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ESAS – Geometria III Página 1/5
Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano
Ficha Formativa de Matemática A – Geometria III
Equação do plano e equação da reta no espaço
Plano definido por um ponto e um vetor normal :
Seja  1 1 1A x , y ,z um ponto do plano e  n a , b ,c

 um
vetor normal do plano:
A equação do plano  é dada por :
     1 1 1AP. n 0 a x x b y y c z z 0
 
       
conhecida por equação cartesiana do plano .
Desenvolvendo a equação      1 1 1a x x b y y c z z 0      obtém-se uma equação do tipo
ax by cz d 0    conhecida por equação geral do plano .
Exemplo: Determina uma equação do plano que contém o ponto  A 1 ,2 ,1 e é perpendicular ao vetor
 n 3 , 1 ,2


Resolução:
     AP. n 0 3 x 1 1 y 2 2 z 1 0
3x 3 y 2 2z 2 0
3x y 2z 3 2 2 0
3x y 2z 1 0
 
       
      
      
    
Plano definido por 3 pontos não colineares :
Modo de proceder:
 Determinam-se dois vetores quaisquer, por exemplo AB e AC
 
.
 Determina-se um vetor normal ao plano:    
n. AB 0
... n a , b ,c
n. AC 0





  
 
 Escreve-se a equação do plano:      1 1 1a x x b y y c z z 0     
Exemplo: Determina uma equação do plano ABC sendo      A 2 , 1 ,1 , B 0 ,1 ,1 e C 2 ,3 , 0 .
Resolução:
 Determinar dois vetores quaisquer:    AB 2 ,2 , 0 e AC 0 , 4 , 1
 
    .
 o vetor  n a, b ,c

 é perpendicular ao plano sse n AB n BC n. AB 0 n.BC 0
      
      
ESAS – Geometria III Página 2/5
   
   
a , b ,c . 2 ,2 , 0 0n. AB 0 2a 2b 0 a b
4b c 0 c 4ba , b ,c . 0 , 4 , 1 0
n. BC 0



       
     
      
Os vetores da forma  n b , b , 4b ,b 0

  são perpendiculares ao plano ABC.
Se b 1 , por exemplo, vem  n 1 , 1 , 4

 .
Assim, uma equação do plano é:
     1 x 2 1 y 1 4 z 1 0 x 2 y 1 4z 4 0 x y 4z 7 0                  
Casos particulares:
Planos paralelos aos planos coordenados:
Seja  1 1 1A x , y ,z um ponto qualquer do plano
 Plano paralelo ao plano xOy: a equação do plano é do tipo: 1z z
 Plano paralelo ao plano xOz: a equação do plano é do tipo: 1y y
 Plano paralelo ao plano yOz: a equação do plano é do tipo: 1x x
Exemplo: Escreve uma equação do plano que contém o ponto  A 1 ,2 ,3 e:
a) é paralelo ao plano xOy ;
b) é paralelo ao plano xOz ;
c) é paralelo ao plano yOz .
Resolução:
a) z 3
b) y 2
c) x 1
Exercícios Propostos:
1. Escreve uma equação do plano:
a) que contém o ponto  A 0 ,1 , 0 e é perpendicular ao vetor  u 2 , 1 , 3

   .
b) ABC, sendo  A 0 , 0,1 ,  B 1,1,0 e  C 1,0,1 .
c) que contém o ponto  B 1 , 0,2 e é paralelo aos vetores  u 1 ,1, 0

