O documento fornece um resumo dos principais assuntos cobrados na prova do Exame Nacional do Ensino Médio de Matemática, incluindo: 1) conceitos numéricos como operações em conjuntos numéricos; 2) noções geométricas como figuras planas e espaciais; 3) estatística e probabilidade; 4) álgebra e funções; 5) relações entre geometria e álgebra. O material tem o objetivo de auxiliar alunos na preparação para o exame.

1. Cristiano Marcell
Material ENEM 2014 de Matemática
O material a seguir foi elaborado sem pretensões de se tornar um compêndio de matemática repleto de teorias e
demonstrações. Trata-se somente de uma breve explanação dos assuntos que fazem parte do conteúdo da prova do exame
Nacional do Ensino Médio, composto de resumos teóricos e exercícios. Sua finalidade é somente auxiliar na preparação dos
alunos que deixam o Ensino Médio a prestarem o concurso para universidades públicas e particulares.
Listo a seguir, os assuntos tratados, segundo o edital do ENEM 2013.
Matemática e suas Tecnologias
Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais),
desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre
grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.
Conhecimentos geométricos – características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de
medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou
espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos;
circunferências; trigonometria do ângulo agudo.
Conhecimentos de estatística e probabilidade – representação e análise de dados; medidas de tendência
central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.
Conhecimentos algébricos – gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais,
exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
Conhecimentos algébrico-geométricos – plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e
perpendicularidade, sistemas de equações.
Objetiva-se resolver questões que tenham proximidade com as habilidades e Competências de área propostas. São elas:
Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais,
inteiros, racionais ou reais.
H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações
quantitativas.
H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação
no espaço bidimensional.
H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de
problemas do cotidiano.
Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de
representação de situação do cotidiano.
H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a
grandezas e medidas.
Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de
argumentação.

2. Cristiano Marcell
H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas,
usando representações algébricas.
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e
tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais
e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para
interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de
frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.
H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
Muita paz!
Professor Cristiano Marcell

3. Cristiano Marcell
I) Conhecimentos numéricos
I.1) Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros,
racionais e reais)
1. Naturais
N = {0, 1, 2, ...}
N* = {1, 2, 3, ...}
 Nele são definidas somente duas operações: adição e
multiplicação; (Fechamento)
 Vale a propriedade associativa e comutativa;
 Os elementos neutros da adição e multiplicação são,
respectivamente, 0 e 1;
 Vale a propriedade distributiva para a multiplicação em
N.
2. Inteiros Relativos
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
3. Racionais
Todo número que pode ser escrito na forma
푎
푏
; onde a,
b  Z e b  0
Q = {x | x=
푎
푏
/ a, b  Z e b  0}
4. Irracionais
É formado pelos números de representação decimal
infinita, mas não periódica. Representa-se por: Q’ ou I.
Exemplo:
Q’ = {..., , 2 ,
3 4 , 3 10 , 20 3 , ...}
5. Reais
É o conjunto formado pela união dos racionais com os
irracionais.
R = Q U Q’ .
Representação geométrica dos Números Reais
A cada ponto de um eixo real, estará associado um
número real ou vice-versa.
Exemplo:
6.Intervalos reais
Dados dois números distintos a e b localizados na reta real,
existirá sempre uma quantidade infinita de números reais
localizados entre a e b. Tais subconjuntos são chamados de
Intervalos Reais.
Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos:
a) {x  R | a  x  b} é o intervalo fechado de extremos a e b.
Notação: [a; b]
b) {x  R | a < x < b} é o intervalo aberto de extremos a e b
Notação: ]a; b[
c) {x  R | a  x < b} é o intervalo fechado em a e aberto em b
Notação: [a; b[
d) {x  R | a < x  b} é o intervalo aberto em a e fechado em b
Notação: ]a; b]
Exercícios
1) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas
operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos
em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos
números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos
números naturais. Embora a adição de dois números naturais
resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no
conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração
de dois números naturais nem sempre resulta em um número
natural). Assinale a afirmação verdadeira:
a) Os números naturais são fechados em relação à divisão.
b) Os números inteiros são fechados em relação à adição.
c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão.
d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um
número irracional.
e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em
um número irracional
2)(Enem) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente
europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um
vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros
voos.
Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo
europeu acima de 6000 metros estava liberado, com exceção
do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais
acima de 31 mil pés estavam liberados.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010
(adaptado).
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés.
Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na
Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o
início do caos?
a) 3 390 pés.
b) 9 390 pés.
c) 11 200 pés.
d) 19 800 pés.
e) 50 800 pés.
3) (Enem) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita
que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam
obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se,
respectivamente,
- -0,5
-3 –2 –1 0 1 2 3
a b
a b
a b
a b

4. Cristiano Marcell
a) 0,23 e 0,16.
b) 2,3 e 1,6.
c) 23 e 16.
d) 230 e 160.
e) 2 300 e 1 600.
4) (Enem)O dono de uma oficina mecânica precisa de um
pistão das partes do motor, de 68 mm de diâmetro, para o
conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um
ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21
mm; 68,102 mm; 68,001mm; 68,02mm e 68,012mm. Para
colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da
oficina terá que adquirir aquele que tenha o diâmetro mais
próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de
diâmetro
a) 68,21 mm
b) 68,102 mm
c) 68,001 mm
d) 68,02 mm
e) 68,012 mm
5) (Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência,
conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro
pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados
conforme a figura:
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é
composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada
pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:
a) 2 614.
b) 3 624.
c) 2 715
d) 3 725.
e) 4 162.
6) (Enem)
Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os
brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.
Veja. Ed. 2158, 31 mar.
2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a,
aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os
brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em
1/5 do que foi consumido no ano anterior.
De acordo com essas informações, qual a previsão mais
aproximada para o consumo de café em 2010?
a) 8 bilhões de litros.
b) 16 bilhões de litros.
c) 32 bilhões de litros.
d) 40 bilhões de litros.
e) 48 bilhões de litros.
7) Um dos passatempos de Júlia é jogar o sudoku, um
quebra-cabeça lógico que virou uma febre mundial.
Como estratégia para preencher a grade de sudoku a seguir,
Júlia começou analisando as possibilidades de
preenchimento da oitava linha e deduziu, corretamente,
qual o número a ser colocado na casa marcada com a
bolinha preta.
Como se joga o Sudoku?
O objetivo do jogo é preencher uma grade 9×9, subdividida
em quadrados 3×3, com os números de 1 a 9, de modo que cada
número apareça uma única vez em cada linha, em cada coluna e
em cada quadrado 3×3.
O número colocado por Júlia foi
a) 1.
b) 4.
c) 6.
d) 7.
e) 9.
8) O algoritmo proposto a seguir pode ser empregado para
calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número x.
Considere 1 como valor inicial de n e R = 3 como estimativa
inicial do valor da raiz quadrada de x = 11.
Nessas condições, o erro E2 será igual a:
a) 1/3
b) 1/27
c) -1/20
d) - 1/60
e) 1/60
9) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos
um tipo especial de número primo descrito abaixo.
Se p é um número primo e se 2p + 1 também é um número
primo, então o número primo p é denominado primo de
Germain.
Pode-se afirmar que é primo de Germain o número:
a) 7
b) 17
c) 18
d) 19
e) 41
10) A metade da metade de 22012 é:
a) 21006
b) 22010
c) 22006
d) 22011
e) 2503

