
Solução
Volume da esfera
Vesfera = 2,304π
2,304π =
4
3
πr3
4r3
= 6,912
r3
=
6,912
4
r3
= 1,728
r = √
1728
1000
3
r =
12
10
𝐫 = 𝟏, 𝟐
𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐜𝐮𝐛𝐨
= 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
a√3 = 2r
a =
2r
√3
a =
2.1,2
√3
a =
2,4
√3
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨
V = a3
V = (
2,4
√3
)
3
V =
13,824
3√3
𝐕 =
𝟒, 𝟔𝟎𝟖
√𝟑
𝐜𝐦³
(886) Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.
Solução
𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
a√3 = 2r
a =
2r
√3
.
√3
√3
a =
2r√3
3
Scubo = 6a2
→ Scubo = 6 (
2r√3
3
)
2
→ Scubo = 6 (
4r2
. 3
9
) → Scubo =
72r²
9
→ 𝐒𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟖𝐫²
Sesfera
Scubo
=
4πr2
8r2
→
𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
𝐒𝐜𝐮𝐛𝐨
=
𝛑
𝟐
(887) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a uma
mesma esfera.
Solução:
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47
cuboinscrito
cubocircunscrito
=?
De acordo com o exercício anterior (07), a aresta de um cubo inscrito em uma esfera é dada por:
a =
2r√3
3
→
V cuboinscrito = a3
→
V cuboinscrito = (
2r√3
3
)
3
→ V cuboinscrito =
8r³3√3
27
V cuboinscrito =
8r³√3
9
→ 𝐕 𝐜𝐮𝐛𝐨𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 =
𝟖𝐫𝟑
√𝟑
𝟗
Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos:
a = 2r
V cubocircunscrito = a3
→ V cubocircunscrito = (2r)3
→ 𝐕 𝐜𝐮𝐛𝐨𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 = 𝟖𝐫³
cuboinscrito
cubocircunscrito
=
𝟖𝐫𝟑
√𝟑
𝟗
𝟖𝐫𝟑
→
cuboinscrito
cubocircunscrito
=
√𝟑
𝟗
(888) Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta
a.
Solução
(i) Podemos dizer que, se a esfera está inscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está circunscrito a
uma esfera. Logo:
Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos:
𝑟 =
𝑎
2
Volume da esfera inscrita:
Vinscrita =
4
3
𝜋𝑟3
→ Vinscrita =
4
3
𝜋 (
𝑎
2
)
3
→ Vinscrita =
4
3
𝜋.
𝑎³
8
→ 𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 =
𝐚³𝛑
𝟔
(ii) Podemos dizer que, se a esfera está circunscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está inscrito a
uma esfera. Logo:
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48
Raio da esfera:
𝐑 =
𝒂 √𝟑
𝟐
(iii) Volume da esfera circunscrita:
𝐕𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 =
4
3
πr3
→ Vinscrita =
4
3
π (
a√3
2
)
3
→ Vinscrita =
4
3
π.
a3
3√3
8
→ 𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 =
𝐚³𝛑√𝟑
𝟐
(iv) Razão
Vinscrita
Vcircunscrita
=
a³π
6
a³π√3
2
→
a3
π
3
a³π√3
→
a3
π
3
.
1
a³π√3
→
1
3√3
.
√3
√3
→
𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚
𝐕𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚
=
√𝟑
𝟗
(889) Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r.
Solução
(i) Se o cubo está inscrito, então, a esfera está circunscrita ao cubo. Logo:
r =
a√3
2
→ a√3 = 2r → a =
2r
√3
.
√3
√3
→ 𝐚 =
𝟐𝐫√𝟑
𝟑
(ii) Volume do cubo:
V = a3
→ V = (
2r√3
3
)
3
→ V =
8r3
. 3. √3
27
→ 𝐕 =
𝟖𝐫³√𝟑
𝟗
(890) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida A da superfície da
esfera.
Solução
(i) A área da esfera é dada por:
A = 4πr2
→ r2
=
A
4π
→ r = √
A
4π
→ 𝐫 =
√𝐀
𝟐√𝛑
(𝒊)
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49
(ii) Note, pela figura ao lado que diagonal do cubo é igual ao diâmetro da
esfera. Logo:
a√3 = 2r → 𝐚 =
𝟐𝐫
√𝟑
(𝒊𝒊)
(iii) Substituindo (i) em (ii), temos:
𝐚 =
2r
√3
→ a =
2. (
√A
2√π
)
√3
→ 𝐚 =
√𝐀
√𝟑. √𝛑
(iv) Volume do cubo:
V = a3
→ V = (
√A
√3. √π
)
3
→ V =
(√A)
2
. √A
(√3)
2
. √3. (√π)
2
. √𝜋
→ 𝑉 =
A√A
3√3. π√π
→ 𝐕 =
𝐀√𝐀
𝟑𝛑√𝟑𝛑
(891) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida V do volume da
esfera.
Solução
(i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação:
2R = a√3 → 𝐚 =
𝟐𝐑
√𝟑
(𝑖)
(ii) Volume da esfera:
V =
4
3
πR3
→ R3
=
V
4
3
π
→ R3
=
V. 3
4π
→ 𝐑 = √
𝐕. 𝟑
𝟒𝛑
𝟑
(𝑖𝑖)
(iii) Substituindo (ii) em (i), temos:
a =
2R
√3
→ 𝐚 =
𝟐 (√𝐕. 𝟑
𝟒𝛑
𝟑
)
√𝟑
(iv) Volume do cubo:
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50
V = a3
→ V =
[
2 (√V. 3
4π
3
)
√3
]
3
→ V =
8 (
V. 3
4π
)
3√3
→ V =
6V
π
3√3
→ V =
6V
3π√3
→ 𝐕 =
𝟐𝐕
𝛑√𝟑
(892) Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área
total do cubo.
Solução
(i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação:
2R = a√3 → 𝐚 =
𝟐𝐑
√𝟑
(𝑖)
(ii) Área total do cubo:
A = 6a2
→ a2
=
A
6
→ a = √
A
6
(𝑖𝑖)
(iii) Igualando (i) com (ii), temos:
2R
√3
= √
A
6
→ 2R = √3. √
A
6
→ 2R = √
3A
6
→ 𝐑 =
√𝐀
𝟐
𝟐
(iv) Área da esfera:
S = 4πR2
→ S = 4π
(
√A
2
2
)
2
→ S = 4π (
A
2
4
) → S = π (
A
2
) → 𝐒 =
𝛑𝐀
𝟐
(893) Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo,
sabendo que a superfície da esfera mede 54,76𝝅 cm².
Solução
(i) Vamos supor que “r” seja o raio da esfera e “d” a distância que queremos calcular. Logo:
(ii) Área da esfera:
S = 4πr2
→ 54,76π = 4πr2
→ 4r2
= 54,76 → r2
=
54,76
4
→ 𝑟2
= 13,69
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51
(iii) Sabemos que em uma esfera inscrita no cubo, a aresta do cubo vale 2 vezes o valor do raio da esfera.
Logo:
a = 2r
(iv) Note que no triângulo retângulo AOC, o lado AO vale metade da
diagonal da base, ou seja:
AO =
2r√2
2
→ AO = r√2
OC = r
(v) Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo AOC, temos:
𝑑2
= (𝐴𝑂)2
+ 𝑟2
→ 𝑑2
= (𝑟√2 )² + 𝑟2
→ 𝑑2
= 2r2
+ r2
→ d2
= 3r2
→ d2
= 3.13,69 →
d = √3. (
1369
100
) → d = √
4107
100
→ 𝐝 = √𝟒𝟏, 𝟎𝟕 𝐜𝐦
(894) Determine a diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera na qual uma cunha de 60° tem área
total igual a 60𝝅 cm².
Solução
(i) A área da cunha é dada por:
Scunha = 𝑆𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 + 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜
60π = πr2
+
𝜋𝑟2
𝛼
90
60𝜋 =
90𝜋𝑟2
+ 𝜋𝑟2
. 60
90
r2
= 36
𝐫 = 𝟔 𝐜𝐦
(ii) No cubo circunscrito a uma esfera, temos:
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52
2r = a
2.6 = a
𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
(iii) Diagonal do cubo
D = a√3
𝐃 = 𝟏𝟐√𝟑 𝐜𝐦
(895) Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e
o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 144𝝅 cm².
Solução
(i) Área lateral do cubo = 144𝛑 cm².
SL = 144π → 4a2
= 144π → a2
=
144π
4
→ a2
= 36π → a = √36π → 𝐚 = 𝟔√𝛑 𝒄𝒎
(ii) Volume do cubo
Vcubo = 𝑎3
→ Vcubo = (6√𝜋)
3
→ 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟐𝟏𝟔𝛑√𝝅 𝒄𝒎³
(iii) Em uma esfera inscrita em um cubo, temos:
a = 2r → r =
a
2
→ 𝑟 =
6√𝜋
2
→ 𝐫 = 𝟑√𝛑 𝐜𝐦
(iv) Volume da esfera
Vesfera =
4
3
𝜋𝑟3
→ Vesfera =
4
3
𝜋(3√𝜋)
3
→ Vesfera =
4
3
𝜋(27𝜋√𝜋) → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟑𝟔𝛑𝟐
. √𝛑 𝐜𝐦³
(v) Espaço entre a esfera e o cubo
Espaço = Vcubo − Vesfera → Espaço = 216π√π − 36π2
√π → 𝐄𝐬𝐩𝐚ç𝐨 = 𝟑𝟔𝛑√𝛑 (𝟔 − 𝛑) cm³
(896) Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm; sendo 8 cm a medida da
aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
Solução
Raio da esfera = 4 cm
Aresta do cubo = 8 cm
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53
Devemos ter o seguinte:
Vexterno = Vcubo − Vesfera
V = 83
−
4
3
π. 43
→ V = 512 −
4π
3
. 64 → 𝐕 = 𝟓𝟏𝟐 −
𝟐𝟓𝟔𝛑
𝟑
Obs: O gabarito do livro tem a seguinte resposta:
𝐕 = 𝟓𝟏𝟐 −
𝟓𝟏𝟐𝝅
𝟑
-------------------------------------------------------
QUESTÕES DE VESTIBULARES
(UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+√𝟐)
cm. Calcule o volume do cubo em cm³.
Solução
(i) De acordo com o enunciado da questão, o perímetro (P)
do quadrilátero ABCD vale: 8(1+√2) cm.
Sabemos que o perímetro é a soma dos lados. Na figura, “d”
equivale à diagonal da base e “a” a medida do lado.
A diagonal da base é dada por:
d = a√2
P = 8(1 + √2) → 2𝑑 + 2𝑎 = 8(1 + √2) →
2(𝑎√2) + 2𝑎 = 8(1 + √2) ÷ 2 → 𝑎√2 + 𝑎 = 4(1 + √2)
(ii) Colocando o “a” em evidência no 1° membro da equação, temos:
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54
a(1 + √2) = 4(1 + √2) → a =
4(1 + √2)
(1 + √2)
→ 𝐚 = 𝟒 𝐜𝐦
(iii) Volume do cubo
V = a3
→ V = 43
→ 𝐕 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³
(ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o
mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura,
18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que
têm o formato de cubo é igual a
(a) 5 cm.
(b) 6 cm.
(c) 12 cm.
(d) 24 cm.
(e) 25 cm.
Solução
Sendo VP e VC os volumes das barras de chocolate de formato “paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente,
e sendo a a medida da aresta do cubo, temos:
(i) Volume do paralelepípedo:
V= abc.
VP = 3 cm x 18 cm x 4 cm = 216 cm³
(ii) Volume do cubo:
VC = a³
Como os dois volumes são iguais:
VP = VC
a³ = 216 cm³ ⇒a = √216
3
→ a = 6 cm
Resposta: B
Um deslizamento ocorrido em uma encosta de estrada deslocou 262,5 m³ de terra sobre a pista. Para a
limpeza dessa área, a prefeitura destinou caminhões com as dimensões indicadas na figura abaixo.
Quantas viagens o caminhão deve fazer para transportar o volume total de terra que deslizou?
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55
(a) 10
(b) 13
(c) 15
(d) 18
(e) 21
Solução
Volume de cada caminhão:
Vcaminhão = a. b. c → Vcaminhão = 4.1,75.2,5 → 𝐕𝐜𝐚𝐦𝐢𝐧𝐡ã𝐨 = 𝟏𝟕, 𝟓 𝐦³
Quantidade de viagens (Q):
Q =
Vterra
Vcaminhão
→ Q =
262,5
17,5
→ 𝐐 = 𝟏𝟓 𝐯𝐢𝐚𝐠𝐞𝐧𝐬
(FGV-SP) O volume de um cubo, em m³, é numericamente igual a sua área total, em cm². Assim, a aresta
desse cubo, em cm, é igual a:
Solução
(i) O Volume do cubo está em m³, logo, a aresta também está em metros. Mas, precisamos transformar para
cm, porque o enunciado da questão pede a resposta em cm. Assim sendo:
a.
1
100
= 𝑎. 10−2
(ii) Conforme o enunciado:
Vcubo = Scubo → (a. 10−2)3
= 6a2
→ a3
. 10−6
= 6a2
÷ a2
→ a. 10−6
= 6 → a =
6
10−6
→ 𝐚 = 𝟔. 𝟏𝟎𝟔
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56
(UFRS) Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P,
centro de uma das faces do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como indicado
na figura ao lado. A medida do segmento PQ é:
Solução
(Resposta: B)
(PUCRS) No cubo representado na figura a área do triângulo ABC é:
Solução
Pela figura fornecida, temos:
(i) AB = Aresta do cubo = AB = 4
(ii) AC = Diagonal do cubo → AC = a√3 → 𝐀𝐂 = 𝟒√𝟑
(iii) BC = Diagonal de uma face → BC = a√2 → 𝐁𝐂 = 𝟒√𝟐
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57
Note que o triângulo ABC é retângulo em B. Os lados AB e BC são os catetos. Logo, sua área é:
S =
AB. BC
2
→
S =
4.4√2
2
→
𝐒 = 𝟖√𝟐
(Resposta: B)
(U.F. São Carlos - SP) A figura indica um paralelepípedo reto retângulo
de dimensões √𝟐 𝐱 √𝟐 𝐱 √𝟕, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a:
Solução
Vamos marcar o ponto médio de CD. Ele será chamado de M. Podemos
observar que o segmento de reta BM corresponderá à metade da diagonal da
base BE, logo:
𝐵M =
√2. √2
2
→ BM =
2
2
→ 𝐁𝐌 = 𝟏
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58
Note também que existe um triângulo (vermelho) que é retângulo em B. Logo,
pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(AM)2
= (MB)2
+ (AB)2
→ (AM)2
= 12
+ (√7)
2
→ (AM)2
= 1 + 7 →
(AM)2
= 8 → AM = √8 → 𝐀𝐌 = 𝟐√𝟐
(UNESP - SP) A figura mostra um paralelepípedo reto retângulo
ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em
centímetros. A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH
vale:
Solução
(i) No triângulo retângulo AEH, temos:
(AH)2
= (AE)2
+ (EH)2
(AH)2
= (2𝑎)2
+ 𝑎2
(AH)2
= 4𝑎2
+ 𝑎2
(AH)2
= 5𝑎2
𝐀𝐇 = 𝐚√𝟓
(ii) No triângulo AHB, temos:
(HB)2
= (AH)2
+ (AB)²
(HB)2
= 5a2
+ a2
(HB)2
= 6a2
𝐻B = √6a2
𝐇𝐁 = 𝐚√𝟔
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59
(iii) Ainda no triângulo AHB, temos:
HB. AL = AB. AH
a√6. 𝐴𝐿 = 𝑎. 𝑎√5
AL =
a√5
√6
.
