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PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS
PROVA RESOLVIDA – ENGENHEIRO DE PETRÓLEO 2018
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) O menor autovalor da matriz A =
é
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 7
RESOLUÇÃO:
Para achar os autovalores de uma matriz, temos que fazer:
det (λ.In - A) = 0
(λ – 3) x (λ – 4) – (-1) x (-2) = 0
λ - 3 λ - 4 λ + 12 – 2 = 0
λ - 7 λ + 10= 0
Δ = 49 – 40 = 9
λ =
( ) ± √
λ =
±
λ’ = 5 ou λ" = 2Portanto, o menor autovalor da matriz A é 2.
Resposta: A
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Pode-se escrever o vetor u = (9, -17) como
uma combinação linear de v = (1, 2) e w = (3, -1) , ou seja, existem a e b, tais que
u = av + bw. A soma a + b vale
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 10
(E) 11
RESOLUÇÃO:
Se existe combinação linear entre os vetores, existirá um escalar “a” e “b” para
os vetores v e w, respectivamente, que resultará no vetor u.
(9, -17) = a.(1, 2) + b.(3, -1)
a + 3b = 9 (I)
2a – b = -17 (II)
Isolando “a” na equação I e substituindo em II, temos:
a = 9 – 3b
2(9 – 3b) – b = -17
18 – 6b – b = -17
18 – 7b = -17
7b = 35
b = 5
a = 9 – 3.5
a = 9 – 15
a = -6
Logo: a + b = -6 + 5 = -1.
Resposta: A
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Transformações são funções definidas em
espaços vetoriais. Transformações que satisfazem determinadas propriedades
são chamadas de transformações lineares. Qual das transformações a seguir NÃO
é uma transformação linear?
(A) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y z)
(B) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y yz)
(C) T:R² → R; T(x,y)  x y
(D) T:R → R; T(x)  2x
(E) T:R³ → R; T(x,y,z)  0
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar cada alternativa:
(A) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y z)
Sejam R³ e R² espaços vetoriais. Uma transformação linear de R³ em R² é uma
função T: R³ → R² que deve atender à condição:
T (u + v) = T(u) + T(v), para quaisquer u e v em R³
u = (x , y , z ) e v = (x , y , z )
Então:
T(u) = T(x + y , y + z )
T(v) = T(x + y , y + z )
Logo:
(u + v) = (x +x , y + y , z + z )
T(u + v) = (x + x + y + y , y + y + z + z )
T(u) + T(v) =( x + y ) + (x + y ), (y + z ) +( y + z )
T(u) + T(v) = (x +x + y + y ), (y + y + z + z )
Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta.
(B) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y yz)
Novamente vamos adotar: u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ).
T(u) = T(x - y , y − y z )
T(v) = T(x - y , y − y z )
Logo:
(u + v) = (x +x , y + y , z + z )
T(u + v) = (x + x - (y + y ), y + y – (y + y ).(z + z ))
T(u + v) = (x + x - y − y , y + y – (y z + y z + y z + y z ))
T(u + v) = (x + x - y − y , y + y – y z − y z − y z − y z )
T(u) + T(v) = (x - y + (x - y ), y − y z + y − y z )
T(u) + T(v) = (x + x − y - y , y − y z + y − y z )
Veja que T (u + v) ≠T(u) + T(v). Portanto, não é uma transformação linear. Gabarito
letra B.
(C) T:R² → R; T(x,y)  x y
Adotando: u = (x , y ) e v = (x , y )
T(u) = T(x , y ) = x + y
T(v) = T(x , y ) = x + y
T(u + v) = (x + x ) + (y + y )
T(u) + T(v) = x + y + x + y
T(u) + T(v) = x + x + y + y
Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta.
(D) T:R → R; T(x)  2x
Adotando: u = (x ) e v = (x )
T(u) = T(x ) = -2.x
T(v) = T(x ) = -2.x
T(u + v) = (−2. x + (−2. x )) = −2. x −2. x
T(u) + T(v) = (−2. x ) + (−2. x ) = −2. x −2. x
Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta.
(E) T:R³ → R; T(x,y,z)  0
Se T(x,y,z) = 0, então T(x,y,z) = T(0 · x,y,z)= 0 · T(x,y,z) = 0.
Adotando: u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ), temos:
T(u) = 0, então 0 · T(x , y , z ) = 0
T(v) = 0, então 0 · T(x , y , z ) = 0
T(u + v) = 0 · T(x +x , y + y , z + z )= 0
Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta.
Resposta: B
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Considere a curva de equação y 
(x²  2) . Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1?
(A) 1/6
(B) 2/3
(C) 4/3
(D) 5/3
(E) 2
RESOLUÇÃO:
O comprimento de uma curva é dado por:
L = ∫ 1 + [𝑓( 𝑥) ]²
Onde L é o comprimento e f(x)’ a derivada da função que representa a curva. O
enunciado nos dá:
f(x) = y = (x²  2)
Sua derivada será:
f(x)’ = . . (x²  2) . 2x
f(x)’ = . . (x²  2) . 1x
f(x)’ = x² + 2 . x
Substituindo na fórmula do comprimento, temos:
L = ∫ 1 + [√x + 2 . x]² 𝑑𝑥
L = ∫ 1 + (x + 2). x² 𝑑𝑥
L = ∫ 1 + x + 2x² 𝑑𝑥
L = ∫ (1 + x + 2x²) /
𝑑𝑥
L = ∫ [(x + 1) ] /
𝑑𝑥
L = ∫ x + 1 𝑑𝑥
L = + 𝑥|
L = + 1 − + 0 =
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Na figura a seguir, a função real dada por f(x)
 x³, a reta tangente à função f no ponto (1, 1) e o eixo x limitam uma região que
aparece sombreada.