5. Cristiano Marcell
11) Para registrar o resultado da operação 2101.597 , o número
de dígitos necessários é:
a) 96
b) 97
c) 98
d) 99
e) 100
12)(UERJ) Em 1772, o astrônomo Johann Elert Bode,
considerando os planetas então conhecidos, tabelou as medidas
das distancias desses planetas ate o Sol.
A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a expressão
abaixo, com a qual se poderia calcular, em unidades
astronômicas, o valor aproximado dessas distâncias:
Atualmente, Netuno e o planeta para o qual n = 9, e a medida de
sua distancia ate o Sol e igual a 30 unidades astronômicas. A
diferença entre este valor e aquele calculado pela expressão de
Bode e igual a d.
3.2푛−2+4
10
O valor percentual de |d|, em relação a 30 unidades
astronômicas e aproximadamente igual a:
a) 29%
b) 32%
c) 35%
d) 38%
e) 49%
13) A ciência e a tecnologia, no decorrer da nossa história, vêm
atuando para facilitar o trabalho humano. Atualmente, a
calculadora facilita e agiliza os cálculos, sendo uma ferramenta
largamente difundida e presente, até em telefones celulares. No
entanto, há operações com alguns números naturais que
apresentam características particulares, dispensando o uso de
calculadoras.
Observe e analise os quadrados de números naturais formados
apenas pelo algarismo 1.
12 = 1
112 = 121
1112 = 12 321
11112 = 1 234 321
Se o número 1 234 567 654 321 é o quadrado de um número
natural que possui n algarismos iguais a 1, então n é igual a
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
14) Analise a expressão abaixo, na qual n e um numero natural.
N = 10n - 92
O valor da soma dos algarismos de N quando n = 2013 é:
a) 18111
b) 18011
c) 17111
d) 18101
e) 18112
15) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma
forma que possa queimar mais calorias do que as gastas
normalmente, conforme a relação seguinte:
Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:100
calorias gastas em 20 minutos.
Meia hora de supermercado: 100 calorias.
Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr.
2010 (adaptado).
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando
o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para
realizar todas as atividades:
a) 50 minutos.
b) 60 minutos.
c) 80 minutos.
d)120 minutos.
e) 170 minutos.
I.2) Desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e
proporções, porcentagem e juros e relações de
dependência entre grandezas.
7. Operações Fundamentais
7.1.Adição
A + B = C (Os termos A e B são as parcelas enquanto o termo C e
a soma ou total.).
Propriedades
1) Comutativa
Dados dois números naturais a e b temos: a + b = b + a
2) Associativa.
Dados três ou mais números naturais quaisquer, temos que:
a + (b +c) = (a + b) + c
3) Existência do elemento neutro.
Zero é o elemento neutro da adição, isto é, sendo a um
número qualquer, temos:a + 0 = 0 +a = a
4) Fechamento.
O conjunto dos números naturais é fechado para a adição,
isto é, a soma de dois ou mais números naturais terá como
resultado um número natural.
7.2.Subtração
M – S = R (Os termos M e N são, respectivamente, minuendo
e subtraendo, enquanto o termo R e a diferença ou resto.).
OBS: M + S + R = 2M
7.3.Multiplicação
A. B = C (Os termos A e B são os fatores, multiplicando e
multiplicador enquanto o termo C e o produto.).
Propriedades
1) Comutativa
Dados dois números naturais a e b temos: a . b = b . a
2) Associativa.

6. Cristiano Marcell
Dados três ou mais números naturais quaisquer, temos que:
a . (b .c) = (a . b) . c
3) Existência do elemento neutro.
Um é o elemento neutro da adição, isto é, sendo a um
número qualquer, temos: a . 1 = 1. a = a
4) Fechamento.
O conjunto dos números naturais é fechado para a
multiplicação, isto é, o produto de dois ou mais números
naturais terá como resultado um número natural.
7.3.Divisão
Dividendo  D d  divisor
Resto  r q  quociente
Onde: D = d . q + r
Resto máximo = d - 1
Resto mínimo = 0
Quando o resto é nulo, a divisão é exata e o dividendo
diz-se divisível pelo divisor; caso contrário, inexata, com
dividendo não divisível pelo divisor.
Exercícios
16) A soma de três números naturais consecutivos é um
número
a) par
b) impar
c) primo
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3.
17) Na soma abaixo indicada, as letras C, D, L e S substituem
algarismos maiores do que zero e menores do que 9.
Assim, C + D + L + S será igual a:
a)20.
b)19.
c)18.
d)17.
e)16.
18) Uma régua é dividida em partes iguais, e a distância
compreendida por cinco marcações consecutivas mede 48
cm,como ilustra a figura abaixo.
O comprimento da régua, em centímetros, é
a) 144
b) 148
c) 130
d) 228
e) 360
19)(ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e
os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras
partidas de um determinado campeonato.
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3
pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso
de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida,
terá acumulado um número de pontos igual a
a) 15.
b) 17.
c) 18.
d) 20.
e) 24.
20) Uma fábrica de fósforos usa as seguintes definições:
 caixa: conjunto de 45 fósforos;
 maço: conjunto de 10 caixas;
 pacote: conjunto de 12 maços.
Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22
fósforos por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços,
c de caixas e f de fósforos. Qual o valor da soma p + m + c + f ?
a) 20
b) 23
c) 25
d) 28
e) 30
21) Um aluno, quando multiplicou um número por 60,
esqueceu-se de colocar o zero à direita e obteve um resultado
inferior de 291006 do que deveria ter encontrado. Calcular o
número.
a) 5389
b) 5388
c) 5379
d) 4389
e) 5380
22) Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de
25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10
centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:
a) 8,75
b) 7,35
c) 5,45
d) 4,35
e) 8,46
23) A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de
dinheiro, contendo um total de R$ 3.000.000,00, somente em
notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da

7. Cristiano Marcell
mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala
marrom, e vice-versa.
O número total de cédulas encontradas foi de:
a) 45.000
b) 50.000
c) 48.000
d) 40.000
e) 49.000
24)(ENEM) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar
os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e
21h, durante uma determinada noite.
Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras
a seguir:
A percentagem de entrevistados que declararam estar
assistindo à TvB é APROXIMADAMENTE igual a:
a) 15%
b) 20%
c) 22%
d) 27%
e) 30%
25) (ENEM) Uma escola de ensino médio tem 250 alunos que
estão matriculados na 1•, 2• ou 3• série. 32% dos alunos são
homens e 40% dos homens estão na 1• série. 20% dos alunos
matriculados estão na 3• série, sendo 10 alunos homens.
Dentre os alunos da 2• série, o número de mulheres é igual ao
número de homens.
A tabela anterior pode ser preenchida com as informações
dadas:
O valor de a é:
a) 10
b) 48
c) 92
d) 102
e) 120
26) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água
de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta
mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em
m¤) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o
valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo
fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes
faixas de tarifação.
Suponha que dobre o consumo d'água. O novo valor da conta
será de:
a) R$ 22,90
b) R$ 106,46
c) R$ 43,82
d) R$ 17,40
e) R$ 22,52
27) (PUC)Os preços cobrados por um digitador por página
impressa são:
Somente texto: R$ 1,50
Texto com figuras: R$ 2,50
Ele digitou 134 páginas e cobrou R$ 250,00 por esse trabalho.
Se t é o número de páginas digitadas só com texto e f com texto
e figuras, então é verdade:
a) f = 53
b) t = 80
c) f = 49
d) t = 2f
e) f < 30
28) (FUVEST) Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos
metade da água fora, seu peso cai para 180 g.
O peso do copo vazio é:
a) 20 g
b) 25 g
c) 35 g
d) 40 g
e) 45 g
29)(UERJ) Em uma atividade escolar, qualquer número X,
inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos
descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se
obtenha como resultado final o número 1.
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são
aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos resultados
obtidos:

8. Cristiano Marcell
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os
procedimentos são utilizados é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
30) (UERJ) Uma grade retangular é montada com 15 tubos de
40 cm na posição vertical e com 16 tubos de 50 cm na
horizontal. Para esse tipo de montagem, são utilizados encaixes
nas extremidades dos tubos, como ilustrado abaixo:
Se a altura de uma grade como essa é igual ao comprimento de
x tubos, e a largura equivale ao comprimento de y tubos, a
expressão que representa o número total de tubos usados é:
a) x2 + y2 + x + y + 1
b) xy + x + y + 1
c) xy + 2x +2 y
d) 2xy + x + y
I.3) Sequências ,progressões e princípios de contagem.
8. Progressão Aritmética(PARTE 1)
Definição: Progressão aritmética é uma sequência de números
reais cuja diferença entre um termo e seu antecedente, a partir
do segundo, é uma constante a qual chamamos de razão.
Considere a sucessão (3,11,19,...)
8.1. Fórmula Geral do Termo da P.A.
a n = a1 + (n - 1) r
Do exemplo anterior, calculemos o 10º termo:
a10 = a1 + (10-1) r
a10 = 3 + 9. 8
a10 = 75
8.2.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
S
a a n
n
(  ). 1
n 
2
Do exemplo anterior, calculemos a soma dos 10
primeiros termos:
( ).10
2
(3 75).10
390
2
S
10
10
1 10
10