√6
√6
→ 𝐀𝐋 =
𝐚√𝟑𝟎
𝟔
(Resposta: E)
(UE-MG) O desenho, abaixo, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e
dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura
líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de
um certo período, 1.200 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da
mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de:
Solução
Dimensões internas do recipiente = 59 x 39 x 9
Volume original da mistura: Vo = 59.39.8 ---> Vo = 18 408 cm³
Volume restante após evaporação: V = 18 408 - 1 200 ---> V = 17 208 cm³
59.39.h = 17 208 ---> 2301.h=17208 ---->
h =
17208
2301
→ 𝐡 ≅ 𝟕, 𝟒𝟖
Resposta: C
(FUVEST - SP) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta 𝐀𝐄
̅̅̅̅, então a distância do ponto M ao centro do quadrado
ABCD é igual a:
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60
Vamos apresentar duas soluções diferentes para este problema:
Solução 1
(i) Note que BN é metade da diagonal da base do cubo. Logo:
𝐁𝐍 =
𝐚√𝟐
𝟐
(ii) 𝐀𝐌 =
𝐚
𝟐
(iii) 𝐀𝐁 = 𝐚
(iv) No triângulo retângulo ABM, temos:
(MB)2
= (AM)2
+ (AB)2
→ (MB)2
= (
a
2
)
2
+ a2
→ (MB)2
=
a2
4
+ a2
→ (MB)2
=
5a2
4
(v) No triângulo MBN, retângulo em N, temos:
(MB)2
= (MN)2
+ (BN)2
→
5a2
4
= (MN)2
+ (
a√2
2
)
2
→
5a2
4
= (MN)2
+
2a²
4
→ (MN)2
=
5a2
4
−
2a²
4
(MN)2
=
3a²
4
→ MN = √
3a²
4
→ 𝐌𝐍 =
𝐚√𝟑
𝟐
Resposta: C
Solução 2
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61
Vamos usar o triângulo retângulo ABC do quadrado ABCD.
No cubo temos também um triângulo retângulo:
Considere o cubo ABCDEFGH representado na figura abaixo, cuja aresta mede 4 e M é o ponto
médio da aresta AB.
A área do triângulo MHG é:
(𝐚) 𝟐√𝟐
(𝐛) 𝟒√𝟐
(𝐜) 𝟖√𝟐
(𝐝)𝟏𝟔 √𝟐
(𝐞) 𝟑𝟐√𝟐
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62
Solução
(i) Note que o triângulo PMN é retângulo em N. Logo, pelo
Teorema de Pitágoras, temos:
(𝐏𝐌)𝟐
= (𝐏𝐍)𝟐
+ (𝐍𝐌)𝟐
→ (𝐏𝐌)𝟐
= 𝟒𝟐
+ 𝟒𝟐
→
(𝐏𝐌)𝟐
= 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 → (𝐏𝐌)𝟐
= 𝟑𝟐 → (𝐏𝐌) = √𝟑𝟐 →
𝐏𝐌 = √𝟐. 𝟏𝟔 → 𝐏𝐌 = 𝟒√𝟐
(ii) Área do triângulo MHG:
(ii) Área do triângulo MHG:
𝐒 =
𝐇𝐆. 𝐏𝐌
𝟐
→ 𝐒 =
𝟒. 𝟒√𝟐
𝟐
→ 𝐒 = 𝟖√𝟐
Resposta: Letra C
Observação: Note que PM é igual à diagonal de um quadrado de lado 4, assim sendo poderia ser
rapidamente calculada pela fórmula:
PM = L√2 → 𝐏𝐌 = 𝟒√𝟐
(ENEM) O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para
proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das
correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de
competição tem uma profundidade uniforme de 3 m que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o
movimento contra uma superfície e o regresso no sentido contrário atingindo os nadadores), além dos
já tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50
m de comprimento, 20 m de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas
dimensões das piscinas olímpicas.
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor
mais próximo de:
a) 20%.
b) 25%.
c) 47%.
d) 50%.
e) 88%.
Solução
1) A capacidade da piscina original, em m³, é 50 . 20 . 2 = 2000
2) A capacidade da nova piscina, também em m³, é: 50 . 25 . 3 = 3750
3) 3750/2000 = 1,875 = 187,5%
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63
4) A capacidade da nova piscina é 187,5% da capa - cidade da piscina original. O aumento foi, portanto, de
87,5% ≅ 88%.
(UFABC) O cereal da marca Saúde é comercializado em dois tipos de embalagem, pelo mesmo preço.
A embalagem I tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e a embalagem II tem forma de um
cilindro reto. Ambas têm a mesma altura.
Supondo que as duas embalagens estejam
completamente preenchidas pelo cereal, pode-se
afirmar que quem compra Saúde na
embalagem II em vez da embalagem I compra,
aproximadamente:
a) 10% a mais de cereal.
b) 30% a mais de cereal.
c) 45% a mais de cereal.
d) 8% a menos de cereal.
e) 25% a menos de cereal
Solução
Sendo h a altura de ambas as embalagens e VP e VC os volumes das embalagens I e II, respectivamente,
temos:
I) VP = 10 . 6h = 60h cm³
II) VC = π . 5² . h = 25 . π . h cm³ ≅ 78,53h cm³
Como VC/VP = 78,53h/60h ≅ 1,30, quem compra Saúde na embalagem II em vez da embalagem I, compra
aproximadamente 30% a mais de cereal.
(ENEM) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento
da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada
1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base
retangular, de profundidade constante igual a 1,7m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m,
respectivamente. O nível da lâmina d'água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às
suas especificações técnicas é
a) 11,25.
b) 27,00.
c) 28,80.
d) 32,25.
e) 49,50.
Solução
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64
Do enunciado, o volume V de água na piscina é:
V = 5.3.1,2 = 18m³ ⟹ V = 18.000L
Assim, a quantidade desse produto que deve ser adicionada é obtida por:
18.000.1,5/1000 = 27mL
(UNESP) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as
diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.
Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da
divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão,
houve um aumento aproximado de
a) 42%
b) 36%
c) 32%
d) 26%
e) 28%
Solução
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65
(PUCRJ) Uma caixa de chocolate, com a forma de um paralelepípedo, tem dimensões 4 cm x 4 cm x
16 cm. Quantos cm² de papel são necessários para cobrir completamente essa caixa?
a) 256
b) 272
c) 288
d) 304
e) 320
Solução
Área total: 2 x 4 x 4 + 4 x 4 x 16 = 288
(UNICAMP) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2cm² , 3cm² e 4cm². O volume desse
paralelepípedo é igual a
a) 2√3cm³
b) 2√6cm³
c) 24 cm³
d) 12 cm³
Solução
Sendo a, b e c as medidas das dimensões do paralelepípedo, tem-se:
ab = 2
ac = 3
bc = 4
Multiplicando-se, membro a membro, as equações acima, tem-se:
Como o volume V do paralelepípedo é dado por abc, tem-se:
.
(UFPR) A piscina usada nas competições de natação das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas
oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade.
Supondo que essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, qual dos valores abaixo
mais se aproxima da capacidade máxima de água que essa piscina pode conter?
a) 37.500 litros.
b) 375.000 litros.
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66
c) 3.750.000 litros.
d) 37.500.000 litros.
e) 375.000.000 litros.
Solução
(ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de
resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na
figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2
400 cm³?
A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Solução
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71
(FUVEST) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos
lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo 𝑯𝑨
̂𝑭 é igual a:
(𝐚)
𝟏
𝟐√𝟓
(𝐛)
𝟏
√𝟓
(𝐜)
𝟐
√𝟏𝟎
(𝐝)
𝟐
√𝟓
(𝐞)
𝟑
√𝟏𝟎
Solução
Devemos ter o seguinte:
(i) No triângulo retângulo ABF, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(AF)2
= 22
+ 42
→ (AF)2
= 4 + 16 → (AF)2
= 20 → AF = √20
AF = √4.5 → 𝐀𝐅 = 𝟐√𝟓
(ii) Note que os triângulos ABF e GHF são semelhantes, logo:
HF = AF → 𝐇𝐅 = 𝟐√𝟓
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72
(iii) No triângulo retângulo, ADH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(AH)2
= 22
+ 22
→ (AH)2
= 4 + 4 → (AH)2
= 8 → AH = √8 → 𝐀𝐇 = 𝟐√𝟐
Logo, temos, no triângulo AFH os seguintes valores:
(iv) Observe que o triângulo AHF é isósceles, de base AH = 2√2.
Logo: HM = AM =√2
Novamente, pelo Teorem de Pitágoras, aplicado no triângulo
retângulo AMF, destacado ao lado, temos:
(√2)
2
+ h2
= (2√5)
2
→ 2 + h2
= 20 → h2
= 18 → h = √18 →
𝐡 = 𝟑√𝟐
(v) O seno do ângulo â, é dado por:
sen â =
h
2√5
→ sen â =
3√2
2√5
→ sen â =
3√2
2√5
.
√2
√2
→ sen â =
3,2
2√10
→ sen â =
6
2√10
→ 𝐬𝐞𝐧 â =
𝟑
√𝟏𝟎
Resposta: E
Solução
Primeira caixa:
V’ = 1 x 2 x 3
V’ = 6 m³
Segunda caixa:
V’ = V”
6 = (x+1)(x+2)(3-x)
(x² +2x + x + 2)(3-x) = 6
(x² + 3x + 2)(3-x) = 6
3x² + 9x + 6 – x³ -3x² - 2x = 6
-x³ + 7x = 0 (-1)
x³ - 7x = 0
x(x² - 7) = 0
x = 0 (Não convém)
x² - 7 = 0
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73
x = √𝟕
Resposta: E
Solução
(i) Volume do cubo de aresta 5 cm:
V = a³
V = 5³
V = 125 cm³
V = 0,125 dm³
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74
Sendo: 1 dm³ = 1 Litro:
V = 0,125 Litros
Resposta: B
Solução
Devemos ter:
V = 34 x 14 x 8
V = 3808
Resposta: D
(SAP SP – VUNESP 2011). Os produtos de uma empresa são embalados em caixas cúbicas, com 20 cm
de aresta. Para transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme
mostrado na figura. Sabe-se que 60 desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do
veículo utilizado para o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros
cúbicos, transportado por esse veículo é
a) 4,96.
b) 5,76.
c) 7,25.
d) 8,76.
e) 9,60.
Solução
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75
O primeiro passo é calcular o volume de cada caixa. Como as respostas estão apresentadas em metros
cúbicos, vamos considerar que cada aresta mede 0,2 m (20 cm).
Vc = a³
Vc = 0,2³
Vc = 0,008 m³
Pela figura, percebe-se que um bloco retangular contém 12 caixas. Vamos calcular o volume de cada bloco:
Vb = 12 . 0,008 = 0,096 m³
Para finalizar, cabem 60 blocos no caminhão. Calculando o volume total:
Vt = 60 . 0,096 = 5,76 m³
Resposta: B
(PM - ES). Um estoquista, ao conferir a quantidade de determinado produto embalado em caixas
cúbicas de arestas medindo 40 cm, verificou que o estoque do produto estava empilhado de acordo
com a figura que segue:
Ao realizar corretamente os cálculos do volume dessa pilha de caixas, o resultado obtido foi:
a) 0,64 m³
b) 1,6 m³
c) 6,4 m³
d) 16 m³
e) 64 m³
Resolução:
Pela figura, é possível observar que existem 10 caixas empilhadas.
Vamos calcular o volume de cada caixa, sabendo que cada aresta mede 0,4 m (40 cm):
V = a³
V = 0,4³
V = 0, 0,064 m³
Como existem 10 caixas:
Vt = 10 . 0,064 = 0,64 m³
Resposta: A
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76
(SES DF – IADES). Sabe–se que o volume de um cubo de aresta α é dado por α³ .
Considerando que a aresta de um cubo seja multiplicada por 2, em quantas vezes seu volume
aumentará?
a) Duas.
b) Três.
c) Quatro.
d) Seis.
e) Oito.
Solução
Como foi informado, o volume de um cubo de aresta α é igual a α³. Vamos calcular o volume de um cubo de
aresta 2α:
V = (2α)³
V = 2³.α³
V = 8.α³
Daí, quando multiplicamos a aresta do cubo por 2, o volume para a ser 8 vezes maior.
Resposta: E
(SEDUC - RJ). A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto
B mede 3√5 decímetros:
Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face
oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a:
a) 125
b) 216
c) 343
d) 512
e) 729
Solução
Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida
da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x.
Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semirreta AB e pelas semirretas que dividem as faces ao
meio. Veja a figura:
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77
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
(3√5)² = x² + (x/2)²
45 = x² + x²/4
45 = 5x²/4
5x² = 4.45
5x² = 180
x² = 180/5
x² = 36
x = 6 dm
Calculando o volume do cubo:
V = x³
V = 6³
V = 216 dm³
Resposta: B
A soma das áreas totais de dois cubos e 150 cm². Se a aresta do menor mede 3 cm, calcule o valor da
soma das diagonais destes cubos.
Solução
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78
Um cubo tem 3 cm de altura, e um paralelepípedo retângulo tem dimensões 1 cm, 2 cm e 3 cm. A razão
entre os volumes do cubo e do paralelepípedo é
(a) 3/2.
(b) 4/3.
(c) 9/2.
(d) 8/3.
(e) 1/3
Solução
Cubo Paralelepípedo
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜:
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 33
𝑽𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝟐𝟕 𝒄𝒎³
Volume do paralelepípedo:
Vparalelepípedo = a. b. c
V = 3.2.1
𝐕 = 𝟔𝐜𝐦³
Razão =
Vcubo
Vparalelepípedo
𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟐𝟕
𝟔
:
𝟑
𝟑
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟗
𝟐
(MACKENZIE) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é:
(a) 𝟖𝛑/𝟑 (𝐛) 𝟒𝛑/𝟑 (𝐜) 𝟏𝟔𝛑/𝟑 (𝐝) 𝟏𝟐𝛑 (𝐞) 𝟖𝛑
Solução
(i) De acordo com o enunciado da questão, “a área total do cubo é 8”, logo:
ST = 6a2
→ 6a2
= 8 → a2
=
8
6
→ a2
=
4
3
→ a =
√4
√3
.
