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Lista 5 de C´lculo I
            a                      2010-2                                                                     9


   UFES - Universidade Federal do Esp´
                                     ırito Santo                                              LISTA 5 - 2010-2
   DMAT - Departamento de Matem´tica
                               a                                          Limite e continuidade: miscelˆnea
                                                                                                       a
                                                                             Teorema do valor intemedi´rio
                                                                                                        a

    Nos exerc´
             ıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando poss´
                                                            ıvel. Caso conclua que o limite n˜o existe,
                                                                                             a
justifique.
               (               )
  1.    lim        xn − xn−1                                     (x − sen (ax))(x + tan(bx))
       x→−∞                                         10. lim                                  , a, b, c ̸= 0
                                                          x→0            1 − cos(cx)
            x
  2.    lim √
          1 − x3
       x→−∞ 3
                                                               1 − cos3 x
         √    √                                     11. lim
                                                          x→0 x sen x cos x
           x+ x
  3. lim √
    x→+∞   x+1                                                   sen (πx)
                                                    12. lim
           3x3 − 2x2 − 3x + 2                             x→1     1 − x2
  4. lim
       x→1      (2x − 2)2                                        sen (tan x)
                                                    13. lim
          (1 + x)5 − (1 + 5x)                             x→π      tan x
  5. lim
     x→0        x5 + x2
            √       √                                             sen (x) − 1
                                                    14. lim
           2 6x − 3 4x                                     π
                                                          x→ 2      x cos x
  6. lim
     x→ 1 4x − 4x + 1
              2
        2                                                            (         )         (√           )
                                                                          1                   x+1−1
           x100    − 2x + 1                         15. lim cos          √         sen         √
  7. lim                                                  x→0+             x                     x
       x→1 x50     − 2x + 1
               √                                                   x − sen x
               3
                   x−6+2                            16.    lim
  8. lim                                                  x→+∞     x + sen x
       x→−2        x3 + 8
              sen (x) + sen (3x) + sen (5x)                  x2 sen (x) − 1
  9. lim                                            17.    lim
     x→0      tan(2x) + tan(4x) + tan(6x)              x→−∞      x3 + 1
                                                    (                 )
                                                               x3 + 1
 18. Achar as constantes a e b de modo que lim        ax + b − 2        = 0.
                                              x→+∞             x +1
                                                                      {
                                            g(x)                         cos(x) + 3 , x < 0
 19. Calcule os limites laterais de f (x) =       em x = 0, se g(x) =
                                            sen x                        x2 − 9     , x≥0

       Nos exerc´ıcios 18. e 19. verifique se a fun¸˜o ´ cont´
                                                  ca e      ınua no ponto indicado. Justifique a resposta.
                        ( )
                3         1
                  x cos          se x ̸= 0
 20.   f (x) =             x                  em x = 0
               
                  1              se x = 0
                      √
                1− t
                       √ se t ̸= 1
 21.   f (t) =
                 1− 3t                  em t = 1
                  3/2       se t = 1
                                                  {
                                                    1 + ax , x ≤ 0
 22.   Verifique se existe a ∈ R tal que f (x) =                                  ınua em R.
                                                                        seja cont´
                                                    x4 + 2a , x > 0
                                                                     ( π π)
 23.   Seja f : R −→ R, tal que x sen x ≤ f (x) ≤ x2 cos2 x, ∀x ∈ − ,         . Verifique se f ´ cont´
                                                                                              e     ınua
                                                                        2 2
       em x = 0.
Lista 5 de C´lculo I
            a                 2010-2                                                                            10


       Para cada fun¸˜o dos exerc´
                     ca          ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual est´
                                                                                                   a
       localizado pelo menos um zero dessa fun¸˜o.
                                              ca
                                                                                                     πx
 24. f (x) = x3 + x − 1                25. f (x) = x3 + 3x − 5              26. f (x) = 1 + x cos
                                                                                                      2

 27. Mostre que os gr´ficos de y = 1 e y = x2 tan x tˆm interse¸˜o em pelo menos um ponto do
              ( π πa )                              e         ca
     intervalo − ,    .
                 2 2
 28. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem
       e                          ca                                                            ca
     sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´
                 a         a e       ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio
                                                                                                    a
     ´ verdadeira.
     e

 29. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem
       e                          ca                                                            ca
     sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´
                 a         a e       ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio
                                                                                                    a
     ´ falsa.
     e

 30. Se uma fun¸˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2 , existir´
                ca                                                                                a
     obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a fun¸˜o f se anula? Justifique sua resposta.
                                                       ca



