Geometria analitica

X
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprenderenderenderenderender GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometria
AnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalítica?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososos
sobrsobrsobrsobrsobreeeee Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica?????
A Geometria Analítica estabelece relações entre
a álgebra e a geometria por meio de equações
e inequações. Isso permite transformar questões
de geometria em questões de análise e vice-
versa.
..................................................
..................................................
A Geometria Analítica, por meio de representações
cartesianas, pode ser usada para indicar a
temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de
Valores, efeitos da natureza etc.
–GEOMETRIAANALÍTICA

Manual de Matemática
474
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-
todo das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-
cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-
sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,
e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistema
cartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas x
e y, chamado origem.
• O par ordenado (x, y) é chamado
coordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
x
2º 1º
3º 4º

475
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos:
A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
DistânciaentreDoisPontos
Dados dois pontos, A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
), definimos dA, B
a distância entre A e
B, como mostra a figura:
A
B
C
y
yB
yA
yB – yA
xB – xA
xA xB x

476
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
2 2 2
AB AC BC
2 2
B A B A
d d d ou
d(AB) (x x ) (y y )
= +
= − + −
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os
pontos no plano cartesiano.
Solução:
2 2
B A B A
2 2
d(A, B) (x x ) (y y )
d(A, B) (1 2) ( 3 3)
d(A, B) 9 36
d(A, B) 45
d(A, B) 3 5
= − + −
= + + − −
= +
=
=
1
1
2
3
–2 –1
–1
–2
–3
x
y
B
A
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.
c) isósceles e não retângulo.
Solução:
Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.
2 2
d(A, B) (3 2) (1 2)
d(A, B) 25 1
d(A, B) 26
= + + −
= +
=

477
2 2
d(B, C) (4 2) ( 4 2)
d(B, C) 36 36
d(B, C) 72
d(B, C) 6 2
= + + − −
= +
=
=
2 2
d(A, C) (4 3) ( 4 1)
d(A, C) 1 25
d(A, C) 26
= − + − −
= +
=
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
( ) ( ) ( )
2 2 2
72 26 26= +
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
PontoMédio
Sendo A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e M(xM
, yM
), o ponto que divide AB ao meio é
chamado ponto médio.
A
M
B
y
yB
yA
yM
xA xB xxM

478
M(xM
, yM
) é o ponto médio do segmento AB .
A B A B
M M
x x y y
x e y
2 2
+ +
= =
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e
B(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:
A B A B
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
4 2 3 1
x y
2 2
x 3 y 1
+ +
= =
+ −
= =
= =
Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-
das de B.
Solução:
Aplicando a fórmula:
A B A B
M M
B B
B B
B
x x y y
x y
2 2
0 x 3 y
6 1
2 2
x 12 2 3 y
y 5
+ +
= =
+ +
= − =
= − = +
= −
B(12, –5)
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da
mediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:
Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

479
Sendo o triângulo ABC:
A
M CB
Devemos calcular o comprimento AM.
Calculando o ponto médio de BC .
B C B C
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
0 4 2 6
x y
2 2
x 2 y 4
+ +
= =
+ +
= =
= =
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:
2 2
d(A, M) ( 1 2) (4 4)
d(A, M) 9
d(A, M) 3
= − − + −
=
=
BaricentrodeumTriângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
Ma
Mc Mb
CB
G
Sendo G(xG
, yG
), podemos definir
A B C
G
A B C
G
x x x
x e
3
y y y
y
3
+ +
=
+ +
=

480
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).
Determine o vértice C.
Solução:
A B C A B C
G G
C C
C C
C C
x x x y y y
x y
3 3
3 1 x 1 2 y
6 8
3 3
18 2 x 24 3 y
x 16 y 27
+ + + +
= =
− + + +
= − =
= + − = +
= = −
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Para que três pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
A A
B B
C C
x y 1
D x y 1 0
x y 1
= =
Obs.:
Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
D =
− −2 6 1
4 8 1
1 7 1
2
4
1
6
8
7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D = 0

481
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)
sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo
é D ≠ 0.
D
m m
=
–
–
–
–
≠
3 1 1
4 2 1
2 1
3
4
1
2
2
0
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0
–3m ≠ –8
3m ≠ 8
8
m
3
≠
Área de um Triângulo
Sendo os pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:
1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos
A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
D = − −
2 0 1
1 3 1
4 5 1
2
1
4
0
3
5

