[1] O documento apresenta definições e exemplos de matrizes, incluindo matrizes quadradas, genéricas, identidade e transpostas. [2] Também apresenta operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes. [3] Por fim, fornece exercícios sobre matrizes.

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Grau
Lista de exercícios de MATRIZES
Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____
Aluno (a):________________________________________turma: 2202 n0:____
MATRIZES Matriz Quadrada (m = n)
Definição Exemplo:
Matriz de dimensão m x n é um conjunto de elementos M =  a11 a12 a13 
  Matriz quadrada de 3ª ordem
dispostos em m linhas e n colunas, escritos entre parênteses  a 21 a 22 a 23 
(ou entre colchetes). a a 33 
 31 a 32 
Exemplo: A =  2 7  3
  matriz 2 x 3  Diagonal principal: aij em que i = j, isto é, {a11 , a22 ,
 
5 9 0  a33}
Matriz Genérica  Diagonal secundária: aij em que i + j = n + 1, isto é,
{a13 , a22 , a31}
a1 1 a1 2  a1n
Transposta de uma matriz A
a2 1 a2 2  a2 n
    Matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas
    colunas e vice-versa.
M=     com m, n  N:
Exemplo
   
    0 2
0 −3 9
𝐴= −3 5 ⟹ 𝐴 𝑡 =
am1 am 2  amn 9 8
2 5 8
mxn
Temos que a matriz At é a matriz transposta da A .
ou ainda...
Matriz Identidade (In)
M = (aij) mxn com i {1, 2, ..., m} e j {1, 2, ..., n}
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
(lê-se: ordem m por n) 𝐼𝑛 = 𝑎 𝑖𝑗 =
𝑚𝑥𝑛 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
Exemplo: Seja A uma matriz definida por Exemplos
I3 = 
1 0 0
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 I2 = 1 0  

0 1
  0 1 0
𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 )2𝑥2 = 1 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 a soma dos seus elementos   0 0 1
 
1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
é igual a: Seja A uma matriz quadrada:
a) –1 b) 1 c) 6 d) 7 Se A = At, então dizemos que a matriz A é simétrica.
Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Solução
3 4
Exemplo: Verifique se a matriz 𝐴 = é simétrica.
4 7
Solução
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

2. Professor Cristiano Marcell
Operações
Igualdade: A = B ⟺ aij = bij
I) Adição: A + B = (aij + bij)mxn Se associarmos as matrizes
 
2 5
II) Multiplicação por escalar: Seja A uma matriz m por n e A=   e B = 150 220 130
4 8  120 150 180
k um número real, temos que k. A = (k . aij)mxn.  
3 7 
 
III) Multiplicações de Matrizes às tabelas 1 e 2 respectivamente, o produto A.B fornecerá:
Dadas as matrizes Amxn e Bnxq, define-se como produto a a) a produção média de bombons por caixa fabricada.
matriz Amxn.Bnxq = Cmxq, tal que o elemento cij é a soma dos b) a produção total de bombons por caixa fabricada.
produtos da i – ésima linha de A pelos elementos c) número de caixas fabricadas no trimestre.
correspondentes da j – ésima coluna de B. d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de
A . B só é possível quando o número de colunas de A é bombom.
igual ao número de linhas de B. e) a produção mensal de cada tipo de bombom.
Em geral, A . B  B. A, ou seja, o produto de matrizes Solução
não é comutativo.
Exemplo: Se M =  1 2  e N =  2 0  , então M.N – N.M

0 1  
1 1 
   
é:
a)  2  2 
 c)  4 2 
 0  2 
1 1 
   
b)  0 0 
 d)  1 0 
 0 0 
0 1 
    Exercícios
Solução
1) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada
abaixo. É correto afirmar que:
2) (UFRJ) Seja a matriz A representada a seguir:
a) Determine A3 = A . A . A
Exemplo: Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, 1 1
𝐴=
coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas 0 1
grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade
de bombons de cada tipo que compõe as caixas grandes e b) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o
pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada valor o valor do número natural K, tal que
tipo produzidas em cada mês do 1° trimestre de um 2
determinado ano. 𝐴 𝑘 − 𝐴5𝑘 + 𝐴6 = 𝐼2
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

