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Revisao udesc
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MÓDULO I
FUNÇÕES
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00,
o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ b
f(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800
f(3) = 416
Portanto após 3 anos a
Máquina valerá R$ 416,00
As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas
expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor
máximo da área em cm2 , que esse retângulo pode assumir.
Vértice
5/2
yV
0 5
2x
10 – 2x
A = base x altura
A = 2x . (10 – 2x)
A(x) = – 4x2 + 20x
a = - 4 b = 20 c = 0
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO
0 = – 4x2 + 20x
x2 - 5x = 0
x1 = 0 x2 = 5
Área
Área Máxima é o yv
A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)
A(5/2) = 25cm2
EXPONENCIAL E
LOGARITMOS
LOGARITIMOS DEFINIÇÃO
logB A = x  A = Bx
Aplicando a definição, determine
o valor do log21024
log21024 = x
1024 = 2x
210 = 2x
x = 10
CASOS PARTICULARES
logB 1 = 0 logA A = 1
PROPRIEDADES
logC (A.B) = logc A + logc B
logC (A/B) = logc A – logc B
logC Am = m.logc A
Sendo log 2 = 0,301 e log 7 =
0,845, qual será o valor de log 28?
log 28 = log (22.7)
log 28 = log 22 + log 7
log 28 = 2.log 2 + log 7
log 28 = 2.0,301 + 0,845
log 28 = 0,602 + 0,845
log 28 = 1,447
28 2
14 2
7 7
1
A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
loga (b . c) = loga b + loga clog 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
Incógnita auxiliar:
2X = y
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
y’ = 2 y’’ = - 3
2x = 2
x = 1
PROGRESSÕES
Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas
Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5.
4 96
5 95
an = a1 + (n - 1)·r
95 = 5 + (n - 1)·5
90 = (n - 1)·5
90/5 = n - 1
18 = n - 1
n = 19V
a1= 5 an= 95
r = 5
a20 = a1 + 19·r
a20 = 0 + 19·2
a20 = 38
A soma dos vinte primeiros números pares é 380
NÚMEROS PARES:
0, 2, 4, 6 ...
P.A.
a1= 0 e r = 2
S20 =
( a1 + a20) · 20
2
S20 = ( 0 + 38 ) · 10
S20 = 380
V
O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9











?n
768a
2
3
6
q
3a
n
1
an = a1.qn - 1
768 = 3.2n - 1
256 = 2n - 1
28 = 2n - 1
8 = n – 1
n = 9
V
A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1
(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)






 ....
27
1
9
1
3
1
3
1
1
3
1

S
S =
a1
1 – q
S = 0,5 V
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!
p)!(n
!np
n
A


p!p)!(n
!np
n
C


FORMULÁRIO
Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o número
de comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é:
B B B I I
10 . 3 = 30
___ ___ ___ ___ ___
5
C 3
3
C 2
!!.
!.
!!.
!
12
3
23
5
O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem
juntas é:
I E
___ ___ ___ ___ ___
2P
4P
Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação
de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada
pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de
siglas possíveis é :
P4 . P2
4! . 2!
48
12
!2
!42
4
P
MATRIZES
DETERMINANTES
E SISTEMAS
Julgue os itens:
Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F
Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a
matriz nula ou B é a matriz nula.
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos
ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0.
.
00
11












10
10 0 0
0 0






F
Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal












21
43
=Be
43
21
A
que X.A = B. Então, det X vale – 1
X.A = B
det(X.A) = det B
det X. det A = det B
det X. (- 2) = 2







43
21
A






21
43
=B
det A = – 2
det B = 2
det X = – 1
V
A matriz é singular









0213
1845
1524
0321
A
det A- 1 = 1
det A
Se det A = 0
Não existe inversa
(A é singular)
A.A-1 = I
Se det A  0 Existe inversa
(A é inversível)
det A = 0
V
POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0
x = - 3
raiz do divisor
P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32
P(-3) = - 81 + 72 + 32
P(-3) = 23
As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz
dessa equação é:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0
raízes em P.A.