S
a a
S
Três termos em P.A.podem ser escritos com (x - r, r , x + r)
9.Progressão Geométrica(PARTE 2)
É qualquer sucessão em que a divisão entre cada
termo e o termo anterior, a partir do segundo termo, é uma
constante q denominada razão.
Ex.: (3, 12, 48, 192,...)
9.1.Fórmula Geral do Termo da P.G.
q =
a =
2
a
1
a = ... = 4
3
a
2
a n = a1. q n-1
9.2. Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
a q 
a
a q
.( 1) 1 1
1
.
S ou
n
1





q
S
q
n
n
n
Da PG anterior, calculemos o 5º termo e a soma dos 5 primeiros
termos:
a5 = a1. q 5-1
a5 = 3. 4 4
a5 = 768
S
a q a
q
S
5
5 1
5
1
786 4 3
4 1
1023







.
.
S5
Obs.: Os três primeiros em P.G.: (r/q, r, r. q)
9.3. Soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente
q
a
S


1
1 ( -1 < q < 1)
Ex: P.G.C.:
.......
2
2
   .....
 125
n 5
2
25
5
2
S 

  
2 5
1 1 5
2 5 2
5
5
4
1
2
/
/
/
.
4 / 5
Exercícios
31) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no
quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais
ímpares da seguinte maneira:
O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a
décima linha.
Somando os números dessa linha, ele encontrou
a) 800
b) 900
c) 1000
d) 1100
e) 1200
32) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de
uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das
observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois
minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência
de figuras apresenta as populações do vírus (representado por
um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.

9. Cristiano Marcell
Supondo que se manteve constante o ritmo de
desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1
hora era de:
a) 241.
b) 238.
c) 237.
d) 233.
e) 232.
33)
Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele
diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização
Mundial de Turismo, divulgado recentemente.
Revista Veja, 05 nov. 2003.
Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros
apresentadas no gráfico acima formassem uma Progressão
Aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o
Brasil em 2003, em milhões, seria igual a:
a) 1,2
b) 2,4
c) 2,6
d) 2,9
e) 3,2
34) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as
medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão
aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede,
em graus,
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
35) Considere a disposição de números abaixo.
O primeiro elemento da quadragésima linha é
a) 777.
b) 778.
c) 779.
d) 780.
e) 781.
(UERJ/ADPTADA)
Leia atentamente o texto.
A figura acima apresenta 25 retângulos.
Observe que quatro desses retângulos contêm
números e um deles, a letra n.
Podem ser escritos, em todos os outros retângulos,
números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em
cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco
termos.
36) A soma dos elementos da quarta linha da figura é igual a:
a) 300
b) 370
c) 380
d) 375
e) 390
37) O número que deve ser escrito no lugar de n é:
a) 100
b) 105
c) 200
d) 320
e) 104
38) (UNICAMP)Uma curva em formato espiral, composta por
arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois
pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses
arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam
sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura
abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1cm.
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos
primeiros 20 arcos de circunferência.
39) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras,
geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor
suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores
triangulares com as respectivas quantidades de barras de
mesmo comprimento.

10. Cristiano Marcell
Observando nas figuras que o número de barras é função do
número de setores triangulares, qual é o número N de barras
para n setores triangulares?
a) N = 3 + 2n - 1 para n ≥ 1
b) N = 3n para n ≥ 1
c) N = 3n2 + 2n para n ≥ 1
d) N = 3 + 2(n2 - 1) para n ≥1
e) N = 1 + 2n para n ≥ 1
40) A sequência de triângulos equiláteros, ilustrada na figura
abaixo, apresenta certo número de pontos assinalados em cada
triângulo.
Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, o
número de pontos que estarão assinalados no oitavo triângulo
é
a) 65
b) 54
c) 45
d) 56
41) (PUC) A soma de todos os números naturais ímpares de 3
algarismos é:
a) 220.000
b) 247.500
c) 277.500
d) 450.000
e) 495.000
42) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é
dividido entre três coligações partidárias em partes
diretamente proporcionais aos termos da progressão
aritmética: t, t + 6, t2. Nessas condições, de cada hora de
propaganda eleitoral gratuita, a coligação partidária à qual
couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficará
com:
a) 26 min
b) 28 min
c) 30 min
d) 32 min
43) "A matemática é um saco? Talvez não, pelo menos depois
de ler esse livro de Devlin, um norte-americano especialista em
neurolingüística. Ele mostra que o raciocínio numérico é
instintivo no ser humano e se baseia no mesmo princípio que
rege a linguagem: a habilidade de lidar com símbolos. A partir
daí, analisa o funcionamento do nosso cérebro e ressalta a
beleza da matemática - 'a ciência dos padrões.'
Superinteressante, junho, 2004. p. 91.
Lembrando que "o raciocínio numérico é instintivo no ser
humano e se baseia (...) na habilidade de lidar com símbolos", a
expressão do termo geral de uma progressão aritmética,
formada de números naturais cuja soma dos n primeiros
termos é dada por Sn = 2 n2, é
a) 2n - 4 b) 4n – 2 c) 2n
d) 4n e) 4 - 2n
44) No quadro abaixo, em cada linha e em cada coluna, os
elementos formam uma progressão aritmética.
Sabendo-se que as razões das progressões da segunda linha e
da segunda coluna são iguais, então a• + c3 é igual a
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 13.
45) Uma decoradora usou 210 garrafas plásticas de 33 cm de
altura para confeccionar uma árvore de natal em forma de
triângulo. Para isto usou uma placa triangular na qual colou as
garrafas da seguinte forma: uma garrafa na primeira fila, duas
na segunda fila, e assim sucessivamente, acrescentando uma
garrafa a cada fila. Qual deve ser a altura da placa, sabendo que
não há sobreposição de garrafas, não há espaço entre uma fila e
outra e que sobram 10 cm no topo e 10 cm na base da árvore?
a) 3,8 m
b) 5,4 m
c) 6,6 m
d) 6,8 m
e) 7,13 m
46) A figura a seguir representa um modelo plano do
desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A
partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada
uma delas surgem mais duas ramificações e, assim,
sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação,
dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é
sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é
de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em
metros, até h10?
a)
1
2
. (1 −
1
210) b)
1
2
. (1 −
1
29)
c) 2. (1 −
1
210) d) 2. (1 −
1
1010)
e) 2. (1 −
1
29)

11. Cristiano Marcell
47) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada
20 minutos.
Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de
ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final
do experimento, obteve-se um total de 4,096 x 106 bactérias
por mililitro.
Assim sendo, o tempo do experimento foi de:
a) 3 horas e 40 minutos.
b) 3 horas.
c) 3 horas e 20 minutos.
d) 4 horas.
48) Sejam a e b números reais tais que:
(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
(ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.
Então o valor de a é:
a) 2/3
b) 4/3
c) 5/3
d) 7/3
e) 8/3
49) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir
de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em 3 partes
iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos
lados, um novo triângulo equilátero.
Este processo de formação continua indefinidamente até a
obtenção de um floco de neve de Koch.
Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de
comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será,
em unidades quadradas, equivalente a:
a) √3/5
b) √3/4
c) 2√3/5
d) √3/2
50) No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo
com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1,
1/3, 1/9, 1/27, e assim por diante, conforme mostra a figura.
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser
feito indefinidamente, é:
a) 3
b) 5/2
c) 7/3
d) 2
e) 3/2
51) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases
medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos
hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a área
do retângulo de lados h e d é igual a
a) 68.
b) 102.
c) 136.
d) 153.
e) 192.
52) Marlene confecciona leques artesanais com o formato de
um setor circular, como representado na figura a seguir.
Para enfeitar os leques, usa pequenas contas brilhantes que
dispõe da seguinte maneira: no vértice do leque, primeira
fileira, coloca apenas uma conta; na segunda fileira horizontal
posterior coloca duas contas; na terceira fileira horizontal
coloca quatro, na quarta fileira horizontal dispõe oito contas e
assim sucessivamente. Considere que Marlene possui 515
contas brilhantes para enfeitar um leque.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o número
máximo de fileiras completas nesse leque é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
53) A figura 1 mostra um molusco 'Triton tritonis' sobre uma
estrela do mar.
Um corte transversal nesse molusco permite visualizar,
geometricamente, uma sequência de semicírculos. O esquema
na figura 2 indica quatro desses semicírculos.
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...)
formem uma progressão tal que (AB)/(BC) = (BC)/(CD) =
(CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ...
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será
equivalente a:
a) 2 + √3
b) 2 + √5
c) 3 + √3
d) 3 + √5