3. Professor Cristiano Marcell
3) Uma matriz real A é ortogonal se AA = I, onde I indica a c) determinante nulo.
matriz identidade e A indica a transposta de A. Se 𝐴 = d) linhas proporcionais.
1/2 𝑥 e) todos os elementos iguais a zero.
𝑦 𝑧
é ortogonal. Qual o valor de x2 + y2? 8) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática,
português, ciências e estudos sociais em uma tabela com
4) Considere a igualdade matricial a seguir quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como
mostra a figura.
2 1 1 −1 Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo
. = 𝐼2
1 1 −1 𝑥 peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada
matéria basta fazer a média aritmética de suas médias
onde In é a matriz identidade de ordem n. bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos
representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem
Determine o valor de x. da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
5) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar
chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um
consumiu e como a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou
para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e 9) (UFF) Em uma plantação, as árvores são classificadas de
Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, acordo com seus tamanhos em três classes: pequena (P),
coluna j de cada matriz). média (M) e grande (G).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio Considere, inicialmente, que havia na plantação p0 árvores da
bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da classe P, m0 da classe M e g0 da classe G.
matriz S). Foram cortadas árvores para venda.
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? A fim de manter a quantidade total de árvores que havia na
floresta, foram plantadas k mudas (pertencentes à classe P).
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? Algum tempo após o replantio, as quantidades de árvores das
classes P, M e G passaram a ser, respectivamente, p•, m• e
6) Se as matrizes A= (aij) e B= (bij) estão assim definidas: g•, determinadas segundo a equação matricial:
Observando-se que p• + m• + g• = p0 + m0 + g0, pode-se
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 4 afirmar que k é igual a:
𝑎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖𝑗 =
0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 0, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 4
a) 5% de g0 b) 10% de g0 c) 15% de g0
onde i≤1 e j≤3, então a matriz A + B é: d) 20% de g0 e) 25% de g0
10) Seja aij uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal
principal desta matriz é
a) n2 b) 2n + 2n2 c) 2n + n2
d) n2 + n e) n + 2n2
11) (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,
modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o
procedimento descrito abaixo.
A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos,
7) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua representados por S1 ,S2 ,S3 e S4. Esses dígitos são, então,
transposta, possui: transformados nos dígitos M1 ,M2 , M3 e M4, da seguinte
forma:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

4. Professor Cristiano Marcell
𝑀1 𝑆 𝑀3 𝑆 0 1
= 𝑃. 1 𝑒 = 𝑃. 3 onde P é a matriz 𝑥 1,8 3,0
𝑀2 𝑆2 𝑀4 𝑆4 1 0
𝐵= 𝑎 𝑦 2,0
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1• 𝑑 𝑐 𝑧
= 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha
escolhida pelo usuário foi: Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
a) 0011 b) 0101 c) 1001 b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
d) 1010 e) 1100
15) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é
12) (UERJ)A temperatura corporal de um paciente foi por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco
dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à 1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma
temperatura observada no instante i do dia j. matriz chave C;
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que
MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;
3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do
alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z;
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras
k, w e y;
Determine: 5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação;
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura; 6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas
observação. da matriz conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33
Considere as matrizes:
13) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de
fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-
roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e
requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o
mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de
fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo
mês.
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas,
assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi
enviada por meio da matriz M.
a) Boasorte!
b) Boaprova!
c) Boatarde!
d) Ajudeme!
e) Socorro!
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo
requinte nesse mês foi de
a) 170. b) 192. c) 120.
d) 218. E) 188.
14) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de
uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio
de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma
dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares
de reais, ao final de um determinado dia de feira.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

5. Professor Cristiano Marcell
GABARITO
1 (d)
2 1 3
𝑎)
0 1
b) k = 2 ou k = 3
3 3/2
4 2
5 a) Cláudio
b) 2 chopes
6 (d)
7 (a)
8 (e)
9 (a)
10 (d)
11 ©
12 a) Na segunda medição
do 40 dia.
b) 37,3°C.
13 (d)
14 a) 1.200 reais.
b) 3.400 reais
15 (a)
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)