rxx
xx
rxx
3
2
1








a
d
3
.x
2
.x
1
x
a
b
3
x
2
x
1
x
Relações de Girard
x – r + x + x + r = 9
3x = 9
x = 3
1 -9 23 -153
1
+
- 6 5 0
x2 – 6x + 5 = 0
x’ = 1 x’’ = 5
Solução: S = {1, 3, 5}
TRIGONOMETRIA
Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o =
x x – 38
y
60o
30o
y
x
3
3 y
x
tg 60o =
y
x – 38
3 =
x – 38
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3
=
(x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2 x = 1
tg x =
sen x
cos x
xsen
=xcossec
1
xcos
=xsec
1
xsen
xcos
xtg
=xcotg
1

Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x =
4
5
sen x =
5
4
sen2x + cos2 x = 1
1cos
5
4 2
2






x
1cos
25
16 2
 x
25
16
1cos
2
x
25
9
cos
2
x
5
3
cos x
3
5
sec x
tg x =
sen x
cos x
5
3
5
4
xtg
3
4
xtg
9.(sec2 x + tg2 x)


















22
3
4
3
5
9





9
16
9
25
9




9
41
9 41
GEOMETRIA
ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
d x x y yAB B A B A      
2 2
2
AM
2
AMAM
)y(y)x(xd 
  22
)84(63 AM
d
PONTO MÉDIO
x
x x
M
A B


2
y
y y
M
A B


2
Considere um triângulo de vértices A(6,8);
B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da mediana
AM do triângulo ABC é:
  22
)4(3 AM
d
5AM
d MEDIANA AM = 5
A(6,8)
B(2,3) C(4,5)M(3,4)
x
y
2
3
Determine a equação reduzida da reta r
que passa pelo centro da circunferência
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela à
reta s: y = 4x - 2
y – yo = m(x – xo)
y – 3 = ?(x – 2)
r // s  mr = ms
y – 3 = 4(x – 2)
y = 4x – 5
GEOMETRIA
PLANA
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o



 xSuplemento
xÂngulo
180:
: x = 3(180 – x)
x = 540o – 3x
4x = 540o x = 135o
V
02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V
2
3)n(n
d


2
)312(12 
d d = 54
Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o
Si = 180°(n  2)
decágono regular
Si = 180°(10  2)
Si = 1440o
n
S
ai i

10
1440
o
ai  ai = 144o
V
Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice
formam entre si um ângulo de 40o
72o
F
5
360
o
Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto
dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área
desse triângulo é de 45cm2.
h
12 3
a2 = b2 + c2
a.h = b.c
b2 = a.n
c2 = a.m
h2 = m.n
h2 = m.n
h2 = 12.3
h2 = 36
h = 6
45
2
6.15

2
a.h
A
V
O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm
então a altura desse triângulo mede 6cm.
2

r = 1/3 . h
2 = 1/3 . h
h = 6
V
Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a
área do círculo é 16 m2
Aquadrado =
16 =
2

4 = 
2
d
R 
2
2
R
2
24
R
22R
Acírculo = R2
Acírculo =  2
22
Acírculo = 8 m2
F
GEOMETRIA
ESPACIAL
PARALELEPÍPEDO
ST = 2(ab + ac + bc)
V = a.b.c
D2 = a2 + b2 + c2
As dimensões de um paralelepípedo são
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo
que seu volume é 480m3, determine sua área
total.
DICAS:
Soma das dimensões:
a + b + c
Soma das arestas:
4a + 4b + 4c
Dimensões em P.A.
x – r, x, x + r
Dimensões em P.G.
x/q, x, xq
V = a. b. c
480 = 3k . 4k . 5k
480 = 60k3
8 = k3
k = 2
a = b = c =3k 4k 5k
ST = 2(ab + ac + bc)
a = 6
b = 8
c = 10
ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10)
ST = 2(48 + 60 + 80)
ST = 2(188)
ST = 376m2
CILINDRO
SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h
Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua
área lateral vale 36cm2
CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh
36 = 2rh
36 = 2rh
36 = 2r h
36 = h.h
6 = h
2r = h
V = r2h
V =  32.6
V = 54 cm3r = 3