A área dessa região é igual a
(A) 1/6
(B) 1/4
(C) 3/4
(D) 1
(E) 1/12
RESOLUÇÃO:
Para f(x) = 0, temos: x³ = 0 → x = 0
Para f(x) = 1, temos: x³ = 1 → x = 1
A área abaixo da função f(x) é dada por:
∫ x³ dx = F(1) – F(0) = ¼.1 - ¼.0 = ¼
Mas, desse valor, devemos eliminar a área abaixo da função linear tangente à f(x)
em (1,1). Vamos chamá-la de g(x). Sabe-se que a inclinação da reta g(x) é a
derivada da função f(x) no ponto P. Logo:
f’(x) = 3.x²
Coeficiente angular de g(x) = f’(1) = 3.1² = 3
Logo, a lei da função será:
g(x) = 3.x + b
Como o ponto P (1,1) pertence à g(x), vamos achar “b”:
1 = 3 + b
b = -2
Então: g(x) = 3x – 2. A abscissa para g(x) = 0 será:
0 = 3x – 2
3x = 2
x = 2/3
A área abaixo da função g(x) será:
Base = 1 – 2/3 = 1/3
Altura = 1
A = = 1/6
Portanto, a área em cinza será:
Área = - = =
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Seja f uma função real que admite inversa.
Se f(1) = 1, f '(1) = 2, f "(1) = 16 e g é a inversa de f, então g"(1) é
(A) 16
(B) 1
(C) 2
(D) 8
(E) 16
RESOLUÇÃO:
Como f(1) = 1, então g(1) = f-1
(1) = 1. Temos:
𝑔"(1) = −
𝑓′′(𝑔(1))
(𝑓′(𝑔(1)))
= −
𝑓 (1)
(𝑓′(1))
= −
−16
(2)
=
16
8
= 2
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética é S , então a expressão S  3S  3S S ,
equivale a
(A) (n1)(n2)
(B) n(n1)
(C) Sn
(D) Sn+1
(E) 0
RESOLUÇÃO:
A fórmula para a soma dos “n” primeiros termos de uma PA é dada por:
S =
(a + a ). n
2
Podemos escrever as demais somas da seguinte forma:
S = S + a + a + a
S = S + a + a
S = S + a
A expressão, portanto, fica:
S  3S  3S S =
= S + a + a + a – 3.( S + a + a ) + 3.( S + a ) -S =
= S + a + a + a - 3S - 3a - 3a + 3S + 3a - S =
= a + a + a - 3a
Vamos lembrar de uma propriedade das PAs:
= a
Logo: a + a = 2a . Portanto:
a + a + a - 3a =
= 2a + a - 3a =
= 0
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) No espaço vetorial R², B  n(1,1),(2,1) e
B u,v são bases tais que a matriz [M] =
2 7
−1 −4
é a matriz de mudança
da base B para B .
O produto interno <(u,v)> é igual a
(A) 2
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
RESOLUÇÃO:
Podemos representar a base B1 assim:
1 2
1 1
Aplicando a matriz de mudança de base, temos:
B1 . M =
1 2
1 1
×
2 7
−1 −4
=
0 −1
1 3
Portanto, a base B2 é {u, v} = {(0,1), (-1,3)}. Logo,
<u,v> = (0,1).(-1,3) = 0.(-1) + 1.3 = 3
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Um sistema de eixos ortogonais no espaço
R³ está graduado em centímetros, ou seja, cada unidade marcada em cada um
dos eixos tem 1 cm de comprimento. Seja o tetraedro limitado pelos planos x 0,
y 0, z 0 e x/3  y/6  z/4  1. Qual o volume, em cm³, desse tetraedro?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 12
(E) 24
RESOLUÇÃO:
Esse tetraedro é limitado pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0. O enunciado ainda
fornece outro plano: x/3  y/6  z/4  1. Então:
Para x= 0 e y = 0  z/4 = 1  z = 4.
Para x= 0 e z = 0  y/6 = 1  y = 6.
Para y = 0 e z = 0  x/3 = 1  x = 3.
Logo, temos o seguinte tetraedro formado:
O volume do tetraedro será dado por:
V =
Á
V =
V = 2 x 3 x 2
V = 12 cm³
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Um tronco de prisma triangular reto tem
como base um triângulo equilátero de lado 6√3 cm. Suas arestas laterais,
perpendiculares à base, medem 1 cm, 4 cm e 6 cm. Qual o volume, em cm³, desse
tronco de prisma?
(A) 100
(B) 99
(C) 98
(D) 96
(E) 90
RESOLUÇÃO:
Esse tronco pode ser representado da seguinte forma:
Vamos calcular primeiro o volume até a altura da aresta = 1, correspondente à
região em vermelho:
O volume será a área da base triangular, multiplicada pela altura 1 cm (aresta). A
área de um triângulo equilátero é dada por:
Área da base =
√
=
√ √
=
√ √
Área da base = 9 x 3 = 27 cm²
Então: V = 27 x 1 = 27 cm³.
Resta calcular o volume da seguinte figura:
Note que é uma pirâmide de base quadrangular. O volume, então, será dado por:
V =
Á
A área da base é a área de um trapézio retângulo cuja base maior será 5, a base
menor 3, e a altura o lado do triângulo equilátero: 6∜3. Portanto:
Área da base =
( ) ∜
Área da base = 8 x 3∜3 = 24∜3 cm²
A altura dessa pirâmide será a altura do triângulo equilátero:
Altura triângulo equilátero =
√
=
∜ ∜ ²
Altura triângulo equilátero = 3∜3³
Portanto, o volume dessa pirâmide será:
V =
∜ ∜ ³
= 24 x ∜3
V = 24 x 3 = 72 cm³
Logo, o volume total desse tronco será:
V = V + V
V = 27 + 72
V = 99 cm³
Resposta: B
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma arena esportiva possui exatamente 8
portões, numerados de 1 a 8. Essa arena é considerada aberta se, e somente se,
pelo menos um dos seus portões estiver aberto. Por exemplo, seguem três
maneiras diferentes de se ter essa arena aberta:
• quando apenas o portão 3 está aberto;
• quando apenas o portão 6 está aberto;
• quando apenas os portões 3, 7 e 8 estão abertos.
O número total de maneiras diferentes de se ter essa arena aberta é:
(A) 40.320
(B) 40.319
(C) 256
(D) 255
(E) 36
RESOLUÇÃO:
Existem duas opções para cada portão: estar aberto ou fechado. O total de
maneiras que todos os 8 portões podem estar configurados é dado por:
Total = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Total = 2 = 256
A arena é considerada aberta quando pelo menos um dos 8 portões estiver
aberto. Existe apenas 1 situação em que todos os portões estarão fechados.