482
D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0
D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do
triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
D a a= −
− − −
−
−
3 1 1
2 1 1
2 3 1
3
2
2
1
1
3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2
D = – 8a + 2
1
A D
2
1
6 8a 2
2
8a 2 12
8a 2 12 8a 2 12
8a 10 8a 14
8a 148a 10
14 7
10 a a
a 8 4
8
5
a
4
=
= − +
− + =
− + = − + = −
− = − = −
== −
− = ⇒ =
=
−
=

483
A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e um ponto qualquer P(xP
, yP
) que
pertença à reta r( AB ).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
A A
B B
P P
x y 1
x y 1 0
x y 1
=
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação
ax + by + c = 0.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(4, –2) e B(3, 6).
Solução:
Substituindo em:
D
x y x y
=
− −
=
4 2 1
3 6 1
1
4
3
2
6 0
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0
–8x – y + 30 = 0
8x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto
A e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-
ver o sistema formado pelas equações dessas retas.

484
Exemplo:
Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
Solução:
Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
0 3 1
4 2 1
1
0
4
3
2 0− − =
x y x y
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0
x – 4y + 12 = 0
reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−5 2
− −
− =
1 2 1
1
1
1
5
2
2 0
x y x y
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0
4x + 6y – 8 = 0
Formando um sistema, temos:
x 4y 12 0 ( 4)
4x 6y 8 0
4x
− + = −

+ − =
− 16y 48 0
4x
+ − =
6y 8 0
22y 56
56 28
y y
22 11


+ − =
=
= ⇒ =
Substituindo y =
28
11
em x – 4y + 12 = 0, temos:
x – 4y + 12 = 0
x – 4 . 28
11
+12 = 0

485
x –
112
11
+12 = 0
x =
112
11
– 12
x =
20
11
−
O ponto de intersecção é
20 28
,
11 11
− 
 
 
.
EquaçãoReduzida
Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
= + →
↓
y mx b coeficiente linear
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,
medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
α
x
B A
B A
y y
m tg ou m
x x
−
= α =
−

486
y
r
α
x
y
r α
x
m > 0 m < 0
y
r
x
y
x
r
m = 0 m não é definido
Exemplos:
1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
B A
B A
y y
m
x x
−
=
−
4 6
m
1 2
2
m
3
−
=
+
−
=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:

487
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
3x 4
y
6 6
1x 2
y
2 3
−
= +
−
= +
em que
1
m
2
= − (coeficiente angular) e
2
b
3
= (coeficiente linear).
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e
B(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar
a definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?
Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.

488
Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0
x – 5y – 15 = 0
–5y = –x + 15
5y = x – 15
1
y x 3
5
= −
EquaçãoSegmentária
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula
x y
1
p q
+ = , em que p
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
y
r
x
(0, q)
(p, 0)
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)
e B(0, 4).

489
Solução:
x y
1
p q
x y x y
1 ou 1
3 4 3 4
+ =
−
+ = + =
−
Equação da reta que passa pelo ponto P(xp
, yp
) e tem
coeficiente angular m
Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-
lar
1
m
2
= − .
Solução:
Seja P(xp
, yp
) um ponto qualquer da reta.
Então p
p p
p
y y
m y y m(x x )
x x
−
= ⇒ − = −
−
(equação da reta)
y – yp
= m(x – xp
)
y – 3 =
1
2
−
(x + 2)
2y – 6 = –x – 2
x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
PosiçõesRelativasentreDuasRetas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem
iguais.
y
s
α
x
r
α
mr
= ms

490
Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares
forem diferentes.
y
s
α
x
r
β
mr
≠ ms
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr
. ms
= – 1 forem
coeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
x
r
mr
. ms
= – 1
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são
paralelas.

491
Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ mr
= 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
y = 3x +
1
3
⇒ ms
= 3
Como mr
= ms
, as retas são paralelas.
2) Determine K, para que as retas l1
: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l2
: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l1
e l2
, temos:
(l1
) (K + 2)x + y + 2 = 0
y = –(K+2)x – 2 1
m (K 2)= − +l
(l2
) 3x + Ky – 1 = 0
Ky = –3x + 1
2
3 1 3
y m
K k K
− −
= + =l
Como as retas l1
e l2
são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1
–(K+2) . 3
K
−
=–1
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
K=
6
4
−
=
3
2
−

492
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que
passa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:
x – 2y + 3 = 0
–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ r
1
m
2
=
1x 3
y
2 2
= +
Como as retas r e s são paralelas, mr
= ms
=
1
2
.
y – yA
= ms
(x – xA
)
y – 2 =
1
2
(x + 1)
2y – 4 = x + 1
–x + 2y – 5 = 0
x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
y
s
x
r
θ1
θ2
θ
Definimos:
r s
r s
m m
tg
1 m m
−
θ=
+ ⋅
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.