√3
√3
→ 𝐚 =
𝟐√𝟑
𝟑
(ii) Num cubo inscrito em uma esfera, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera.
Diagonal do cubo = Diâmetro da esfera
Observe:
D = 2R
A diagonal do cubo é dada por:
D = a√3 → 2R =
2√3
3
. √3 → R =
√3. √3
3
→ 𝐑 = 𝟏
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79
(iii) O Volume da esfera é: V =
4
3
πR3
→ V =
4
3
𝜋(1)3
→ 𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑
Resposta: B
(PUC – SP) O volume do cubo inscrito numa esfera de raio 3 é:
(𝐚) 𝟐𝟒√𝟑 (𝐛)𝟏𝟐√𝟑 (𝐜)𝟖 √𝟑 (𝐝) 𝟔√𝟑 (𝐞)𝟐√𝟑
Solução
Em um cubo inscrito em uma esfera, temos:
Note que em um cubo inscrito na esfera, temos:
(i) DiagonalCubo = Diagonal esfera
Logo:
𝑎√3 = 2𝑅
(ii) Como o raio da esfera vale 3, temos
𝑎√3 = 2.3 → 𝑎 =
6
√3
.
√3
√3
→ 𝒂 =
𝟔√𝟑
𝟑
(iii) Volume do cubo
𝑉 = 𝑎3
→ 𝑉 = (
6√3
3
)
3
→ 𝑉 =
216. √32. 3
27
→ 𝑉 = 8.3√3 → 𝐕 = 𝟐𝟒√𝟑
(UFMG) A razão entre os volumes dos cubos circunscritos e inscritos em uma esfera de raio R é:
(𝐚) √𝟑 (𝐛) 𝟐 (𝐜) 𝟑 (𝐝) 𝟑√𝟑 (𝐞)√𝟔
Solução
(i) Volume do cubo circunscrito a uma esfera:
8
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80
(i) Volume do cubo circunscrito a esfera:
V = a³
V = (2R)³
V = 8R³
(ii) Volume do cubo inscrito a uma esfera:
Volume do cubo inscrito em uma esfera:
𝐕 = a3
→
V = (
2R√3
3
)
3
→
V =
8R3
. 3√3
27
→
V =
24R3
√3
9
→
𝐕 =
𝟖𝐑𝟑
𝟑√𝟑
𝟑
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81
(iii)
𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨
𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟖𝐑𝟑
𝟖𝐑𝟑√𝟑
𝟑
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟖𝐑𝟑
.
𝟑
𝟖𝐑³√𝟑
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟑
√𝟑
.
√𝟑
√𝟑
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟑√𝟑
𝟑
→ 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = √𝟑
Resposta: A
(Bombeiros MG – IGETEC). O hexaedro regular que inscreve uma esfera de volume 9π/2 cm³, tem a
medida da diagonal, em centímetros, igual a:
(a) 2,7 (b) √3 (c) 3√3 (d) 3 (e) 3/2
Solução
Observação: O hexaedro e o cubo são os mesmos sólidos com nomes diferentes.
Podemos calcular o raio R da esfera pela fórmula pois sabemos seu volume:
Vesfera =
4
3
πR3
→
9π
2
=
4
3
πR3
→ 8R3
= 27 → R3
=
27
8
→ R = √
27
8
3
→ 𝐑 =
𝟑
𝟐
Como a diagonal do hexaedro vale o dobro do raio da esfera circunscrita a ele, temos:
Dcubo = 2Resfera → Dcubo = 2. (
3
2
) → 𝐃𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟑
Resposta (d)
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Cubos e Paralelepípedos: Fórmulas para Medidas

  • 1. CUBO E PARALELEPÍPEDO Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
  • 2. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 1 (148) Dado um cubo de aresta “a”, calcular sua diagonal “d” e sua área total “S”. Solução (a) Cálculo de d: Inicialmente calculemos a medida f de uma diagonal de face: (b) Cálculo de S A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes de lado a. A área de cada um é a². Então, a área total do cubo é: 149. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcular as diagonais 𝐟𝟏, 𝐟𝟐 𝐞 𝐟𝟑 das faces, a diagonal do paralelepípedo e sua área total S. Solução
  • 3. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 2
  • 4. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 3 (228) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: Solução (a) (i) Diagonal d = a√3 → d = 2,5√3 → d = 25√3 10 : 5 5 → 𝐝 = 𝟓√𝟑 𝟐 𝐜𝐦 (ii) Área total ST = 6a2 → ST = 6. (2,5)2 → ST = 6.6,25 → 𝐒𝐓 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝐜𝐦² (iii) Volume Vcubo = a3 → Vcubo = (2,5)3 → 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓𝐜𝐦³ (b)
  • 5. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 4 Como a base do sólido é um quadrado, a diagonal da base (d) vale: 𝐝 = 𝟐√𝟐 (i) Diagonal (D) No triângulo retângulo destacado em amarelo, pelo Teorema de Pitágoras, temos: D2 = d2 + (2,5)2 → D2 = (2√2) 2 + 6,25 → D2 = 8 + 6,25 → D2 = 14,25 → D = √14,25 → D = √ 1425 100 : 25 25 → D = √57 √4 → 𝐃 = √𝟓𝟕 𝟐 𝐜𝐦 (ii) Área total Áreas das bases: Sb = 2.22 → 𝐒𝐛 = 𝟖 𝐜𝐦² Área lateral: SL = 4. (2.2,5) → SL = 4.5 → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟎𝐜𝐦² Área total: ST = Sb + SL → ST = 8 + 20 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟖 𝐜𝐦² (iv) Volume V = 𝑆𝑏. h → V = 4.2,5 → 𝐕 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦³ (c) No triângulo retângulo da base, temos: d2 = (1,5)2 + 33 → d2 = 2,25 + 9 d2 = 11,25 (i) Diagonal (D)
  • 6. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 5 No triângulo retângulo amarelo, temos: D2 = d2 + 22 → D2 = 11,25 + 4 → D2 = 15,25 → D = √15,25 → D = √ 1525 100 : 25 25 → D = √ 61 4 → 𝐃 = √𝟔𝟏 𝟐 𝐜𝐦 (ii) Área total Áreas das bases: Sb = 2(3.1,5) → Sb = 2.4,5 → 𝐒𝐛 = 𝟗 𝐜𝐦² Área lateral: SL = 2(1,5.2) + 2(3.2) → SL = 2.3 + 2.6 → SL = 6 + 12 → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟖 𝐜𝐦² Área total: ST = Sb + SL → ST = 9 + 18 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟕 𝐜𝐦² (iii) Volume V = Sb. h → V = 3.1,5.2 → 𝐕 = 𝟗 𝐜𝐦² (229) Represente através de expressões algébricas a medida da diagonal e a área total dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: (i) Diagonal d = a√3 → 𝐝 = 𝐱√𝟑 (ii) Área total ST = 6a² → 𝐒𝐓 = 𝟔𝐱²
  • 7. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 6 (i) Diagonal d = √a2 + b2 + c2 → d = √a2 + (3a)2 + (2a)2 → d = √a2 + 9a2 + 4a2 → d = √14a² →→ 𝐝 = 𝐚√𝟏𝟒 (ii) Área total ST = 2(ab + bc + ac) → ST = 2[(3a. a) + (3a. 2a) + (a. 2a)] → ST = 2. [3a2 + 6a2 + 2a2 ] → ST = 2.11a² → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟐𝐚² (i) Diagonal d = √a2 + b2 + c2 → d = √x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 → d = √x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 → 𝐝 = √𝟑𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟓 (ii) Área total ST = 2(ab + bc + ac) → ST = 2[(x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) → ST = 2[x2 + x + x2 + 2x + x + 2 + x2 + 2x] → ST = 2[3x2 + 6x + 2] → 𝐒𝐓 = 𝟔𝐱𝟐 + 𝟏𝟐𝐱 + 𝟒 (230) Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 m² de área total. Solução Área total do cubo ST = 6a2 → 36 = 6a2 → a2 = 36 6 → a2 = 6 → 𝐚 = √𝟔 𝐦 (231) Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões y, (y + 1) e (y - 1). Solução A diagonal do paralelepípedo é dada por: d = √a2 + b2 + c2 → d = √y2 + (y + 1)2 + (y − 1)2 → d = √y2 + y2 + 2y + 1 + y2 − 2y + 1 → 𝐝 = √𝟑𝐲𝟐 + +𝟐
  • 8. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 7 (232) Calcule a medida da diagonal de um cubo, sabendo que a sua área total mede 37,5 cm². Solução (i) A área total do cubo é dada por: ST = 6a2 → 6a2 = 37,5 → a2 = 37,5 6 → 𝑎2 = 6,25 → 𝑎 = √6,25 → 𝑎 = 2,5 𝑐𝑚 (ii) A diagonal do cubo é dada por: d = a√3 → d = 2,5√3 → d = 25√3 10 : 5 5 → 𝐝 = 𝟓√𝟑 𝟐 𝐜𝐦 (233) Calcule a medida da terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 cm e que sua diagonal mede 𝟑√𝟏𝟎 cm. Solução (i) A diagonal do paralelepípedo é dada por: d = √a2 + b2 + c2 → (3√10) 2 = (√42 + 72 + c2) 2 → 9.10 = 16 + 49 + c2 → 90 = 65 + c2 → c2 = 90 − 65 → c2 = 25 → c = √25 → 𝐜 = 𝟓 𝐜𝐦 (234) Calcule a medida da aresta de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 cm a diagonal da face. Solução Dcubo = dbase + 2 → a√3 = a√2 + 2 → a√3 − a√2 = 2 → a(√3 − √2) = 2 → a = 2 (√3 − √2) . (√3 + √2) (√3 + √2) → a = 2(√3 + √2) (√3)² − (√2)² → a = 2(√3 + √2) 3 − 2 → 𝐚 = 𝟐(√𝟑 + √𝟐) (235) Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5 cm. Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo para que sua diagonal passe a medir 5,5 cm? Solução d = a√3 → 2,5 = a√3 → 𝑎 = 2,5 √3 . √3 √3 → 𝑎 = 2,5√3 3 → 𝑎 = 25√3 10 3 → 𝑎 = 25√3 10 . 1 3 → 𝑎 = 25√3 30 : 5 5 → 𝐚 = 𝟓√𝟑 𝟔 Vamos supor que a aresta do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo: d = a√3 → 5,5 = ( 5√3 6 + 𝑥) √3 → 55 10 = ( 5√3 + 6𝑥 6 ) √3 → 55 10 = 15 + 6𝑥√3 6 → 10(15 + 6x√3) = 330: (10) → 15 + 6x√3 = 33 → 6x√3 = 33 − 15 → 6x√3 = 18 ∶ (6) → x√3 = 3 →
  • 9. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 8 x = 3 √3 . √3 √3 → x = 3√3 3 → 𝐱 = √𝟑 Resposta: A aresta deve ser aumentada em √𝟑 𝐜𝐦. (236) A aresta de um cubo mede 2 cm. Em quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm? Solução d = a√3 → 𝐝 = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦 Vamos supor que a diagonal do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo: d + x = a√3 → 2√3 + x = 3√3 → x = 3√3 − 2√3 → 𝐱 = √𝟑 𝐜𝐦 Resposta: A diagonal deve ser aumentada em √𝟑 𝐜𝐦. (237) Em quanto diminui a aresta de um cubo quando a diagonal diminui em 3√𝟑 cm? Solução d = a√3 → a√3 − 3√3 = (a − x)√3 → √3(a − 3) = (a − x)√3 → a − 3 = a − x → −x = −3(−1) → 𝐱 = 𝟑 𝐜𝐦 (238) A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 164,64 cm². Calcule a diferença entre as suas diagonais, sabendo que a aresta do menor mede 3,5 cm. Solução S1 − S2 = 164,64 → 6a1 2 − 6a2 2 = 164,64 → 6(a1 2 − 3,5²) = 164,64 → a1 2 − 12,25 = 164,64 6 → a1 2 − 12,25 = 27,44 → a1 2 = 27,44 + 12,25 → a1 2 = 39,69 → a1 = √39,69 → 𝐚𝟏 = 𝟔, 𝟑 (i) Diagonal do cubo 1 D1 = a1√3 → 𝐃𝟏 = 𝟔, 𝟑√𝟑 𝐜𝐦 (ii) Diagonal do cubo 2 D2 = a2√3 → 𝐃𝟐 = 𝟑, 𝟓√𝟑 𝐜𝐦 (iii) Diferença entre as diagonais D1 − D2 = 𝟔, 𝟑√𝟑 − 𝟑, 𝟓√𝟑 → 𝐃𝟏 − 𝐃𝟐 = 𝟐, 𝟖 √𝟑 𝐜𝐦 (239) Calcule a aresta de um cubo, sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas com todas as diagonais e com as diagonais das seis faces vale 32 cm. Solução Sendo a aresta “a”, devemos ter o seguinte: 12 arestas = 12a