Portanto, o total de maneiras diferentes de se ter essa arena aberta é: 256 – 1 =
255.
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Duas cascas esféricas metálicas e
concêntricas, de raios R e R , formam um capacitor esférico. Quando R = 2R ,
a capacitância do capacitor é C . Se dobrarmos o raio da casca externa tal que
R =4R , a nova capacitância será
(A) 2C
(B) C
(C) 3C /2
(D) 2C /3
(E) C /2
RESOLUÇÃO:
A fórmula da capacitância de um capacitor esférico é dada por:
C = 4πЄ
Como R = 2R , temos:
C = 4πЄ = 4πЄ
²
C = 8πЄ R
Quando R = 4R , temos:
C = 4πЄ = 4πЄ
²
C = 4πЄ
C = 8πЄ R = C x
C = 2C /3
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) O maior valor que a expressão E = sen x +
2√2 cos x pode assumir, para valores reais de x, é
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) √2
(E) 2√2
RESOLUÇÃO:
Vamos lembrar da propriedade dos cossenos:
cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
A questão nos dá a seguinte expressão:
E = sen x + 2√2 cos x
Vamos escrever a expressão de outra forma, considerando θ um ângulo qualquer
e R um número real qualquer. Fica:
E = R.cos (x + θ)
E = R.(cos x.cos θ – sen x.sen θ)
E = R.cos x.cos θ – R.sen x.sen θ
E = (-R. sen θ).sen x + (R.cos θ).cos x
Igualando à expressão dada pelo enunciado, fica:
(-R. sen θ).sen x + (R.cos θ).cos x = sen x + 2√2 cos x
Por identidade, temos:
-R. sen θ = 1
(-R. sen θ)² = 1
R² sen² θ = 1 (I)
R.cos θ = 2√2
(R.cos θ)² = (2√2)²
R².cos² θ = 8 (II)
Somando (I) e (II), temos:
R² sen² θ + R².cos² θ = 1 + 8
R².(sen² θ + cos² θ) = 9
R².1 = 9
R = 3
Logo, a nossa expressão é:
E = R.cos (x + θ)
E = 3.cos (x + θ)
Analisando a expressão acima, sabemos que o maior valor possível para cos (x +
θ) é 1. Logo, o maior valor que a expressão pode chegar é:
E = 3.1 = 3
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Dos 1.000 alunos de uma escola, 90%
possuem smartphones, 70% possuem notebooks e 55% possuem tablets. Qual o
menor número de alunos que possui os 3 tipos de eletrônicos?
(A) 100
(B) 150
(C) 200
(D) 250
(E) 300
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de "X" o valor da interseção dos três grupos, "A" o número de
alunos na interseção dos que têm apenas smartphone e tablets, "B" o número
dos que têm apenas smartphone e notebooks e "C" o número dos que têm
apenas notebooks e tablets. Montando o Diagrama de Venn, temos:
A soma de todos os elementos desses conjuntos deve resultar nos 1000 alunos:
900 - A - B - X + 700 - B - C - X + 550 - A - C - X + A + B + C + X = 1000
2150 - A - B - C - 2X = 1000
A + B + C + 2X = 1150 (I)
O enunciado pede o menor número possível de X. Essa situação acontece quando
o número de alunos nas interseções dos conjuntos dois a dois é máxima. Ou seja,
não haverá alunos que tenham apenas um eletrônico. Logo:
A + B + C + X = 1000
A + B + C = 1000 – X
Substituindo essa equação em (I), temos:
(1000 - X) + 2X = 1150
-X + 2X = 1150 - 1000
X = 150 alunos
Resposta: B
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) No conjunto A  1,2,3,4,5 definimos a
relação R  (1,1), (3,2), (2,2), (5,5), (4,2), (4,4), (3,x), (3,4), (y,x), (z,x), (z,y) que
é uma relação de equivalência. Qual o valor de x  y  z?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
RESOLUÇÃO:
Vamos desenhar o sistema cartesiano e colocar os pontos dados no enunciado:
Foram dados ainda: (3,x), (y,x), (z,x), (z,y). Veja que a ordenada “x” aparece três
vezes nos pontos, sendo que, em uma, a abscissa é 3.
O enunciado afirma que os pontos seguem uma relação de equivalência. Logo,
para os pontos ficarem simétricos no sistema cartesiano, teríamos a seguinte
configuração:
Assim, os outros pontos serão: (2,4), (2,3), (3,3), (4,3). Comparando com (3,x),
(y,x), (z,x), (z,y), temos:
(3,x) = (3,3)  x = 3
(z,x), (z,y)  (2,3) e (2,4)  z = 2 e y = 4
(y,x) = (4,3)
Logo:
x + y – z = 3 + 4 – 2 = 5
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Se x e y são números reais, tais que 2
log(x2y)  logx logy, qual o valor de x/y?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
RESOLUÇÃO:
Foi dada a expressão:
2 log(x  2y)  logx logy
log(x – 2y)² = log (x.y)
(x – 2y)² = xy
x² - 2.x.2y + (2y)² = xy
x² - 4xy + 4y² = xy
x² + 4y² = 5xy
x² - 5xy + 4y²= 0
Dividindo todos os termos por y², temos:
x²/y² - 5xy/y² + 4y²/y² = 0
x²/y² - 5x/y + 4 = 0
Chamando x/y de u, temos:
u² - 5u + 4 = 0
Temos:
𝑢 =
−(−5) ± √25 − 4.1.4
2.1
𝑢 =
5 ± √9
2
𝑢 =
5 ± 3
2
u = 4 ou u = 1
Logo, x/y = 4 ou x/y = 1. Para log(x2y) existir, precisamos que:
x – 2y > 0
x > 2y
x/y > 2
Logo, podemos descartar a solução x/y = 1, ficando apenas com x/y = 4.
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Dados sobre Precipitação Pluviométrica em
cinco regiões do estado do Rio de Janeiro foram coletados para os meses de verão
(janeiro a março) entre 1968 e 2017. Os resultados permitiram os cálculos das
estatísticas e a elaboração do Box Plot apresentados abaixo.
De acordo com os resultados acima, observe as afirmações a seguir.