493
Solução:
Reduzindo as equações, temos:
(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0
–y = –2x – 1 y = –3x+2
y = 2x +1 ms
= –3
mr
= 2
DistânciaentrePontoeReta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp
, yp
) é dada pela
fórmula:
p p
P, r 2 2
ax by c
d
a b
+ +
=
+
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:

494
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:
p/x = 0
2 . 0 + y – 3 = 0
y = 3 P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos
A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do
triângulo.
B
A
CH
h
r
6 – 3 y – 3x – 2y = 0
–3x – 5y + 6 = 0

495
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
Definição
CircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer ponto
da circunferência é chamada raio.
Equação da Circunferência
C
y
y
b
a
r
P(x, y)
x x
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.

496
A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por
x2
+ y2
= r2
.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à
equação geral da circunferência:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
x2
– 2ax + a2
+ y2
– 2by + b2
– r2
= 0
2 2 2 2 2
F
x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =
Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:
• o coeficiente de x2
e y2
seja igual a 1;
• não exista termo na variável x y;
• o raio 2 2
r a b F= + − , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:
(x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9.
Solução:
Comparando as equações:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
e (x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9,obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3
C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e
C(–3, 4).
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 52
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 25

497
3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa
pelo ponto P(3, 0).
Solução:
O ponto P pertence à circunferência.
r
C
P
2 2
d(C, P) r
r ( 2 3) (1 0)
r 25 1
r 26
=
= − − + −
= +
=
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= ( )
2
26
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= 26
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são
os pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:
C(a, b) é o ponto médio de AB .
4 2 2 6
a b
2 2
a 1 b 4
− +
= =
= =
C(1, 4)
r é dado por r = d(C, A).
2 2
r (1 4) (4 2)
r 9 4
r 13
= − + −
= +
=
A equação será (x – 1)2
+ (y – 4)2
= 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro em
C(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2

498
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)2
+ (y – 3)2
= 42
x2
+ 2x + 1 + y2
– 6y + 9 – 16 = 0
x2
+ y2
+ 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:
Comparando as equações,
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
– r2
= 0 e
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0, temos:
–2a = –4 –2b = –10
2a = 4 2b = 10
a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)
a2
+ b2
– r2
= –7
22
+ 52
– r2
= –7
–r2
= –7 – 29
r2
= 36
r=6
PosiçõesRelativasentreCircunferênciaePonto
Observe a circunferência e os pontos:
C
y
P3
P1
P2
x
Se d(P1
, C) < r, P é interno.
Se d(P2
, C) = r, P ∈ à circunferência.
Se d(P3
, C) >r, P é externo.

499
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-
rência x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
12
+(–1)2
–2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0 P é interior à circunferência.
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
32
+ 42
– 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0 Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-
cia x2
+ y2
+ 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
12
+ 22
+ 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a = 4
PosiçõesRelativasentreRetaeCircunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
C
y
x
a
b
c • a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, pois
não tem ponto em comum com a
circunferência d(C, c) > r.

500
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0
–2a = –6 –2b = –2
2a = 6 2b = 2
a = 3 b = 1
C(3, 1)
a2
+ b2
– r2
= 1
32
+ 12
– r2
= 1
–r2
= –9
r2
= 9
r= 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.
2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência
x2
+ (y – 2)2
= 4.
Determine k.
Solução:
x2
+ (y – 2)2
= 4 C(0, 2) e r = 2
Kx – y = 0
Se a reta é tangente à
circunferência, d(C, s) = r.

501
2
2
2
2
2
2
2
2
K 1
2 K 1 2
K 1 1
K 1 1
K 1 1
K 0 K 0
=
+
+ =
+ =
+ =
+ =
= ⇒ =
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r1
e r2
, os raios das circunferências de centros C1
e C2
e d, a distância
entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-
ferências:
d
C1
r1 r2
C2
As circunferências são
exteriores:
d > r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
tangentes exteriores:
d = r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
secantes:
d < r1
+ r2

502
dC1r1
r2
C2
tangentes interiores:
d = |r1
– r2
|
d
C1 r1
r2
C2
As circunferências são interiores:
d < |r1
– r2
|
Exemplo:
Verifique a posição relativa entre as circunferências
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25 e (x – 3)2
+ (y +2)2
= 9:
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25
C(2, –1) e r1
= 5
(x – 3)2
+ (y +2)2
= 9
C(3, –2) e r2
= 3
2 2
d (3 2) ( 2 1)
d 2
= − + − +
=
|r1
– r2
|=|5 – 3|=|2|=2
r1
+ r2
= 5 + 3 = 8
Portanto, d < |r1
– r2
| e as circunferências são interiores.
Estudo das Cônicas
As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse Hipérbole Parábola