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  • 4. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: x(anos) y(reais) 0 5 160 800 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,800) P2(5,160) 800 = a.0 + b b = 800 160 = a. 5 + 800 -640 = 5a a = -128 f(x) = a.x+ b f(x) = -128.x+ 800 f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416 Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
  • 5. As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cm2 , que esse retângulo pode assumir. Vértice 5/2 yV 0 5 2x 10 – 2x A = base x altura A = 2x . (10 – 2x) A(x) = – 4x2 + 20x a = - 4 b = 20 c = 0 RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 0 = – 4x2 + 20x x2 - 5x = 0 x1 = 0 x2 = 5 Área Área Máxima é o yv A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2) A(5/2) = 25cm2
  • 7. LOGARITIMOS DEFINIÇÃO logB A = x  A = Bx Aplicando a definição, determine o valor do log21024 log21024 = x 1024 = 2x 210 = 2x x = 10 CASOS PARTICULARES logB 1 = 0 logA A = 1 PROPRIEDADES logC (A.B) = logc A + logc B logC (A/B) = logc A – logc B logC Am = m.logc A Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? log 28 = log (22.7) log 28 = log 22 + log 7 log 28 = 2.log 2 + log 7 log 28 = 2.0,301 + 0,845 log 28 = 0,602 + 0,845 log 28 = 1,447 28 2 14 2 7 7 1
  • 8. A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é: loga (b . c) = loga b + loga clog 2x + log (1 + 2x) = log 6 log [(2x (1 + 2x)] = log 6 2x (1 + 2x) = 6 Incógnita auxiliar: 2X = y y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0 y’ = 2 y’’ = - 3 2x = 2 x = 1
  • 10. Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5. 4 96 5 95 an = a1 + (n - 1)·r 95 = 5 + (n - 1)·5 90 = (n - 1)·5 90/5 = n - 1 18 = n - 1 n = 19V a1= 5 an= 95 r = 5
  • 11. a20 = a1 + 19·r a20 = 0 + 19·2 a20 = 38 A soma dos vinte primeiros números pares é 380 NÚMEROS PARES: 0, 2, 4, 6 ... P.A. a1= 0 e r = 2 S20 = ( a1 + a20) · 20 2 S20 = ( 0 + 38 ) · 10 S20 = 380 V
  • 12. O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9            ?n 768a 2 3 6 q 3a n 1 an = a1.qn - 1 768 = 3.2n - 1 256 = 2n - 1 28 = 2n - 1 8 = n – 1 n = 9 V
  • 13. A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1 (3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)        .... 27 1 9 1 3 1 3 1 1 3 1  S S = a1 1 – q S = 0,5 V
  • 15. USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO IMPORTA ORDEM NÃO IMPORTA ORDEM Pn = n! p)!(n !np n A   p!p)!(n !np n C   FORMULÁRIO
  • 16. Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o número de comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é: B B B I I 10 . 3 = 30 ___ ___ ___ ___ ___ 5 C 3 3 C 2 !!. !. !!. ! 12 3 23 5
  • 17. O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem juntas é: I E ___ ___ ___ ___ ___ 2P 4P Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é : P4 . P2 4! . 2! 48 12 !2 !42 4 P
  • 19. Julgue os itens: Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0. . 00 11             10 10 0 0 0 0       F
  • 20. Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal             21 43 =Be 43 21 A que X.A = B. Então, det X vale – 1 X.A = B det(X.A) = det B det X. det A = det B det X. (- 2) = 2        43 21 A       21 43 =B det A = – 2 det B = 2 det X = – 1 V A matriz é singular          0213 1845 1524 0321 A det A- 1 = 1 det A Se det A = 0 Não existe inversa (A é singular) A.A-1 = I Se det A  0 Existe inversa (A é inversível) det A = 0 V
