1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo de limites, continuidade de funções e o teorema do valor intermediário. 2) Os exercícios 1-15 pedem para calcular limites de funções. Os exercícios 16-19 abordam continuidade e limites laterais. 3) Os exercícios 20-30 tratam de continuidade de funções, existência de zeros em intervalos e aplicações do teorema do valor intermediário.

1. Lista 5 de C´lculo I
a 2010-2 9
UFES - Universidade Federal do Esp´
ırito Santo LISTA 5 - 2010-2
DMAT - Departamento de Matem´tica
a Limite e continuidade: miscelˆnea
a
Teorema do valor intemedi´rio
a
Nos exerc´
ıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando poss´
ıvel. Caso conclua que o limite n˜o existe,
a
justifique.
( )
1. lim xn − xn−1 (x − sen (ax))(x + tan(bx))
x→−∞ 10. lim , a, b, c ̸= 0
x→0 1 − cos(cx)
x
2. lim √
1 − x3
x→−∞ 3
1 − cos3 x
√ √ 11. lim
x→0 x sen x cos x
x+ x
3. lim √
x→+∞ x+1 sen (πx)
12. lim
3x3 − 2x2 − 3x + 2 x→1 1 − x2
4. lim
x→1 (2x − 2)2 sen (tan x)
13. lim
(1 + x)5 − (1 + 5x) x→π tan x
5. lim
x→0 x5 + x2
√ √ sen (x) − 1
14. lim
2 6x − 3 4x π
x→ 2 x cos x
6. lim
x→ 1 4x − 4x + 1
2
2 ( ) (√ )
1 x+1−1
x100 − 2x + 1 15. lim cos √ sen √
7. lim x→0+ x x
x→1 x50 − 2x + 1
√ x − sen x
3
x−6+2 16. lim
8. lim x→+∞ x + sen x
x→−2 x3 + 8
sen (x) + sen (3x) + sen (5x) x2 sen (x) − 1
9. lim 17. lim
x→0 tan(2x) + tan(4x) + tan(6x) x→−∞ x3 + 1
( )
x3 + 1
18. Achar as constantes a e b de modo que lim ax + b − 2 = 0.
x→+∞ x +1
{
g(x) cos(x) + 3 , x < 0
19. Calcule os limites laterais de f (x) = em x = 0, se g(x) =
sen x x2 − 9 , x≥0
Nos exerc´ıcios 18. e 19. verifique se a fun¸˜o ´ cont´
ca e ınua no ponto indicado. Justifique a resposta.
 ( )
 3 1
x cos se x ̸= 0
20. f (x) = x em x = 0

1 se x = 0
 √
 1− t
√ se t ̸= 1
21. f (t) =
 1− 3t em t = 1
3/2 se t = 1
{
1 + ax , x ≤ 0
22. Verifique se existe a ∈ R tal que f (x) = ınua em R.
seja cont´
x4 + 2a , x > 0
( π π)
23. Seja f : R −→ R, tal que x sen x ≤ f (x) ≤ x2 cos2 x, ∀x ∈ − , . Verifique se f ´ cont´
e ınua
2 2
em x = 0.

2. Lista 5 de C´lculo I
a 2010-2 10
Para cada fun¸˜o dos exerc´
ca ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual est´
a
localizado pelo menos um zero dessa fun¸˜o.
ca
πx
24. f (x) = x3 + x − 1 25. f (x) = x3 + 3x − 5 26. f (x) = 1 + x cos
2
27. Mostre que os gr´ficos de y = 1 e y = x2 tan x tˆm interse¸˜o em pelo menos um ponto do
( π πa ) e ca
intervalo − , .
2 2
28. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem
e ca ca
sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´
a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio
a
´ verdadeira.
e
29. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem
e ca ca
sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´
a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio
a
´ falsa.
e
30. Se uma fun¸˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2 , existir´
ca a
obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a fun¸˜o f se anula? Justifique sua resposta.
ca
RESPOSTAS
1. Se n for par, pois a fun¸˜o → +∞
ca 3
21. Sim, pois lim f (t) = = f (1)
t→1 2
ımpar, pois a fun¸˜o → −∞
e se n for ´ ca
1 23. Sim
22.
2. −1 3. 1 2
24. f (0) = −1 < 0 < 1 = f (1),
4. pois se x → 1− a fun¸˜o → −∞
ca
f ´ cont´
e ınua em [0, 1].
(ou se x → 1+ a fun¸˜o → +∞)
ca
Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio (TVI), existe
a
5. 10 um c; 0 < c < 1; f (c) = 0, isto ´, existe um zero
e
1− da fun¸˜o no intervalo [0, 1].
ca
6. pois se x → a fun¸˜o → −∞
ca
2 25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2]
1+ [1 ]
(ou se x → a fun¸˜o → −∞)
ca 26. Idem ao item 22. para o intervalo 3
2 2, 2
49 π 27. Aplicando o TVI em f (x) = −1 + x2 tan x no in-
7. 12.
24 2 tervalo [0, π/3], mostra-se que f tem um zero no
1 13. 1 intervalo [0, π/3].
8.
144 14. 0 Isto ´, ∃c; c ∈ [0, π/3]; f (c) = 0.
e
3 Como [0, π/3] ⊂ (−π/2, π/2), temos que
9. 15. 0
4
∃c; c ∈ (−π/2, π/2); −1 + c2 tan c = f (c) = 0.
2(1 − a)(1 + b) 16. 1
10. Isto ´, ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); c2 tan c = 1.
e
c2 17. 0
3 (x + 1)2
11. 18. a = 1, b = 0 28. f (x) = em [−2, 2];
2 1−x
19. lim− f (x) = −∞ lim f (x) = +∞ 1
x→0 x→0+
29. f (x) = em [−1, 1]
x
20. N˜o, pois lim f (x) = 0 ̸= 1 = f (0)
a 30. N˜o. Ver exemplo 29.
a
x→0