1) A integral indefinida representa a operação inversa da derivação e fornece as primitivas de uma função. 2) Existem regras para calcular integral indefinidas de funções somadas, multiplicadas por constantes e funções elementares. 3) A integral indefinida de uma função representa geometricamente uma família de curvas com tangentes paralelas.

1. UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL
TOLEDO PARANÁ
PROCESSOS QUÍMICOS
INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA
Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio
p

2. INTEGRAL INDEFINIDA
Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz
o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da
multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora
interessados na operação inversa da derivação.
DERIVAÇÃO
F F’= f
PRIMITIVAÇÃO
1. PRIMITIVA
Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), ∀x ∈ I .
Exemplos:
As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.
A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva
geral ou integral indefinida da f que é notada por ∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k.
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em
pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.
∫
Exemplo: 2xdx = x 2 + k
53

3. E1) Determine:
∫ ∫ ∫
3) 3x 2 dx ∫ (5x
4
1) 2xdx 2) 5dx 4) + 4x 3 )dx
3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO
1. ∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante
2. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
3. ∫ dx = x + k
∫e
x
4. dx = e x + k
dx
5. ∫ x
= ln | x | + k
6. ∫ sen xdx = − cos x + k
7. ∫ cos xdx = sen x + k
E2) Encontre:
2
∫ ∫ (3 + e ∫
x
1) 2dx 2) )dx 3) (1 − )dx
x
4 2
∫ ∫ (ln2 − 5e ∫
x
4) edx 5) )dx 6) ( − )dx
5 3x
2x − 3
∫ ∫ (3e + e ∫
x
7) (π − 2e + ln 6)dx 8) )dx 9) ( )dx
x
10) ∫ (cos x − sen x)dx 11) ∫ (3 cos x + 6)dx 12) ∫ (1 + 5 sen x)dx
54

4. x p +1
8. ∫ x p dx =
p +1
+ k , sendo p ≠ -1
E3) Encontre:
∫ 3x ∫ (2x ∫ (x
2 4
1) dx 2) - x 3 + 3x 2 - x + 2)dx 3) 5
- 2x 3 + 5x - 3)dx
dx dx
4) ∫ 3x 2
5) ∫ x dx 6) ∫ x
3
x 2 3
7) ∫ x x dx 8) ∫ x
dx 9) ∫(x + x 2
)dx
5 3 x 3 + 2x − 1 1
10) ∫ (
2x 2
−
x 4
)dx 11) ∫ x2
dx 12) ( ∫ 3x 2
− x )dx
u p +1
9. Se u = f(x) , u p u ' dx = ∫ p +1
+ k , se p ≠ −1
E4) Encontre:
∫ (3x − 1) ∫ (3x − 1) ∫
4 4
1) 3dx 2) dx 3) (1 - x) 5 dx
∫e
u
10. Se u = f(x) , u ' dx = e u + k
E5) Encontre:
∫e ∫e ∫
4x 4x
1) 4dx 2) dx 3) e -x dx
u ' dx
11. Se u = f(x) , ∫ u
= ln | u | + k
E6) Encontre:
2x x 1
1) ∫x 2
−3
dx 2) ∫x 2
−3
dx 3) ∫ 5x + 2dx
55

5. 12. Se u = f(x) , ∫ sen u.u' dx = − cos u + k
E7) Encontre:
1) ∫ sen 4x.4dx 2) ∫ sen 4x .dx ∫
3) sen(-x).dx
13. Se u = f(x) , ∫ cos u.u' dx = sen u + k
E8) Encontre:
1) ∫ cos(x − 3).2 xdx 2) ∫ cos(x − 3).xdx ∫
3) cos(5x + 2)dx
2 2
E9) Encontre:
∫
1) (2x − 1) 3 2dx ∫ x 2 − 1. 2 xdx ∫ (3x
2
2) 3) + 4) 5 xdx
xdx dx xdx
4) ∫ 5−x 2
5) ∫ (1 − x) 4
6) ∫ (x 2
+ 2) 3
xdx dx dx
7) ∫ 3
3− x 2
8) ∫ 2x − 1
9) ∫ (2x + 3) 5
⎛ x 5 3 ⎞ x 2 dx
10) ∫ ⎜ 3e −
⎝
+ ⎟dx
2x x 2 ⎠
11) ∫ e 3x −1dx 12) ∫x 3
+1
2dx dx x 2 +3
13) ∫e x −1
14) ∫ 4x − 2 15) ∫ 3xe dx
x
20 xdx dx
16) ∫x 2
+ 10
17) ∫ 5e 2 dx 18) ∫e x
∫ x cos x ∫ sen 3x.dx ∫ sen
2 5
19) .dx 20) 21) x. cos x.dx
∫e ∫ tg x.dx ∫ cot g x.dx
cos x
22) . sen x.dx 23) 24)
56