12. Cristiano Marcell
54) O número de assinantes de uma revista de circulação na
grande BH aumentou, nos quatro primeiros meses de 2005, em
progressão geométrica, conforme assinalado na tabela abaixo:--
Com base nessas informações, pode-se afirmar que, de
fevereiro para abril, o número de assinantes dessa revista teve
um aumento igual a:
a) 1.050
b) 1.155
c) 1.510
d) 1.600
55) (UFRRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ
formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma
primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A
chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15
segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de
tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à
metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se
mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda
da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo
de água?
a) 1h
b) 30 min
c) 15 min
d) 10 min
e) 21 min
56) Se n é um número natural e x = 2n , a soma dos divisores de
x é:
a)2.(2n-1)
b)2n+1-1
c) 2n -1
d) 2n+1-2
e) 2n-1
57) "Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a
população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em
25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que,
dadas as condições médias da terra disponíveis em seu tempo, os
meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em
progressão aritmética".
A lei de Malthus cita progressões aritméticas (PA) e
progressões geométricas (PG).
Se os dois primeiros termos de uma das sequências são x1 = 6 e
x2 = 12 e sabendo-se que possuem mesmo valor numérico para
razão, o quinto termo será:
a) x5 = 16 se for uma PA e x5= 24 se for uma PG.
b) x5= 24 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG.
c) x5= 30 se for uma PA e x5= 30 se for uma PG.
d) x5= 30 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG.
e) x5= 48 se for uma PA e x5= 72 se for uma PG.
58) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na
internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve
756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página,
durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à
página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
59) Uma formiga minúscula, cujo tamanho é desprezível, faz
um percurso linear. Inicialmente, caminha para a direita uma
distância de 1 m. Então, ela vira para a esquerda, caminhando
metade da distância do seu ponto corrente.
Se a formiga continuar caminhando para a direita e para a
esquerda, sempre andando a metade da distância previamente
caminhada, a formiga percorrerá, a partir da origem, a
distância de:
a) 1 m
b) 2 m
c) 4 m
d) 8 m
e) 10 m
60) (UERJ) Observe a representação do trecho de um circuito
elétrico entre os pontos X e Y, contendo três resistores cujas
resistências medem, em ohms, a, b e c.
Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica
de razão 1/2 e que a resistência equivalente entre X e Y mede
2,0 Ω. O valor, em ohms, de (a + b + c) é igual a:
a) 21,0
b) 22,5
c) 24,0
d) 24,5
10. Princípio Fundamental da Contagem
10.1. Definição
Se um evento que ocorre em n situações
independentes e sucessivas, tendo a primeira situação
ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de
m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação
ocorrendo de mn maneiras, então, temos que o número total de
ocorrências será dado pelo produto:
m1.m2.m3......mn
10.2.Fatorial
Usada na determinação do produto dos antecessores
de um número maior que 1.
Por exemplo:
1! = 1
2! = 2. 1 = 2
3! = 3 . 2 .1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Para qualquer n natural maior que zero, temos que
n! = n.(n – 1)!
OBS: 0! = 1 e 1! = 1

13. Cristiano Marcell
Exercícios
61) Numa prova havia 4 itens para que os alunos
respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas
maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as
repostas poderá responder esses itens?
a) 15
b) 12
c) 14
d) 16
e) 20
62) (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos
peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com
areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão
deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e
amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores
da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa,
nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza
ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa
nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o
número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
63) (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois
símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e,
considerando esses símbolos como letras, podem-se formar
palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas
palavras de uma, duas e três letras desse código. O número
máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser
formadas com esse código é:
a) 120.
b) 62.
c) 60.
d) 20.
e) 10.
64) O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas
regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com
uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas.
Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa,
usando-se 5 cores. Indique n/10.
a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 60
65) Para gerar sua senha de acesso, o usuário de uma biblioteca
deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9, permitindo-se
repetições e importando a ordem, em que eles foram
escolhidos. Por questões de segurança, senhas que não tenham
nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. Por
exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e diferentes,
enquanto que a senha 90381 é inválida. O número total de
senhas válidas que podem ser geradas é igual a
a) 69.760.
b) 30.240.
c) 50.000.
d) 19.760.
e) 100000
66)(UERJ)Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na
coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão,
que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as
tabelas que apresentam os números de dentes de cada
engrenagem, todos de igual tamanho.
Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma
engrenagem da coroa e uma do pinhão.
Um dente da 1• engrenagem da coroa quebrou. Para que a
corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento,
admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1• ou
à 2• engrenagem do pinhão.
Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem
ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
67) (UNESP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus,
ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e
4 juntas, conforme o esquema.
O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas,
garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça
sempre viaje um rapaz, é
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 12.
e) 16.
68)(UFF) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações
bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet.
Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o
número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma

14. Cristiano Marcell
senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o
da figura.
Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente,
o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões
indicados pela inscrição “clique aqui”; isto é, para inserir o
dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão “clique aqui”
situado abaixo dos dígitos “0, 4 ou 7” ou naquele situado abaixo
dos dígitos “2, 4 ou 8”.
Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por
quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de
“cliques”, primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou
8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7;
novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por
último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 54
e) 81
69) (UFPEL) Maurício de Sousa, criador de uma famosa revista
com histórias em quadrinhos, baseou a criação de seus
personagens em amigos de infância e nos filhos, conferindo a
cada um deles características distintivas e personalidades
marcantes. A turma da Mônica e todos os demais personagens
criados pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem
carinhosa, alegre, descontraída e até matemática, dirigida às
crianças e aos adultos de todo o mundo.
Se os personagens da história em quadrinhos acima
continuassem permutando as letras, com o objetivo de formar
todos os anagramas possíveis, eles obteriam mais:
a) 718 anagramas.
b) 360 anagramas.
c) 720 anagramas.
d) 362 anagramas.
e) 358 anagramas.
70) (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de
mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas
espécies de mamíferos - uma do grupo Cetáceos, outra do
grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores.
O número de conjuntos distintos que podem ser formados com
essas espécies para esse estudo é igual a
a) 1.320.
b) 2.090.
c) 5.845.
d) 6.600.
e) 7.245.
71) (UERJ) Observe o quadrinho abaixo.
As quatro pessoas que conversavam no banco da praça
poderiam estar sentadas em outra ordem. Considerando que o
fumante ficou sempre numa das extremidades, o número de
ordenações possíveis é:
a) 4
b) 6
c) 12
d) 24
e) 48
72) (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA
foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras
de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é:
a) PROVA.
b) VAPOR.
c) RAPOV.
d) ROVAP.
e) RAOPV.
74) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de
rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma
ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas

15. Cristiano Marcell
músicas serão necessários aproximadamente:
a) 100 dias.
b) 10 anos.
c) 1 século.
d) 10 séculos.
e) 100 séculos
75)(ENEM) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há
16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a
coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola
colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que
esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze
bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são
somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador
antes do início da jogada.
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como
sendo resultados de suas respectivas somas.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o
jogo é:
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma
escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de
Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma
escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de
Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida
por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8
possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
11. Razões e proporções, porcentagem e juros e relações de
dependência entre grandezas.
11.1.Razão
Chama-se razão entre dois números a e b ao quociente
indicado entre eles. Notação :
a ou a : b.
b
Termos da razão :
 a  Antecedente
 b  conseqüente
11.2.Razões Especiais
I) Velocidade Média: É a razão entre o espaço percorrido e o
tempo gasto para percorrê-lo.
Vm
S
t



ll) Escala: É a razão entre o comprimento de um segmento no
desenho (mapa, planta) e o comprimento real desse segmento.
Escala =
d
r
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e
Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância
real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala
deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km =
432 000 000 cm
Observação:
Para se achar a razão entre as “áreas” faz-se (d / r)2 e entre os
“volumes” , ( d / r )3.
III) Densidade demográfica
Calcula-se dividindo-se a quantidade de habitantes de uma
região pela área dessa região.
11.3.Proporção
É uma igualdade entre razões.
Notação
a
c
 ou a : b :: c : d.
d
b
Termos : a e d  extremos
b e c  meios
Propriedade Fundamental
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
a
c
  a . d = b . c
d
b
Não podemos esquecer que
a

c d b
c
d
a
b

 
Quarta proporcional
c
x
a
b

Proporção contínua: os meios são idênticos
b
c
a
b

Terceira proporcional.
b
x
a
b

Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,
aumentando-se (ou diminuindo-se) uma, a outra também
aumenta (ou diminui) na mesma razão.
Ex.: Tempo e Distância
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando-se uma a outra diminui na mesma razão, e vice-versa.
Ex.: Velocidade e Tempo
Exercícios
76) Determine a razão entre 37 candidatos e 222 candidatos.
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
77) (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Terra,
avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 × 10ª anos),
com a de uma pessoa de 45 anos, então quando começaram a
florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só
conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e,
há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há
menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de
indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio
ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se
produziu todo o lixo do planeta!
Na teoria do " Big Bang", o Universo surgiu há cerca de 15
bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma
densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto,
essa teoria situaria o início do Universo há cerca de
a) 100 anos.
b) 150 anos.

16. Cristiano Marcell
c) 1000 anos.
d) 1500 anos.
e) 2000 anos.
78) (ENEM) Muitas usinas hidroelétricas estão situadas em
barragens. As características de algumas das grandes represas
e usinas brasileiras estão apresentadas no quadro a seguir.
A razão entre a área da região alagada por uma represa e a
potência produzida pela usina nela instalada é uma das formas
de estimar a relação ente o dano e o benefício trazidos por um
projeto hidroelétrico. A partir dos dados apresentados no
quadro, o projeto que mais onerou o ambiente em termos de
área alagada por potência foi
a) Tucuruí
b) Furnas
c) Itaipu
d) Ilha Solteira
e) Sobradinho
79) (ENEM) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser
dividido em três depósitos e um "hall" de entrada de 20m£,
conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão
construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60
e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser
proporcionais a essas capacidades.
A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
80)(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade,
copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade,
recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em
seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões
reais 100 m × 100 m, pesou o recorte na mesma balança e
obteve 0,08 g. Com esses dados foi possível dizer que a área da
cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente,
a) 800.
b) 10 000.
c) 320 000.
d) 400 000.
e) 5 000 000.
81)(ENEM) Os níveis de irradiância ultravioleta efetiva (IUV)
indicam o risco de exposição ao Sol para pessoas de pele do
tipo II - pele de pigmentação clara. O tempo de exposição
segura (TES) corresponde ao tempo de exposição aos raios
solares sem que ocorram queimaduras de pele. A tabela mostra
a correlação entre riscos de exposição, IUV e TES.
Uma das maneiras de se proteger contra queimaduras
provocadas pela radiação ultravioleta é o uso dos cremes
protetores solares, cujo Fator de Proteção Solar (FPS) é
calculado da seguinte maneira:
FPS = TPP/TPD
TPP = tempo de exposição mínima para produção de
vermelhidão na pele protegida (em minutos).
TPD = tempo de exposição mínima para produção de
vermelhidão na pele desprotegida (em minutos).
O FPS mínimo que uma pessoa de pele tipo II necessita para
evitar queimaduras ao se expor ao Sol, considerando TPP o
intervalo das 12:00 às 14:00h, num dia em que a irradiância
efetiva é maior que 8, de acordo com os dados fornecidos, é
a) 5.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 20.
82) (ENEM)Dados divulgados pelo Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação
sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto
de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas
concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de
20000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de
imprensa noticiou o fato com o seguinte texto:
O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a
cada oito segundos.
Considerando que um ano tem aproximadamente 32 x 106 s
(trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área
oficial de um campo de futebol é aproximadamente 10­£
km£
(um centésimo de quilômetro quadrado), as informações
apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de
desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área
de
a) 10000 km2, e a comparação dá a idéia de que a devastação
não é tão grave quanto o dado numérico nos indica.
b) 10000 km2, e a comparação dá a idéia de que a devastação é
mais grave do que o dado numérico nos indica.
c) 20000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da
destruição.
d) 40000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação,
dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural.
e) 40000 km2 e, ao chamar a atenção para um fato realmente
grave, o autor da notícia exagerou na comparação.
83)(ENEM) Para o registro de processos naturais e sociais
devem ser utilizadas diferentes escalas de tempo. Por exemplo,
para a datação do sistema solar é necessária uma escala de
bilhões de anos, enquanto que, para a história do Brasil, basta
uma escala de centenas de anos.
Assim, para os estudos relativos ao surgimento da vida no
Planeta e para os estudos relativos ao surgimento da escrita,
seria adequado utilizar, respectivamente, escalas de:
a) Vida no Planeta: Milhares de anos
Escrita: Centenas de anos
b) Vida no Planeta: Milhões de anos

17. Cristiano Marcell
Escrita: Centenas de anos
c) Vida no Planeta: Milhões de anos
Escrita: Milhares de anos
d) Vida no Planeta: Bilhões de anos
Escrita: Milhões de anos
e) Vida no Planeta: Bilhões de anos
Escrita: Milhares de anos
84)(ENEM) Já são comercializados no Brasil veículos com
motores que podem funcionar com o chamado combustível
flexível, ou seja, com gasolina ou álcool em qualquer proporção.
Uma orientação prática para o abastecimento mais econômico
é que o motorista multiplique o preço do litro da gasolina por
0,7 e compare o resultado com o preço do litro de álcool. Se for
maior, deve optar pelo álcool. A razão dessa orientação deve-se
ao fato de que, em média, se com um certo volume de álcool o
veículo roda dez quilômetros, com igual volume de gasolina
rodaria cerca de
a) 7 km.
b) 10 km.
c) 14 km.
d) 17 km.
e) 20 km.
85) (ENEM) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores
distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada,
utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a
seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
86)(ENEM)
A resistência elétrica e as dimensões do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões do
condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de
vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe
proporcionalidade entre:
 resistência (R) e comprimento ( ℓ ), dada a mesma secção
transversal (A);
 resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o
mesmo comprimento (ℓ ) e
 comprimento (ℓ ) e área da secção transversal (A), dada a
mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o
estudo das grandezas que influem na resistência elétrica
utilizando as figuras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades
existentes entre resistência (R) e comprimento ((ℓ), resistência
(R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento ((ℓ) e
área da secção transversal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
87)(ENEM)
No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama,
no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o
Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá
um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do
mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br.
Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma
suposição de que o diâmetro do olho humano mede
aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano,
suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do
telescópio citado?
a) 1 : 20
b) 1 : 100
c) 1 : 200
d) 1 : 1 000
e) 1 : 2 000
88) Uma torneira enche um tanque em 12 horas; uma outra
torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e
abrindo-se as duas torneiras no mesmo instante, em quanto
tempo ficará cheio?
a) 5 horas
b) 6 horas
c) 6 horas e 40 minutos
d) 7 horas
e) 4 horas
89) Um reservatório é alimentado por duas torneiras que
enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche-o em 10
horas, em quanto tempo a segunda, funcionando só, deixará o
reservatório cheio?
a) 15 horas b) 16 horas c) 14 horas
d) 11 horas e) 13 horas
90) Uma raposa está adiantada 60 pulos seus sobre um cão que
a persegue. Enquanto que a raposa dá 10 pulos, o cão dá 8
pulos, 3 pulos do cão valem 5 pulos da raposa. Quantos pulos
dará o cão para alcançar a raposa?
a) 140
b) 141
c) 142
d) 143
e) 144