  • 22. Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0 x = - 3 raiz do divisor P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32 P(-3) = - 81 + 72 + 32 P(-3) = 23
  • 23. As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 raízes em P.A.         rxx xx rxx 3 2 1         a d 3 .x 2 .x 1 x a b 3 x 2 x 1 x Relações de Girard x – r + x + x + r = 9 3x = 9 x = 3 1 -9 23 -153 1 + - 6 5 0 x2 – 6x + 5 = 0 x’ = 1 x’’ = 5 Solução: S = {1, 3, 5}
  • 25. Na figura, abaixo, determine o valor de x 30° 60° A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30o = x x – 38 y 60o 30o y x 3 3 y x tg 60o = y x – 38 3 = x – 38 y (x – 38) 3 = y = 3 3 = (x – 38) 3 x x = 3(x – 38) x = 3x – 114 114 = 2x 57 = x
  • 26. SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 – 1 + + __ COSSENO + 1– 1 + + _ _ TANGENTE + + _ _ RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x xsen =xcossec 1 xcos =xsec 1 xsen xcos xtg =xcotg 1 
  • 27. Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: cossec x = 4 5 sen x = 5 4 sen2x + cos2 x = 1 1cos 5 4 2 2       x 1cos 25 16 2  x 25 16 1cos 2 x 25 9 cos 2 x 5 3 cos x 3 5 sec x tg x = sen x cos x 5 3 5 4 xtg 3 4 xtg 9.(sec2 x + tg2 x)                   22 3 4 3 5 9      9 16 9 25 9     9 41 9 41
  • 29. GEOMETRIA ANALÍTICA DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS d x x y yAB B A B A       2 2 2 AM 2 AMAM )y(y)x(xd    22 )84(63 AM d PONTO MÉDIO x x x M A B   2 y y y M A B   2 Considere um triângulo de vértices A(6,8); B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo ABC é:   22 )4(3 AM d 5AM d MEDIANA AM = 5 A(6,8) B(2,3) C(4,5)M(3,4)
  • 30. x y 2 3 Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela à reta s: y = 4x - 2 y – yo = m(x – xo) y – 3 = ?(x – 2) r // s  mr = ms y – 3 = 4(x – 2) y = 4x – 5
  • 32. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o     xSuplemento xÂngulo 180: : x = 3(180 – x) x = 540o – 3x 4x = 540o x = 135o V 02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V 2 3)n(n d   2 )312(12  d d = 54
  • 33. Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o Si = 180°(n  2) decágono regular Si = 180°(10  2) Si = 1440o n S ai i  10 1440 o ai  ai = 144o V Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40o 72o F 5 360 o
  • 34. Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45cm2. h 12 3 a2 = b2 + c2 a.h = b.c b2 = a.n c2 = a.m h2 = m.n h2 = m.n h2 = 12.3 h2 = 36 h = 6 45 2 6.15  2 a.h A V
  • 35. O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm então a altura desse triângulo mede 6cm. 2  r = 1/3 . h 2 = 1/3 . h h = 6 V Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a área do círculo é 16 m2 Aquadrado = 16 = 2  4 =  2 d R  2 2 R 2 24 R 22R Acírculo = R2 Acírculo =  2 22 Acírculo = 8 m2 F
  • 37. PARALELEPÍPEDO ST = 2(ab + ac + bc) V = a.b.c D2 = a2 + b2 + c2 As dimensões de um paralelepípedo são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo que seu volume é 480m3, determine sua área total. DICAS: Soma das dimensões: a + b + c Soma das arestas: 4a + 4b + 4c Dimensões em P.A. x – r, x, x + r Dimensões em P.G. x/q, x, xq V = a. b. c 480 = 3k . 4k . 5k 480 = 60k3 8 = k3 k = 2 a = b = c =3k 4k 5k ST = 2(ab + ac + bc) a = 6 b = 8 c = 10 ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10) ST = 2(48 + 60 + 80) ST = 2(188) ST = 376m2
  • 38. CILINDRO SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua área lateral vale 36cm2 CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh 36 = 2rh 36 = 2rh 36 = 2r h 36 = h.h 6 = h 2r = h V = r2h V =  32.6 V = 54 cm3r = 3