I - A média das precipitações pluviométricas é uma medida representativa da
quantidade de chuva média mensal no verão em cada região, devido à baixa
variabilidade das medidas.
II - A variação das médias das precipitações dentro de cada região é inferior à
variação das médias das precipitações entre as regiões.
III - Em pelo menos um ano, a precipitação média no verão ficou abaixo do índice
de 1,5 desvio quartílico da distribuição em duas regiões.
Está correto APENAS o que se afirma em
(A) I
(B) II
(C) III
(D) I e II
(E) I e III
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar cada alternativa:
I - A média das precipitações pluviométricas é uma medida representativa da
quantidade de chuva média mensal no verão em cada região, devido à baixa
variabilidade das medidas.
A banca definiu o item como incorreto, pois considera que a média sozinha não
pode unicamente representar um conjunto de dados, sempre precisará estar
acompanhada de uma medida de variabilidade. Mas essa é uma posição
questionável, já que calculando os coeficientes de variação, eles resultam em
valores baixos. Veja:
CV =
ã
é
CV =
,
≅ 0,044
CV =
,
≅ 0,064
CV =
,
≅ 0,034
CV =
,
≅ 0,036
CV =
,
≅ 0,040
II - A variação das médias das precipitações dentro de cada região é inferior à
variação das médias das precipitações entre as regiões.
A variação das médias para cada região foi calculada no item I. Ficaram: 0,044;
0,064; 0,034; 0,036; 0,040.
Vamos analisar a variação das médias entre as regiões. Para isso, devemos
calcular a média entre as regiões:
Média = = = 164
O desvio padrão entre as regiões é dado por:
Desvio Padrão =
( ) ( ) ( ) ( )² ( )²
Desvio Padrão = = ≅ 9,5
Portanto, o coeficiente de variação entre as regiões será:
CV =
,
= 0,058
Veja que a variação da média para a região II não é inferior à variação das médias
entre as regiões (0,064 > 0,058). Item incorreto.
III - Em pelo menos um ano, a precipitação média no verão ficou abaixo do índice
de 1,5 desvio quartílico da distribuição em duas regiões.
O limite inferior é dado pela fórmula: Q − 1,5(Q − Q ). Vamos analisar os
limites para cada região:
Região 1: 142 – 1,5(152 – 142) = 127. Esse valor é inferior ao mínimo da região
(138).
Região 2: 158 – 1,5(162 – 158) = 152. Note que o mínimo dessa região é 142,
portanto é inferior ao limite.
Região 3: 170 – 1,5(174 – 170) = 164. Note que o mínimo dessa região é 157,
portanto é inferior ao limite.
Região 4: 159 – 1,5(170 – 159) = 142,5. Esse valor é inferior ao mínimo da região
(148).
Região 5: 170 – 1,5(180 – 170) = 155. Esse valor é inferior ao mínimo da região
(161).
Portanto, nas regiões 2 e 3 as precipitações médias ficaram abaixo do limite. Item
correto.
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) A probabilidade de sucesso em uma prova
de campo é a nona parte da probabilidade de fracasso. Provas sucessivas e
independentes são realizadas até que o sucesso ocorra pela primeira vez. Nessas
circunstâncias, o número esperado de fracassos que deverão ocorrer até que se
verifique o primeiro sucesso é igual a
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 10
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de “p” a probabilidade de sucesso e de “q” a probabilidade de
fracasso. Portanto, p = . Como p + q = 1, então:
+ q = 1
= 1
10q = 9
q = 9/10
p =
/
= 1/10
Portanto, em um universo de 10 provas, 1 será sucesso. Então, com certeza, após
10 provas, deverá ter ocorrido 1 sucesso.
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma empresa deseja comprar um
equipamento, cujo preço à vista foi cotado em 15 milhões de reais. Para isso,
pretende pagar uma entrada (ato da compra) e financiar o valor restante em 12
parcelas mensais e iguais, a uma taxa de juro (composto) de 1% ao mês, com a
primeira parcela sendo paga um mês após a compra. O departamento financeiro
determinou que o valor da parcela seja de, no máximo, 1 milhão de reais.
Nessas condições, o valor mínimo, em milhões de reais, que a empresa precisará
pagar de entrada nessa compra pertence ao intervalo:
Dado: 1,01 = 1,127
(A) 3,00 a 3,19
(B) 3,20 a 3,39
(C) 3,40 a 3,59
(D) 3,60 a 3,79
(E) 3,80 a 4,00
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de “X” o valor dado de entrado. Portanto, o valor atual a ser
parcelado passa a ser “15 – X”. Para parcelas iguais, a fórmula é dada por:
A = P x 𝑎 ¬
Onde P = 1 milhão, n = 12 parcelas e i = 1% ao mês. Assim:
15 – X = 1 x
( )
( ) .