18. Cristiano Marcell
12.regra de três.
- Chamamos de três ao processo prático destinado a resolver
problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente
proporcionais.
Inversamente proporcionais.
PROBLEMA RESOLVIDO 1.
24 operários trabalhando 6 horas por dia, durante 18
dias, fazem uma estrada de 45 km num terreno de dificuldade 2,
sendo a capacidade dos operários expressa por 3. Quantos dias
levarão 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, para fazer
uma estrada de 80 km, num terreno de dificuldade 5 e cuja
capacidade dos operários é expressa por 4
Solução:
24 op .....6 h ........ 18 d ..... 45 km ... 2 dif .......... 3 cap
30 op .. 8 h .......... x .... 80 km .....5 dif ...........4 cap
24 18 6 80 5 3
     ;
x  36
30 8 45 2 4

   
1. Escreve-se 18 (quantidade da mesma espécie que x,
no numerador);
2. 24 op. Gastam 18 dias; 1 op. Gastará mais dias (24 no
numerador) e 30 op. Gastarão menos dias (30 no
denominador);
3. Trabalhando 6 horas por dia os op. Gastam tantos
dias; trab. Uma hora por dia, gastarão mais dias (6 no
numerador) e trab. 8, gastarão menos ( 8 no
denominador);
4. para fazer 45 km, os operários levam tantos dias;
5. para fazer 1 km, levarão menos dias (45 no
denominador) e para fazer 80 km levarão mais dias
(80 no numerador);
6. quando a dificuldade é 2, os op. Levam tantos dias;
7. quando a dificuldade é 1, levarão menos dias (2 no
denominador) e quando a dificuldade for 5, levarão
mais dias (5 no numerador);
8. quando a capacidade dos op. É 3, eles levam tantos
dias; quando a cap. É 1, eles levarão mais dias (3 no
numerador) e quando a cap. É 4 levarão menos dias
(4 no denominador).
Resp: 36 dias
Obs: Quando a capacidade (força, habilidade, experiência,
prática) do operário diminui, ele passa a levar mais tempo, para
fazer um determinado trabalho.
PROBLEMA RESOLVIDO 2.
36 operários trabalhando 8 horas por dia durante 12
dias, abrem uma estrada de 15 km. Quantos dias de 6 horas,
gastarão 48 operários, para abrir outra estrada de 20 km,
supondo-se que os operários da segunda turma são duas vezes
mais produtivos que os da primeira e que a dificuldade do
primeiro trabalho está para a do segundo, como 4 para 5
Solução:
Representa-se por 1 a capacidade (ou produtividade da 1.ª por
4 e a da 2.ª por 5);
36 op .....8 h ......12 d ......15 km ....1 cap....... 4 dif
48 op ... 6 h ..... x ........ 20 km ..2 cap . ..... 5 dif
x 
10
36  12  8  20  1 
5
48 6 15 2 4

   
;
36 operários gastam 12 dias; 1 operário gasta mais dias ou 36
 12 e 48 operários gastam menos dias ou
3612 ;
48
Trabalhando 8 h por dia os operários levam tantos dias;
trabalhando 1 hora por dia, levam mais dias (8 no numerador e
6 no denominador);
Para fazer 15 km os operários gastam tantos dias, para fazer 1
km gastam menos dias (15 no denominador e 20 no
numerador);
Quando a capacidade é 1 os operários gastam tantos dias e
quando for 2, gastarão menos dias, 2 vezes menos (2 no
denominador);
Sendo a dificuldade 4 os operários levam tantos dias; sendo a
dificuldade 1, os operários levarão menos dias (4 no
denominador e 5 no numerador).
Resp: 10 dias
PROBLEMA RESOLVIDO 3.
Um automóvel, andando 8 horas por dia, percorre 9000
km em 15 dias. Quantas horas ele deverá andar, por dia, para
percorrer 15000 km em 25 dias, diminuindo sua velocidade de
1/5
Solução:
Representa-se a velocidade inicial por 5/5; diminuída de 1/5,
fica reduzida a 4/5; eliminam-se os denominadores iguais e a
velocidade ficam: 5 e 4;
8 h..........15 d ......9000 km ............ 5 veloc.
x.............25 d ......15000 km ...........4 veloc.
15 8 15000 5
   ;
X  10
25 9000 4

 
Para percorrer uma distância em 15 dias, o automóvel deverá
andar 8 horas por dia; para percorrer a mesma distância em
um dia deverá andar mais horas ou 15  8; 15 no numerador
e 25 no outro termo da fração (o denominador);
Para percorrer 9000 km, o automóvel deve andar 8 horas por
dia; para percorrer 1 km, poderá andar menos horas (9000 no
denominador e 15000 no numerador);
Quando a velocidade é 5, o automóvel deve andar tantas horas
por dia; quando a velocidade é 1,
deverá andar mais horas (5 no numerador e 4 no
denominador).
Resp: 10 horas
Exercícios
91) Em uma hora, 4 máquinas produzem 1200 parafusos.
Nesse mesmo tempo, 3 máquinas produzirão quantos
parafusos?
a) 800
b) 900
c) 1000
d) 1100
e) 1600
92) Uma torneira despeja 18 litros de água em 9 minutos. Em 2
horas e 15 minutos despejará:
a) 300
b) 270
c) 240
d) 220
e) 200
93) Um construtor utilizando 16 operários trabalhando 6 horas
por dia constrói uma determinada obra em 180 dias. Quantos
operários deverá ser utilizados para fazer a mesma obra
trabalhando 8 horas por dia no prazo de 120 dias?
a) 23
b) 25
c) 28

19. Cristiano Marcell
d) 18
e) 20
94) Se k abelhas, trabalhando k meses do ano, durante k dias
no mês e durante k horas por dia, produzem k litros de mel;
então o número de litros de mel produzidos por w abelhas,
trabalhando w horas por dia, em w dias e em w meses do ano,
será:
a)
3
2
k
w
b)
5
w
3
k
c)
4
3
k
w
d)
3
w
4
k
e)
4
w
3
k
95) ( UNICAMP ) Uma obra será executada por 13 operários
(de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11
dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8
dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá
ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido
anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos
operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da
obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
96)
Admita que os pássaros levem exatamente três semanas para
construir seu ninho, nas condições apresentadas nos
quadrinhos.
Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas semanas,
trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por dia, a seguinte
quantidade de gravetos:
a) 600
b) 800
c) 900
d) 1000
e) 1200
97) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a
água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. O tempo
gasto para fazer 18 cafezinhos é de 10 minutos, dos quais 1
minuto é o tempo gasto para aquecer a resistência. Qual o
tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 5 cafezinhos ?
a) 3 min
b) Menos de 3 min
c)Entre 3 min. e 3,5 min
d) 3,5 min
e) Mais de 3,5 min.
98) Doze marinheiros pintaram o casco de um
contratorpedeiro em 4 dias e 4 horas. Quantos marujos, da
mesma capacidade de trabalho, serão necessários para pintar o
mesmo casco em 6 dias e 6 horas?
99) A ração para 12 animais, durante 8 dias custa 24.000,00. O
custo da ração para 18 animais, durante 6 dias é de:
a) 48.000,00
b) 27.000,00
c) 21.333,33
d) 16.000,00
e) 12.000,00
100) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são
capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas
por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10
horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas
seria:
a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000
101) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas
individuais para o almoço durante 25 dias. Se essa empresa
tivesse mais de 500 empregados, a quantidade de marmitas já
adquiridas, seria suficiente para um número de dias igual a:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
102) Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um
navio em 6 horas. Trabalhando em separado, sabendo-se que
um deles pode descarregar o navio em 5 horas menos que o
outro, quantas horas levaria cada um?
a) 5 e 10
b) 11 e 16
c) 10 e 15
d) 3 e 8
e) 6 e 11
103) Jean constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho
por dia. Wiliam constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias
de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo
de 6 horas por dia, produzirão 250 cadeiras em quantos dias?
104)(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus
alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis
para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos
aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas
diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e
passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o
término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do
prazo estipulado seria de:
a) 920 kg.

