O documento apresenta fórmulas e conceitos sobre aumentos e descontos de preços, funções quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes, geometria analítica e trigonometria.

1. REVISÃO GERAL
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2. PORCENTAGEM

3. AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02
DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8
Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um
determinado produto é equivalente a um único aumento de:
1,1 . 1,2 = 1,32 32%

4. Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em
10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque.
Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de
desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O
preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era:
PREÇO INICIAL:x
1,1 0,8 x = 176
0,88x = 176
x = 200

5. FUNÇÕES

6. y = ax2 + bx + c
Vértice
a > 0
c
xV
yV
Côncava para
cima
D > 0 x1 ¹ x2
b
= - = -D ou 1 2 ( )
x e y
2 4 V V
a a
x + x
x = e y =
f x
2 V V V
x1 x2
a < 0 Côncava para
baixo
D = 0 x1 = x2
D < 0 não há raízes
reais
Lembrando....

7. Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a
receita financeira dada pela função R(x) = 2x2 + 20x –– 30 e o
custo da produção dada pela função C(x) = 3x2 –– 12x + 30, em
que a variável x representa o número de componentes
fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita
financeira menos o custo de produção, o número de
componentes que deve ser fabricado e vendido para que
lucro seja máximo é:
L(x) = R(x)-C(x)
L(x) = -x2 + 32x - 60
b
= -
a
xV 2
32
-
2
= - V x
=16 V x
R(x) = 2x2 + 20x - 30
C(x) = 3x2 -12x + 30

8. PROGRESSÕES

9. Três números formam uma progressão aritmética de razão
r = 7. Subtraindo-se uma unidade do primeiro termo, vinte
unidades do segundo termo e trinta e uma unidade do
terceiro termo, a sequência resultante é uma progressão
geométrica de razão:
x - r x x + r P.A r = 7
x - 7 x x + 7
x - 7 -1 x - 20 x + 7 -31 P.G
8 1 a = x -
20 2 a = x -
a2 a3 =
a1 a2
2
a 3 = x - 24 ( a 2 ) = a 1 × a
3
( 20) ( 8) ( 24) 2 x - = x - × x -
x = 26
q = 6
P.G.(18, 6, 2) 18
1 q =
3

10. LOGARITMOS

11. Logaritmos....
logB A = x « A = Bx
A > 0 1 ≠ B > 0
CASOS PARTICULARES
logB 1 = 0 logA A = 1
logA Am = m
PROPRIEDADES
logC (A.B) = logcA + logc B
logC (A/B) = logcA – logc B
logC Am = m.logcA
A solução da equação
log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
log 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
logC A = logc B
A = B
y’ = 2 y’’ = - 3
Incógnita auxiliar:
2X = y
2x = 2
x = 1

12. MATRIZES

13. MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
1
detA
detA-1 =
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa,
sendo assim chamada de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não admite
inversa é chamada de singular.

 


-
- 1 d b
A
A  


=
 

a b
c d

 

-
=
c a

   


=
   

- b
a
det A
d
- c
detA
det A
det A
- 1
A

 

-
A   


=
 

2 1
7 5

 

-
=
2
- 1 5
A
7
1

   


=
   

- 1
2
3
5
- 7
3
3
3
- 1
A
det A =3

14. det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet)
CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B
vale lembrar que:
k Î R, n é a ordem da matriz
det (k.A) = kn. det A

15. GEOMETRIA
ANALÍTICA

16. ESTUDO DA RETA
Dados 2 pontos
x y 1
A A =
x y 1
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef.
angular
Coef.
linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
x y 1
B B
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
yB
yA
O
A
xB xA
a
(0, n)
a
yB– yA
xB– xA
r
-
y y
B A
x x
B A
m
-
= m = tg a
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
CONCORRENTES: mr
≠ ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1

17. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
R y - b
x
y
y P
C
b x - a
a x
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA
(x – a)2 + (y – b )2 = R2
EQUAÇÃO GERAL
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A = - 2a B = - 2 b C = a2 + b2 – R2
x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
a = 2
÷ (-2)
÷ (-2)
b = 3
C = a2 + b2 – R2
9 = (2)2 + (3)2 – R2
R = 2
C( 2 , 3 )

18. GEOMETRIA
PLANA

19. AAAA árrrreeeeaaaa ddddeeee uuuummmm ttttrrrriiiiâââânnnngggguuuulllloooo eeeemmmm ffffuuuunnnnçããããoooo ddddeeee ddddooooiiiissss llllaaaaddddoooossss eeee oooo âââânnnngggguuuulllloooo eeeennnnttttrrrreeee
eeeelllleeeessss é ddddaaaaddddaaaa ppppeeeellllaaaa eeeexxxxpppprrrreeeessssssssããããoooo::::
A = b.a
sen a
2
a

20. TRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADO
O
a= r
A B
L
C
h L L
60°
2
=
A L 3
4
h = L 3
2
R
r = 1 .h
.h
3
3 2
R =
D C
O
r
R
A B
L
d =L 2 A =L2
L
L
L
r = 1 2
.L
2
R = L 2

21. GEOMETRIA
ESPACIAL

22. O volume de uma pirâmide reta, cuja base é a face de um
cubo de aresta 12cm, é igual a um nono do volume desse
cubo. A altura dessa pirâmide é:
12
12
12
12
12
V B = ×
S h
V S h B = × 1 3 2
144 12 1 V = ×
144
3
2
h
V
= ×
1
V = ×V
2 1 9
144× h = ×
144 12
9
3
12 h = h = 4 cm
3

23. Um cone está inscrito em um cilindro, como mostra a figura
abaixo. Se o cilindro possui 6 cm de diâmetro na base e 4 cm
de altura, a razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone
é:
h g 4 5
S r g Lateral =p × ×
r
3
=p ×3×5 Lateral S
=15p Lateral S
S r h Lateral = 2×p × ×
Cone
Cilindro
= 2×p ×3× 4 Lateral S
= 24p Lateral S
p
15
S ¸3
24 =
p
Lateral Cilindro
S
Leteral Cone
¸3
8 =
5
Lateral Cilindro
S
Leteral Cone
S

24. Duas esferas de ferro estão sobre uma mesa encostadas
uma na outra (tangente exteriormente). As esferas tocam
(tangenciam) a mesa nos pontos P e Q. Se o raio de uma
delas é 16 cm e a área da superfície esférica da outra é de
324p cm2, então, a distância PQ é:
P
4pR2 = 324p
r
Q
16
S 4 R2 Esférica = p
2 324 R
= 4
R2 = 81
R = 9
25
7
x
625 = x2 + 49
576 = x2
x = 24
9

25. TRIGONOMETRIA

26. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
B
A
C
a
b
c
a2 = b2 + c2
⍺
sen ⍺ = c
a
cos ⍺ = b
a
b
tg ⍺ = c
b
⍺ + b = 90°
cateto oposto
hipotenusa
sen =
cateto adjacente
hipotenusa
cos =
cateto oposto
tg =
cateto adjacente
sen b =
b
a
cos b =
c
a
tg b = b
c
Ssee n⍺ ⍺+= b c=o s90b°
sen ⍺ = cos b
EXEMPLOS:
sen 30°= cos 60°
sen 10°= cos 80°

27. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER
A
C
B
b a
c
LEI DOS SENOS
b
sen B =
a
sen A = 2R
c
sen C
=
C
O
R
R
A B
LEI DOS COSSENOS
a2 = b2 + c2 –– 2.b.c. (cos Â)

28. SENO
+ 1
+ +
_ _
COSSENO
+
+
_
_
– 1 + 1
TANGENTE
+
_
+
_
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x = sen x
cos x
(cos x ≠ 0)
3) cotg x = cos x
sen x
1
tg x
= (sen x ≠ 0)
4) sec x = 1
cos x (cos x ≠ 0)
5) cosec x = 1
sen x (sen x ≠ 0)
– 1

29. f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Função Domínio Período
Imagem
y = sen (x) ℝ 2p
[–1, 1]
y = 4 + 3sen (x) ℝ 2p
[1, 7]
y = 6 + 2 sen (x) ℝ 2p
[4, 8]
y = cos (x) ℝ 2p
[–1, 1]
y = 3 + cos (x) ℝ 2p
[2, 4]
y = 1 + 3sen (2x) ℝ p [–2, 4]
y = –1 + 2sen (x + p/2) ℝ 2p [–3, 1]
y = 1 + 2cos (3x + p/2) ℝ 2p/3 [-1, 3]
y = - 1 + sen (x/2) ℝ 4p [–2, 0]

30. ANÁLISE
COMBINATÓRA

31. USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
IMPORTA ORDEM
COMBINAÇÃO
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!
p n !
n
(n p)!
A
-
=
p n !
n
(n p)!p!
C
-
FORMULÁRIO =

32. POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS

33. Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 D(x) = x + 3 x + 3 = 0
x = - 3
raiz do divisor
P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32
P(-3) = - 81 + 72 + 32
P(-3) = 23

34. As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz
dessa equação é:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0
raízes em P.A.



= -
x x r
=
1
x x
= +
2
x x r
3
a b
3 x
2 x
1 x Relações de Girard

 

+ + = -
a d
3 .x 2 .x 1 x
= -
x – r + x + x + r = 9
3x = 9
x = 3
+
3 1 -9 23 -15
1
- 6 5 0
x2 – 6x + 5 = 0
x’ = 1 x’’ = 5
Solução: S = {1, 3, 5}