  • 10. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 9 12 diagonais das faces = 12a√2 4 diagonais do cubo = 4a√3 Somando todos os valores relacionados acima, temos: 12a + 12a√2 + 4𝑎√3 = 32 → 4𝑎(3 + 3√2 + √3) = 32 ÷ 4 → 𝑎(3 + 3√2 + √3) = 8 → 𝒂 = 𝟖 𝟑 + 𝟑√𝟐 + √𝟑 (240) Determine a área total de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 𝟐𝟓√𝟐 cm, sendo a soma de suas dimensões igual a 60 cm. Solução (i) Vamos considerar “a”, “b” e “c” como as dimensões do paralelepípedo e a diagonal que é igual a d = 25√2 cm. Logo: d2 = a2 + b2 + c2 → (25√2) 2 = a2 + b2 + c2 → 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 → 𝒅𝟐 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 (ii) Pelo enunciado da questão, temos: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 60 → (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (60)² → d2 + S = 602 → 1250 + S = 3600 → S = 3600 − 1250 → 𝐒 = 𝟐𝟑𝟓𝟎 𝐜𝐦² Resposta: A área total do paralelepípedo é 2350 cm². (241) Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62 cm² sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões. Solução
  • 11. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 10 (i) A área total do paralelepípedo é dada por: S = 2(ab + ac + bc) → 2(ab + ac + bc) = 62 ÷ 2 → 𝐚𝐛 + 𝐚𝐜 + 𝐛𝐜 = 𝟑𝟏 (i) (ii) De acordo com o enunciado da questão, temos: a + b + c = 10 → (a + b + c)2 = (10)2 → a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 100 → d2 + S = 100 → d2 + 62 = 100 → d2 = 100 − 62 → d2 = 38 → 𝐝 = √𝟑𝟖 𝐜𝐦 (242) Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas. Solução Pelo enunciado da questão, devemos provar que: 4d2 = 4a2 + 4b2 + 4c2 → 4𝑑2 = 4(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) ÷ 4 → 𝐝𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜² (c.q.d.) (243) Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual à soma das três do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais. Solução Sejam a1, b1 e c1 as dimensões de um paralelepípedo e a2, b2 e c2 as dimensões do outro. Temos: Diagonais iguais: a1 2 , b1 2 e c1 2 = a2 2 , b2 2 e c2 2 (𝑖) Temos, também: a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 (𝑖𝑖) (a1 + b1 + c1)2 = a1 2 + b1 2 + c1 2 + 2(𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐1) (a2 + b2 + c2)2 = a2 2 + b2 2 + c2 2 + 2(𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑐2) De (i) e (ii), temos: 𝟐(𝐚𝟏𝐛𝟏 + 𝐚𝟏𝐜𝟏 + 𝐛𝟏𝐜𝟏) = 𝟐(𝐚𝟐𝐛𝟐 + 𝐚𝟐𝐜𝟐 + 𝐛𝟐𝐜𝟐) (c.q.d.). (244) Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 1, 2, 3 e que a área total do paralelepípedo é 352 cm². Solução Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos: a 1 = b 2 = c 3 = k → (a = k; b = 2k; c = 3k)(i)
  • 12. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 11 De acordo com o enunciado: S = 352 cm2 → 2(ab + ac + bc) = 352 ÷ 2 → ab + ac + bc = 176 (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: k. 2k + k. 3k + 2k. 3k = 176 → 2k2 + 3k2 + 6k2 = 176 → 11k2 = 176 ÷ 11 → k2 = 16 → k = 4 a = k → a = 𝟒 𝐜𝐦 b = 2k → b = 2.4 → b = 𝟖 𝐜𝐦 c = 3k → c = 3.4 → c = 𝟏𝟐 𝐜𝐦 Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4 cm, 8 cm e 12 cm. (245) Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 5, 8, 10 e que a diagonal mede 63 cm. Solução Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos: a 5 = b 8 = c 10 = k → (a = 5k; b = 8k; c = 10k)(i) De acordo com o enunciado: d2 = a2 + b2 + c2 → a2 + b2 + c2 = (63)2 → a2 + b2 + c2 = 3969 (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: (5k)2 + (8k)2 + (10k)2 = 3969 → 25k2 + 64k2 + 100k2 = 3969 → 189k2 = 3969 ÷ 189 → k2 = 21 𝐤 = √𝟐𝟏𝐜𝐦 a = 5k → 𝐚 = 𝟓√𝟐𝟏 𝐜𝐦 b = 8k → 𝐛 = 𝟖√𝟐𝟏 𝐜𝐦 c = 10k → 𝐜 = 𝟏𝟎√𝟐𝟏 𝐜𝐦 (246) As dimensões de um paralelepípedo são inversamente proporcionais aos números 6, 4 e 3. Determine-as, sabendo que a área total desse paralelepípedo é 208 m². Solução Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos: 6a = 4b = 3c = k → 6a = k → a = k 6 4b = k → b = k 4 3c = k → c = k 3
  • 13. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 12 De acordo com o enunciado: S = 208 → 2(ab + ac + bc) = 208 ÷ 2 → ab + ac + bc = 104 Substituindo os valores de “a”, “b” e “c”, nesta equação, temos: k 6 . k 4 + k 6 . k 3 + k 4 . k 3 = 104 → k2 24 + k2 18 + k2 12 = 104 → mmc = 72 → 3k2 + 4k2 + 6k2 72 = 7488 72 → 3k2 + 4k2 + 6k2 = 7488 → 13k2 = 7488 ÷ 13 → k2 = 576 → k = √576 → 𝐤 = 𝟐𝟒 𝐦 a = k 6 → a = 24 6 → 𝐚 = 𝟒 𝐦 b = k 4 → b = 24 4 → 𝐛 = 𝟔 𝐦 c = k 3 → c = 24 3 → 𝐜 = 𝟖 𝐦 Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4m, 6m e 8 m. (247) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a “a”, “b” e “c”. Dada a diagonal d, calcule essas dimensões. Solução Devemos ter o seguinte: x a = 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐 = 𝑘 → (𝑥 = 𝑎𝑘; 𝑦 = 𝑏𝑘; 𝑧 = 𝑐𝑘) De acordo com o enunciado: d2 = x2 + y2 + z2 → d2 = (ak)2 + (bk)2 + (ck)2 → d2 = a2 k2 + b2 k2 + c2 k2 → d2 = k2(a2 + b2 + c2) k2 = d² (a2 + b2 + c2) → k = √d² √a2 + b2 + c2 → 𝐤 = 𝐝 √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 𝑥 = 𝑎𝑘 → x = a. d √a2 + b2 + c2 → 𝐱 = 𝐚𝐝 √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 𝑦 = 𝑏𝑘 → y = b. d √a2 + b2 + c2 → 𝐲 = 𝐛𝐝 √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 𝑧 = 𝑐𝑘 → z = c. d √a2 + b2 + c2 → 𝐳 = 𝐜𝐝 √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 (248) Com uma corda disposta em cruz, deseja-se amarrar um pacote em forma de ortoedro, cujas dimensões são 1,40 m, 0,60 m e 0,20 m. Se para fazer os nós gastam-se 20 cm, responda: Quantos metros de corda serão necessários para amarrar o pacote? Solução
  • 14. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 13 (249) As dimensões de um ortoedro são inversamente proporcionais a r, s e t. Calcule essas dimensões, dada a diagonal d. Solução (250) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais a “r”, “s”, “t”. Calcule essas dimensões, sabendo que a área é S. Solução
  • 15. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 14 (251) As áreas de três faces adjacentes de um ortoedro estão entre si como p, q e r. A área total é 2,2. Determine as três dimensões. Solução (252) Se a aresta de um cubo mede 100 cm, encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal. Solução Devemos ter o seguinte: Note que o triângulo ABC é retângulo em B. D = Diagonal do cubo d = diagonal de uma face Sabemos que: d = a√2 → 𝐝 = 𝟏𝟎𝟎√𝟐 D = a√3 → 𝐃 = 𝟏𝟎𝟎√𝟑 Assinalando os valores conhecidos, no triângulo retângulo ABC, temos: Usando a relação métrica: a.h = bc, temos: 𝑥. √3 = 100. √2 𝑥 = 100√2 √3 . √3 √3 → 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎√𝟔 𝟑 𝐜𝐦 253. Calcule a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo.
  • 16. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 15 Solução (i) ST = 6a2 → ST = 6(2)2 → ST = 6.4 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟒 𝐜𝐦𝟐 (ii) V = a3 → V = 23 → 𝐕 = 𝟖 𝐜𝐦³ (i) ST = 2(ab + ac + bc) ST = 2(3,5 x 1,5 + 3,5 x 2 + 1,5 x 2) ST = 2(5,25 + 7 + 3) 𝐒𝐓 = 𝟑𝟎, 𝟓𝟎 𝐜𝐦² (ii) V = a.b.c V = 3,5 x 1,5 x 2 𝐕 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝐜𝐦³
  • 17. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 16 (i) ST = 6a2 → ST = 6(1,5)2 → ST = 6.2,25 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟑, 𝟓𝟎 𝐜𝐦² (ii) V = a³ → V = (1,5)3 → 𝐕 = 𝟑, 𝟑𝟕𝟓 𝐜𝐦³ (254) Represente através de expressões algébricas a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo. Solução
  • 18. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 17 (i) ST = 2(ab + ac + bc) → ST = 2 (a. a + a. a 2 + 𝑎. 𝑎 2 ) → ST = 2 (a2 + a2 2 + 𝑎2 2 ) → ST = 2 ( 2a2 + a2 + a2 2 ) → ST = 2 ( 4a2 2 ) → 𝐒𝐓 = 𝟒𝐚² (ii) V = a. b. c → V = a. a. a 2 → 𝐕 = 𝐚𝟑 𝟐 (i) ST = 6a2 → 𝐒𝐓 = 𝟔. 𝐛² (ii) V = a3 → 𝐕 = 𝐛³ (i) ST = 2(ab + ac + bc) → ST = 2[(2x(2x + 1) + 2x. x + (2x + 1). x] → ST = 2(4x2 + 2x + 2x2 + 2x2 + x) → ST = 2(8x2 + 3x) → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟔𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 V = a. b. c → V = 2x. (2x + 1). x → V = 2x2(2x + 1) → 𝐕 = 𝟒𝐱𝟑 + 𝟐𝐱² (255) Calcule a medida da aresta de um cubo de 27 m³ de volume.
  • 19. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 18 Solução V = a3 → 27 = a3 → a = √27 3 → 𝐚 = 𝟑 𝐦 (256) Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas dimensões são 5 cm, 7 cm e 9 cm. Solução a = 5 cm; b = 7 cm e c = 9 cm (i) Diagonal: D = √a2 + b2 + c² → D = √52 + 72 + 9² → D = √25 + 49 + 81 → D = √𝟏𝟓𝟓 𝐜𝐦 (ii) Área total: ST = 2(ab + ac + bc) → ST = 2(5.7 + 5.9 + 7.9) → ST = 2(35 + 45 + 63) → ST = 2.143 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟖𝟔 𝐜𝐦² (iii) Volume: V = a. b. c → V = 5.7.9 → 𝐕 = 𝟑𝟏𝟓 𝐜𝐦³ (257) Determine as medidas da aresta e da diagonal de um cubo cujo volume é 1728 cm³. Solução (i) Aresta: V = 1728 → a3 = 1728 → a = √1728 3 → a = √23. 23. 3³ 3 → a = 2.2.3 → 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦 (ii) Diagonal: D = a√3 → 𝐃 = 𝟏𝟐√𝟑 𝐜𝐦 (258) Calcule o volume de um cubo cuja área total mede 600 cm². Solução ST = 6a2 → 6a2 = 600 ÷ 6 → a2 = 100 → a = √100 → 𝐚 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦 Volume: V = a3 → V = (10)3 → 𝐕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐦³ (259) Determine o volume de um cubo de área total 96 cm². Solução ST = 6a2 → 6a2 = 96 ÷ 6 → a2 = 16 → a = √16 → 𝐚 = 𝟒 𝐜𝐦 V = a3 → V = 43 → 𝐕 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³ (260) Quer-se confeccionar um cubo por meio de uma folha de zinco de 8,64 m². Qual será o comprimento da aresta do cubo? Qual será o volume do cubo?