15 – X =
( , )
( , ) . ,
15 – X =
,
, ,
15 – X =
,
,
15 – X ≅ 11,27
X = 3,73 milhões
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma empresa fez um investimento inicial,
em jan/2016, no valor de 10 bilhões de reais, a uma determinada taxa anual fixa,
no sistema de juros compostos. Exatamente após um ano (jan/2017), retirou 4
bilhões de reais, e um ano depois disso, em jan/2018, resgatou 8 bilhões, zerando
sua posição no investimento. Se nenhum aporte adicional foi realizado nesse
período, além do investimento inicial, o valor mais próximo da taxa anual de
retorno desse investimento é
Dado: √21 = 4,58
(A) 9,2%
(B) 10,4%
(C) 10,8%
(D) 11,2%
(E) 11,6%
RESOLUÇÃO:
O capital inicial aplicado foi de C = 10 bilhões, a uma taxa anual “i” e por um
período t=1 ano. O montante ao fim desse prazo será de:
M = 10 x (1 + i)
São retirados 4 bilhões desse montante e o restante continua investido por mais
1 ano. Portanto, o capital inicial passa a ser:
C = 10 x (1 + i) – 4
C = 10 + 10i – 4
C = 6 + 10i
Como o resgate foi de 8 bilhões (montante), temos:
8 = (6 + 10i) x (1 + i)
8 = 6 + 6i + 10i + 10i²
10i² + 16i – 2 = 0
Δ = 16² - 4 x 10 x (-2)
Δ = 256 + 80 = 336
i =
± √
i =
√
i =
√
i =
,
i = 0,58/5 = 0,116 = 11,6%
Resposta: E
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  • 1. PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS PROVA RESOLVIDA – ENGENHEIRO DE PETRÓLEO 2018 CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) O menor autovalor da matriz A = é (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7 RESOLUÇÃO: Para achar os autovalores de uma matriz, temos que fazer: det (λ.In - A) = 0 (λ – 3) x (λ – 4) – (-1) x (-2) = 0 λ - 3 λ - 4 λ + 12 – 2 = 0 λ - 7 λ + 10= 0 Δ = 49 – 40 = 9 λ = ( ) ± √
  • 2. λ = ± λ’ = 5 ou λ" = 2Portanto, o menor autovalor da matriz A é 2. Resposta: A CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Pode-se escrever o vetor u = (9, -17) como uma combinação linear de v = (1, 2) e w = (3, -1) , ou seja, existem a e b, tais que u = av + bw. A soma a + b vale (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 10 (E) 11 RESOLUÇÃO: Se existe combinação linear entre os vetores, existirá um escalar “a” e “b” para os vetores v e w, respectivamente, que resultará no vetor u. (9, -17) = a.(1, 2) + b.(3, -1) a + 3b = 9 (I) 2a – b = -17 (II) Isolando “a” na equação I e substituindo em II, temos: a = 9 – 3b 2(9 – 3b) – b = -17 18 – 6b – b = -17 18 – 7b = -17 7b = 35 b = 5 a = 9 – 3.5 a = 9 – 15 a = -6 Logo: a + b = -6 + 5 = -1. Resposta: A CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Transformações são funções definidas em espaços vetoriais. Transformações que satisfazem determinadas propriedades
  • 3. são chamadas de transformações lineares. Qual das transformações a seguir NÃO é uma transformação linear? (A) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y z) (B) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y yz) (C) T:R² → R; T(x,y)  x y (D) T:R → R; T(x)  2x (E) T:R³ → R; T(x,y,z)  0 RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada alternativa: (A) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y z) Sejam R³ e R² espaços vetoriais. Uma transformação linear de R³ em R² é uma função T: R³ → R² que deve atender à condição: T (u + v) = T(u) + T(v), para quaisquer u e v em R³ u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ) Então: T(u) = T(x + y , y + z ) T(v) = T(x + y , y + z ) Logo: (u + v) = (x +x , y + y , z + z ) T(u + v) = (x + x + y + y , y + y + z + z ) T(u) + T(v) =( x + y ) + (x + y ), (y + z ) +( y + z ) T(u) + T(v) = (x +x + y + y ), (y + y + z + z ) Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta. (B) T:R³ → R²; T(x,y,z)  (x y, y yz) Novamente vamos adotar: u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ). T(u) = T(x - y , y − y z ) T(v) = T(x - y , y − y z ) Logo: (u + v) = (x +x , y + y , z + z ) T(u + v) = (x + x - (y + y ), y + y – (y + y ).(z + z )) T(u + v) = (x + x - y − y , y + y – (y z + y z + y z + y z ))
  • 4. T(u + v) = (x + x - y − y , y + y – y z − y z − y z − y z ) T(u) + T(v) = (x - y + (x - y ), y − y z + y − y z ) T(u) + T(v) = (x + x − y - y , y − y z + y − y z ) Veja que T (u + v) ≠T(u) + T(v). Portanto, não é uma transformação linear. Gabarito letra B. (C) T:R² → R; T(x,y)  x y Adotando: u = (x , y ) e v = (x , y ) T(u) = T(x , y ) = x + y T(v) = T(x , y ) = x + y T(u + v) = (x + x ) + (y + y ) T(u) + T(v) = x + y + x + y T(u) + T(v) = x + x + y + y Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta. (D) T:R → R; T(x)  2x Adotando: u = (x ) e v = (x ) T(u) = T(x ) = -2.x T(v) = T(x ) = -2.x T(u + v) = (−2. x + (−2. x )) = −2. x −2. x T(u) + T(v) = (−2. x ) + (−2. x ) = −2. x −2. x Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta. (E) T:R³ → R; T(x,y,z)  0 Se T(x,y,z) = 0, então T(x,y,z) = T(0 · x,y,z)= 0 · T(x,y,z) = 0. Adotando: u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ), temos: T(u) = 0, então 0 · T(x , y , z ) = 0 T(v) = 0, então 0 · T(x , y , z ) = 0 T(u + v) = 0 · T(x +x , y + y , z + z )= 0 Portanto, T (u + v) = T(u) + T(v). Alternativa correta. Resposta: B
  • 5. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Considere a curva de equação y  (x²  2) . Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1? (A) 1/6 (B) 2/3 (C) 4/3 (D) 5/3 (E) 2 RESOLUÇÃO: O comprimento de uma curva é dado por: L = ∫ 1 + [𝑓( 𝑥) ]² Onde L é o comprimento e f(x)’ a derivada da função que representa a curva. O enunciado nos dá: f(x) = y = (x²  2) Sua derivada será: f(x)’ = . . (x²  2) . 2x f(x)’ = . . (x²  2) . 1x f(x)’ = x² + 2 . x Substituindo na fórmula do comprimento, temos: L = ∫ 1 + [√x + 2 . x]² 𝑑𝑥 L = ∫ 1 + (x + 2). x² 𝑑𝑥 L = ∫ 1 + x + 2x² 𝑑𝑥 L = ∫ (1 + x + 2x²) / 𝑑𝑥 L = ∫ [(x + 1) ] / 𝑑𝑥 L = ∫ x + 1 𝑑𝑥 L = + 𝑥| L = + 1 − + 0 = Resposta: C
