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Prova 635.V2/1.ª F. • Página 1/ 15
EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
Prova Escrita de Matemática A
12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho
Prova 635/1.ª Fase 15 Páginas
Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2015
VERSÃO 2
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 2/ 15
–––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 3/ 15
Indique de forma legível a versão da prova.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construções,
desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis e, a seguir, passados
a tinta.
É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado.
Para cada resposta, identifique o grupo e o item.
Apresente as suas respostas de forma legível.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
A prova inclui um formulário.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 4/ 15
–––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 5/ 15
Formulário
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência:
, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h
Área de um polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#
Área de um sector circular:
, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio
2
2
a a- -^ h
Área lateral de um cone: ;rg r raio da base g geratrizr - -^ h
Área de uma superfície esférica: 4 r raio2
-rr ] g
Volume da pirâmide: Área da base Altura
3
1 # #
Volume do cone: Área da base Altura
3
1 # #
Volume da esfera: r r raio
3
4 3
r -] g
Progressões
Soma dos n primeiros termos de uma progressão un_ i:
Progressão aritmética:
u u
n
2
n1
#
+
Progressão geométrica: u
r
r
1
1 n
1 #
-
-
Trigonometria
a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] g
a b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] g
a b
a b
a b
1
tg
tg tg
tg tg
+ =
-
+
] g
Complexos
cis cis nn
t i t= n
i^ ^h h
, ,cis cis
n
k k n n2 0 1 e Nn n
f! !t i t i r= + -b ]l g! +
Probabilidades
é ã, ,
,
,
,
p x p x
p x p x
X N
P X
P X
P X
0 6827
2 2 0 9545
3 3 0 9973
:Se ent o
n n
n n
1 1
1 1
2 2
f
f
1 1
1 1
1 1
.
.
.
n
v n n
n v
n v n v
n v n v
n v n v
= + +
= - + + -
- +
- +
- +
] ^
]
]
]
]
g h
g
g
g
g
Regras de derivação
u
u
u
u
u
u
sen cos
cos sen
tg
cos
ln
ln
log
ln
u v u v
u v u v u v
v
u
v
u v u v
u n u u n
u u u
u u
u
u
e e
a a a a
u
u
u
u a
a
1
1
R
R
R
n n
u u
u u
a
2
1
2
!
!
!
+ = +
= +
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=
= -
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-
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+
l l l
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^
^
`
^ ^
^
^
^
^
^ ^
^
^ ^
h
h
j
h h
h
h
h
h
h h
h
h h
"
"
,
,
Limites notáveis
3
lim
lim sen
lim
lim
ln
lim ln
lim
n
e n
x
x
x
e
x
x
x
x
x
e p
1 1
1
1 1
1
1
0
N
R
n
x
x
x
x
x
x p
x
0
0
0
!
!
+ =
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- =
+
=
=
= +
"
"
"
"
"
3
3
+
+
b ^
^
^
l h
h
h
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Prova 635.V2/1.ª F. • Página 7/ 15
GRUPO I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do
item e a letra que identifica a opção escolhida.
1.  Dois rapazes e quatro raparigas vão sentar-se num banco corrido com seis lugares.
De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco?
(A)  60	 (B)  48	 (C)  24	 (D)  12
2.  Seja W, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos  (A Ì W e B Ì W).
Sabe-se que:
•  ,P A 0 4=] g
•  ,P B 0 7=] g
•  ,P A B 0 5, =_ i
Qual é o valor de P A B,_ i ?
(A)  0,9	 (B)  0,8	 (C)  0,7	 (D)  0,6
3.  Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real k, igual a log
9
3k
3 e o ?
(A)  k 2- 	 (B)  k
2
	 (C)  k 9- 	 (D)  k
9
4.  Considere a função f, de domínio R+, definida por lnf x
x
x1= +^ h
Considere a sucessão de termo geral u nn
2=
Qual é o valor de lim f un_ i ?
(A)  3+ 	 (B)  e	 (C)  1	 (D)  0
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 8/ 15
5.  Na Figura 1, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
•  o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência;
•  o ponto B pertence ao eixo Ox
•  o ponto C tem coordenadas (1, 0)
•  o ponto D pertence à semirreta OAo
•  os segmentos de reta [ AB ] e [ DC ] são paralelos ao eixo Oy
Seja a a amplitude do ângulo ,COD 0
2
! rae o;E
Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero ABCD6 @, representado a sombreado, em
função de a ?
 (A) tg
sen
2
2
a
a
-
] g
 (B) tg
sen
4
2
a
a
-
] g
 (C) 
tg sen
2 4
2a a
-
] g
 (D) 
tg sen
2 2
2a a
-
] g
6.  Considere em C, conjunto dos números complexos, a condição
argz i z4 4 3
2 4
3/ # #r r+ − = ^ h
No plano complexo, esta condição define uma linha.
Qual é o comprimento dessa linha?
 (A) 4r
 (B) 3r
 (C) 2r
 (D) r
a
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 9/ 15
7.  Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [ ABC]
O
A
B C x
y
Figura 2
Sabe-se que:
•  o ponto A tem ordenada positiva;
•  os pontos B e C pertencem ao eixo Ox
•  o ponto B tem abcissa 1 e o ponto C tem abcissa maior do que 1
Qual é a equação reduzida da reta AB ?
 (A) y x2 2= +
 (B) y x2 2= −
 (C) y x3 3= −
 (D) y x3 3= +
8.  Seja a um número real.
Considere a sucessão un_ i definida por
,
u a
u u n3 2 Nn n
1
1 6 !
=
= − ++
*
Qual é o terceiro termo desta sucessão?
 (A) 9a + 4
 (B) 6a - 4
 (C) 9a - 4
 (D) 6a + 4
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Prova 635.V2/1.ª F. • Página 11/ 15
GRUPO II
Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1.  Em C, conjunto dos números complexos, considere
cis
z i
2
2 2 19
i
= − +
Determine os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2r 6@ , para os quais z é um número imaginário
puro.
Na resolução deste item, não utilize a calculadora.
2.  De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:
•  60% dos funcionários residem fora de Coimbra;
•  os restantes funcionários residem em Coimbra.
2.1.  Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que:
•  o número de homens é igual ao número de mulheres;
•  30% dos homens residem fora de Coimbra.
Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa.
Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
2.2.  Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários.
Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa.
A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a
C
C C
80
3
80
3
32
3-
Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada.
Na sua resposta:
•  enuncie a regra de Laplace;
•  explique o número de casos possíveis;
•  explique o número de casos favoráveis.
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 12/ 15
3.  Na Figura 3, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso.
Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se
uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto P por uma mola esticada.
Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia
um movimento vertical. Admita que, t segundos após esse instante, a
distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto P é dada por
d t t e t10 5 0, t0 05 $= + − −
] ^ ^g h h
3.1.  Sabe-se que a distância do ponto P à base do recipiente é 16cm
Determine o volume da esfera.
Apresente o resultado em cm3, arredondado às centésimas.
3.2.  Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima, recorrendo a
métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
4.  Seja f a função, de domínio R, definida por
ln
f x
x
e e x
x x x
2 1 2
1
1
2
1
se
se
x
1
$
=
−
−
+
^
^
h
h
Z
[

]
]
]]
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
4.1.  Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função f
4.2.  Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de
pontos de inflexão, no intervalo ,
2
1 3+ :D
Na sua resposta, apresente:
•  o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;
•  o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;
•  as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 13/ 15
4.3.  Mostre que a equação f x 3=^ h é possível em , e1 6@ e, utilizando a calculadora gráfica, determine
a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.
Na sua resposta:
•  recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação f x 3=^ h tem, pelo menos, uma
solução no intervalo , e1 6@
•  reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora,
devidamente identificado(s);
•  apresente a solução pedida.
5.  Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos , , , ,A B0 0 2 4 0 0e^ ^h h
5.1.  Considere o plano a de equação x y z2 3 0− + + =
Escreva uma equação do plano que passa no ponto A e é paralelo ao plano a
5.2.  Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta
AB5 ? é um diâmetro.
5.3.  Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que:
•  a sua abcissa é igual à abcissa do ponto B
•  a sua ordenada é positiva;
•  BAP
3
r=t
Determine a ordenada do ponto P
6.  Sejam f e g as funções, de domínio R, definidas, respetivamente, por
cosf x x1 3= −^ ^h h e seng x x3=^ ^h h
Seja a um número real pertencente ao intervalo ,
3 2
r r ;E
Considere as retas r e s tais que:
•  a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a
•  a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a
6
r+
Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares.
Mostre que sen a3
3
1= −^ h
FIM
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 14/ 15
–––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
Prova 635.V2/1.ª F. • Página 15/ 15
COTAÇÕES
GRUPO I
1. a 8.................................................. (8 × 5 pontos)..............................	 40 pontos
40 pontos
GRUPO II
1.  ............................................................................................................	 15 pontos
2. 
2.1.  ....................................................................................................	 15 pontos
2.2.  ....................................................................................................	 15 pontos
3. 
3.1.  ....................................................................................................	 10 pontos
3.2.  ....................................................................................................	 15 pontos
4.
4.1.  ....................................................................................................	 15 pontos
4.2.  ....................................................................................................	 15 pontos
4.3.  ....................................................................................................	 15 pontos
5. 
5.1.  ....................................................................................................	 5 pontos
5.2.  ....................................................................................................	 10 pontos
5.3.  ....................................................................................................	 15 pontos
6.  ............................................................................................................	 15 pontos
160 pontos
	TOTAL ...............................................  200 pontos

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Ex mat a635-f1-2015-v2

  • 1. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 1/ 15 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Prova 635/1.ª Fase 15 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. 2015 VERSÃO 2
  • 2. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 2/ 15 –––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
  • 3. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 3/ 15 Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis e, a seguir, passados a tinta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
  • 4. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 4/ 15 –––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
  • 5. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 5/ 15 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: , , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h Área de um polígono regular: í óSemiper metro Ap tema# Área de um sector circular: , , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio 2 2 a a- -^ h Área lateral de um cone: ;rg r raio da base g geratrizr - -^ h Área de uma superfície esférica: 4 r raio2 -rr ] g Volume da pirâmide: Área da base Altura 3 1 # # Volume do cone: Área da base Altura 3 1 # # Volume da esfera: r r raio 3 4 3 r -] g Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão un_ i: Progressão aritmética: u u n 2 n1 # + Progressão geométrica: u r r 1 1 n 1 # - - Trigonometria a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] g a b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] g a b a b a b 1 tg tg tg tg tg + = - + ] g Complexos cis cis nn t i t= n i^ ^h h , ,cis cis n k k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! + Probabilidades é ã, , , , , p x p x p x p x X N P X P X P X 0 6827 2 2 0 9545 3 3 0 9973 :Se ent o n n n n 1 1 1 1 2 2 f f 1 1 1 1 1 1 . . . n v n n n v n v n v n v n v n v n v = + + = - + + - - + - + - + ] ^ ] ] ] ] g h g g g g Regras de derivação u u u u u u sen cos cos sen tg cos ln ln log ln u v u v u v u v u v v u v u v u v u n u u n u u u u u u u e e a a a a u u u u a a 1 1 R R R n n u u u u a 2 1 2 ! ! ! + = + = + = - = = = - = = = = = - + + l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ^ ^ ` ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h j h h h h h h h h h h h " " , , Limites notáveis 3 lim lim sen lim lim ln lim ln lim n e n x x x e x x x x x e p 1 1 1 1 1 1 1 0 N R n x x x x x x p x 0 0 0 ! ! + = = - = + = = = + " " " " " 3 3 + + b ^ ^ ^ l h h h
  • 6. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 6/ 15 –––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
  • 7. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 7/ 15 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1.  Dois rapazes e quatro raparigas vão sentar-se num banco corrido com seis lugares. De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco? (A)  60 (B)  48 (C)  24 (D)  12 2.  Seja W, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos  (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: •  ,P A 0 4=] g •  ,P B 0 7=] g •  ,P A B 0 5, =_ i Qual é o valor de P A B,_ i ? (A)  0,9 (B)  0,8 (C)  0,7 (D)  0,6 3.  Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real k, igual a log 9 3k 3 e o ? (A)  k 2- (B)  k 2 (C)  k 9- (D)  k 9 4.  Considere a função f, de domínio R+, definida por lnf x x x1= +^ h Considere a sucessão de termo geral u nn 2= Qual é o valor de lim f un_ i ? (A)  3+ (B)  e (C)  1 (D)  0
  • 8. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 8/ 15 5.  Na Figura 1, está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que: •  o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; •  o ponto B pertence ao eixo Ox •  o ponto C tem coordenadas (1, 0) •  o ponto D pertence à semirreta OAo •  os segmentos de reta [ AB ] e [ DC ] são paralelos ao eixo Oy Seja a a amplitude do ângulo ,COD 0 2 ! rae o;E Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero ABCD6 @, representado a sombreado, em função de a ?  (A) tg sen 2 2 a a - ] g  (B) tg sen 4 2 a a - ] g  (C)  tg sen 2 4 2a a - ] g  (D)  tg sen 2 2 2a a - ] g 6.  Considere em C, conjunto dos números complexos, a condição argz i z4 4 3 2 4 3/ # #r r+ − = ^ h No plano complexo, esta condição define uma linha. Qual é o comprimento dessa linha?  (A) 4r  (B) 3r  (C) 2r  (D) r a
  • 9. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 9/ 15 7.  Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [ ABC] O A B C x y Figura 2 Sabe-se que: •  o ponto A tem ordenada positiva; •  os pontos B e C pertencem ao eixo Ox •  o ponto B tem abcissa 1 e o ponto C tem abcissa maior do que 1 Qual é a equação reduzida da reta AB ?  (A) y x2 2= +  (B) y x2 2= −  (C) y x3 3= −  (D) y x3 3= + 8.  Seja a um número real. Considere a sucessão un_ i definida por , u a u u n3 2 Nn n 1 1 6 ! = = − ++ * Qual é o terceiro termo desta sucessão?  (A) 9a + 4  (B) 6a - 4  (C) 9a - 4  (D) 6a + 4
  • 10. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 10/ 15 –––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
  • 11. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 11/ 15 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1.  Em C, conjunto dos números complexos, considere cis z i 2 2 2 19 i = − + Determine os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2r 6@ , para os quais z é um número imaginário puro. Na resolução deste item, não utilize a calculadora. 2.  De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que: •  60% dos funcionários residem fora de Coimbra; •  os restantes funcionários residem em Coimbra. 2.1.  Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que: •  o número de homens é igual ao número de mulheres; •  30% dos homens residem fora de Coimbra. Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa. Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2.2.  Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários. Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa. A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a C C C 80 3 80 3 32 3- Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada. Na sua resposta: •  enuncie a regra de Laplace; •  explique o número de casos possíveis; •  explique o número de casos favoráveis.
  • 12. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 12/ 15 3.  Na Figura 3, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso. Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto P por uma mola esticada. Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, t segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto P é dada por d t t e t10 5 0, t0 05 $= + − − ] ^ ^g h h 3.1.  Sabe-se que a distância do ponto P à base do recipiente é 16cm Determine o volume da esfera. Apresente o resultado em cm3, arredondado às centésimas. 3.2.  Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.  Seja f a função, de domínio R, definida por ln f x x e e x x x x 2 1 2 1 1 2 1 se se x 1 $ = − − + ^ ^ h h Z [ ] ] ]] Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.1.  Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função f 4.2.  Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo , 2 1 3+ :D Na sua resposta, apresente: •  o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo; •  o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; •  as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f
  • 13. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 13/ 15 4.3.  Mostre que a equação f x 3=^ h é possível em , e1 6@ e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas. Na sua resposta: •  recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação f x 3=^ h tem, pelo menos, uma solução no intervalo , e1 6@ •  reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); •  apresente a solução pedida. 5.  Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos , , , ,A B0 0 2 4 0 0e^ ^h h 5.1.  Considere o plano a de equação x y z2 3 0− + + = Escreva uma equação do plano que passa no ponto A e é paralelo ao plano a 5.2.  Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta AB5 ? é um diâmetro. 5.3.  Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que: •  a sua abcissa é igual à abcissa do ponto B •  a sua ordenada é positiva; •  BAP 3 r=t Determine a ordenada do ponto P 6.  Sejam f e g as funções, de domínio R, definidas, respetivamente, por cosf x x1 3= −^ ^h h e seng x x3=^ ^h h Seja a um número real pertencente ao intervalo , 3 2 r r ;E Considere as retas r e s tais que: •  a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a •  a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a 6 r+ Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares. Mostre que sen a3 3 1= −^ h FIM
  • 14. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 14/ 15 –––––—––––––––––—–—–—–—— Página em branco –––––––––—–—–––—–————–-––
  • 15. Prova 635.V2/1.ª F. • Página 15/ 15 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8.................................................. (8 × 5 pontos).............................. 40 pontos 40 pontos GRUPO II 1.  ............................................................................................................ 15 pontos 2.  2.1.  .................................................................................................... 15 pontos 2.2.  .................................................................................................... 15 pontos 3.  3.1.  .................................................................................................... 10 pontos 3.2.  .................................................................................................... 15 pontos 4. 4.1.  .................................................................................................... 15 pontos 4.2.  .................................................................................................... 15 pontos 4.3.  .................................................................................................... 15 pontos 5.  5.1.  .................................................................................................... 5 pontos 5.2.  .................................................................................................... 10 pontos 5.3.  .................................................................................................... 15 pontos 6.  ............................................................................................................ 15 pontos 160 pontos TOTAL ...............................................  200 pontos