  • 20. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 19 Solução (i) Aresta do cubo: ST = 6a2 → 6a2 = 8,64 ÷ 6 → a2 = 1,44 → a = √1,44 → 𝐚 = 𝟏, 𝟐 𝐦 (ii) Volume do cubo: V = a3 → V = (1,2)3 → 𝐕 = 𝟏, 𝟕𝟐𝟖 𝐦³ (261) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, cuja soma das medidas das arestas vale 30 cm. Solução (i) Um cubo possui 12 arestas, logo: 12a = 30 → a = 30 12 → a = 𝟐, 𝟓 𝐜𝐦 (ii) Diagonal do cubo: D = a√3 → 𝐃 = 𝟐, 𝟓√𝟑 𝐜𝐦 (iii) Área total do cubo: S = 6a2 → S = 6. (2,5)2 → S = 6,6,25 → 𝐒 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝐜𝐦² (iv) Volume do cubo: V = a3 → V = (2,5)3 → 𝐕 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓 𝐜𝐦³ (262) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede 5√𝟐 cm. Solução (i) No triângulo retângulo ABC, destacado na figura ao lado, temos: d2 = a2 + a2 → (5√2) 2 = 2a2 → 50 = 2a2 → a2 = 50 2 → a2 = 25 → a = √25 → 𝐚 = 𝟓 𝐜𝐦 (ii) Diagonal:
  • 21. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 20 D = a√3 → 𝐃 = 𝟓√𝟑 𝐜𝐦 (iii) Área total: S = 6a2 → S = 6.52 → S = 6.25 → 𝐒 = 𝟏𝟓𝟎 𝐜𝐦² (iv) Volume: V = a3 → V = 53 → 𝐕 = 𝟏𝟐𝟓 𝐜𝐦³ (263) Expresse a área total e o volume de um cubo: (a) em função da medida da diagonal da face (f ); (b) em função da medida da sua diagonal (d). Solução Vamos supor que “f” seja a medida da diagonal de uma face. No triângulo retângulo ABC, destacado ao lado, temos: f2 = a2 + a2 → f2 = 2a2 → a2 = f2 2 → a = √ f2 2 → 𝐚 = 𝐟 √𝟐 (a) (i) Área total em função da medida da diagonal de face: S = 6a2 → S = 6. ( f √2 ) 2 → S = 6 ( f2 2 ) → 𝐒 = 𝟑𝐟² (ii) Volume em função da medida da diagonal de face: V = a3 → V = ( f √2 ) 3 → V = f³ (√2)². √2 → V = f3 2√2 . √2 √2 → 𝐕 = 𝐟³√𝟐 𝟒 (b) (i) Área total em função da medida da diagonal (d): d = a√3 → a = d √3 . √3 √3 → 𝐚 = 𝐝√𝟑 𝟑 S = 6a2 → S = 6 ( d√3 3 ) 2 → S = 6 ( 3d2 9 ) → S = 6 ( d2 3 ) → 𝐒 = 𝟐𝐝² (ii) Volume em função da medida da diagonal d: V = a3 → V = ( d√3 3 ) 3 → V = d3 . (√3)². √3 27 → V = 3d³√3 27 → 𝐕 = 𝐝³√𝟑 𝟗
  • 22. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 21 264. Calcule as medidas da aresta e da diagonal de um cubo, sabendo que seu volume é oito vezes o volume de um outro cubo que tem 2 cm de aresta. Solução (i) Vamos supor que 𝑉1 𝑒 𝑉2 sejam os volumes dos dois cubos e 𝑎1 𝑒 𝑎2 , suas arestas Logo: 𝐕𝟏 = 𝟖. 𝐕𝟐 (i) V2 = a2³ → V2 = 2³ → 𝐕𝟐 = 𝟖 𝐜𝐦³ (ii) (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: V1 = 8. V2 → V1 = 8.8 → 𝐕𝟏 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³ Aresta: V1 = a1 3 → 64 = a1 3 → 𝑎1 = √64 3 → 𝐚𝟏 = 𝟒 𝐜𝐦 Diagonal: D = a1√3 → 𝐃 = 𝟒√𝟑 𝐜𝐦 (265) Se aumentamos a aresta de um cubo em 2√𝟓 cm , obtemos um outro cubo cuja diagonal mede 30 cm. Determine a área total e o volume do cubo primitivo. Solução Observação Tudo indica que houve um erro no enunciado da questão, pois, o certo seria aumentar a aresta em: 2√𝟑 cm, logo, teríamos: Aresta original = a Aumento da aresta = (a + 2√𝟑) Diagonal: D = a√3 → 30 = (a + 2√3)√3 → 30 = a√3 + 2.3 → 30 = a√3 + 6 → a√3 = 24 → a = 24 √3 . √3 √3 → a = 24√3 3 → 𝐚 = 𝟖√𝟑 (i) Área total: S = 6a2 → S = 6. (8√3) 2 → S = 6.64.3 → 𝐒 = 𝟏𝟏𝟓𝟐 𝐜𝐦² (ii) Volume: V = a3 → V = (8√3) 3 → V = 512. (√3) 2 . √3 → V = 512.3. √3 → 𝐕 = 𝟏𝟓𝟑𝟔√𝟑 𝐜𝐦³ (266) Em quanto aumenta o volume de um cubo, em cm³, se a aresta de 1 metro aumenta em 1 cm? Solução
  • 23. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 22 Aresta 1m (100cm) => v=100³ cm³ aresta (101cm)=> V= 101³ cm³ d= V - v d= 101³ - 100³ d= 30301 cm³ d= 30301/100³ = 0,030301 m³ (267) O que ocorre com a área total e com o volume de um cubo quando: (a) A aresta dobra (b) A aresta é reduzida a 1/3 (c) A aresta é reduzida à metade (d) sua aresta é multiplicada por k. Solução (a) A ARESTA DOBRA Aresta original = a (i) Área original: 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐 𝐎 𝐝𝐨𝐛𝐫𝐨 𝐝𝐚 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟐𝐚 (ii) Área final: 𝐒′ = 𝟔(𝟐𝐚)𝟐 → 𝐒′ = 𝟔. 𝟒, 𝐚𝟐 → 𝐒′ = 𝟒(𝟔𝐚𝟐) → 𝐒′ = 𝟒. 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: A área do cubo origial é quadruplicada. (iii) Cálculo do volume: Aresta original = a (i) Volume original: 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³ 𝐎 𝐝𝐨𝐛𝐫𝐨 𝐝𝐚 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟐𝐚 (ii) Volume final: 𝐕′ = (𝟐𝐚)𝟑 → 𝐕′ = 𝟖𝐚𝟑 → 𝐕′ = 𝟖. 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por 8. (b) A ARESTA É REDUZIDA A 1/3 Aresta original = a
  • 24. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 23 (i) Área original: 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐 𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 𝐚 𝟏 𝟑 = 𝐚 𝟑 (ii) Área final: 𝐒′ = 𝟔. ( 𝐚 𝟑 ) 𝟐 → 𝐒′ = 𝟔. ( 𝐚𝟐 𝟗 ) → 𝐒′ = 𝟏 𝟗 . 𝟔𝐚𝟐 → 𝐒′ = 𝟏 𝟗 . 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/9 . (iii) Cálculo do volume: Aresta original = a (i) Volume original: 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³ 𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 𝐚 𝟏 𝟑 = 𝐚 𝟑 (ii) Volume final: 𝐕′ = ( 𝐚 𝟑 ) 𝟑 → 𝐕′ = 𝐚𝟑 𝟐𝟕 → 𝐕′ = 𝟏 𝟐𝟕 . 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: O volume original é reduzido a 1/27. (c) A ARESTA É REDUZIDA À METADE Aresta original = a (i) Área original: 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐 𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 à 𝐦𝐞𝐭𝐚𝐝𝐞 = 𝐚 𝟐
  • 25. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 24 (ii) Área final: 𝐒′ = 𝟔. ( 𝐚 𝟐 ) 𝟐 → 𝐒′ = 𝟔. ( 𝐚𝟐 𝟒 ) → 𝐒′ = 𝟏 𝟒 . 𝟔𝐚𝟐 → 𝐒′ = 𝟏 𝟒 . 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/4 . (iii) Cálculo do volume: Aresta original = a (i) Volume original: 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³ 𝐀 𝐚𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚 é 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐳𝐢𝐝𝐚 à 𝐦𝐞𝐭𝐚𝐝𝐞 = 𝐚 𝟐 (ii) Volume final: 𝐕′ = ( 𝐚 𝟖 ) 𝟑 → 𝐕′ = 𝐚𝟑 𝟖 → 𝐕′ = 𝟏 𝟖 . 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: O volume original é reduzido a 1/8. (d) SUA ARESTA É MULTIPLICADA POR k. Aresta original = a (i) Área original: 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝟔𝐚𝟐 Aresta multiplicada por k: ak (ii) Área final: 𝐒′ = 𝟔(𝐚𝐤)𝟐 → 𝐒′ = 𝟔. 𝐚𝟐 . 𝐤² → 𝐒′ = 𝐤². 𝐒𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: A área do cubo origial é multiplicada por k² (iii) Cálculo do volume:
  • 26. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 25 Aresta original = a (i) Volume original: 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝐚³ Aresta multiplicada por k: ak (ii) Volume final: 𝐕′ = (𝐚𝐤)𝟑 → 𝐕′ = 𝐚𝟑 . 𝐤𝟑 → 𝐕′ = 𝐤𝟑 . 𝐕𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por k³. (268) Enche-se um recipiente cúbico de metal com água. Dado que um galão do líquido tem um volume de 21600 cm³ e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode conter. Solução N° de galões = Vrecipiente Vgalão → N° de galões = (120 cm)3 21600 cm3 → N° de galões = 1728000 21600 𝐍° 𝐝𝐞 𝐠𝐚𝐥õ𝐞𝐬 = 𝟖𝟎 𝐠𝐚𝐥õ𝐞𝐬 (269) Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é de 5 cm. Solução Sejam A e B os centros das duas faces contíguas e C ponto médio da aresta comum às faces consideradas. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC destacado ao lado, vem:
  • 27. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 26 (270) O segmento de reta que liga um dos vértices de um cubo ao centro de uma das faces opostas mede 60 cm. Calcule o volume desse cubo. Solução (i) No triângulo retângulo amarelo, destacado ao lado, devemos ter o seguinte: x2 + ( a 2 ) 2 = (60)2 → 𝑥2 + 𝑎2 4 = 3600 → 𝐱𝟐 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 − 𝐚𝟐 𝟒 (ii) Observe o triângulo retângulo azul, destacado na figura ao lado: x2 = a2 + ( a 2 ) 2 → 3600 − 𝑎2 4 = 𝑎2 + 𝑎2 4 → 3600 − 𝑎2 4 = 4𝑎2 + 𝑎2 4 → 3600 = 5𝑎2 4 + 𝑎2 4 → 3600 = 6𝑎2 4 → 600 = 𝑎2 4 → 2400 = 𝑎2 → 𝑎 = √2400 → 𝑎 = √22. 6.10² → 𝐚 = 𝟐𝟎√𝟔 𝐜𝐦 (iii) Cálculo do volume: V = a3 → V = (20√6) 3 → V = (20√6) 2 . (20√6) → 2400.20. √6 → 𝐕 = 𝟒𝟖. 𝟎𝟎𝟎√𝟔 𝐜𝐦³ (271) Calcule o volume de um cubo, sabendo que, quando se aumenta sua aresta em 1 metro, a área lateral do cubo cresce 164 m². Solução (i) Cubo original: Aresta = a Área lateral = 4a² (ii) Cubo final: Aresta = a + 1 SL = 4a2 → 4a2 + 164 = 4(a + 1)2 → 4a2 + 164 = 4(a2 + 2a + 1) → 4a2 + 164 = 4a2 + 8a + 4 →
  • 28. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 27 164 = 8a + 4 → 8a = 164 − 4 → 8a = 160 → a = 160 8 → 𝐚 = 𝟐𝟎 𝐦 Cálculo do volume: V = a3 → V = (20)3 → 𝐕 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝐦³ 272. A medida da superfície total de um cubo é 726 cm². Quanto devemos aumentar sua diagonal para que o volume aumente 1.413 cm³? Solução (i) Área total do cubo: S = 6a2 → 6a2 = 726 → a2 = 726 6 → a2 = 121 → a = √121 → 𝐚 = 𝟏𝟏 𝐜𝐦 Volume do cubo: V = a3 → V = (11)3 → 𝐕 = 𝟏𝟑𝟑𝟏 𝐜𝐦³ O volume deve aumentar 1413 cm³. Logo: V’ = 1331+1413 V′ = 2744 Valor da nova aresta: a′3 = 2744 → a′ = √2744 3 → 𝑎′ = √23. 73 3 → 𝐚′ = 𝟏𝟒 𝐜𝐦 Note que a aresta do cubo original sofreu um aumento de: 14 cm – 11 cm = 3 cm. Logo. Diagonalfinal − Diagonaloriginal → 𝑎′ . √3 − 𝑎. √3 → 14√3 − 11√3 → 3√3 cm (273) Calcule a aresta e a área total de um cubo de volume igual ao do ortoedro cujas dimensões são 8 cm, 27 cm e 125 cm. Solução Um ortoedro é um tipo de paralelepípedo ortogonal com faces que formam entre si ângulos retos. Os ortoedro são prismas retangulares retos, e também são chamados paralelepípedos retangulares. De acordo com o enunciado: Vcubo = Vorotoedro → a3 = a. b. c (i) Aresta do cubo a3 = 8.27.125 → a3 = 27000 → a = √27000 3 → 𝐚 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦 (ii) Área total do cubo: S = 6a2 → S = 6(30)2 → S = 6.900 → 𝐒 = 𝟓𝟒𝟎𝟎 𝐜𝐦² (274) Calcule o comprimento da aresta e a área total de um cubo equivalente a um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são 8 cm, 64 cm e 216 cm.
  • 29. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 28 Solução Vcubo = Vorotoedro (i) Aresta do cubo: a3 = a. b. c → 𝑎3 = 8.64.216 → 𝑎3 = 110.592 → 𝑎 = √110592 3 → 𝐚 = 𝟒𝟖 𝐜𝐦 (ii) Área total do cubo: S = 6a2 → S = 6(48)2 → S = 6.2304 → 𝐒 = 𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒 𝐜𝐦² (275) O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270 dm³. Uma de suas arestas mede 5 dm e a razão entre as outras duas é 𝟐 𝟑 . Determine a área total desse paralelepípedo. Solução Vamos supor que: c = 5 dm Vparalelepípedo = a. b. c (𝐢) 𝐕𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐞𝐩í𝐩𝐞𝐝𝐨 = 𝟐𝟕𝟎 𝐝𝐦𝟑 → a. b. 5 = 270 → a. b = 270 5 → 𝐚. 𝐛 = 𝟓𝟒 (𝐢) (ii) razão entre duas dimensões: a b = 2 3 → 3a = 2b → 𝐚 = 𝟐𝐛 𝟑 (𝐢𝐢) (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: a. b = 54 → 2b 3 . b = 54 → b2 3 = 27 → b2 = 81 → b = √81 → 𝐛 = 𝟗 𝐝𝐦 Como: a = 2b 3 → a = 2.9 3 → 𝐚 = 𝟔 𝐝𝐦 (iii) Área total: S = 2(ab + bc + ac) → S = 2(6.9 + 9.5 + 6.5) → S = 2(54 + 45 + 30) → S = 2(129) → 𝐒 = 𝟐𝟓𝟖 𝐝𝐦² (276) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63 cm. Solução (i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então: a 3 = b 6 = c 9 = k → a = 3k; b = 6k e c = 9k (ii) Diagonal = 63 𝐷2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = (63)2 → (3𝑘)2 + (6𝑘)2 + (9𝑘)2 = 3969 →
  • 30. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 29 9k2 + 36k2 + 81k2 = 3969 → 126k2 = 3969 → k2 = 3969 126 → k2 = 31,5 → k = √31,5 → k = √ 315 10 → k = √315 √10 → k = √32. 35 √10 → k = 3√35 √10 . √10 √10 → k = 3√350 10 → k = 3√52. 14 10 → k = 15√14 10 ÷ 5 5 → 𝐤 = 𝟑√𝟏𝟒 𝟐 a = 3. k → a = 3. 3√14 2 → 𝐚 = 𝟗 √𝟏𝟒 𝟐 𝐜𝐦 b = 6k → b = 6. 3√14 2 → 𝐛 = 𝟗√𝟏𝟒 𝐜𝐦 c = 9k → c = 9. 3√14 2 → 𝐜 = 𝟐𝟕√𝟏𝟒 𝟐 𝐜𝐦 Área total: S = 2(ab + bc + ac) → S = 2 ( 9 √14 2 . 9√14 + 9√14. 27√14 2 + 9 √14 2 . 27√14 2 ) → S = 2 ( 81.14 2 + 243.14 2 + 243.14 4 ) → S = 2 (81.7 + 243.7 + 243.7 2 ) → S = 2 (567 + 1701 + 1701 2 ) → S = 2 ( 1134 + 3402 + 1701 2 ) → 𝐒 = 𝟔𝟐𝟑𝟕 𝐜𝐦² Volume: V = a. b. c → V = 9 √14 2 . 9√14. 27√14 2 → V = 2187.14. √14 4 → 𝐕 = 𝟏𝟓𝟑𝟎𝟗√𝟏𝟒 𝟐 𝐜𝐦³ Observação: Na resposta do livro aparece: 𝟓𝟔𝟕√𝟏𝟒 𝐜𝐦³ (277) As dimensões a, b e c de um ortoedro são proporcionais a 6, 3 e 2. Sabendo que a área total é 288 cm², calcule as dimensões, a diagonal e o volume do paralelepípedo. Solução (i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então: a 6 = b 3 = c 2 = k → a = 6k; b = 3k e c = 2k Área total = 288 S = 2(ab + bc + ac) → 2(ab + bc + ac) = 288 ÷ 2 → ab + bc + ac = 144 → 6k. 3k + 3k. 2k + 6k. 2k = 144 → 18k2 + 6k2 + 12k2 = 144 → 36k2 = 144 → k2 = 144 36 → k2 = 4 k = √4 → 𝐤 = 𝟐 a = 6k → 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
  • 31. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 30 b = 3k → 𝐛 = 𝟔 𝐜𝐦 c = 2k → 𝐜 = 𝟒 𝐜𝐦 Diagonal: D = √a2 + b2 + c² → D = √122 + 62 + 4² → D = √144 + 36 + 16 → D = √196 → 𝐃 = 𝟏𝟒 𝐜𝐦 Volume: V = a. b. c → V = 12.6.4 → 𝐕 = 𝟐𝟖𝟖 𝐜𝐦³ (278) A altura de um ortoedro mede 10 cm e as bases são quadrados de diagonal 𝟓√𝟐 cm. Calcule a área da superfície lateral e o volume. Solução Diagonal do quadrado = L√𝟐 L√2 = 5√2 → 𝐋 = 𝟓 𝐜𝐦 A superfície lateral é composta por 4 retângulos de dimensões: 5 x 10. Logo: SL = 4(5.10) → SL = 4.50 → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐦² Volume: V = a. b. c → V = 5.5.10 → 𝐕 = 𝟐𝟓𝟎 𝐜𝐦³ (279) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito em forma de ortoedro (aberto em cima), sabendo que o depósito tem 2 m de largura, 1,50 m de altura e 1,20 m de comprimento. Solução Área da placa: S = 2. Area A + 2. Área B + 1. Área C S = 2(2.1,5 + (1,20.1,5) + 2.1,20 → S = 2(3 + 1,8) + 2,40 → S = 2.4,8 + 2,40 → S = 9,6 + 2,40 → 𝐒 = 𝟏𝟐 𝐦²