  • 6. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Na figura a seguir, a função real dada por f(x)  x³, a reta tangente à função f no ponto (1, 1) e o eixo x limitam uma região que aparece sombreada. A área dessa região é igual a (A) 1/6 (B) 1/4 (C) 3/4 (D) 1 (E) 1/12 RESOLUÇÃO: Para f(x) = 0, temos: x³ = 0 → x = 0 Para f(x) = 1, temos: x³ = 1 → x = 1 A área abaixo da função f(x) é dada por: ∫ x³ dx = F(1) – F(0) = ¼.1 - ¼.0 = ¼ Mas, desse valor, devemos eliminar a área abaixo da função linear tangente à f(x) em (1,1). Vamos chamá-la de g(x). Sabe-se que a inclinação da reta g(x) é a derivada da função f(x) no ponto P. Logo: f’(x) = 3.x² Coeficiente angular de g(x) = f’(1) = 3.1² = 3 Logo, a lei da função será: g(x) = 3.x + b Como o ponto P (1,1) pertence à g(x), vamos achar “b”: 1 = 3 + b b = -2
  • 7. Então: g(x) = 3x – 2. A abscissa para g(x) = 0 será: 0 = 3x – 2 3x = 2 x = 2/3 A área abaixo da função g(x) será: Base = 1 – 2/3 = 1/3 Altura = 1 A = = 1/6 Portanto, a área em cinza será: Área = - = = Resposta: E CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Seja f uma função real que admite inversa. Se f(1) = 1, f '(1) = 2, f "(1) = 16 e g é a inversa de f, então g"(1) é (A) 16 (B) 1 (C) 2 (D) 8 (E) 16 RESOLUÇÃO: Como f(1) = 1, então g(1) = f-1 (1) = 1. Temos: 𝑔"(1) = − 𝑓′′(𝑔(1)) (𝑓′(𝑔(1))) = − 𝑓 (1) (𝑓′(1)) = − −16 (2) = 16 8 = 2
  • 8. Resposta: C CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é S , então a expressão S  3S  3S S , equivale a (A) (n1)(n2) (B) n(n1) (C) Sn (D) Sn+1 (E) 0 RESOLUÇÃO: A fórmula para a soma dos “n” primeiros termos de uma PA é dada por: S = (a + a ). n 2 Podemos escrever as demais somas da seguinte forma: S = S + a + a + a S = S + a + a S = S + a A expressão, portanto, fica: S  3S  3S S = = S + a + a + a – 3.( S + a + a ) + 3.( S + a ) -S = = S + a + a + a - 3S - 3a - 3a + 3S + 3a - S = = a + a + a - 3a Vamos lembrar de uma propriedade das PAs: = a Logo: a + a = 2a . Portanto: a + a + a - 3a = = 2a + a - 3a = = 0 Resposta: E
  • 9. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) No espaço vetorial R², B  n(1,1),(2,1) e B u,v são bases tais que a matriz [M] = 2 7 −1 −4 é a matriz de mudança da base B para B . O produto interno <(u,v)> é igual a (A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 RESOLUÇÃO: Podemos representar a base B1 assim: 1 2 1 1 Aplicando a matriz de mudança de base, temos: B1 . M = 1 2 1 1 × 2 7 −1 −4 = 0 −1 1 3 Portanto, a base B2 é {u, v} = {(0,1), (-1,3)}. Logo, <u,v> = (0,1).(-1,3) = 0.(-1) + 1.3 = 3 Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Um sistema de eixos ortogonais no espaço R³ está graduado em centímetros, ou seja, cada unidade marcada em cada um dos eixos tem 1 cm de comprimento. Seja o tetraedro limitado pelos planos x 0, y 0, z 0 e x/3  y/6  z/4  1. Qual o volume, em cm³, desse tetraedro? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 12 (E) 24 RESOLUÇÃO:
  • 10. Esse tetraedro é limitado pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0. O enunciado ainda fornece outro plano: x/3  y/6  z/4  1. Então: Para x= 0 e y = 0  z/4 = 1  z = 4. Para x= 0 e z = 0  y/6 = 1  y = 6. Para y = 0 e z = 0  x/3 = 1  x = 3. Logo, temos o seguinte tetraedro formado: O volume do tetraedro será dado por: V = Á V = V = 2 x 3 x 2 V = 12 cm³ Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Um tronco de prisma triangular reto tem como base um triângulo equilátero de lado 6√3 cm. Suas arestas laterais, perpendiculares à base, medem 1 cm, 4 cm e 6 cm. Qual o volume, em cm³, desse tronco de prisma? (A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 96
  • 11. (E) 90 RESOLUÇÃO: Esse tronco pode ser representado da seguinte forma: Vamos calcular primeiro o volume até a altura da aresta = 1, correspondente à região em vermelho: O volume será a área da base triangular, multiplicada pela altura 1 cm (aresta). A área de um triângulo equilátero é dada por: Área da base = √ = √ √ = √ √ Área da base = 9 x 3 = 27 cm² Então: V = 27 x 1 = 27 cm³. Resta calcular o volume da seguinte figura:
  • 12. Note que é uma pirâmide de base quadrangular. O volume, então, será dado por: V = Á A área da base é a área de um trapézio retângulo cuja base maior será 5, a base menor 3, e a altura o lado do triângulo equilátero: 6∜3. Portanto: Área da base = ( ) ∜ Área da base = 8 x 3∜3 = 24∜3 cm² A altura dessa pirâmide será a altura do triângulo equilátero: Altura triângulo equilátero = √ = ∜ ∜ ² Altura triângulo equilátero = 3∜3³ Portanto, o volume dessa pirâmide será: V = ∜ ∜ ³ = 24 x ∜3 V = 24 x 3 = 72 cm³ Logo, o volume total desse tronco será: V = V + V V = 27 + 72 V = 99 cm³ Resposta: B CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma arena esportiva possui exatamente 8 portões, numerados de 1 a 8. Essa arena é considerada aberta se, e somente se, pelo menos um dos seus portões estiver aberto. Por exemplo, seguem três maneiras diferentes de se ter essa arena aberta: • quando apenas o portão 3 está aberto;