 e  v 1 , 0,2

  .
2. Determina uma equação do plano que contém o ponto  A 2 ,3 ,1 e
a) é paralelo ao plano xOy ;
b) é paralelo ao plano xOz ;
c) é paralelo ao plano yOz .
ESAS – Geometria III Página 3/5
3. Considera o plano  de equação 2x y 3z 0   .
a) Indica as coordenadas de um vetor normal ao plano.
b) Indica um ponto do plano.
c) Verifica se o ponto  A 0 ,1 , 4 pertence ao plano.
4. Considera o prisma quadrangular regular representado na figura, cuja área da
base é 25 2
cm e o volume é 175 3
cm .
a) Determina as coordenadas dos pontos A, C e H.
b) Escreve a equação do plano que contém a face EFGH.
c) Escreve uma condição que defina a reta BG.
d) Determina uma equação do plano mediador do segmento AH.
e) Determina uma equação da superfície esférica que tem por centro o ponto D e que
passa por H.
f) Determina uma equação do plano ACE.
g) Determina uma equação do plano que contém o ponto G e:
g1) é paralelo ao plano xOy ;
g2) é paralelo ao plano xOz ;
g3) é paralelo ao plano yOz.
Equações da Reta no Espaço
Equação vetorial da reta:
Dados o ponto  1 1 1A x , y ,z e o vetor,  u a , b ,c

 a equação vetorial da reta é:
     1 1 1x , y ,z x , y ,z a,b ,c ,   
Exemplo: A equação da reta que passa no ponto  A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 2 ,3

 é:
     x , y ,z 1, 0 ,2 1, 2 ,3 ,    
Equações cartesianas da reta:
Dados o ponto  1 1 1A x , y ,z e o vetor  u a , b ,c

 , as equações cartesianas da reta são:
1 1 1x x y y z z
a b c
  
 
ESAS – Geometria III Página 4/5
Exemplo: As equações cartesianas da reta que passa por  A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 2 ,3

 são:
x ( 1) y 0 z 2 x 1 y z 2
1 2 3 1 2 3
     
    
Casos Particulares :
1º CASO: uma das coordenadas do vetor é nula. Por exemplo,  u 0 , b ,c


Neste caso as equações são:
1 1
1
y y z z
x x
b c
 
   ou
1
1 1
x x
y y z z
b c


 

2º CASO: duas das coordenadas do vetor são nulas. Por exemplo,  u 0 , 0 ,c


Neste caso as equações cartesianas da reta são:
1 1x x y y   ou 1
1
x x
y y



Exemplos:
As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto  A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor  u 0 , 2 ,3

 são:
y 1 z 2
x 1
2 3
 
   ou
x 1
y 1 z 2
2 3


 

As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto  A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor  u 0 , 0 ,3

 são:
x 1 y 1    ou
x 1
y 1



Outros exemplos:
Ponto  1 1 1A x , y ,z , vetor  u a , 0 ,c


Equações cartesianas da reta: 1 1
1
x x z z
y y
a c
 
   ou
1
1 1
y y
x x z z
a c


 

Exemplos:
Dados o ponto  A 1 , 1 ,2 e o vetor  u 2 , 0 ,3

 , as equações são:
x 1 z 2
y 1
2 3
 
   ou
y 1
x 1 z 2
2 3


 

ESAS – Geometria III Página 5/5
Dados o ponto  A 1 , 1 ,2 e o vetor  u 0 , 2 , 0

 , as equações são:
x 1 z 2   ou
x 1
z 2



Dados o ponto  A 1, 1 ,2 e o vetor  u 1 , 0 , 0

 , as equações são:
y 1 z 2   ou
y 1
z 2



Exercícios Propostos:
5. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto  A 1 ,2 , 1 e a reta r definida por:
     x , y ,z 2 , 0 , 4 3, 1 ,2 ,     
a) Escreve as equações cartesianas da reta r.
b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy.
c) Determina uma equação da reta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz.
6. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto  A 1 ,1 ,3 e a reta r definida por:
x 1 z 1
y 2
2 3
 
  

a) Escreve uma equação vetorial da reta r.
b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy.
c) Determina as equações cartesianas da reta paralela ao eixo Oy e que passa pelo ponto A.
7. Escreve as equações vetoriais e as equações cartesianas da reta que passa por  A 1 ,3 ,2 e tem a direcção dos
vetores :
a)  a 1 , 2 ,3

 b)  b 1 , 0 ,3

 c)  c 1 , 0 , 0

 
7. Considere as retas r e s definidas por:
x 1 y 4 2 z
r:
2 5 3
  
 

z 3
x
s: 2
y 4



 
a) Indique um vetor director e dois pontos de cada uma das retas.
b) Escreve a equação vetorial da reta s.
c) Determina a intersecção da reta r com o plano yOz.