  • 32. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 31 (280) A área de um paralelepípedo reto-retângulo é 720 cm². Determine seu volume, sabendo que a soma de suas dimensões vale 34 cm e que a diagonal de uma das faces vale 20 cm. Solução (281) Determine as dimensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas dimensões igual a 45 cm, a diagonal da base igual a 25 cm e a área total igual a 1 300 cm². Solução (282) Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo, dada a soma de suas dimensões 43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180a². Solução
  • 33. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 32 (283) Calcule as dimensões de um ortoedro cuja diagonal mede 13 cm, de área total 192 cm², e sabendo que a área da seção por um plano que contém duas arestas opostas é 60 cm². Solução A área da secção que ele descreve é a da figura abaixo. Seja x a largura, y o comprimento e z a altura desse sólido. Temos:
  • 34. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 33 (284) Determine o volume de um ortoedro de 90 cm² de superfície, supondo que quatro faces do ortoedro são retângulos congruentes e que cada uma das outras é um quadrado de área igual à metade da área do retângulo. Solução (i) De acordo com o enunciado: a2 = ab 2 → a = b 2 → 𝐛 = 𝟐𝐚 (ii) Área do ortordro = 90 cm² S = 2a2 + 4a. b → 2a2 + 4a. b = 90 ÷ 2 → a2 + 2ab = 45 → a2 + 2a. 2a = 45 → a2 + 4a2 = 45 → 5a2 = 45 → a2 = 45 5 → a2 = 9 → 𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦 b = 2a → b = 2.3 → 𝐛 = 𝟔 𝐜𝐦 Volume: V = Sb. h → V = a2 . b → V = 32 . 6 → V = 9.6 → 𝐕 = 𝟓𝟒 𝐜𝐦³ (285) Um cubo e um ortoedro têm ambos soma das arestas igual a 72 cm. A dimensão menor do ortoedro é 𝟐 𝟑 da aresta do cubo e a dimensão maior do ortoedro é 𝟒 𝟑 da dimensão menor do ortoedro. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos. Solução
  • 35. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 34 (286) Uma banheira tem a forma de um ortoedro cujas dimensões são 1,20 m de comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. Quantos litros de água pode conter? Se toda a água da banheira for colocada em um depósito em forma de cubo de 3 m de aresta, que altura alcançará a água? Solução (i) Capacidade em Litros: V = a. b. c → V = 1,20 x 0,90 x 0,50 → 𝐕 = 𝟎, 𝟓𝟒 𝐦³ Para transformar de m³ para dm³ devemos multiplicar por 1000. Logo: V = 0,54 x 1000 → V = 540 dm3 → 𝐕 = 𝟓𝟒𝟎 𝐋𝐢𝐭𝐫𝐨𝐬 (ii) Altura da água em um cubo de aresta de 3m de aresta Vcubo = a. a. h → 0,54 = 3.3. h → 9h = 0,54 → h = 0,54 9 → 𝐡 = 𝟎, 𝟎𝟔 𝐦 (287) A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo. Solução (288) Calcule a área total S de um paralelepípedo retângulo em função de seu volume V e do lado L, de sua base, sabendo que a base é um quadrado. Solução (i) Volume V = a. b. c → V = L. L. c → V = L2 . c → 𝐋𝟐 = 𝐕 𝐜 𝐨𝐮 𝐜 = 𝐕 𝐋² (ii) Área da base
  • 36. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 35 Sb = L2 (𝑖𝑖) Igualando (i) em (ii), temos: V c = L2 → 𝐕 = 𝐋𝟐 . 𝐜 → V = L. L. c → 𝐋 = 𝐕 𝐋𝐜 Área total S = 2(ab + ac + bc) → S = 2(L. L + Lc + Lc) → S = 2(L2 + 2Lc) → S = 2 ( V c + 2. V Lc . c) → S = 2 ( V c + 2V L ) → S = 2 ( V V L2 + 2V L ) → S = 2 (V. L2 V + 2V L ) → S = 2 (L2 + 2V L ) → 𝐒 = 𝟐𝐋𝟐 + 𝟒𝐕 𝐋 289. Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o volume 900 m³ e a área total 600 m². Solução (i) Vamos supor que as dimensões sejam: “a”, “b” e “c”. Logo: a + b = 25 V = 900 → abc = 900 → 𝐚𝐛 = 𝟗𝟎𝟎 𝒄 (i) St = 600 → 2(ab + ac + bc) = 600 ÷ 2 → ab + ac + bc = 300 → ab + c(a + b) = 300 → 900 c + 25𝑐 = 300 → 900 + 25𝑐2 = 300𝑐 → 25𝑐2 − 300𝑐 + 900 = 0 ÷ 25 → 𝐜𝟐 − 𝟏𝟐𝐜 + 𝟑𝟔 = 𝟎 ∆= 122 − 4.1.36 → ∆= 144 − 144 → ∆= 0 c = 12 ± 0 2 → 𝐜 = 𝟔 𝐦 Substituindo o valor de c = 6 m em (i), temos: ab = 900 c ab = 900 6 → ab = 150 → 𝐛 = 𝟏𝟓𝟎 𝐚 (𝐢𝐢) Sabemos que: a + b = 25 → a + 150 a = 25 → 𝑎2 + 150 = 25𝑎 → 𝐚𝟐 − 𝟐𝟓𝐚 + 𝟏𝟓𝟎 = 𝟎 ∆= 625 − 600 → ∆= 25 𝑎 = 25 ± 5 2 → 𝐚′ = 𝟏𝟓 𝐦 𝐞 𝐚′′ = 𝟏𝟎 𝐦 Quando a = 15 b = 150 a → b = 150 15 → 𝐛 = 𝟏𝟎 𝐦 Quando a = 10 b = 150 a → b = 150 10 → 𝐛 = 𝟏𝟓 𝐦 Logo:
  • 37. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 36 As dimensões do paralelepípedo são: 10 m, 15 m e 6 m (290) Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas dimensões têm igual medida e que a diagonal mede 9 cm, sendo 144 cm² sua área total. Solução (291) A área da superfície total de um cubo é igual à de um ortoedro de área 216 cm². A altura do ortoedro é de 3 cm e uma das dimensões da base é 1/3 da outra. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos. Solução (292) Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo, com 192 cm³ de volume, diagonal medindo o triplo da diagonal de uma das faces de menor área, que é o triplo da menor dimensão do paralelepípedo. Solução
  • 38. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 37 (293) Cinco cubos podem ser dispostos um sobre o outro, formando um ortoedro. Também podemos dispor 6 cubos iguais aos anteriores, pondo 3 sobre 3, obtendo um outro ortoedro. Determine a razão entre os volumes e a razão entre as áreas dos ortoedros obtidos. Solução (i) Note que quando os cubos são empilhados resultam num ortoedro de base quadrada com aresta “a” e altura igual a 5a. O volume desse ortoedro é: V1 = a. a. 5a → 𝐕𝟏 = 𝟓𝐚³ Area total: S1 = 5SL + 2Sb → S1 = 5. (4a2) + 2. a2 → S1 = 20a2 + 2a² → 𝐒𝟏 = 𝟐𝟐𝐚²
  • 39. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 38 (ii) Note que quando os cubos são empilhados resultam num ortoedro de base retangular igaul a 3a.a e altura 2a. Logo: Volume V2 = 3a. a. 2a → V2 = 6a³ Área total S2 = 2. a. 3a + 2.2a. 2a + 2.2a. 2a → S2 = 6a2 + 8a2 + 4a² → 𝐒𝟐 = 𝟐𝟐𝐚² Razão entre os volumes: V2 𝑉1 = 𝟔𝒂𝟑 𝟓𝒂³ → V2 𝑉1 = 𝟔 𝟓 Razão entre as áreas: S2 S1 = 22a2 22a² → 𝐒𝟐 𝐒𝟏 = 𝟏 (294) Com seis cubos iguais, construímos um ortoedro, dispondo os cubos um sobre o outro de maneira que suas faces estejam exatamente superpostas. Determine a relação entre as áreas do ortoedro e de um cubo, sendo os volumes dos cubos os mesmos. (Resposta: 𝟏𝟏 𝟑 ) (295) Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície. (Resposta: O ortoedro de menor superfície é o cubo). 296. Sobre a base quadrada de um ortoedro, constrói-se exteriormente a ele um cubo que tem por base o quadrado cujos vértices são os pontos médios da base do ortoedro. Determine o volume e a área da superfície do sólido assim obtido, sabendo que a altura do ortoedro mede 2/3 do lado da base e a soma de suas dimensões é de 16 cm. Solução
  • 40. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 39 (297) Calcule as medidas x e y das arestas de dois cubos, conhecendo a soma x + y = L , (L, é dado) e a soma dos volumes v³ (v é dado). Discuta. Solução (298) Demonstre que: (a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer. (b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da diagonal. Solução
  • 41. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 40 (299) Sabendo que as faces de um cubo são inscritíveis em círculos de 7,29𝝅 cm² de área, calcule: (a) a medida da sua diagonal; (b) a medida da sua área total; (c) a medida do seu volume. Solução 300. Demonstre que, em todo paralelepípedo, a soma dos quadrados das áreas das seções, determinadas pelos seis planos diagonais, é igual ao dobro da soma dos quadrados das áreas das seis faces. Solução
  • 42. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 41 (301) (a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor superfície? (b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume? Respostas: (746) Determine a aresta de um cubo, sabendo que seu volume é o dobro do volume de um outro cubo de aresta A. Solução Seja “𝑎1” a aresta do cubo 1. De acordo com o enunciado, o volume do cubo 1 é o dobro do volume do cubo 2. Logo: V1 = 2. V2 (a1)3 = (2. A3) a1 = √2A3 3 𝐚𝟏 = 𝐀√𝟐 𝟑 ---------------------------------------------- INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS – ESFERA E CUBO
  • 43. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 42 (880) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta. Solução
  • 44. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 43 (881) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta. Solução Pela figura, temos que a Diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo: Em um cubo inscrito em uma esfera, temos: (i) DiagonalCubo = Diagonal esfera a√3 = 2R
  • 45. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 44 (ii) Como o raio da esfera vale 3, temos a√3 = 2.3 → a = 6 √3 . √3 √3 → 𝐚 = 𝟔√𝟑 𝟑 (iii) Volume do cubo V = a3 → V = ( 6√3 3 ) 3 → V = 216. √32. 3 27 → V = 8.3√3 → 𝐕 = 𝟐𝟒√𝟑 cm³ (882) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 cm de raio. Solução Solução Observação: Trata-se do mesmo caso anterior, sendo que a esfera está circunscrita ao cubo. Logo: Diagonalcubo = Diâmetroesfera a√3 = 2r a = 2r √3 a = 2r √3 . √3 √3 a = 2r√3 3 Vcubo = a3 Vcubo = ( 2.8√3 3 ) 3 Vcubo = ( 16√3 3 ) 3 Vcubo = 4096.3√3 27 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟒𝟎𝟗𝟔√𝟑 𝟗 𝐜𝐦³ (883) Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25𝝅 cm² de superfície. Solução
  • 46. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 45 Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐚 𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 Sesfera = 4πr2 25π = 4πr2 4r2 = 25 r2 = 25 4 r = 5 2 a = 2r a = 2. 5 2 a = 5 cm Á𝐫𝐞𝐚 𝐥𝐚𝐭𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨 SL = 4a2 SL = 4.52 SL = 4.25 𝐒𝐋 = 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐦² 𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨 V = a3 V = 53 𝐕 = 𝟏𝟐𝟓 𝐜𝐦³ (884) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm². Solução ST = 6a2 6a2 = 54 a2 = 54 6 a2 = 9 𝐚 = 𝟑 Diagonalcubo = Diâmetroesfera a√3 = 2r r = a√3 2 𝐫 = 𝟑√𝟑 𝟐 Volume da esfera V = 4 3 πr3 V = 4 3 π ( 3√3 2 ) 3 V = 4 3 . 27.3√3 8 π 𝐕 = 𝟐𝟕√𝟑 𝟐 𝛑 𝐜𝐦³
  • 47. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 46 (885) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede 2,304𝝅 cm³. Solução Volume da esfera Vesfera = 2,304π 2,304π = 4 3 πr3 4r3 = 6,912 r3 = 6,912 4 r3 = 1,728 r = √ 1728 1000 3 r = 12 10 𝐫 = 𝟏, 𝟐 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 a√3 = 2r a = 2r √3 a = 2.1,2 √3 a = 2,4 √3 𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐛𝐨 V = a3 V = ( 2,4 √3 ) 3 V = 13,824 3√3 𝐕 = 𝟒, 𝟔𝟎𝟖 √𝟑 𝐜𝐦³ (886) Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera. Solução 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 a√3 = 2r a = 2r √3 . √3 √3 a = 2r√3 3 Scubo = 6a2 → Scubo = 6 ( 2r√3 3 ) 2 → Scubo = 6 ( 4r2 . 3 9 ) → Scubo = 72r² 9 → 𝐒𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟖𝐫² Sesfera Scubo = 4πr2 8r2 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 𝐒𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝛑 𝟐 (887) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a uma mesma esfera. Solução:
  • 48. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 47 cuboinscrito cubocircunscrito =? De acordo com o exercício anterior (07), a aresta de um cubo inscrito em uma esfera é dada por: a = 2r√3 3 → V cuboinscrito = a3 → V cuboinscrito = ( 2r√3 3 ) 3 → V cuboinscrito = 8r³3√3 27 V cuboinscrito = 8r³√3 9 → 𝐕 𝐜𝐮𝐛𝐨𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 = 𝟖𝐫𝟑 √𝟑 𝟗 Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos: a = 2r V cubocircunscrito = a3 → V cubocircunscrito = (2r)3 → 𝐕 𝐜𝐮𝐛𝐨𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 = 𝟖𝐫³ cuboinscrito cubocircunscrito = 𝟖𝐫𝟑 √𝟑 𝟗 𝟖𝐫𝟑 → cuboinscrito cubocircunscrito = √𝟑 𝟗 (888) Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a. Solução (i) Podemos dizer que, se a esfera está inscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está circunscrito a uma esfera. Logo: Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos: 𝑟 = 𝑎 2 Volume da esfera inscrita: Vinscrita = 4 3 𝜋𝑟3 → Vinscrita = 4 3 𝜋 ( 𝑎 2 ) 3 → Vinscrita = 4 3 𝜋. 𝑎³ 8 → 𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 = 𝐚³𝛑 𝟔 (ii) Podemos dizer que, se a esfera está circunscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está inscrito a uma esfera. Logo:
  • 49. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 48 Raio da esfera: 𝐑 = 𝒂 √𝟑 𝟐 (iii) Volume da esfera circunscrita: 𝐕𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 = 4 3 πr3 → Vinscrita = 4 3 π ( a√3 2 ) 3 → Vinscrita = 4 3 π. a3 3√3 8 → 𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 = 𝐚³𝛑√𝟑 𝟐 (iv) Razão Vinscrita Vcircunscrita = a³π 6 a³π√3 2 → a3 π 3 a³π√3 → a3 π 3 . 1 a³π√3 → 1 3√3 . √3 √3 → 𝐕𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 𝐕𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐚 = √𝟑 𝟗 (889) Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r. Solução (i) Se o cubo está inscrito, então, a esfera está circunscrita ao cubo. Logo: r = a√3 2 → a√3 = 2r → a = 2r √3 . √3 √3 → 𝐚 = 𝟐𝐫√𝟑 𝟑 (ii) Volume do cubo: V = a3 → V = ( 2r√3 3 ) 3 → V = 8r3 . 3. √3 27 → 𝐕 = 𝟖𝐫³√𝟑 𝟗 (890) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida A da superfície da esfera. Solução (i) A área da esfera é dada por: A = 4πr2 → r2 = A 4π → r = √ A 4π → 𝐫 = √𝐀 𝟐√𝛑 (𝒊)