20. Cristiano Marcell
b) 800 kg.
c) 720 kg.
d) 600 kg.
e) 570 kg.
105)(UERJ) Na tabela a seguir, um determinado sanduíche é
utilizado como padrão de comparação do poder de compra dos
trabalhadores de seis cidades diferentes.
Na cidade de São Paulo, o menor número de minutos
necessários para comprar um único sanduíche é representado
por x.
Considere que a jornada de trabalho é a mesma em todas as
cidades.
O valor aproximado de x corresponde a:
a) 48
b) 46
c) 42
d) 40
13. Porcentagem.
O símbolo n% representa a fração n /100 e serve
para fazer comparação com grupos de 100 elementos.
Ex.: Quando falamos que uma turma de 50 alunos possui 40%
de homens, significa que se a turma possuísse 100 alunos, 40
seriam homens. Mas como só há 50, concluímos que 20 são
homens.
Para calcular n% de um valor A, basta multiplicar n%.A.
Fator de aumento
Em geral, se um valor A sofre um aumento de n%, o novo valor
N é dado por:
N = A + n%.A  N = A. (1 + n%)
Fator de multiplicação pode ser um acréscimo ou um
decréscimo no valor do produto.
Sendo um produto aumentou 10% então seu fator de
multiplicação é de 1 + (taxa de acréscimo), sendo essa taxa de
0,1. Portanto, seu fator de multiplicação é de 1,1.
Se um produto teve um desconto de 10% então seu fator
de multiplicação é de 1 – (taxa de decréscimo), sendo essa taxa
de 0,1 temos 1 – 0,1 = 0,9
Acréscimo Fator de Multiplicação
10% 1,1
15% 1,15
18% 1,18
20% 1,2
63% 1,63
86% 1,86
100% 2
Vendendo um ingresso que custou R$40,00 com um
acréscimo de 20% temos:
40 multiplicado por 1,2 = R$48,00
Decréscimo Fator de Multiplicação
10% 0,9
15% 0,85
18% 0,82
20% 0,8
63% 0,37
86% 0,14
100% 0
Descontando 10% no valor de R$30,00 temos:
30 multiplicado por 0,90 = R$27,00
Exercícios
106) (UERJ) Uma fábrica de doces vende caixas com 50
unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e
caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é de
10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo
é de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produção
são desprezíveis.
Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de
venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de
cada bombom.
Calcule o número de bombons de cada sabor contidos em uma
caixa.
107) (UERJ)João abriu uma caderneta de poupança e, em 1¡. de
janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros,
nesse ano, de 20%. Em 1¡. de janeiro de 2007, depositou mais
R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em 1¡. de
janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros
do segundo ano deve corresponder a:
a) 12%
b) 14%
c) 16%
d) 18%
108) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o
número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60
para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina
passou de 30% para 24%.
Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o
número de mulheres que frequentam esse clube, após a
promoção, teve um aumento de
a) 76%.
b) 81%.
c) 85%.
d) 90%.
109) Na última eleição para diretor de um clube, na qual 11%
dos sócios votaram em branco e 13% anularam o voto, o
vencedor obteve 52% dos votos válidos. Não são considerados
válidos os votos em branco e os votos nulos. Todos os sócios
votaram. Nestas condições o vencedor, de fato, obteve de todos
os sócios um percentual de votos da ordem de
a) 38,02 %
b) 39,52 %
c) 40,50 %
d) 41,05 %
110)(FUVEST) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em
Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e
uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com
vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal
prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no
dia 10/12.
Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:

21. Cristiano Marcell
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao
dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por
dois dias;
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de
2% sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua conta
corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à
opção 1,
a) desvantagem de 22,50 euros.
b) vantagem de 22,50 euros.
c) desvantagem de 21,52 euros.
d) vantagem de 21,52 euros.
e) vantagem de 20,48 euros.
111) Quando estava lendo uma reportagem sobre a sua banda
favorita, Paula observou que havia um borrão de tinta no texto,
como é mostrado a seguir:
Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos
oferecidos para a área vip foi
a) 260.
b) 400.
c) 540.
d) 760.
e) 910.
112) Determinada loja vende todos os produtos com
pagamento para 45 dias. Para pagamento à vista, a loja oferece
8% de desconto. A taxa mensal de juro simples paga pelo
cliente que prefere pagar após 45 dias é, aproximadamente, de:
a) 0%
b) 5,3%
c) 8%
d) 5,8%
e) 4,2%
113)(ENEM) O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue.
Uma pesquisa feita em São Luís - MA, de 2000 a 2002, mapeou
os tipos de reservatório onde esse mosquito era encontrado. A
tabela a seguir mostra parte dos dados coletados nessa
pesquisa.
Se mantido o percentual de redução da população total de A.
aegypti observada de 2001 para 2002, teria sido encontrado,
em 2003, um número total de mosquitos:
a) menor que 5.000.
b) maior que 5.000 e menor que 10.000.
c) maior que 10.000 e menor que 15.000.
d) maior que 15.000 e menor que 20.000.
e) maior que 20.000.
114)(ENEM) Não é nova a ideia de se extrair energia dos
oceanos aproveitando-se a diferença das marés alta e baixa. Em
1967, os franceses instalaram a primeira usina "maré-motriz",
construindo uma barragem equipada de 24 turbinas,
aproveitando-se a potência máxima instalada de 240 MW,
suficiente para a demanda de uma cidade com 200 mil
habitantes. Aproximadamente 10% da potência total instalada
são demandados pelo consumo residencial.
Nessa cidade francesa, aos domingos, quando parcela
dos setores industrial e comercial pára, a demanda diminui
40%. Assim, a produção de energia correspondente à demanda
aos domingos será atingida mantendo-se
I. todas as turbinas em funcionamento, com 60% da capacidade
máxima de produção de cada uma delas.
II. a metade das turbinas funcionando em capacidade máxima e
o restante, com 20% da capacidade máxima.
III. quatorze turbinas funcionando em capacidade máxima, uma
com 40% da capacidade máxima e as demais desligadas.
Está correta a situação descrita
a) apenas em I.
b) apenas em II.
c) apenas em I e III.
d) apenas em II e III.
e) em I, II e III.
115) Ricardo e Aline têm, respectivamente, 19 e 17 anos. Aline
terá 92% da idade de Ricardo daqui a ____ anos. Preenche-se
corretamente a lacuna com
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 9
116) No Brasil, segundo o Censo 2000, o número de jovens na
faixa de 15 a 29 anos é de 49 milhões. Isso representa 28% do
total da população brasileira e é responsável por cerca de 50%
dos jovens da América Latina. Em 2000 a população de jovens
da América Latina correspondia, em milhões, a:
a) 98
b) 74
c) 49
d) 26
e) 13
117)(ENEM) Uma cooperativa de radiotáxis tem como meta
atender em no máximo 15 minutos a pelo menos 95% das
chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito
ininterruptamente por um funcionário que utiliza um
equipamento de rádio para monitoramento. A cada 100
chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que
não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a
cooperativa apresentou o seguinte desempenho:

