Aulão de geometria espacial

1 - (D 53) UM TOPÓGRAFO FOI CHAMADO PARA
OBTER A ALTURA DE UM EDIFÍCIO. PARA FAZER
ISTO, ELE COLOCOU UM TEODOLITO (INSTRUMENTO
ÓTICO PARA MEDIR ÂNGULOS) A 200 METROS DO
EDIFÍCIO E MEDIU UM ÂNGULO DE 30°, COMO
INDICADO NA FIGURA A SEGUIR.

SABENDO QUE A LUNETA DO TEODOLITO ESTÁ A 1,5
METROS DO SOLO, PODE-SE CONCLUIR QUE, DENTRE OS
VALORES ADIANTE, O QUE MELHOR APROXIMA A
ALTURA DO EDIFÍCIO, EM METROS, É: (USE OS
VALORES: SEN 30° = 0,50; COS 30° = 0,86 E TG 30° =
0,57).
(A) 110
(B) 114
(C) 118
(D) 122
(E) 126

Lembre-se que:

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝐶𝑂
sen 𝛼 = ou sen 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐻
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝐶𝐴
cos 𝛼 = ou cos 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐻
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝐶𝑂
tg 𝛼 = ou tg 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝐶𝐴

Como construir a tabela dos ângulos notáveis?
30° 45° 60°

Seno 1 2 3
2 2 2
cosseno 3 2 1
2 2 2
tangente 3 1 3
3

Solução:

Perceba que buscamos a soma
de x + 1,5, x
Logo teremos que encontrar o
valor de x, mas como fazer
200 m
isso? 1,5

Utilizando a relação que envolve cateto oposto
e cateto adjacente, no caso do ângulo de 30°.
𝐶𝑂 𝑥
tg 30° = 0,57 = x = 114
𝐶𝐴 200

Portanto o prédio tem 114 + 1,5 = 115,5 m

2 – (D67) CONSIDERE QUE OS ÂNGULOS
DE TODOS OS CANTOS DA FIGURA ABAIXO
SÃO RETOS E QUE TODOS OS ARCOS SÃO
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIAS DE RAIO
5CM, COM CENTROS SOBRE OS PONTOS EM
DESTAQUE.

A ÁREA DA REGIÃO SOMBREADA É IGUAL A:
Solução:
(A) 400 m²
(B) 204π m² Perceba que procuramos a área
(C) 225π m² rasurada que equivale a:
(D) 100 cm² A +A
circulo–A quadrado circulo

(E) 50 cm²
A circulo +A quadrado –A circulo

A quadrado = l²

A quadrado = 10²

A quadrado = 100 cm²

3 - (D67) CALCULE A ÁREA DA VARANDA
REPRESENTADA NA FIGURA ABAIXO (ADOTE
= 3).

(A) 7,875 m² Solução:
Perceba que procuramos a área
(B) 12,15 m²
de um retângulo e da metade de
(C) 12,25 m²
um circulo... Ar + 1 Ac
(D) 12,50 m² 2
(E) 13,00 m²Ar + 1 Ac = 3 x 1,5 + 1 x 3 x 1,5²
2 2
1
Ar + Ac = 7,875 m²
2

Lembre-se:
Área de um quadrado é:
A = b.h
Área de um circulo é:
𝐴 = 𝜋𝑟 2
Comprimento da circunferência
𝐶 = 2𝜋𝑟
Área de um triângulo é:
𝑏.ℎ
A=
2

D(67) Desafio
(MARIA PRECISA AZULEJAR SUA COZINHA DE 3M DE
COMPRIMENTO, 2M DE LARGURA E 2,80M DE ALTURA,
AS PORTAS E JANELAS OCUPAM UMA ÁREA DE 4M2.
QUANTOS M2 DE AZULEJOS MARIA PRECISA
COMPRAR?

4 – (D50) UM AVIÃO QUE LEVANTA VOO DE UM
PONTO X DA PISTA E SOBE FORMANDO UM
ÂNGULO CONSTANTE DE 15º COM A PISTA. A
QUE ALTURA ESTARÁ O AVIÃO E QUAL A
DISTANCIA PERCORRIDA QUANDO ESTE
ALCANÇAR A VERTICAL QUE PASSA SOBRE UMA
IGREJA SITUADA A DOIS MIL METROS DO PONTO
DE PARTIDA?
Dados: sen 15 º = 0,26; cos 15º = 0,97 e tg 15 º = 0,27

Solução:
Utilizando a relação que envolve cateto oposto e
cateto adjacente, no caso do ângulo de 15°,
encontramos a altura.
𝐶𝑂 ℎ
tg 15° = 0,27 = h = 540 m
𝐶𝐴 2000