                                                RESPOSTAS

  1. Se n for par, pois a fun¸˜o → +∞
                             ca                                                     3
                                                       21. Sim, pois lim f (t) =      = f (1)
                                                                        t→1         2
                ımpar, pois a fun¸˜o → −∞
     e se n for ´                ca
                                                             1                         23. Sim
                                                       22.
  2. −1                       3. 1                           2
                                                       24. f (0) = −1 < 0 < 1 = f (1),
  4.     pois se x → 1− a fun¸˜o → −∞
                              ca
                                                             f ´ cont´
                                                               e     ınua em [0, 1].
       (ou se x → 1+ a fun¸˜o → +∞)
                           ca
                                                             Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio (TVI), existe
                                                                                              a
  5. 10                                                      um c; 0 < c < 1; f (c) = 0, isto ´, existe um zero
                                                                                              e
                       1−                                    da fun¸˜o no intervalo [0, 1].
                                                                   ca
  6.    pois se x →       a fun¸˜o → −∞
                               ca
                       2                               25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2]
                    1+                                                                              [1      ]
       (ou se x →      a fun¸˜o → −∞)
                            ca                         26. Idem ao item 22. para o intervalo            3
                    2                                                                                2, 2
       49                         π                    27. Aplicando o TVI em f (x) = −1 + x2 tan x no in-
  7.                          12.
       24                         2                        tervalo [0, π/3], mostra-se que f tem um zero no
        1                     13. 1                        intervalo [0, π/3].
  8.
       144                   14. 0                           Isto ´, ∃c; c ∈ [0, π/3]; f (c) = 0.
                                                                  e
       3                                                     Como [0, π/3] ⊂ (−π/2, π/2), temos que
  9.                         15. 0
       4
                                                             ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); −1 + c2 tan c = f (c) = 0.
       2(1 − a)(1 + b)       16. 1
 10.                                                         Isto ´, ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); c2 tan c = 1.
                                                                  e
             c2              17. 0
       3                                                          (x + 1)2
 11.                         18. a = 1, b = 0          28. f (x) =         em [−2, 2];
       2                                                            1−x
 19. lim− f (x) = −∞       lim f (x) = +∞                         1
       x→0                x→0+
                                                       29. f (x) = em [−1, 1]
                                                                  x
 20. N˜o, pois lim f (x) = 0 ̸= 1 = f (0)
      a                                                30. N˜o. Ver exemplo 29.
                                                             a
                 x→0

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  • 2. Lista 5 de C´lculo I a 2010-2 10 Para cada fun¸˜o dos exerc´ ca ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual est´ a localizado pelo menos um zero dessa fun¸˜o. ca πx 24. f (x) = x3 + x − 1 25. f (x) = x3 + 3x − 5 26. f (x) = 1 + x cos 2 27. Mostre que os gr´ficos de y = 1 e y = x2 tan x tˆm interse¸˜o em pelo menos um ponto do ( π πa ) e ca intervalo − , . 2 2 28. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem e ca ca sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´ a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio a ´ verdadeira. e 29. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem e ca ca sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´ a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio a ´ falsa. e 30. Se uma fun¸˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2 , existir´ ca a obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a fun¸˜o f se anula? Justifique sua resposta. ca RESPOSTAS 1. Se n for par, pois a fun¸˜o → +∞ ca 3 21. Sim, pois lim f (t) = = f (1) t→1 2 ımpar, pois a fun¸˜o → −∞ e se n for ´ ca 1 23. Sim 22. 2. −1 3. 1 2 24. f (0) = −1 < 0 < 1 = f (1), 4. pois se x → 1− a fun¸˜o → −∞ ca f ´ cont´ e ınua em [0, 1]. (ou se x → 1+ a fun¸˜o → +∞) ca Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio (TVI), existe a 5. 10 um c; 0 < c < 1; f (c) = 0, isto ´, existe um zero e 1− da fun¸˜o no intervalo [0, 1]. ca 6. pois se x → a fun¸˜o → −∞ ca 2 25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2] 1+ [1 ] (ou se x → a fun¸˜o → −∞) ca 26. Idem ao item 22. para o intervalo 3 2 2, 2 49 π 27. Aplicando o TVI em f (x) = −1 + x2 tan x no in- 7. 12. 24 2 tervalo [0, π/3], mostra-se que f tem um zero no 1 13. 1 intervalo [0, π/3]. 8. 144 14. 0 Isto ´, ∃c; c ∈ [0, π/3]; f (c) = 0. e 3 Como [0, π/3] ⊂ (−π/2, π/2), temos que 9. 15. 0 4 ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); −1 + c2 tan c = f (c) = 0. 2(1 − a)(1 + b) 16. 1 10. Isto ´, ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); c2 tan c = 1. e c2 17. 0 3 (x + 1)2 11. 18. a = 1, b = 0 28. f (x) = em [−2, 2]; 2 1−x 19. lim− f (x) = −∞ lim f (x) = +∞ 1 x→0 x→0+ 29. f (x) = em [−1, 1] x 20. N˜o, pois lim f (x) = 0 ̸= 1 = f (0) a 30. N˜o. Ver exemplo 29. a x→0