  • 13. • quando apenas o portão 6 está aberto; • quando apenas os portões 3, 7 e 8 estão abertos. O número total de maneiras diferentes de se ter essa arena aberta é: (A) 40.320 (B) 40.319 (C) 256 (D) 255 (E) 36 RESOLUÇÃO: Existem duas opções para cada portão: estar aberto ou fechado. O total de maneiras que todos os 8 portões podem estar configurados é dado por: Total = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Total = 2 = 256 A arena é considerada aberta quando pelo menos um dos 8 portões estiver aberto. Existe apenas 1 situação em que todos os portões estarão fechados. Portanto, o total de maneiras diferentes de se ter essa arena aberta é: 256 – 1 = 255. Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Duas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raios R e R , formam um capacitor esférico. Quando R = 2R , a capacitância do capacitor é C . Se dobrarmos o raio da casca externa tal que R =4R , a nova capacitância será (A) 2C (B) C (C) 3C /2 (D) 2C /3 (E) C /2 RESOLUÇÃO: A fórmula da capacitância de um capacitor esférico é dada por: C = 4πЄ Como R = 2R , temos: C = 4πЄ = 4πЄ ²
  • 14. C = 8πЄ R Quando R = 4R , temos: C = 4πЄ = 4πЄ ² C = 4πЄ C = 8πЄ R = C x C = 2C /3 Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) O maior valor que a expressão E = sen x + 2√2 cos x pode assumir, para valores reais de x, é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) √2 (E) 2√2 RESOLUÇÃO: Vamos lembrar da propriedade dos cossenos: cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b A questão nos dá a seguinte expressão: E = sen x + 2√2 cos x Vamos escrever a expressão de outra forma, considerando θ um ângulo qualquer e R um número real qualquer. Fica: E = R.cos (x + θ) E = R.(cos x.cos θ – sen x.sen θ) E = R.cos x.cos θ – R.sen x.sen θ E = (-R. sen θ).sen x + (R.cos θ).cos x Igualando à expressão dada pelo enunciado, fica: (-R. sen θ).sen x + (R.cos θ).cos x = sen x + 2√2 cos x Por identidade, temos: -R. sen θ = 1 (-R. sen θ)² = 1
  • 15. R² sen² θ = 1 (I) R.cos θ = 2√2 (R.cos θ)² = (2√2)² R².cos² θ = 8 (II) Somando (I) e (II), temos: R² sen² θ + R².cos² θ = 1 + 8 R².(sen² θ + cos² θ) = 9 R².1 = 9 R = 3 Logo, a nossa expressão é: E = R.cos (x + θ) E = 3.cos (x + θ) Analisando a expressão acima, sabemos que o maior valor possível para cos (x + θ) é 1. Logo, o maior valor que a expressão pode chegar é: E = 3.1 = 3 Resposta: C CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Dos 1.000 alunos de uma escola, 90% possuem smartphones, 70% possuem notebooks e 55% possuem tablets. Qual o menor número de alunos que possui os 3 tipos de eletrônicos? (A) 100 (B) 150 (C) 200 (D) 250 (E) 300 RESOLUÇÃO: Vamos chamar de "X" o valor da interseção dos três grupos, "A" o número de alunos na interseção dos que têm apenas smartphone e tablets, "B" o número dos que têm apenas smartphone e notebooks e "C" o número dos que têm apenas notebooks e tablets. Montando o Diagrama de Venn, temos:
  • 16. A soma de todos os elementos desses conjuntos deve resultar nos 1000 alunos: 900 - A - B - X + 700 - B - C - X + 550 - A - C - X + A + B + C + X = 1000 2150 - A - B - C - 2X = 1000 A + B + C + 2X = 1150 (I) O enunciado pede o menor número possível de X. Essa situação acontece quando o número de alunos nas interseções dos conjuntos dois a dois é máxima. Ou seja, não haverá alunos que tenham apenas um eletrônico. Logo: A + B + C + X = 1000 A + B + C = 1000 – X Substituindo essa equação em (I), temos: (1000 - X) + 2X = 1150 -X + 2X = 1150 - 1000 X = 150 alunos Resposta: B CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) No conjunto A  1,2,3,4,5 definimos a relação R  (1,1), (3,2), (2,2), (5,5), (4,2), (4,4), (3,x), (3,4), (y,x), (z,x), (z,y) que é uma relação de equivalência. Qual o valor de x  y  z? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 RESOLUÇÃO:
  • 17. Vamos desenhar o sistema cartesiano e colocar os pontos dados no enunciado: Foram dados ainda: (3,x), (y,x), (z,x), (z,y). Veja que a ordenada “x” aparece três vezes nos pontos, sendo que, em uma, a abscissa é 3. O enunciado afirma que os pontos seguem uma relação de equivalência. Logo, para os pontos ficarem simétricos no sistema cartesiano, teríamos a seguinte configuração: Assim, os outros pontos serão: (2,4), (2,3), (3,3), (4,3). Comparando com (3,x), (y,x), (z,x), (z,y), temos: (3,x) = (3,3)  x = 3 (z,x), (z,y)  (2,3) e (2,4)  z = 2 e y = 4 (y,x) = (4,3) Logo: x + y – z = 3 + 4 – 2 = 5
  • 18. Resposta: E CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Se x e y são números reais, tais que 2 log(x2y)  logx logy, qual o valor de x/y? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 RESOLUÇÃO: Foi dada a expressão: 2 log(x  2y)  logx logy log(x – 2y)² = log (x.y) (x – 2y)² = xy x² - 2.x.2y + (2y)² = xy x² - 4xy + 4y² = xy x² + 4y² = 5xy x² - 5xy + 4y²= 0 Dividindo todos os termos por y², temos: x²/y² - 5xy/y² + 4y²/y² = 0 x²/y² - 5x/y + 4 = 0 Chamando x/y de u, temos: u² - 5u + 4 = 0 Temos: 𝑢 = −(−5) ± √25 − 4.1.4 2.1 𝑢 = 5 ± √9 2 𝑢 = 5 ± 3 2
  • 19. u = 4 ou u = 1 Logo, x/y = 4 ou x/y = 1. Para log(x2y) existir, precisamos que: x – 2y > 0 x > 2y x/y > 2 Logo, podemos descartar a solução x/y = 1, ficando apenas com x/y = 4. Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Dados sobre Precipitação Pluviométrica em cinco regiões do estado do Rio de Janeiro foram coletados para os meses de verão (janeiro a março) entre 1968 e 2017. Os resultados permitiram os cálculos das estatísticas e a elaboração do Box Plot apresentados abaixo. De acordo com os resultados acima, observe as afirmações a seguir.