Para encontrar a distância percorrida basta usar
o Teorema de Pitágoras ou uma das relações que
envolvem a hipotenusa.( Prefiro Pitágoras)
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²
𝑎2 = 20002 + 540²
𝑎2 = 4291600
𝑎 = 4291600 𝑎 ≅ 2071,618

5 – (D49) ABAIXO, HÁ TRÊS TRIÂNGULOS QUE
SÃO SEMELHANTES DOIS A DOIS. ESSES
TRIÂNGULOS SÃO:

A) I, II E II
B) II, III E V
C) I, III, VI
D) I, III E V
E) II, III E V

ATENÇÃO!!!
0 QUE PODE CAIR A RESPEITO DE TRIÂNGULO:

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
A medida de cada lado é menor que a soma da
dos outros dois.

ENCONTRAR O VALOR DE UM DOS LADOS:
Teorema de Pitágoras.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²

NOME:
QUE PODE SER CARACTERIZADO DE DUAS
MANEIRAS DIFERENTES:
Equilátero Três lados iguais

Quanto aos lados Isósceles Dois lados iguais

Escaleno Todos os lados diferentes

Acut ângulo Ângulos internos < 90

Quanto aos ângulos Ret ângulo Ângulos internos = 90°

Obtus ângulo Um ângulo interno > 90°

6 - (D )SEJAM OS DADOS CONTIDOS NO
GRÁFICO ABAIXO.

Analisando os pagamentos nos anos de 1997
e 2001, é correto afirmar que houve:

 a) um decaimento nos pagamentos com cheque,
transação com cartões de credito e com cartões de
debito;
 b) um crescimento nas transações com cartões de
credito, de 98%, e com cartões de debito, de 40%;
 c) um decaimento de 11,56% nos pagamentos com
cheque e um crescimento de 562,5% nas
transações com cartão de debito;
 d) um decaimento de 93,86% nas transações com
cartão de credito;
 e) um crescimento de 93,86% nas transações com
cartões de credito e um deslocamento de 15%, nos
pagamentos com cheque.

CHEQUE COMPENSADO
1997 2940 2940 100 11,56%
340 340 X
2001 2600

CARTÃO DE CRÉDITO
1997 440 440 100
413 413 93,86 %
2001 853 X

CARTÃO DE DÉBITO

1997 56 56 100
315 315 X 562,5%
2001 371

7 - (D) NO RETÂNGULO ABCD, MOSTRADO
NA FIGURA ABAIXO, M É O PONTO MÉDIO
DO LADO AB.

Se MD e MC são arcos de circunferências que
têm 8 cm de diâmetro, a área da região
sombreada, em centímetros quadrados é:

a) 32(1 – 𝜋) Solução:
b) 16(2 – 𝜋) Área procurada é dada por:
c) 8(4 – 𝜋) 1
A - A
retÂngulo circulo
2
d) 4(1 – 𝜋)
1
e) 4 – 𝜋 b.h - 𝜋r²
2
1
8.4 - 𝜋.4²
2

1
32 - 16 𝜋 = 32 – 8 𝜋
2

Observe que em nenhum dos itens aparece a
resposta encontrada, então esta errada?
Não a resposta esta fatorada...

8 - UM TERRENO PLANO TEM A FORMA DE
UM RETÂNGULO CUJO PERÍMETRO É 78M.
SE A SUPERFÍCIE DESSE TERRENO TEM
ÁREA DE 350M2, ENTÃO A DIFERENÇA
POSITIVA ENTRE AS MEDIDAS DO SEU
COMPRIMENTO E DA SUA LARGURA, EM
METROS, É:

a) 11
b) 12,5
c) 13
d) 14,5
e) 15

9 - UM PRISMA TRIANGULAR TEM TODAS AS
ARESTAS CONGRUENTES E 48M² DE ÁREA
LATERAL. SEU VOLUME VALE:

Solução:
A área lateral é a soma de
todas as área das faces laterais
Logo temos:
3xA = 48 m²
quadrado

3 x a² = 48
a² = 48/3
a² = 48/3
a² = 16
a =4

O volume de um prisma de base triangular é:

V=A .h base

16 3
A base =
𝑙² 3
Abase =
4² 3
A base = Abase = 4 3
4 4 4

V=A .h base V = A . h V = 4 3 . 4 V = 16 3
base

Há dois tipos de pessoas que
nunca chegam a realizar
muito ao longo da vida. Um
deles é quem não faz o que
lhe dizem para fazer e o outro
é quem faz apenas o que lhe
dizem para fazer."
(Andrew Carnegie)

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