1) O documento é um gabarito comentado de uma prova de matemática do 3o ano do ensino médio com 4 questões. 2) A questão 1 envolve o teorema de Pitágoras e propriedades de números complexos. 3) A questão 2 trata de operações com números complexos e raízes. 4) A questão 3 calcula o valor de um número complexo. 5) A questão 4 envolve cálculos com números complexos e ângulos.

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Grau
a 0
2 Certificação de Matemática /3 ano Turma:_____
Coordenador: Clayton/ Turno: Tarde Data:_____/_____
GABARITO COMENTADO
Questão 1)
Solução
a) Pelo teorema de Pitágoras
2 2 2 𝜋
temos que |Z| = 1 + 3 ⟹ |Z|2 = 4 ⟹|Z|=2 ⟹ θ=
3
b) A4 = - 2 + 0.i ⟹ A4 = 2. cos π +i.sen π
c)Basta mostrar que A2A6 = A4A6 = A2A4 = 2 3
Questão 2) 1
a) Considere 𝑍 = 𝑎 + 𝑏. 𝑖, temos então que 𝑍 = 𝑎 − 𝑏. 𝑖. Fazendo 𝑎 + 𝑏. 𝑖 . 𝑎 − 𝑏. 𝑖 = 𝑎2 − 𝑏 2 . 𝑖 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 . −1 =
𝑎2 + 𝑏 2 = |𝑍|2
1006 1006
1+𝑖 2012 1+𝑖 2 1+2𝑖+𝑖 2 1+2𝑖+(−1) 1006 2𝑖 1006
b) 1−𝑖
= 1−𝑖
= 1−2𝑖+𝑖 2
= 1−2𝑖+(−1)
= −2𝑖
= (−1)1006 = 1
Questão 3)
Z = 2.(cos 1200 + i.sen 1200) = 2.( -1/2 + 𝑖 3/2 ) = −1 + 𝑖 3
500
3 1
Questão 4) + 𝑖 = 1500 . (𝑐𝑜𝑠300 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛300 )500 = 𝑐𝑜𝑠150000 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛150000 =
2 2
1 3
𝑐𝑜𝑠2400 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛2400 = − − 𝑖
2 2
Primeira determinação positiva
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)