1. INTEGRAIS
1. FUNÇÃO PRIMITIVA
Dada uma função f(x), chama-se função primitiva f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é,
F’(x) = f(x)
Ex.: f(x) = 2x F(x) = x2
2. INTEGRAL INDEFINIDA
2.1. CONCEITO
Chama-se integral indefinida de uma função f(x), a toda expressão do tipo F(x) + c, onde F(x) é uma
primitiva de f(x). Indica-se por f ( x) dx F ( x) c
2 x dx x
2
Ex.: c
Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação
dF( x)
Ex.: 2 x dF( x) 2 x dx dF( x) 2 x dx F ( x) x2 c
dx
2.2. PROPRIEDADES
(i) f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
(ii) k f ( x) dx k f ( x) dx
3. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3.1. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Dada f ( x) dx , não imediata, o método da substituição consiste em fazer uma mudança de variável
x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que a nova integral f ( g (t )) g ' (t ) dt seja mais fácil de calcular que a
original
x t 1 dt
Ex.: dx dt dt t ln | t | k x ln | x 1 | c
x 1 t t
3.2. INTEGRAÇÃO ENVOLVENDO TRINÔMIO QUADRADO
1
(i) dx
ax bx c
2
mx q
(ii) 2 dx
ax bx c
1
(iii) dx
ax bx c
2
mx q
(iv) dx
ax 2 bx c
1 1 1 1
Ex.: 2 dx 2 dx dx 2 dx
x 10 x 30 x 10 x 25 5 ( x 5) 5
2
5 ( x 5) 2
1 x5
= arctan c
5 5
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x 1 1 2x 2 1 2x 4 6
Ex.: dx 2 dx 2 dx
x 4x 8
2
2 x 4x 8 2 x 4x 8
1 2x 4 6 1 1 6
= 2 dx 2 dx ln | x 2 4 x 8 | 2 dx
2 x 4x 8 x 4x 8 2 2 x 4x 8
1 1
= ln | x 2 4 x 8 | 3 2 dx ln | x 2 4 x 8 3 2 dx
x 4x 4 4 2 ( x 2) 2
3 x2
= ln | x 2 4 x 8 | arctan c
2 2
3.3. INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sejam u e v duas funções diferenciais de x. Diferenciando o produto u . v, temos:
d (u v) u dv v du d (u v) u dv v du u v u dv v du
u dv u v v du
Ex.: I = x sen x dx
u sen x du cos x dx
x2
dv x dx v
2
2 2
x sen x x cos x
I= dx (não convém)
2 2
nova tentativa:
u x du dx
dv sen x dx v cos x
I = – x cos x cos x dx x cos x cos x dx x cos x sen x c
4. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS
4.1. CÁLCULO DE ÁREAS
4.1.1. CONCEITO
Consideremos a curva que representa a função y = f(x), positiva e contínua no intervalo
b
a x b. Indicamos por S a , a área limitada por essa curva, e o eixo do x entre os pontos de abscissa a e b
y = f(x)
b
Sa
a b
a
Obs.: (i) S a 0
b c b
(ii) se a c b S a S a S c
Apostila 15 2
3. 4.1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Seja y = f(x) uma função positiva e contínua no intervalo [a, b]. Então existe pelo menos um número c
b
entre a e b tal que S a f (c) (b a)
demonstração:
com efeito,
suponhamos que m e M sejam ,respectivamente, os valores mínimos e máximos da função y = f(x) no
intervalo considerado
y = f(x)
M
f(c)
m
b
Sa
a c b
b
b Sa Sb
m(b a) S a M (b a) m M c [a, b] | f (c) a
ba ba
Obs.: o teorema do valor médio nos mostra que existe um retângulo de base b – a e altura f(c) cuja área é
b
igual a S a
4.1.3. ÁREA PELO CÁLCULO INTEGRAL
y = f(x)
S
a x c x+x b
S
pelo TVM; S f (c) x f (c)
x
S dS
lim x 0 lim c x f (c) f (x) dS f ( x) dx
x dx
dS f ( x) dx Sa a f ( x) dx Sa F ( x) k
x x x
fazendo x = a; Sa F (a) k 0 = F(a) + k k = -F(a) Sa F ( x) F (a)