503
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias
de F1
e F2
seja sempre igual a 2a.
a a
aa
c c
b
b
B1
B2
F2F1
A1 A2
Elementos:
A1
, A2
, B1
e B2
são os vértices
a é o semi-eixo maior
b é o semi-eixo menor
c é a semidistância focal
F1
e F2
são os focos
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo maior)
1 2B B = 2b (eixo menor)
AMATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO INTERAGINDO
Podemos observar que a elipse
está presente na trajetória das
órbitas dos planetas em torno do
Sol, e o Sol está posicionado num
dos focos da elipse.
Todos os planetas, com exce-
ção de Plutão, descrevem elipses.
Sol
Planeta
trajetória elíptica

504
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
P(x, y)
A1 A2
F1 (–c, 0) F2 (c, 0) x
y
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
F1
B1 B2
A1
F2
A2
x
y
2 2
2 2
y x
1
a b
+ =
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior horizontal:
P
F1
B1
F2
B2
A2
A1
x0
y0
x
y
c c
C
2 2
0 0
2 2
1 0 0
2 0 0
(x x ) (y y )
1,
a b
em que F(x c, y ) e
F (x c, y )
− −
+ =
−
+

505
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior vertical:
F1
A1
B1
x0
y0
F2
B2
A2
x
y
C
c
c
Relação Fundamental
a2
= b2
+ c2
Excentricidade
Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
c
e=
a
, em que 0 < e < 1.
Exemplos:
1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-
tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.
Solução:
2a = 12 2c = 6
a = 6 c = 3
Aplicando a relação fundamental a2
= b2
+ c2
.
62
= b2
+ 32
b2
= 27
b 27 b 3 3= ⇒ =
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = .
2 2
x y
1
36 27
+ =

506
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a
excentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x2
+ 5y2
= 20
Solução:
Dividindo a equação por 20, temos:
2 2
2 2
x 5y 20
20 20 20
x y
1
20 4
+ =
+ =
a2
= 20
a =
a = eixo maior: 4 5
b2
= 4
b= 2 eixo menor: 2b=4
a2
= b2
+ c2
20 = 4 + c2
c2
= 16
c= ±4
distância focal: 2c = 8
focos F1
(4, 0) e F2
(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b)
2 2
(y 4) (x 2)
1
9 4
− +
+ =
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
+ =

507
a2
= 9
a 9=
a = 3 eixo maior: 2a = 6
b2
= 4
b = 2 eixo menor: 2b = 4
a2
= b2
+ c2
9 = 4 + c2
c2
= 5
c 5= ± distância focal: 2c 2 5=
Os focos têm coordenadas F1
(x0
, y0
+ c) e F2
(x0
, y0
– c). Substitutivo:
F1
(–2, 4 + 5 ) e F2
(–2, 4 – 5 ).
c 5
e e
a 3
= ⇒ =
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo
da diferença das distâncias desses pontos a F1
e F2
seja sempre igual a 2a.

508
Elementos:
A1
e A2
são os vértices
F1
e F2
são os focos
a é o semi-eixo real
b é o semi-eixo imaginário
c é a semidistância focal
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo real)
1 2B B = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
F1 A1 A2
F2
a a
x
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F1
A1
A2
F2
a
c
x 2 2
2 2
y x
1
a b
− =

509
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real horizontal:
F1
y0
x0
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(x x ) (y y )
1
a b
− −
− =
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real vertical:
F1
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
− =
Relação Fundamental
c2
= a2
+ b2
Excentricidade
c
e
a
= , com e > 1

510
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos
real e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
F1 F2 x
y
b
a a
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:
b
y x
a
= ±
• Eixo real vertical e centro na origem:
a
y x
b
= ±
• Eixo real horizontal e C(x0
, y0
):
0 0
b
y y (x x )
a
− = ± −
• Eixo real vertical e C(x0
, y0
):
0 0
a
y y (x x )
b
− = ± −

511
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
F1
F2
A2
A1
x
y
4
2
–2
–4
Solução:
Temos:
a = 2 e c = 4
Pela relação fundamental, temos:
c2
= a2
+ b2
16 = 4 + b2
b2
= 12
Logo:
2 2 2 2
2 2
y x y x
1 1
a b 4 12
− = ⇒ − =
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com
centro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:
2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)
a = 2 b = 4

512
Equação:
2 2 2 2
2 2
x y x y
1 1
a b 4 16
− = ⇒ − =
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de
eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1
(–5, 0).
Solução:
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
2a = 8
a = 4 e c = 5
c2
= a2
+ b2
25 = 16 + b2
b2
= 25 – 16
b2
= 9
2 2
x y
1
16 9
− =
Excentricidade:
c
e
a
5
e
4
=
=
As assíntotas são:
b 3
y x y x
a 4
= ± ⇒ = ±
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da
reta d(diretriz) e do ponto F(foco).