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  • 1. ESAS – Geometria III Página 1/5 Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano Ficha Formativa de Matemática A – Geometria III Equação do plano e equação da reta no espaço Plano definido por um ponto e um vetor normal : Seja  1 1 1A x , y ,z um ponto do plano e  n a , b ,c   um vetor normal do plano: A equação do plano  é dada por :      1 1 1AP. n 0 a x x b y y c z z 0           conhecida por equação cartesiana do plano . Desenvolvendo a equação      1 1 1a x x b y y c z z 0      obtém-se uma equação do tipo ax by cz d 0    conhecida por equação geral do plano . Exemplo: Determina uma equação do plano que contém o ponto  A 1 ,2 ,1 e é perpendicular ao vetor  n 3 , 1 ,2   Resolução:      AP. n 0 3 x 1 1 y 2 2 z 1 0 3x 3 y 2 2z 2 0 3x y 2z 3 2 2 0 3x y 2z 1 0                              Plano definido por 3 pontos não colineares : Modo de proceder:  Determinam-se dois vetores quaisquer, por exemplo AB e AC   .  Determina-se um vetor normal ao plano:     n. AB 0 ... n a , b ,c n. AC 0            Escreve-se a equação do plano:      1 1 1a x x b y y c z z 0      Exemplo: Determina uma equação do plano ABC sendo      A 2 , 1 ,1 , B 0 ,1 ,1 e C 2 ,3 , 0 . Resolução:  Determinar dois vetores quaisquer:    AB 2 ,2 , 0 e AC 0 , 4 , 1       .  o vetor  n a, b ,c   é perpendicular ao plano sse n AB n BC n. AB 0 n.BC 0              
  • 2. ESAS – Geometria III Página 2/5         a , b ,c . 2 ,2 , 0 0n. AB 0 2a 2b 0 a b 4b c 0 c 4ba , b ,c . 0 , 4 , 1 0 n. BC 0                         Os vetores da forma  n b , b , 4b ,b 0    são perpendiculares ao plano ABC. Se b 1 , por exemplo, vem  n 1 , 1 , 4   . Assim, uma equação do plano é:      1 x 2 1 y 1 4 z 1 0 x 2 y 1 4z 4 0 x y 4z 7 0                   Casos particulares: Planos paralelos aos planos coordenados: Seja  1 1 1A x , y ,z um ponto qualquer do plano  Plano paralelo ao plano xOy: a equação do plano é do tipo: 1z z  Plano paralelo ao plano xOz: a equação do plano é do tipo: 1y y  Plano paralelo ao plano yOz: a equação do plano é do tipo: 1x x Exemplo: Escreve uma equação do plano que contém o ponto  A 1 ,2 ,3 e: a) é paralelo ao plano xOy ; b) é paralelo ao plano xOz ; c) é paralelo ao plano yOz . Resolução: a) z 3 b) y 2 c) x 1 Exercícios Propostos: 1. Escreve uma equação do plano: a) que contém o ponto  A 0 ,1 , 0 e é perpendicular ao vetor  u 2 , 1 , 3     . b) ABC, sendo  A 0 , 0,1 ,  B 1,1,0 e  C 1,0,1 . c) que contém o ponto  B 1 , 0,2 e é paralelo aos vetores  u 1 ,1, 0   e  v 1 , 0,2    . 2. Determina uma equação do plano que contém o ponto  A 2 ,3 ,1 e a) é paralelo ao plano xOy ; b) é paralelo ao plano xOz ; c) é paralelo ao plano yOz .
  • 3. ESAS – Geometria III Página 3/5 3. Considera o plano  de equação 2x y 3z 0   . a) Indica as coordenadas de um vetor normal ao plano. b) Indica um ponto do plano. c) Verifica se o ponto  A 0 ,1 , 4 pertence ao plano. 