  • 20. I - A média das precipitações pluviométricas é uma medida representativa da quantidade de chuva média mensal no verão em cada região, devido à baixa variabilidade das medidas. II - A variação das médias das precipitações dentro de cada região é inferior à variação das médias das precipitações entre as regiões. III - Em pelo menos um ano, a precipitação média no verão ficou abaixo do índice de 1,5 desvio quartílico da distribuição em duas regiões. Está correto APENAS o que se afirma em (A) I (B) II (C) III (D) I e II (E) I e III RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada alternativa: I - A média das precipitações pluviométricas é uma medida representativa da quantidade de chuva média mensal no verão em cada região, devido à baixa variabilidade das medidas. A banca definiu o item como incorreto, pois considera que a média sozinha não pode unicamente representar um conjunto de dados, sempre precisará estar acompanhada de uma medida de variabilidade. Mas essa é uma posição questionável, já que calculando os coeficientes de variação, eles resultam em valores baixos. Veja: CV = ã é CV = , ≅ 0,044 CV = , ≅ 0,064 CV = , ≅ 0,034 CV = , ≅ 0,036 CV = , ≅ 0,040 II - A variação das médias das precipitações dentro de cada região é inferior à variação das médias das precipitações entre as regiões.
  • 21. A variação das médias para cada região foi calculada no item I. Ficaram: 0,044; 0,064; 0,034; 0,036; 0,040. Vamos analisar a variação das médias entre as regiões. Para isso, devemos calcular a média entre as regiões: Média = = = 164 O desvio padrão entre as regiões é dado por: Desvio Padrão = ( ) ( ) ( ) ( )² ( )² Desvio Padrão = = ≅ 9,5 Portanto, o coeficiente de variação entre as regiões será: CV = , = 0,058 Veja que a variação da média para a região II não é inferior à variação das médias entre as regiões (0,064 > 0,058). Item incorreto. III - Em pelo menos um ano, a precipitação média no verão ficou abaixo do índice de 1,5 desvio quartílico da distribuição em duas regiões. O limite inferior é dado pela fórmula: Q − 1,5(Q − Q ). Vamos analisar os limites para cada região: Região 1: 142 – 1,5(152 – 142) = 127. Esse valor é inferior ao mínimo da região (138). Região 2: 158 – 1,5(162 – 158) = 152. Note que o mínimo dessa região é 142, portanto é inferior ao limite. Região 3: 170 – 1,5(174 – 170) = 164. Note que o mínimo dessa região é 157, portanto é inferior ao limite. Região 4: 159 – 1,5(170 – 159) = 142,5. Esse valor é inferior ao mínimo da região (148). Região 5: 170 – 1,5(180 – 170) = 155. Esse valor é inferior ao mínimo da região (161). Portanto, nas regiões 2 e 3 as precipitações médias ficaram abaixo do limite. Item correto. Resposta: C CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) A probabilidade de sucesso em uma prova de campo é a nona parte da probabilidade de fracasso. Provas sucessivas e
  • 22. independentes são realizadas até que o sucesso ocorra pela primeira vez. Nessas circunstâncias, o número esperado de fracassos que deverão ocorrer até que se verifique o primeiro sucesso é igual a (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (E) 10 RESOLUÇÃO: Vamos chamar de “p” a probabilidade de sucesso e de “q” a probabilidade de fracasso. Portanto, p = . Como p + q = 1, então: + q = 1 = 1 10q = 9 q = 9/10 p = / = 1/10 Portanto, em um universo de 10 provas, 1 será sucesso. Então, com certeza, após 10 provas, deverá ter ocorrido 1 sucesso. Resposta: E CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma empresa deseja comprar um equipamento, cujo preço à vista foi cotado em 15 milhões de reais. Para isso, pretende pagar uma entrada (ato da compra) e financiar o valor restante em 12 parcelas mensais e iguais, a uma taxa de juro (composto) de 1% ao mês, com a primeira parcela sendo paga um mês após a compra. O departamento financeiro determinou que o valor da parcela seja de, no máximo, 1 milhão de reais. Nessas condições, o valor mínimo, em milhões de reais, que a empresa precisará pagar de entrada nessa compra pertence ao intervalo: Dado: 1,01 = 1,127 (A) 3,00 a 3,19 (B) 3,20 a 3,39 (C) 3,40 a 3,59 (D) 3,60 a 3,79
  • 23. (E) 3,80 a 4,00 RESOLUÇÃO: Vamos chamar de “X” o valor dado de entrado. Portanto, o valor atual a ser parcelado passa a ser “15 – X”. Para parcelas iguais, a fórmula é dada por: A = P x 𝑎 ¬ Onde P = 1 milhão, n = 12 parcelas e i = 1% ao mês. Assim: 15 – X = 1 x ( ) ( ) . 15 – X = ( , ) ( , ) . , 15 – X = , , , 15 – X = , , 15 – X ≅ 11,27 X = 3,73 milhões Resposta: D CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) Uma empresa fez um investimento inicial, em jan/2016, no valor de 10 bilhões de reais, a uma determinada taxa anual fixa, no sistema de juros compostos. Exatamente após um ano (jan/2017), retirou 4 bilhões de reais, e um ano depois disso, em jan/2018, resgatou 8 bilhões, zerando sua posição no investimento. Se nenhum aporte adicional foi realizado nesse período, além do investimento inicial, o valor mais próximo da taxa anual de retorno desse investimento é Dado: √21 = 4,58 (A) 9,2% (B) 10,4% (C) 10,8% (D) 11,2% (E) 11,6% RESOLUÇÃO: O capital inicial aplicado foi de C = 10 bilhões, a uma taxa anual “i” e por um período t=1 ano. O montante ao fim desse prazo será de: M = 10 x (1 + i)
  • 24. São retirados 4 bilhões desse montante e o restante continua investido por mais 1 ano. Portanto, o capital inicial passa a ser: C = 10 x (1 + i) – 4 C = 10 + 10i – 4 C = 6 + 10i Como o resgate foi de 8 bilhões (montante), temos: 8 = (6 + 10i) x (1 + i) 8 = 6 + 6i + 10i + 10i² 10i² + 16i – 2 = 0 Δ = 16² - 4 x 10 x (-2) Δ = 256 + 80 = 336 i = ± √ i = √ i = √ i = , i = 0,58/5 = 0,116 = 11,6% Resposta: E PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS