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PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O quarto, o quinto e o sexto
termos de uma progressão aritmética são expressos por x + 1, x² + 4
e 2x² + 3, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa
progressão aritmética é igual a
(A) 260
(B) 265
(C) 270
(D) 275
(E) 280
RESOLUÇÃO:
Em uma sequência de três termos consecutivos, a média dos
termos extremos é igual ao termo do meio. No caso da PA dada, temos:
𝑎 = x + 1, 𝑎 = x² + 4 e 𝑎 = 2x² + 3. Portanto:
( ) ( )
= x² + 4
x + 2x² + 4 = 2(x² + 4)
x + 2x² + 4 = 2x² + 8
x + 4 = 8
x = 4
A razão dessa PA será a diferença de dois termos consecutivos:
r = 𝑎 - 𝑎
r = (4² + 4) – (4 + 1)
r = 16 + 4 – 5
r = 15
Vamos achar o primeiro e o décimo termo:
𝑎 = 𝑎 + 15 x (4 – 1)
5 = 𝑎 + 45
𝑎 = -40
𝑎 = 𝑎 + 15 x 9
𝑎 = -40 + 135 = 95
A soma dos dez primeiros termos será dada por:
𝑆 =
( ) ×
𝑆 = (-40 + 95) x 5
𝑆 = 275
Resposta: D
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Às 5 da tarde de sexta-feira,
Aldo desligou seu computador, que já estava ligado há 100 horas. A
que horas de que dia Aldo havia ligado o computador anteriormente?
(A) 1 da tarde de segunda-feira
(B) 9 da noite de segunda-feira
(C) 1 da tarde de terça-feira
(D) 2 da tarde de terça-feira
(E) 9 da noite de quarta-feira
RESOLUÇÃO:
Somando as horas de cada dia da semana, até completar um
total de 100, temos:
Sexta: 17h
Quinta: 24h
Quarta: 24h
Terça: 24h
Até aqui somaram 89 horas. Faltam 11h para completar 100.
Portanto, o horário na segunda será: 24 – 11 = 13 horas.
Resposta: A
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Considere 2 urnas: na
primeira urna há 1 bola branca e 1 bola preta; na segunda urna, há 1
bola branca e 2 pretas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna
1 e colocada na urna 2. Em seguida, uma bola é selecionada, também
aleatoriamente, da urna 2. Qual a probabilidade de que a bola
selecionada na urna 2 seja branca?
(A) 12,5%
(B) 25%
(C) 37,5%
(D) 50%
(E) 62,5%
RESOLUÇÃO:
Devemos trabalhar com duas possibilidades: a bola transferida
da urna 1 para a urna 2 ser branca ou preta. Vejamos:
1º) Foi transferida uma bola branca:
A chance de ter sido selecionada uma bola branca da urna 1 é
½. A urna 2 passa a ter 2 bolas brancas e 2 pretas. A chance de ser
selecionada uma bola branca será:
Probabilidade = ½ x 2/4 = 2/8
2º) Foi transferida uma bola preta:
A chance de ter sido selecionada uma bola preta da urna 1 é ½.
A urna 2 passa a ter 1 bola branca e 3 pretas. A chance de ser
selecionada uma bola branca será:
Probabilidade = ½ x 1/4 = 1/8
A probabilidade total de uma bola branca ser selecionada da urna
2 é dada pela soma dessas duas possibilidades:
P (total) = 2/8 + 1/8 = 3/8 = 37,5%
Resposta: C
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O diagrama a seguir mostra
a preferência de lanche de 200 entrevistados.
O número de entrevistados que preferem cachorro-quente é
(A) 20
(B) 30
(C) 50
(D) 60
(E) 70
RESOLUÇÃO:
Veja que a porcentagem de quem prefere hambúrguer
corresponde a ¼ da circunferência (ângulo de 90º indicado). Portanto,
são 25% dos entrevistados. Somando todos os entrevistados, temos:
Total = pizza + hambúrguer + fritas + cachorro-quente
100 = 30 + 25 + 35 + cachorro-quente
cachorro-quente = 100 – 90
cachorro-quente = 10%
O número de entrevistados que preferem cachorro-quente será
10% de 200: 0,1 x 200 = 20 pessoas.
Resposta: A
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Em um prisma triangular
regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do
cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do
prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/X é igual a
(A)
3
6

(B)
3
3

(C)
3
9

(D)
3

(E)
9
3

RESOLUÇÃO:
Vamos visualizar esse cilindro inscrito no prisma triangular
regular:
A área lateral do prisma é a área de um retângulo de base L e
comprimento H. Portanto: X = 3 x L x H
A área lateral do cilindro é dada por 2πr x H. O raio corresponde
ao apótema do triângulo equilátero de lado L. Logo:
apótema = lado x
√
r =
√
Área lateral = Y = 2π
√
x H
Y =
× × √
A razão será:
Y/X =
× × √
× ×
Y/X =
√
Alternativa C.
Resposta: C
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Um artesão vende suas
pulseiras com 60% de lucro sobre o seu custo. Normalmente, seus
fregueses pedem descontos na hora da compra. Qual o maior
percentual de desconto sobre o preço de venda que ele pode oferecer
para não ter prejuízo?
(A) 22,5%
(B) 37,5%
(C) 10%
(D) 40%
(E) 60%
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de “PV” o preço de venda e de “PC” o preço de
custo. Como o preço de venda tem 60% de lucro sobre o preço de
custo, temos:
Lucro = PV – PC
0,6PC = PV – PC
PV = 1,6PC
Pede-se o maior percentual de desconto (vamos chamar de “D”)
que pode ser oferecido, sem que dê prejuízo. Ou seja, o valor final não
deve ser menor do que o custo:
PV – D x PV = PC
PV x (1 – D) = PC
1,6PC x (1 – D) = PC
1,6 x (1 – D) = 1
1,6 – 1,6D = 1
1,6D = 1,6 – 1
1,6D = 0,6
D = 0,375 = 37,5%
Resposta: B
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O gráfico de uma função
quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto
(0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0).
Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será
(A) 5,5
(B) 6,5
(C) 7
(D) 7,5
(E) 9
RESOLUÇÃO:
A lei da função de uma parábola é dada por:
y = ax² + bx + c
Sabemos que “c” é o ponto em que a parábola toca o eixo y.
Logo, c = 9.
As raízes dessa função são os valores de “x” que correspondem
à interseção da parábola com o eixo x. Portanto: x’ = -2 e x” = 13.
Para x=-2, temos:
0 = a.(-2)² + b(-2) + 9
4a – 2b = -9
2b = 4a + 9
b = (I)
Para x = 13, temos:
0 = a.13² + b.13 + 9
169a + 13b = -9 (II)
Substituindo (I) em (II), fica:
169a + 13 x ( ) = -9
Vamos multiplicar toda equação por 2:
338a + 13 x (4a + 9) = -18
338a + 52a + 117 = -18
390a = -135
a =
b = =
b =
b =
O ponto (11,k), será dado por:
k = x 11² + x 11 + 9
k = + + 9
k = 9
Resposta: E
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Em um retângulo de lados
PQ = 12 cm e QR = 9 cm, os pontos T e U dividem a diagonal em três
segmentos iguais, como ilustrado na Figura abaixo.
A área do quadrilátero STQU, em cm², é igual a
(A) 108
(B) 72
(C) 54
(D) 48
(E) 36
RESOLUÇÃO:
Vamos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo PRQ:
PR² = PQ² + QR²
PR² = 12² + 9²
PR² = 144 + 81
PR² = 225
PR = 15 cm
Portanto, os três segmentos valem 5 cm cada.
Agora, vejamos o triângulo RUS. Nele, o segmento RU mede 5,
e o segmento RS mede 12.
Podemos calcular o seno do ângulo URS observando o triângulo
retângulo PRS. Assim,
𝑠𝑒𝑛(𝑈𝑅𝑆) =
𝑃𝑆
𝑃𝑅
=
9
15
=
3
5
A área do triângulo RUS é dada por:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑈𝑆 =
𝑅𝑈 𝑥 𝑅𝑆 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑈𝑅𝑆)
2
=
5 𝑥 12 𝑥
3
5
2
= 18
Esta é a mesma área do triângulo PTQ.
Para o triângulo PTS, veja que o lado PT mede 5 e o lado PS
mede 9. Podemos obter o seno do ângulo TPS observando o triângulo
retângulo PRS:
𝑠𝑒𝑛( 𝑇𝑃𝑆) =
𝑅𝑆
𝑃𝑅
=
12
15
=
4
5
A área do triângulo PTS é:
Á𝑟𝑒𝑎 (𝑃𝑇𝑆) =
𝑃𝑇 𝑥 𝑃𝑆 𝑥 𝑠𝑒𝑛( 𝑇𝑃𝑆)
2
=
5 𝑥 9 𝑥
4
5
2
= 18
A área do quadrilátero STQU pode ser obtida retirando-se, da
área do retângulo PQRS, os triângulos PTQ, QUR, RUS e PTS. Ou
seja:
Área STQU = PQRS – PTQ – QUR – RUS – PTS
Área STQU = 12x9 – 18 – 18 – 18 – 18
Área STQU = 36
Resposta: E
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Num conjunto há 5
elementos positivos e 5 elementos negativos. Escolhem-se 5 números
desse conjunto e se efetua a multiplicação desses 5 números
escolhidos. Em quantos casos tal multiplicação terá resultado
negativo?
(A) 25
(B) 120
(C) 125
(D) 126
(E) 128
RESOLUÇÃO:
A multiplicação terá resultado negativo quando selecionarmos
números ímpares dos elementos negativos. Vejamos as maneiras de
selecionar esses elementos:
1º) 3 elementos negativos e 2 elementos positivos
C(5,3) x C(5,2) = x = 100 maneiras
2º) 1 elemento negativo e 4 elementos positivos
C(5,1) x C(5,4) = 5 x 5 = 25 maneiras
3º) 5 elementos negativos
C(5,5) = 1 maneiras
O total de maneiras será: 100 + 25 + 1 = 126.
Resposta: D
CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Sistemas lineares
homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca
serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui
infinitas soluções.
0
0
2 0
x y z
x y z
x y z

 
  

  
   
Qual o maior valor possível para α?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
RESOLUÇÃO:
Podemos representar esse sistema linear na forma de matriz:
Para um sistema de infinitas soluções, o determinante deve ser
zero. Portanto:
(2 α + α + α) – (α² + α + 2) = 0
4 α – α² – α – 2 = 0
- α² + 3 α – 2 = 0
α² - 3 α + 2 = 0
Δ = 9 – 4 x 2 = 1
α =
±
α = 2 ou α = 1
Logo, o maior valor para α é 2.
Resposta: C
PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS

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Cesgranrio transpetro resolvida

  • 1. PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética são expressos por x + 1, x² + 4 e 2x² + 3, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa progressão aritmética é igual a (A) 260 (B) 265 (C) 270 (D) 275 (E) 280 RESOLUÇÃO: Em uma sequência de três termos consecutivos, a média dos termos extremos é igual ao termo do meio. No caso da PA dada, temos: 𝑎 = x + 1, 𝑎 = x² + 4 e 𝑎 = 2x² + 3. Portanto: ( ) ( ) = x² + 4 x + 2x² + 4 = 2(x² + 4) x + 2x² + 4 = 2x² + 8 x + 4 = 8 x = 4 A razão dessa PA será a diferença de dois termos consecutivos: r = 𝑎 - 𝑎 r = (4² + 4) – (4 + 1) r = 16 + 4 – 5 r = 15 Vamos achar o primeiro e o décimo termo: 𝑎 = 𝑎 + 15 x (4 – 1) 5 = 𝑎 + 45
  • 2. 𝑎 = -40 𝑎 = 𝑎 + 15 x 9 𝑎 = -40 + 135 = 95 A soma dos dez primeiros termos será dada por: 𝑆 = ( ) × 𝑆 = (-40 + 95) x 5 𝑆 = 275 Resposta: D CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Às 5 da tarde de sexta-feira, Aldo desligou seu computador, que já estava ligado há 100 horas. A que horas de que dia Aldo havia ligado o computador anteriormente? (A) 1 da tarde de segunda-feira (B) 9 da noite de segunda-feira (C) 1 da tarde de terça-feira (D) 2 da tarde de terça-feira (E) 9 da noite de quarta-feira RESOLUÇÃO: Somando as horas de cada dia da semana, até completar um total de 100, temos: Sexta: 17h Quinta: 24h Quarta: 24h Terça: 24h Até aqui somaram 89 horas. Faltam 11h para completar 100. Portanto, o horário na segunda será: 24 – 11 = 13 horas. Resposta: A
  • 3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Considere 2 urnas: na primeira urna há 1 bola branca e 1 bola preta; na segunda urna, há 1 bola branca e 2 pretas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna 1 e colocada na urna 2. Em seguida, uma bola é selecionada, também aleatoriamente, da urna 2. Qual a probabilidade de que a bola selecionada na urna 2 seja branca? (A) 12,5% (B) 25% (C) 37,5% (D) 50% (E) 62,5% RESOLUÇÃO: Devemos trabalhar com duas possibilidades: a bola transferida da urna 1 para a urna 2 ser branca ou preta. Vejamos: 1º) Foi transferida uma bola branca: A chance de ter sido selecionada uma bola branca da urna 1 é ½. A urna 2 passa a ter 2 bolas brancas e 2 pretas. A chance de ser selecionada uma bola branca será: Probabilidade = ½ x 2/4 = 2/8 2º) Foi transferida uma bola preta: A chance de ter sido selecionada uma bola preta da urna 1 é ½. A urna 2 passa a ter 1 bola branca e 3 pretas. A chance de ser selecionada uma bola branca será: Probabilidade = ½ x 1/4 = 1/8 A probabilidade total de uma bola branca ser selecionada da urna 2 é dada pela soma dessas duas possibilidades: P (total) = 2/8 + 1/8 = 3/8 = 37,5% Resposta: C
  • 4. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O diagrama a seguir mostra a preferência de lanche de 200 entrevistados. O número de entrevistados que preferem cachorro-quente é (A) 20 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 70 RESOLUÇÃO: Veja que a porcentagem de quem prefere hambúrguer corresponde a ¼ da circunferência (ângulo de 90º indicado). Portanto, são 25% dos entrevistados. Somando todos os entrevistados, temos: Total = pizza + hambúrguer + fritas + cachorro-quente 100 = 30 + 25 + 35 + cachorro-quente cachorro-quente = 100 – 90 cachorro-quente = 10% O número de entrevistados que preferem cachorro-quente será 10% de 200: 0,1 x 200 = 20 pessoas. Resposta: A CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do
  • 5. cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/X é igual a (A) 3 6  (B) 3 3  (C) 3 9  (D) 3  (E) 9 3  RESOLUÇÃO: Vamos visualizar esse cilindro inscrito no prisma triangular regular: A área lateral do prisma é a área de um retângulo de base L e comprimento H. Portanto: X = 3 x L x H A área lateral do cilindro é dada por 2πr x H. O raio corresponde ao apótema do triângulo equilátero de lado L. Logo: apótema = lado x √ r = √
  • 6. Área lateral = Y = 2π √ x H Y = × × √ A razão será: Y/X = × × √ × × Y/X = √ Alternativa C. Resposta: C CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Um artesão vende suas pulseiras com 60% de lucro sobre o seu custo. Normalmente, seus fregueses pedem descontos na hora da compra. Qual o maior percentual de desconto sobre o preço de venda que ele pode oferecer para não ter prejuízo? (A) 22,5% (B) 37,5% (C) 10% (D) 40% (E) 60% RESOLUÇÃO: Vamos chamar de “PV” o preço de venda e de “PC” o preço de custo. Como o preço de venda tem 60% de lucro sobre o preço de custo, temos: Lucro = PV – PC 0,6PC = PV – PC PV = 1,6PC
  • 7. Pede-se o maior percentual de desconto (vamos chamar de “D”) que pode ser oferecido, sem que dê prejuízo. Ou seja, o valor final não deve ser menor do que o custo: PV – D x PV = PC PV x (1 – D) = PC 1,6PC x (1 – D) = PC 1,6 x (1 – D) = 1 1,6 – 1,6D = 1 1,6D = 1,6 – 1 1,6D = 0,6 D = 0,375 = 37,5% Resposta: B CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0). Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será (A) 5,5 (B) 6,5 (C) 7 (D) 7,5 (E) 9
  • 8. RESOLUÇÃO: A lei da função de uma parábola é dada por: y = ax² + bx + c Sabemos que “c” é o ponto em que a parábola toca o eixo y. Logo, c = 9. As raízes dessa função são os valores de “x” que correspondem à interseção da parábola com o eixo x. Portanto: x’ = -2 e x” = 13. Para x=-2, temos: 0 = a.(-2)² + b(-2) + 9 4a – 2b = -9 2b = 4a + 9 b = (I) Para x = 13, temos: 0 = a.13² + b.13 + 9 169a + 13b = -9 (II) Substituindo (I) em (II), fica: 169a + 13 x ( ) = -9 Vamos multiplicar toda equação por 2: 338a + 13 x (4a + 9) = -18 338a + 52a + 117 = -18 390a = -135 a = b = =
  • 9. b = b = O ponto (11,k), será dado por: k = x 11² + x 11 + 9 k = + + 9 k = 9 Resposta: E CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Em um retângulo de lados PQ = 12 cm e QR = 9 cm, os pontos T e U dividem a diagonal em três segmentos iguais, como ilustrado na Figura abaixo. A área do quadrilátero STQU, em cm², é igual a (A) 108 (B) 72 (C) 54 (D) 48 (E) 36 RESOLUÇÃO: Vamos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo PRQ: PR² = PQ² + QR² PR² = 12² + 9² PR² = 144 + 81 PR² = 225 PR = 15 cm
  • 10. Portanto, os três segmentos valem 5 cm cada. Agora, vejamos o triângulo RUS. Nele, o segmento RU mede 5, e o segmento RS mede 12. Podemos calcular o seno do ângulo URS observando o triângulo retângulo PRS. Assim, 𝑠𝑒𝑛(𝑈𝑅𝑆) = 𝑃𝑆 𝑃𝑅 = 9 15 = 3 5 A área do triângulo RUS é dada por: Á𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑈𝑆 = 𝑅𝑈 𝑥 𝑅𝑆 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑈𝑅𝑆) 2 = 5 𝑥 12 𝑥 3 5 2 = 18 Esta é a mesma área do triângulo PTQ. Para o triângulo PTS, veja que o lado PT mede 5 e o lado PS mede 9. Podemos obter o seno do ângulo TPS observando o triângulo retângulo PRS: 𝑠𝑒𝑛( 𝑇𝑃𝑆) = 𝑅𝑆 𝑃𝑅 = 12 15 = 4 5 A área do triângulo PTS é: Á𝑟𝑒𝑎 (𝑃𝑇𝑆) = 𝑃𝑇 𝑥 𝑃𝑆 𝑥 𝑠𝑒𝑛( 𝑇𝑃𝑆) 2 = 5 𝑥 9 𝑥 4 5 2 = 18 A área do quadrilátero STQU pode ser obtida retirando-se, da área do retângulo PQRS, os triângulos PTQ, QUR, RUS e PTS. Ou seja: Área STQU = PQRS – PTQ – QUR – RUS – PTS Área STQU = 12x9 – 18 – 18 – 18 – 18 Área STQU = 36 Resposta: E CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Num conjunto há 5 elementos positivos e 5 elementos negativos. Escolhem-se 5 números
  • 11. desse conjunto e se efetua a multiplicação desses 5 números escolhidos. Em quantos casos tal multiplicação terá resultado negativo? (A) 25 (B) 120 (C) 125 (D) 126 (E) 128 RESOLUÇÃO: A multiplicação terá resultado negativo quando selecionarmos números ímpares dos elementos negativos. Vejamos as maneiras de selecionar esses elementos: 1º) 3 elementos negativos e 2 elementos positivos C(5,3) x C(5,2) = x = 100 maneiras 2º) 1 elemento negativo e 4 elementos positivos C(5,1) x C(5,4) = 5 x 5 = 25 maneiras 3º) 5 elementos negativos C(5,5) = 1 maneiras O total de maneiras será: 100 + 25 + 1 = 126. Resposta: D CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções.
  • 12. 0 0 2 0 x y z x y z x y z               Qual o maior valor possível para α? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 RESOLUÇÃO: Podemos representar esse sistema linear na forma de matriz: Para um sistema de infinitas soluções, o determinante deve ser zero. Portanto: (2 α + α + α) – (α² + α + 2) = 0 4 α – α² – α – 2 = 0 - α² + 3 α – 2 = 0 α² - 3 α + 2 = 0 Δ = 9 – 4 x 2 = 1 α = ± α = 2 ou α = 1 Logo, o maior valor para α é 2. Resposta: C PROF. ARTHUR LIMA – ESTRATÉGIA CONCURSOS