513
y0
x0 x
d
D
P
eixo de
simetria
F
y
V
p
2
p
2
• F é o foco.
• d é a diretriz.
• V é o vértice.
• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.
• V é o ponto médio do DF .
Equação
• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x0
y0
x
y d
0
F
P(x, y)
p
2
Concavidade para a direita:
(y – y0
)2
= 2p(x – x0
)
Se V (0, 0):
(y – 0)2
= 2p(x – 0)
y2
= 2px

514
Concavidade voltada para a esquerda:
(y – y0
)2
= – 2p(x – x0
)
Se V(0, 0):
y2
= –2px
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
x0
y0
x
y
0
F
eixodesimetria
• Concavidade voltada para cima:
(x – x0
)2
= 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x0
)2
= – 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y2
= 12x, determine:
a) o vértice;

515
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y2
= 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.
V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y2
= 2px.
2p = 12 Então,
p
3
2
=
p = 6
p
F , 0 F(3, 0)
2
 
= 
 
c) diretriz
p
D , 0
2
 
− 
 
D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Geometria Analítica (ponto e reta)
1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
10
1
2
3
–4 –3 –2 –1
–1
–2
2 3 4 x
y
A
B
C
D
E
F
G

516
A EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, a
forma do zero mudou de um ponto para
um círculo.
O símbolo maia mais famoso para o
zero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemos
mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o
abajur projeta na parede.
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e
C(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a
mediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-
tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são
A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).

517
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:
a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)
formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:
a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
coeficiente angular igual a
1
3
.
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos
A(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:
a) a equação geral;
b) a equação reduzida;
c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e
C(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são
paralelas. Então:
a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3
b) n = 3m d)
1
m
3
= −
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)
(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-
pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,
3) e C(2, –1). Determine a equação:

518
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –
14 = 0 é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) 2 b)
3
2
c) 10 d) 1 e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos
seguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3 c)
1
C 2,
3
 
 
 
e r = 1
b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c)
1 5
C 1, e r
2 2
− 
= 
 
26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2) b) B(–1, 0)
27)(CESCEM–SP)Oraiodacircunferênciax2
+y2
–4x+6y–3=0éiguala:
a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:
a) (x – 2)2
+ (y – 3)2
≥ 1 b) x2
+ y2
< 81

519
29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada
caso:
a) x – y = 2
x2
+ y2
– 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0
x2
+ y2
– 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6,
1
e
2
= C(0, 0), de eixo maior horizontal
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
2 2
y x
1
25 16
+ = b)
2 2
(x 6) x
1
25 16
−
+ =
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:
a) y2
= 12x b) x2
= 8y

520
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno
P 21 3 5= +
5) a)
3
M 1,
2
 
− 
 
b) M(2,0) 6) CM = 4
7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8)
8 1
G ,
3 3
− 
 
 
9) a) não estão alinhados b) estão alinhados
10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4
12) x – 3y – 15 = 0 13)
x y
1
2 6
+ =
−
14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b)
2 5
y x
3 3
−
= − c)
x y
1
5 5
2 3
+ =
− −
15)
9
A u
2
= 16) e 17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0
20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2
24) a) (x – 1)2
+ (y +2)2
= 9 c)
2
2 1
(x 2) y 1
3
 
− + − = 
 
b) x2
+ (y – 4)2
= 5 d) x2
+ y2
= 27
25) a) x2
+ y2
+ 2x – 2y= 0 c) 2x2
+ 2y2
– 4x + 2y = 0
b) x2
+ y2
+ 4x – 4y + 4 = 0

521
26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência
27) d
28) a) b)
C
y
x2
1
2
3 r = 1
–9 9
y
x
r
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.
b) r é secante à circunferência.
c) r é exterior à circunferência.
31) a) + =
2 2
x y
1
25 4
b)
2 2
x y
1
9 16
+ = c) + =
2 10
y x
8
20 2
32)
7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal 6, F1
(0, –3), F2
(0, 3)
3
e
5
= e
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal = 6, F1
(3, 0), F2
(9, 0) e
3
e
5
= .
34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2

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