  • 50. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 49 (ii) Note, pela figura ao lado que diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo: a√3 = 2r → 𝐚 = 𝟐𝐫 √𝟑 (𝒊𝒊) (iii) Substituindo (i) em (ii), temos: 𝐚 = 2r √3 → a = 2. ( √A 2√π ) √3 → 𝐚 = √𝐀 √𝟑. √𝛑 (iv) Volume do cubo: V = a3 → V = ( √A √3. √π ) 3 → V = (√A) 2 . √A (√3) 2 . √3. (√π) 2 . √𝜋 → 𝑉 = A√A 3√3. π√π → 𝐕 = 𝐀√𝐀 𝟑𝛑√𝟑𝛑 (891) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida V do volume da esfera. Solução (i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação: 2R = a√3 → 𝐚 = 𝟐𝐑 √𝟑 (𝑖) (ii) Volume da esfera: V = 4 3 πR3 → R3 = V 4 3 π → R3 = V. 3 4π → 𝐑 = √ 𝐕. 𝟑 𝟒𝛑 𝟑 (𝑖𝑖) (iii) Substituindo (ii) em (i), temos: a = 2R √3 → 𝐚 = 𝟐 (√𝐕. 𝟑 𝟒𝛑 𝟑 ) √𝟑 (iv) Volume do cubo:
  • 51. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 50 V = a3 → V = [ 2 (√V. 3 4π 3 ) √3 ] 3 → V = 8 ( V. 3 4π ) 3√3 → V = 6V π 3√3 → V = 6V 3π√3 → 𝐕 = 𝟐𝐕 𝛑√𝟑 (892) Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo. Solução (i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação: 2R = a√3 → 𝐚 = 𝟐𝐑 √𝟑 (𝑖) (ii) Área total do cubo: A = 6a2 → a2 = A 6 → a = √ A 6 (𝑖𝑖) (iii) Igualando (i) com (ii), temos: 2R √3 = √ A 6 → 2R = √3. √ A 6 → 2R = √ 3A 6 → 𝐑 = √𝐀 𝟐 𝟐 (iv) Área da esfera: S = 4πR2 → S = 4π ( √A 2 2 ) 2 → S = 4π ( A 2 4 ) → S = π ( A 2 ) → 𝐒 = 𝛑𝐀 𝟐 (893) Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede 54,76𝝅 cm². Solução (i) Vamos supor que “r” seja o raio da esfera e “d” a distância que queremos calcular. Logo: (ii) Área da esfera: S = 4πr2 → 54,76π = 4πr2 → 4r2 = 54,76 → r2 = 54,76 4 → 𝑟2 = 13,69
  • 52. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 51 (iii) Sabemos que em uma esfera inscrita no cubo, a aresta do cubo vale 2 vezes o valor do raio da esfera. Logo: a = 2r (iv) Note que no triângulo retângulo AOC, o lado AO vale metade da diagonal da base, ou seja: AO = 2r√2 2 → AO = r√2 OC = r (v) Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo AOC, temos: 𝑑2 = (𝐴𝑂)2 + 𝑟2 → 𝑑2 = (𝑟√2 )² + 𝑟2 → 𝑑2 = 2r2 + r2 → d2 = 3r2 → d2 = 3.13,69 → d = √3. ( 1369 100 ) → d = √ 4107 100 → 𝐝 = √𝟒𝟏, 𝟎𝟕 𝐜𝐦 (894) Determine a diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera na qual uma cunha de 60° tem área total igual a 60𝝅 cm². Solução (i) A área da cunha é dada por: Scunha = 𝑆𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 + 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 60π = πr2 + 𝜋𝑟2 𝛼 90 60𝜋 = 90𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟2 . 60 90 r2 = 36 𝐫 = 𝟔 𝐜𝐦 (ii) No cubo circunscrito a uma esfera, temos:
  • 53. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 52 2r = a 2.6 = a 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦 (iii) Diagonal do cubo D = a√3 𝐃 = 𝟏𝟐√𝟑 𝐜𝐦 (895) Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 144𝝅 cm². Solução (i) Área lateral do cubo = 144𝛑 cm². SL = 144π → 4a2 = 144π → a2 = 144π 4 → a2 = 36π → a = √36π → 𝐚 = 𝟔√𝛑 𝒄𝒎 (ii) Volume do cubo Vcubo = 𝑎3 → Vcubo = (6√𝜋) 3 → 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟐𝟏𝟔𝛑√𝝅 𝒄𝒎³ (iii) Em uma esfera inscrita em um cubo, temos: a = 2r → r = a 2 → 𝑟 = 6√𝜋 2 → 𝐫 = 𝟑√𝛑 𝐜𝐦 (iv) Volume da esfera Vesfera = 4 3 𝜋𝑟3 → Vesfera = 4 3 𝜋(3√𝜋) 3 → Vesfera = 4 3 𝜋(27𝜋√𝜋) → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟑𝟔𝛑𝟐 . √𝛑 𝐜𝐦³ (v) Espaço entre a esfera e o cubo Espaço = Vcubo − Vesfera → Espaço = 216π√π − 36π2 √π → 𝐄𝐬𝐩𝐚ç𝐨 = 𝟑𝟔𝛑√𝛑 (𝟔 − 𝛑) cm³ (896) Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm; sendo 8 cm a medida da aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Solução Raio da esfera = 4 cm Aresta do cubo = 8 cm
  • 54. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 53 Devemos ter o seguinte: Vexterno = Vcubo − Vesfera V = 83 − 4 3 π. 43 → V = 512 − 4π 3 . 64 → 𝐕 = 𝟓𝟏𝟐 − 𝟐𝟓𝟔𝛑 𝟑 Obs: O gabarito do livro tem a seguinte resposta: 𝐕 = 𝟓𝟏𝟐 − 𝟓𝟏𝟐𝝅 𝟑 ------------------------------------------------------- QUESTÕES DE VESTIBULARES (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+√𝟐) cm. Calcule o volume do cubo em cm³. Solução (i) De acordo com o enunciado da questão, o perímetro (P) do quadrilátero ABCD vale: 8(1+√2) cm. Sabemos que o perímetro é a soma dos lados. Na figura, “d” equivale à diagonal da base e “a” a medida do lado. A diagonal da base é dada por: d = a√2 P = 8(1 + √2) → 2𝑑 + 2𝑎 = 8(1 + √2) → 2(𝑎√2) + 2𝑎 = 8(1 + √2) ÷ 2 → 𝑎√2 + 𝑎 = 4(1 + √2) (ii) Colocando o “a” em evidência no 1° membro da equação, temos:
  • 55. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 54 a(1 + √2) = 4(1 + √2) → a = 4(1 + √2) (1 + √2) → 𝐚 = 𝟒 𝐜𝐦 (iii) Volume do cubo V = a3 → V = 43 → 𝐕 = 𝟔𝟒 𝐜𝐦³ (ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a (a) 5 cm. (b) 6 cm. (c) 12 cm. (d) 24 cm. (e) 25 cm. Solução Sendo VP e VC os volumes das barras de chocolate de formato “paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente, e sendo a a medida da aresta do cubo, temos: (i) Volume do paralelepípedo: V= abc. VP = 3 cm x 18 cm x 4 cm = 216 cm³ (ii) Volume do cubo: VC = a³ Como os dois volumes são iguais: VP = VC a³ = 216 cm³ ⇒a = √216 3 → a = 6 cm Resposta: B Um deslizamento ocorrido em uma encosta de estrada deslocou 262,5 m³ de terra sobre a pista. Para a limpeza dessa área, a prefeitura destinou caminhões com as dimensões indicadas na figura abaixo. Quantas viagens o caminhão deve fazer para transportar o volume total de terra que deslizou?
  • 56. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 55 (a) 10 (b) 13 (c) 15 (d) 18 (e) 21 Solução Volume de cada caminhão: Vcaminhão = a. b. c → Vcaminhão = 4.1,75.2,5 → 𝐕𝐜𝐚𝐦𝐢𝐧𝐡ã𝐨 = 𝟏𝟕, 𝟓 𝐦³ Quantidade de viagens (Q): Q = Vterra Vcaminhão → Q = 262,5 17,5 → 𝐐 = 𝟏𝟓 𝐯𝐢𝐚𝐠𝐞𝐧𝐬 (FGV-SP) O volume de um cubo, em m³, é numericamente igual a sua área total, em cm². Assim, a aresta desse cubo, em cm, é igual a: Solução (i) O Volume do cubo está em m³, logo, a aresta também está em metros. Mas, precisamos transformar para cm, porque o enunciado da questão pede a resposta em cm. Assim sendo: a. 1 100 = 𝑎. 10−2 (ii) Conforme o enunciado: Vcubo = Scubo → (a. 10−2)3 = 6a2 → a3 . 10−6 = 6a2 ÷ a2 → a. 10−6 = 6 → a = 6 10−6 → 𝐚 = 𝟔. 𝟏𝟎𝟔
  • 57. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 56 (UFRS) Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P, centro de uma das faces do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como indicado na figura ao lado. A medida do segmento PQ é: Solução (Resposta: B) (PUCRS) No cubo representado na figura a área do triângulo ABC é: Solução Pela figura fornecida, temos: (i) AB = Aresta do cubo = AB = 4 (ii) AC = Diagonal do cubo → AC = a√3 → 𝐀𝐂 = 𝟒√𝟑 (iii) BC = Diagonal de uma face → BC = a√2 → 𝐁𝐂 = 𝟒√𝟐
  • 58. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 57 Note que o triângulo ABC é retângulo em B. Os lados AB e BC são os catetos. Logo, sua área é: S = AB. BC 2 → S = 4.4√2 2 → 𝐒 = 𝟖√𝟐 (Resposta: B) (U.F. São Carlos - SP) A figura indica um paralelepípedo reto retângulo de dimensões √𝟐 𝐱 √𝟐 𝐱 √𝟕, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices. A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a: Solução Vamos marcar o ponto médio de CD. Ele será chamado de M. Podemos observar que o segmento de reta BM corresponderá à metade da diagonal da base BE, logo: 𝐵M = √2. √2 2 → BM = 2 2 → 𝐁𝐌 = 𝟏
  • 59. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 58 Note também que existe um triângulo (vermelho) que é retângulo em B. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (AM)2 = (MB)2 + (AB)2 → (AM)2 = 12 + (√7) 2 → (AM)2 = 1 + 7 → (AM)2 = 8 → AM = √8 → 𝐀𝐌 = 𝟐√𝟐 (UNESP - SP) A figura mostra um paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: Solução (i) No triângulo retângulo AEH, temos: (AH)2 = (AE)2 + (EH)2 (AH)2 = (2𝑎)2 + 𝑎2 (AH)2 = 4𝑎2 + 𝑎2 (AH)2 = 5𝑎2 𝐀𝐇 = 𝐚√𝟓 (ii) No triângulo AHB, temos: (HB)2 = (AH)2 + (AB)² (HB)2 = 5a2 + a2 (HB)2 = 6a2 𝐻B = √6a2 𝐇𝐁 = 𝐚√𝟔
  • 60. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 59 (iii) Ainda no triângulo AHB, temos: HB. AL = AB. AH a√6. 𝐴𝐿 = 𝑎. 𝑎√5 AL = a√5 √6 . √6 √6 → 𝐀𝐋 = 𝐚√𝟑𝟎 𝟔 (Resposta: E) (UE-MG) O desenho, abaixo, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de um certo período, 1.200 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de: Solução Dimensões internas do recipiente = 59 x 39 x 9 Volume original da mistura: Vo = 59.39.8 ---> Vo = 18 408 cm³ Volume restante após evaporação: V = 18 408 - 1 200 ---> V = 17 208 cm³ 59.39.h = 17 208 ---> 2301.h=17208 ----> h = 17208 2301 → 𝐡 ≅ 𝟕, 𝟒𝟖 Resposta: C (FUVEST - SP) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta 𝐀𝐄 ̅̅̅̅, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a:
  • 61. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 60 Vamos apresentar duas soluções diferentes para este problema: Solução 1 (i) Note que BN é metade da diagonal da base do cubo. Logo: 𝐁𝐍 = 𝐚√𝟐 𝟐 (ii) 𝐀𝐌 = 𝐚 𝟐 (iii) 𝐀𝐁 = 𝐚 (iv) No triângulo retângulo ABM, temos: (MB)2 = (AM)2 + (AB)2 → (MB)2 = ( a 2 ) 2 + a2 → (MB)2 = a2 4 + a2 → (MB)2 = 5a2 4 (v) No triângulo MBN, retângulo em N, temos: (MB)2 = (MN)2 + (BN)2 → 5a2 4 = (MN)2 + ( a√2 2 ) 2 → 5a2 4 = (MN)2 + 2a² 4 → (MN)2 = 5a2 4 − 2a² 4 (MN)2 = 3a² 4 → MN = √ 3a² 4 → 𝐌𝐍 = 𝐚√𝟑 𝟐 Resposta: C Solução 2
  • 62. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 61 Vamos usar o triângulo retângulo ABC do quadrado ABCD. No cubo temos também um triângulo retângulo: Considere o cubo ABCDEFGH representado na figura abaixo, cuja aresta mede 4 e M é o ponto médio da aresta AB. A área do triângulo MHG é: (𝐚) 𝟐√𝟐 (𝐛) 𝟒√𝟐 (𝐜) 𝟖√𝟐 (𝐝)𝟏𝟔 √𝟐 (𝐞) 𝟑𝟐√𝟐
  • 63. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 62 Solução (i) Note que o triângulo PMN é retângulo em N. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (𝐏𝐌)𝟐 = (𝐏𝐍)𝟐 + (𝐍𝐌)𝟐 → (𝐏𝐌)𝟐 = 𝟒𝟐 + 𝟒𝟐 → (𝐏𝐌)𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 → (𝐏𝐌)𝟐 = 𝟑𝟐 → (𝐏𝐌) = √𝟑𝟐 → 𝐏𝐌 = √𝟐. 𝟏𝟔 → 𝐏𝐌 = 𝟒√𝟐 (ii) Área do triângulo MHG: (ii) Área do triângulo MHG: 𝐒 = 𝐇𝐆. 𝐏𝐌 𝟐 → 𝐒 = 𝟒. 𝟒√𝟐 𝟐 → 𝐒 = 𝟖√𝟐 Resposta: Letra C Observação: Note que PM é igual à diagonal de um quadrado de lado 4, assim sendo poderia ser rapidamente calculada pela fórmula: PM = L√2 → 𝐏𝐌 = 𝟒√𝟐 (ENEM) O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de competição tem uma profundidade uniforme de 3 m que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o movimento contra uma superfície e o regresso no sentido contrário atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas. Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor mais próximo de: a) 20%. b) 25%. c) 47%. d) 50%. e) 88%. Solução 1) A capacidade da piscina original, em m³, é 50 . 20 . 2 = 2000 2) A capacidade da nova piscina, também em m³, é: 50 . 25 . 3 = 3750 3) 3750/2000 = 1,875 = 187,5%
  • 64. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 63 4) A capacidade da nova piscina é 187,5% da capa - cidade da piscina original. O aumento foi, portanto, de 87,5% ≅ 88%. (UFABC) O cereal da marca Saúde é comercializado em dois tipos de embalagem, pelo mesmo preço. A embalagem I tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e a embalagem II tem forma de um cilindro reto. Ambas têm a mesma altura. Supondo que as duas embalagens estejam completamente preenchidas pelo cereal, pode-se afirmar que quem compra Saúde na embalagem II em vez da embalagem I compra, aproximadamente: a) 10% a mais de cereal. b) 30% a mais de cereal. c) 45% a mais de cereal. d) 8% a menos de cereal. e) 25% a menos de cereal Solução Sendo h a altura de ambas as embalagens e VP e VC os volumes das embalagens I e II, respectivamente, temos: I) VP = 10 . 6h = 60h cm³ II) VC = π . 5² . h = 25 . π . h cm³ ≅ 78,53h cm³ Como VC/VP = 78,53h/60h ≅ 1,30, quem compra Saúde na embalagem II em vez da embalagem I, compra aproximadamente 30% a mais de cereal. (ENEM) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d'água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é a) 11,25. b) 27,00. c) 28,80. d) 32,25. e) 49,50. Solução
  • 65. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 64 Do enunciado, o volume V de água na piscina é: V = 5.3.1,2 = 18m³ ⟹ V = 18.000L Assim, a quantidade desse produto que deve ser adicionada é obtida por: 18.000.1,5/1000 = 27mL (UNESP) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 42% b) 36% c) 32% d) 26% e) 28% Solução
  • 66. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 65 (PUCRJ) Uma caixa de chocolate, com a forma de um paralelepípedo, tem dimensões 4 cm x 4 cm x 16 cm. Quantos cm² de papel são necessários para cobrir completamente essa caixa? a) 256 b) 272 c) 288 d) 304 e) 320 Solução Área total: 2 x 4 x 4 + 4 x 4 x 16 = 288 (UNICAMP) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2cm² , 3cm² e 4cm². O volume desse paralelepípedo é igual a a) 2√3cm³ b) 2√6cm³ c) 24 cm³ d) 12 cm³ Solução Sendo a, b e c as medidas das dimensões do paralelepípedo, tem-se: ab = 2 ac = 3 bc = 4 Multiplicando-se, membro a membro, as equações acima, tem-se: Como o volume V do paralelepípedo é dado por abc, tem-se: . (UFPR) A piscina usada nas competições de natação das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade. Supondo que essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, qual dos valores abaixo mais se aproxima da capacidade máxima de água que essa piscina pode conter? a) 37.500 litros. b) 375.000 litros.