4. Considera o prisma quadrangular regular representado na figura, cuja área da base é 25 2 cm e o volume é 175 3 cm . a) Determina as coordenadas dos pontos A, C e H. b) Escreve a equação do plano que contém a face EFGH. c) Escreve uma condição que defina a reta BG. d) Determina uma equação do plano mediador do segmento AH. e) Determina uma equação da superfície esférica que tem por centro o ponto D e que passa por H. f) Determina uma equação do plano ACE. g) Determina uma equação do plano que contém o ponto G e: g1) é paralelo ao plano xOy ; g2) é paralelo ao plano xOz ; g3) é paralelo ao plano yOz. Equações da Reta no Espaço Equação vetorial da reta: Dados o ponto  1 1 1A x , y ,z e o vetor,  u a , b ,c   a equação vetorial da reta é:      1 1 1x , y ,z x , y ,z a,b ,c ,    Exemplo: A equação da reta que passa no ponto  A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 2 ,3   é:      x , y ,z 1, 0 ,2 1, 2 ,3 ,     Equações cartesianas da reta: Dados o ponto  1 1 1A x , y ,z e o vetor  u a , b ,c   , as equações cartesianas da reta são: 1 1 1x x y y z z a b c     
  • 4. ESAS – Geometria III Página 4/5 Exemplo: As equações cartesianas da reta que passa por  A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor  u 1 , 2 ,3   são: x ( 1) y 0 z 2 x 1 y z 2 1 2 3 1 2 3            Casos Particulares : 1º CASO: uma das coordenadas do vetor é nula. Por exemplo,  u 0 , b ,c   Neste caso as equações são: 1 1 1 y y z z x x b c      ou 1 1 1 x x y y z z b c      2º CASO: duas das coordenadas do vetor são nulas. Por exemplo,  u 0 , 0 ,c   Neste caso as equações cartesianas da reta são: 1 1x x y y   ou 1 1 x x y y    Exemplos: As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto  A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor  u 0 , 2 ,3   são: y 1 z 2 x 1 2 3      ou x 1 y 1 z 2 2 3      As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto  A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor  u 0 , 0 ,3   são: x 1 y 1    ou x 1 y 1    Outros exemplos: Ponto  1 1 1A x , y ,z , vetor  u a , 0 ,c   Equações cartesianas da reta: 1 1 1 x x z z y y a c      ou 1 1 1 y y x x z z a c      Exemplos: Dados o ponto  A 1 , 1 ,2 e o vetor  u 2 , 0 ,3   , as equações são: x 1 z 2 y 1 2 3      ou y 1 x 1 z 2 2 3     
  • 5. ESAS – Geometria III Página 5/5 Dados o ponto  A 1 , 1 ,2 e o vetor  u 0 , 2 , 0   , as equações são: x 1 z 2   ou x 1 z 2    Dados o ponto  A 1, 1 ,2 e o vetor  u 1 , 0 , 0   , as equações são: y 1 z 2   ou y 1 z 2    Exercícios Propostos: 5. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto  A 1 ,2 , 1 e a reta r definida por:      x , y ,z 2 , 0 , 4 3, 1 ,2 ,      a) Escreve as equações cartesianas da reta r. b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy. c) Determina uma equação da reta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz. 6. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto  A 1 ,1 ,3 e a reta r definida por: x 1 z 1 y 2 2 3       a) Escreve uma equação vetorial da reta r. b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy. c) Determina as equações cartesianas da reta paralela ao eixo Oy e que passa pelo ponto A. 7. Escreve as equações vetoriais e as equações cartesianas da reta que passa por  A 1 ,3 ,2 e tem a direcção dos vetores : a)  a 1 , 2 ,3   b)  b 1 , 0 ,3   c)  c 1 , 0 , 0    7. Considere as retas r e s definidas por: x 1 y 4 2 z r: 2 5 3       z 3 x s: 2 y 4      a) Indique um vetor director e dois pontos de cada uma das retas. b) Escreve a equação vetorial da reta s. c) Determina a intersecção da reta r com o plano yOz.