22. Cristiano Marcell
Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida
foi atingida:
a) nas primeiras 100 chamadas.
b) nas primeiras 200 chamadas.
c) nas primeiras 300 chamadas.
d) nas primeiras 400 chamadas.
e) ao final do dia.
118) No Brasil, o número de cursos superiores via internet tem
crescido nos últimos anos, conforme mostra o gráfico abaixo.
Desde 2001, quando foram autorizados pelo governo, até 2004,
o percentual de aumento desses cursos foi de
a) 6%.
b) 7%.
c) 70%.
d) 600%.
e) 700%
119) João está à procura de um imóvel para adquirir. Após
várias pesquisas de mercado, achou o imóvel de seus sonhos,
porém, por não ter a quantia suficiente para pagar o valor
solicitado, pechinchou com o vendedor, obtendo dois descontos
sucessivos de 20% e 5% no valor inicial do imóvel.
O valor da taxa única que representa esses dois descontos é
a) 23%.
b) 24%.
c) 25%.
d) 26%.
e) 27%.
120)(UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os preços
de seus produtos em 60%. Na liquidação após o Ano Novo, os
mesmos produtos sofrem um desconto de 27,5%, em relação
aos preços reajustados em 5 de dezembro.
Após esta liquidação, podemos constatar que os preços dos
produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro,
sofreram uma variação percentual de:
a) 16,0%
b) 29,0%
c) 32,5%
d) 44,0%
121)(ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares,
realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de
despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias
com rendas mensais bem diferentes.
Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$
6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo
com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores,
em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em
relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente,
a) dez vezes maiores.
b) quatro vezes maiores.
c) equivalentes.
d) três vezes menores.
e) nove vezes menores.
122) (ENEM)Uma empresa lançou um produto em dois
tamanhos de embalagem e peso. Uma com 750 g ao preço de R$
9,00 e outra com 300 g do mesmo produto com valor de R$
5,80. A embalagem maior utiliza 15% a menos de papelão que
duas das menores. Além da economia para o consumidor, na
compra de 1,5 kg desse produto na embalagem maior a
economia de papelão, em termos percentuais, é de:
a) 30%.
b)32%.
c) 45%.
d) 47%.
e) 52%
123) (ENEM)Um professor dividiu a lousa da sala de aula em
quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com
conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo
e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a
preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.
Uma representação possível para essa segunda situação é:
124) (ENEM) Antes de uma eleição para prefeito, certo
instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um
número significativo de eleitores, dos quais 36% responderam

23. Cristiano Marcell
que iriam votar no candidato X; 33%, no candidato Y e 31%, no
candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses
valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do
instituto concluíram que, se confirmado o resultado da
pesquisa,
a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39%
do total de votos.
b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer.
c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5%
sobre X.
d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no
máximo, 1% sobre X.
e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5%
sobre o candidato Y.
125) (ENEM)Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00
e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de
acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os
valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior
renda, em relação aos da família de menor renda, são,
aproximadamente,
a) dez vezes maiores.
d) três vezes menores.
b) quatro vezes maiores.
e) nove vezes menores.
126) A participação dos estudantes na Olimpíada
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP)
aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de
medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de
2005 a 2009.
Em relação à edições de 2005 e 2009 da OBMEP, qual o
percentual médio de medalhistas de ouro da região nordeste.
a) 14,6%
b) 18,2%
c) 18,4%
d) 19,0 %
e) 21,0%
14. Relações de dependência entre grandezas.
127)(ENEM)
O saldo de contratações no mercado formal no
setor varejista da região metropolitana de São Paulo
registrou alta. Comparando as contratações deste setor no
mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve
incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605
trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010
(adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista
seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as
quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por
diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades
nesses meses é:
a) y = 4 300.x
b) y = 884005.x
c) y = 872 005 + 4 300.x
d) y = 876 305 + 4 300.x
e) y = 880 605 + 4 300.x
128)(ENEM) O prefeito de uma cidade deseja construir uma
rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta
uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira
cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um
valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$
120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo
de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo
padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma
delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria
encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a
prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
129) (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente
utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa
muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que
indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo
IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade
Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para
quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e
a altura. A figura mostra como calcular essas medidas,
sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre
19% e 26%.
Uma jovem com IMC = 20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos
quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC.
Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura
corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da
nova medida é
(Use √3 = 1,7 e √1,7 = 1,3)
a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.
b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%.
c) manter seus níveis atuais de gordura.
d) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%.
e) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.
130)(ENEM)
Uma equipe de paleontólogos descobriu um rastro de
dinossauro carnívoro e nadador, no norte da Espanha.

24. Cristiano Marcell
O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros
e consiste de vários pares simétricos de duas marcas de três
arranhões cada uma, conservadas em arenito.
O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma
pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro
não-nadador: "são as unhas que penetram no barro - e não a
pisada -, o que demonstra que o animal estava nadando sobre a
água: só tocava o solo com as unhas, não pisava", afirmam os
paleontólogos.
Internet: <www.noticias.uol.com.br> (com adaptações).
Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado
isoladamente, é variável relevante para se estimar o tamanho
do dinossauro nadador mencionado?
a) "O rastro completo tem 15 metros de comprimento"
b) "O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma
pernada de 2,5 metros"
c) "O rastro difere do de um dinossauro não-nadador"
d) "são as unhas que penetram no barro - e não a pisada"
e) "o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com
as unhas"
131)(UFF) Em um sistema de coordenadas cartesianas
retangulares Oxy, a curva plana de equação
y = R3/(x2 + R2), sendo R uma constante real positiva, é
conhecida como feiticeira de Agnesi em homenagem à cientista
Maria Gaetana Agnesi.
Pode-se afirmar que esta curva:
a) está situada abaixo do eixo x;
b) é simétrica em relação ao eixo y;
c) é simétrica em relação à origem;
d) intercepta o eixo x em dois pontos;
e) intercepta o eixo y em dois pontos.
132)(ENEM) Um boato tem um público alvo e alastra-se com
determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente
proporcional ao número de pessoas desse público que conhece
o boato e diretamente proporcional também ao número de
pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a
rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas
que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma
constante positiva característica do boato. Considerando o
modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas,
então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o
boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000
133)(ENEM) O jornal de uma pequena cidade publicou a
seguinte notícia:
CORREIO DA CIDADE
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO
O novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem
atraído um enorme e constante fluxo migratório, resultando em
um aumento da população em torno de 2000 habitantes por
ano, conforme dados do nosso censo:
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água,
pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade
para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A
prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma
campanha visando estabelecer um consumo médio de 150
litros por dia, por habitante.
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna.
Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os
mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final
de
a) 2005.
b) 2006.
c) 2007.
d) 2008.
e) 2009.

25. Cristiano Marcell
GABARITO
I.1) Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos
numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)
1 (b)
2 ©
3 (b)
4 (e)
5 (a)
6 (e)
7 ©
8 (d)
9 (e)
10 (b)
11 (d)
12 (a)
13 ©
14 (d)
15 (b)
I.2) Desigualdades, divisibilidade, fatoração,.
PARTE 1
16 (e)
17 (a)
18 (a)
19 ©
20 ©
21 (a)
22 (d)
23 (d)
24 (a)
25 ©
26 ©
27 ©
28 ©
29 (a)
30 (d)
I.3) Sequências ,progressões e princípios de contagem.
31 ©
32 ©
33 ©
34 (e)
35 (e)
36 (d)
37 (b)
38 a) 25π/2
b) 210π
39 (e)
40 ©
41 (b)
42 (d)
43 (b)
44 ©
45 (d)
PARTE 2
46 ©
47 (d)
48 (e)
49 ©
50 (e)
51 ©
52 ©
53 (d)
54 (b)
55 (a)
56 (b)
57 (d)
58 (e)
59 (b)
60 (d)
Princípio Fundamental da Contagem
61 (d)
62 (b)
63 (b)
64 ©
65 (a)
66 ©
67 (e)
68 ©
69 (e)
70 (a)
71 ©
72 (e)
73 (e)
74 (e)
75 ©
Razões e proporções, porcentagem e juros e relações de
dependência entre grandezas.
76 (e)
77 (b)
78 (e)
79 (d)
80 (e)
81 (b)
82 (e)
83 (e)
84 ©
85 (d)
86 ©
87 (e)
88 ©
89 (a)
90 (e)
91 (b)
92 (b)
93 (d)
94 (e)
95 (d)
96 (d)
97 (d)
98 8
99 (b)
100 ©
101 ©
102 ©
103 16
104 (a)
105 ©
106 40 bombons de morango e 10
bombons de caramelo
107 (b)
108 (d)
109 (b)
110 ©
111 (b)
112 (d)
113 (e)
114 (e)
115 ©
116 (a)
117 (e)
118 (d)
119 (b)
120 (a)
121 (b)
122 (b)
123 ©
124 (d)
125 (b)
126 ©
127 ©
128 (a)
129 (a)
130 (b)
131 (b)
132 (b)
133 (e)

26. Cristiano Marcell