6. E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que:
1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5 3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1
2
4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2 5) P(1,5) e f ’(x) =
x
E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2.
Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x.
E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou
quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ?
E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x
reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ?
E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da
25
produção em relação ao número de operários é dada por . Qual será a produção da fábrica, se
x
forem admitidos mais 31 funcionários ?
E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em
meses, será à taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12
milhões, calcule a renda daqui a um ano.
E16) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de
habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que
dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos?
E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor
residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ?
E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela
origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x.
57

7. 4. RESPOSTAS
E1)1) x2 + k 2) 5x + k 3) x3 + k 4) x5 + x4 + k
E2) 1) 2x + k 2) 3x + ex + k 3) x – 2ln |x| + k 4) ex + k 5) xln 2 - 5ex + k
4x 2
6) − ln | x | + k 7) ( π - 2e + ln 6)x + k 8)3ex + ex + k 9) 2x – 3ln |x| + k
5 3
10) sen x + cos x + k 11) 3sen x + 6x + k 12) x – 5cos x + k
2x 5 x 4 x2 x 6 x 4 5x 2 1
E3) 1) x3 + k 2) − + x3 − + 2x + k 3) − + − 3x + k 4) − +k
5 4 2 6 2 2 3x
2 x3 2 x5 3
5) +k 6) 2 x + k 7) +k 8) 33 x + k 9) 2 ln | x | − +k
3 5 x
5 1 x2 1 1 2 x3
10) − + 3 +k 11) + 2 ln | x | + + k 12) − − +k
2x x 2 x 3x 3
(3x − 1) 5 (3x − 1) 5 (1 − x ) 6
E4) 1) +k 2) +k 3) − +k
5 15 6
e 4x 1
E5) 1) e 4 x + k 2) +k 3) − +k
4 ex
1 1
E6) 1) ln | x 2 − 3 | + k 2) ln | x 2 − 3 | + k 3) ln | 5x + 2 | + k
2 5
1
E7) 1) –cos 4x + k 2) − cos 4 x + k 3) cos (-x) +k
4
1 1
E8) 1) sen( x 2 − 3) + k 2) sen( x 2 − 3) + k 3) sen(5x + 2) + k
2 5
(2x − 1) 4 2 ( x 2 − 1) 3 (3x 2 + 4) 6
E9) 1) +k 2) +k 3) +k 4) – 5 − x 2 + k
4 3 36
1 1 − 33 (3 − x 2 ) 2
5) +k 6) +k 7) +k 8) 2x − 1 + k
3(1 − x ) 3 − 4( x 2 + 2) 2 4
−1 5 3 e 3x −1 1
9) +k 10) 3e x − ln | x | − + k 11) +k 12) ln | x 3 + 1 | + k
8(2x + 3) 4 2 x 3 3
2
−2 1 3e x +3
13) x −1
+k 14) ln | 4 x − 2 | + k 15) +k 16)10ln(x2 +10) + k
e 4 2
58

8. x
1 1 1
17) 10 e 2 + k 18) − x
+k 19) sen x 2 + k 20) − cos 3x + k
e 2 3
sen 6 x
21) +k 22) − e cos x + k 23) − ln | cos x | + k 24) ln | sen x | + k
6
x2
E10) 1) y = x2 – 3 2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1 3) y = x3 + – x +1
2
4) y = ex – 2x –3 5) y = 2ln x + 5
E11) x4 – 5x + 2
E12) V = 200.000
E13) R$ 1.500,00
E14) P(256) = 800
E15) R(12) = 24 milhões
E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes
E17) 150
E18) P = – 2x3 + 24x
59

9. INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real
b
representado por ∫a f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).
b
∫a f(x)dx
b
= [F(x)] a = F(b) - F(a)
E1) Calcule:
3 1 4
1) ∫ 0
x 2 dx 2) ∫ −1
(1 − x) dx
1. PROPRIEDADES BÁSICAS
a
a) ∫ f(x)dx = 0
a
b a
b) ∫ f(x)dx = - ∫ b f(x)dx
a
b b
c) ∫ c.f(x)dx = c. ∫ f(x)dx , sendo c uma constante
a a
b b b
d) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx
a
b c b
e) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ c f(x)dx , com a < c < b
a a
b
f) ∫ f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∀x ∈ [a,b]
a
E2)Calcule:
1 0 5
∫0 (x ∫−1 (3x ∫2 (2 + 2u + 3u
4
1) − 3x 3 + 1)dx 2) 5
− 3x 2 + 2x − 1)dx 3) 2
)du
9⎛ 1 ⎞ 2 2 1 t +1
4) ∫1 ⎜
⎜
⎝
t− ⎟dt
⎟
t⎠
5) ∫0 x (x - 1)dx 6) ∫2 t2
dt
2 2 1
∫1 (2x - 4) ∫4 (2x - 6) ∫0 8x(x
5 4 2
7) dx 8) dx 9) + 1) 3 dx
60

10. 4 1 2 x2 1
∫0 ∫1 ∫ 0 (u
3
10) du 11) 3 2
dx 12) + u ) u 4 + 2u 2 + 1 du
6u + 1 ( x + 1)
3 2 dx 0 dx
13) ∫−2 | x − 1 | dx 14) ∫0 x 2 − 6x + 9 15) ∫-1 1- x
1 ⎛ | x |⎞ 5 3 x4 − x3
16) ∫−1 ⎜ x −
⎝ 2 ⎠
⎟dx 17) ∫−2 | 2t − 4 | dt 18) ∫1 x
dx
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b].
Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.
y f
f(x+ Δx )
A1 A2
f(x)
A3
A ΔA
0 a x x + Δx b x
A é a área da região hachurada, ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx .
ΔA
A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). Δx ≤ ΔA ≤ f(x + x). Δx ⇒ f(x) ≤ ≤ f(x + Δx )
Δx
ΔA ΔA ΔA
lim f(x) ≤ lim ≤ lim f(x + Δx ) ⇔ f(x) ≤ lim ≤ f(x ) ⇒ lim = f(x) ⇔ A’ = f(x)
Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx
Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k.
Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a)
Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.
b
Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫ a
f(x)dx
b
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ∫ a
f(x)dx representa a área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
61

11. y
f
R
0 a b x
b
AR = ∫ a
f(x)dx
3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos
b
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ∫ a
[f(x) - g(x)]dx
y
f
R
g
0 a b x
E3)Calcule a área da região limitada por:
1) y=-x2 + 4 e y=0
2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
4) y=x2 – 1 e y=3
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
6) y=x3, y=-x + 2 e y=0
7) y= x e y=x2
8) y=x e y=x3
4. RESPOSTAS
32 9 7 40 4 1 16 32
E1) 1) 9 2) E2) 1) 2) − 3) 144 4) 5) 6) − − ln 2 7) − 8) −
5 20 2 3 3 2 3 5
4 7 7 13 2 1 34
9) 15 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2 2 − 2 16) − 17) 25 18)
3 54 6 2 3 2 3
32 5 32 3 1 1
E3) 1) 2) 9 3) 4) 5) 9 6) 7) 8)
3 2 3 4 3 2
62

12. BIBLIOGRAFIA:
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2.
BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1.
FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992.
FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999.
HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio
de Janeiro: L.T.C., 2002.
MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978.
NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966.
MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. v.2.
SEELEY, Roberto T. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro : LTC, 1973. v.1.
SHENK, Al. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro : Campus, 1985. 2 v.
SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.2.
STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Pioneira, 2001. v.1. e v.2.
SWOKOWSKI, Earl William.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 1994. v.1. e v.2.
63