  • 67. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 66 c) 3.750.000 litros. d) 37.500.000 litros. e) 375.000.000 litros. Solução (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm³? A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. Solução
  • 68. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 67
  • 69. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 68
  • 70. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 69
  • 71. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 70
  • 72. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 71 (FUVEST) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ângulo 𝑯𝑨 ̂𝑭 é igual a: (𝐚) 𝟏 𝟐√𝟓 (𝐛) 𝟏 √𝟓 (𝐜) 𝟐 √𝟏𝟎 (𝐝) 𝟐 √𝟓 (𝐞) 𝟑 √𝟏𝟎 Solução Devemos ter o seguinte: (i) No triângulo retângulo ABF, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (AF)2 = 22 + 42 → (AF)2 = 4 + 16 → (AF)2 = 20 → AF = √20 AF = √4.5 → 𝐀𝐅 = 𝟐√𝟓 (ii) Note que os triângulos ABF e GHF são semelhantes, logo: HF = AF → 𝐇𝐅 = 𝟐√𝟓
  • 73. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 72 (iii) No triângulo retângulo, ADH, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (AH)2 = 22 + 22 → (AH)2 = 4 + 4 → (AH)2 = 8 → AH = √8 → 𝐀𝐇 = 𝟐√𝟐 Logo, temos, no triângulo AFH os seguintes valores: (iv) Observe que o triângulo AHF é isósceles, de base AH = 2√2. Logo: HM = AM =√2 Novamente, pelo Teorem de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo AMF, destacado ao lado, temos: (√2) 2 + h2 = (2√5) 2 → 2 + h2 = 20 → h2 = 18 → h = √18 → 𝐡 = 𝟑√𝟐 (v) O seno do ângulo â, é dado por: sen â = h 2√5 → sen â = 3√2 2√5 → sen â = 3√2 2√5 . √2 √2 → sen â = 3,2 2√10 → sen â = 6 2√10 → 𝐬𝐞𝐧 â = 𝟑 √𝟏𝟎 Resposta: E Solução Primeira caixa: V’ = 1 x 2 x 3 V’ = 6 m³ Segunda caixa: V’ = V” 6 = (x+1)(x+2)(3-x) (x² +2x + x + 2)(3-x) = 6 (x² + 3x + 2)(3-x) = 6 3x² + 9x + 6 – x³ -3x² - 2x = 6 -x³ + 7x = 0 (-1) x³ - 7x = 0 x(x² - 7) = 0 x = 0 (Não convém) x² - 7 = 0
  • 74. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 73 x = √𝟕 Resposta: E Solução (i) Volume do cubo de aresta 5 cm: V = a³ V = 5³ V = 125 cm³ V = 0,125 dm³
  • 75. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 74 Sendo: 1 dm³ = 1 Litro: V = 0,125 Litros Resposta: B Solução Devemos ter: V = 34 x 14 x 8 V = 3808 Resposta: D (SAP SP – VUNESP 2011). Os produtos de uma empresa são embalados em caixas cúbicas, com 20 cm de aresta. Para transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme mostrado na figura. Sabe-se que 60 desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do veículo utilizado para o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros cúbicos, transportado por esse veículo é a) 4,96. b) 5,76. c) 7,25. d) 8,76. e) 9,60. Solução
  • 76. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 75 O primeiro passo é calcular o volume de cada caixa. Como as respostas estão apresentadas em metros cúbicos, vamos considerar que cada aresta mede 0,2 m (20 cm). Vc = a³ Vc = 0,2³ Vc = 0,008 m³ Pela figura, percebe-se que um bloco retangular contém 12 caixas. Vamos calcular o volume de cada bloco: Vb = 12 . 0,008 = 0,096 m³ Para finalizar, cabem 60 blocos no caminhão. Calculando o volume total: Vt = 60 . 0,096 = 5,76 m³ Resposta: B (PM - ES). Um estoquista, ao conferir a quantidade de determinado produto embalado em caixas cúbicas de arestas medindo 40 cm, verificou que o estoque do produto estava empilhado de acordo com a figura que segue: Ao realizar corretamente os cálculos do volume dessa pilha de caixas, o resultado obtido foi: a) 0,64 m³ b) 1,6 m³ c) 6,4 m³ d) 16 m³ e) 64 m³ Resolução: Pela figura, é possível observar que existem 10 caixas empilhadas. Vamos calcular o volume de cada caixa, sabendo que cada aresta mede 0,4 m (40 cm): V = a³ V = 0,4³ V = 0, 0,064 m³ Como existem 10 caixas: Vt = 10 . 0,064 = 0,64 m³ Resposta: A
  • 77. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 76 (SES DF – IADES). Sabe–se que o volume de um cubo de aresta α é dado por α³ . Considerando que a aresta de um cubo seja multiplicada por 2, em quantas vezes seu volume aumentará? a) Duas. b) Três. c) Quatro. d) Seis. e) Oito. Solução Como foi informado, o volume de um cubo de aresta α é igual a α³. Vamos calcular o volume de um cubo de aresta 2α: V = (2α)³ V = 2³.α³ V = 8.α³ Daí, quando multiplicamos a aresta do cubo por 2, o volume para a ser 8 vezes maior. Resposta: E (SEDUC - RJ). A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto B mede 3√5 decímetros: Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a: a) 125 b) 216 c) 343 d) 512 e) 729 Solução Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x. Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semirreta AB e pelas semirretas que dividem as faces ao meio. Veja a figura:
  • 78. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 77 Pelo Teorema de Pitágoras temos: (3√5)² = x² + (x/2)² 45 = x² + x²/4 45 = 5x²/4 5x² = 4.45 5x² = 180 x² = 180/5 x² = 36 x = 6 dm Calculando o volume do cubo: V = x³ V = 6³ V = 216 dm³ Resposta: B A soma das áreas totais de dois cubos e 150 cm². Se a aresta do menor mede 3 cm, calcule o valor da soma das diagonais destes cubos. Solução
  • 79. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 78 Um cubo tem 3 cm de altura, e um paralelepípedo retângulo tem dimensões 1 cm, 2 cm e 3 cm. A razão entre os volumes do cubo e do paralelepípedo é (a) 3/2. (b) 4/3. (c) 9/2. (d) 8/3. (e) 1/3 Solução Cubo Paralelepípedo 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜: 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 33 𝑽𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝟐𝟕 𝒄𝒎³ Volume do paralelepípedo: Vparalelepípedo = a. b. c V = 3.2.1 𝐕 = 𝟔𝐜𝐦³ Razão = Vcubo Vparalelepípedo 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟐𝟕 𝟔 : 𝟑 𝟑 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟗 𝟐 (MACKENZIE) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é: (a) 𝟖𝛑/𝟑 (𝐛) 𝟒𝛑/𝟑 (𝐜) 𝟏𝟔𝛑/𝟑 (𝐝) 𝟏𝟐𝛑 (𝐞) 𝟖𝛑 Solução (i) De acordo com o enunciado da questão, “a área total do cubo é 8”, logo: ST = 6a2 → 6a2 = 8 → a2 = 8 6 → a2 = 4 3 → a = √4 √3 . √3 √3 → 𝐚 = 𝟐√𝟑 𝟑 (ii) Num cubo inscrito em uma esfera, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Diagonal do cubo = Diâmetro da esfera Observe: D = 2R A diagonal do cubo é dada por: D = a√3 → 2R = 2√3 3 . √3 → R = √3. √3 3 → 𝐑 = 𝟏
  • 80. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 79 (iii) O Volume da esfera é: V = 4 3 πR3 → V = 4 3 𝜋(1)3 → 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑 Resposta: B (PUC – SP) O volume do cubo inscrito numa esfera de raio 3 é: (𝐚) 𝟐𝟒√𝟑 (𝐛)𝟏𝟐√𝟑 (𝐜)𝟖 √𝟑 (𝐝) 𝟔√𝟑 (𝐞)𝟐√𝟑 Solução Em um cubo inscrito em uma esfera, temos: Note que em um cubo inscrito na esfera, temos: (i) DiagonalCubo = Diagonal esfera Logo: 𝑎√3 = 2𝑅 (ii) Como o raio da esfera vale 3, temos 𝑎√3 = 2.3 → 𝑎 = 6 √3 . √3 √3 → 𝒂 = 𝟔√𝟑 𝟑 (iii) Volume do cubo 𝑉 = 𝑎3 → 𝑉 = ( 6√3 3 ) 3 → 𝑉 = 216. √32. 3 27 → 𝑉 = 8.3√3 → 𝐕 = 𝟐𝟒√𝟑 (UFMG) A razão entre os volumes dos cubos circunscritos e inscritos em uma esfera de raio R é: (𝐚) √𝟑 (𝐛) 𝟐 (𝐜) 𝟑 (𝐝) 𝟑√𝟑 (𝐞)√𝟔 Solução (i) Volume do cubo circunscrito a uma esfera: 8
  • 81. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 80 (i) Volume do cubo circunscrito a esfera: V = a³ V = (2R)³ V = 8R³ (ii) Volume do cubo inscrito a uma esfera: Volume do cubo inscrito em uma esfera: 𝐕 = a3 → V = ( 2R√3 3 ) 3 → V = 8R3 . 3√3 27 → V = 24R3 √3 9 → 𝐕 = 𝟖𝐑𝟑 𝟑√𝟑 𝟑
  • 82. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 81 (iii) 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 𝐕𝐜𝐮𝐛𝐨 𝐢𝐧𝐬𝐜𝐫𝐢𝐭𝐨 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟖𝐑𝟑 𝟖𝐑𝟑√𝟑 𝟑 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟖𝐑𝟑 . 𝟑 𝟖𝐑³√𝟑 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟑 √𝟑 . √𝟑 √𝟑 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = 𝟑√𝟑 𝟑 → 𝐑𝐚𝐳ã𝐨 = √𝟑 Resposta: A (Bombeiros MG – IGETEC). O hexaedro regular que inscreve uma esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a: (a) 2,7 (b) √3 (c) 3√3 (d) 3 (e) 3/2 Solução Observação: O hexaedro e o cubo são os mesmos sólidos com nomes diferentes. Podemos calcular o raio R da esfera pela fórmula pois sabemos seu volume: Vesfera = 4 3 πR3 → 9π 2 = 4 3 πR3 → 8R3 = 27 → R3 = 27 8 → R = √ 27 8 3 → 𝐑 = 𝟑 𝟐 Como a diagonal do hexaedro vale o dobro do raio da esfera circunscrita a ele, temos: Dcubo = 2Resfera → Dcubo = 2. ( 3 2 ) → 𝐃𝐜𝐮𝐛𝐨 = 𝟑 Resposta (d)
  • 83. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10 Celso do Rozário Brasil 82