a x
fazendo x = b; Sa F (b) F (a)
b
logo: Sa a f ( x) dx [ F ( x)]b F (b) F (a)
b b
a
n
Obs.: a f ( x) dx lim n f (c k ) x (integral definida)
b
k 1
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4.2. CÁCULO DE VOLUME
Consideremos uma curva de equação y = f(x), onde f(x) é uma função contínua, que delimita com o eixo dos
x uma superfície plana ABCD. Fazendo-se a rotação com revolução desta superfície em torno do eixo dos x,
será gerado um corpo de revolução cujo volume queremos calcular
y = f(x)
D
C
A B
dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos, vamos inscrever n cilindros de revolução no corpo
considerado;
calculando-se o volume desses cilindros e somando-os, teremos um valor aproximado do volume procurado, ou
seja:
V1 = .f 2(x1).x1
V2 = .f 2(x2).x2
__ __ __ __ __ __
Vn = .f (xn).xn
2
fazendo n tender ao infinito, teremos o volume exato do corpo de revolução, ou seja:
n
V lim n f 2 ( x k ) x V a f 2 ( x) dx
b
k 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule as integrais abaixo:
j) sec 5 x tan 5 x dx
a) dx
dx k) sen x cos x e3 cos 2 x dx
b)
3
x2 dx
l)
dx 4 x2
c)
x dx
m)
d) (1 x) x dx 9 x2
dx
e) 6 x dx
2
n) 11 x 2
f) x.e x dx dx
o)
g) ( x3 2)17 x 2 dx 25 16 x 2
h) sen 3x dx
p)
dx
dx x 4x2 9
i)
(2 x 3) 2
Apostila 15 4
5. 2) Determine as integrais das funções abaixo:
a) 2
1
dx k) sen n x dx
x 8x 9 x3 1
5x 3 l) dx
b) 2 dx x2
x 4 x 17
12 x 2 22 x 12
1 m) 3 dx
c) dx x 6 x 2 11x 6
28 12 x x 2
x3 1
1 n) 4 dx
d) dx x 3x3 3x 2 x
x2 x 1 x2 1
e) x e x dx o) 3 dx
x 3x 2 4 x 2
f) x 2 e x dx x2 x 2
p) 2 dx
g) x 2 ln x dx ( x 2 x 3) 2
h) x 1 x dx q)
x
dx
i) arcsen x dx
4
x 1
3
j) sen 2 x dx
3) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
1 e 2.
4) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
-2 e -1.
5) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
-1 e 2.
6) Calcular a área limitada pela curva y = sen x e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 0 e 2.
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 e y = x
8) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 4x – x2 e y = x
x2 y2
9) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela elipse 1
16 9
10) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela função y x3 ,
x 0 no intervalo [0, 1]
11) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = 4 – x2 e
y = x2
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EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule as integrais abaixo:
x 2 dx (arcsen x )3
a) j) dx
1 x6 1 x2
b) (1 tan x) 2 csc 2 2 x dx
k)
dx 1 cot 2 x
c) x x
e e 1 x
l) dx
( x 1) dx 1 x
d)
3 2
x 2x 2 dx
m)
e)
ln x
dx e6 x 4
x dx
n)
f) tan 5 x sec 2 x dx 1 cos 2 x
x dx cos 2 x
g) o) dx
1 x4 sen 4 x
3
x3 x 2 (2arctan x x3 ln(1 x 6 ) 1)
h) dx p) dx
(1 x 4 ) 2 1 x6
e arctan2 x
i) dx
1 4x 2
2) Calcule as integrais abaixo:
a)
1 3 x
3
dx
j) sen2 x cos4 x dx k)
2
x k) sen 2 x cos 6 x dx
b) x3 x2 a2 dx l) sen 3x cos 5 x dx
1 m) cos x cos 2 x cos 3x dx
c) dx
3
(1 x) 1 x
2
x2
n) dx
d)
1
dx 9 x2
1 e x / 2 e x / 3 e x / 6 1
1 o) dx
e) dx x 9 4x2
1 sen x cos x
x2
1 p) dx
f) dx x2 4
3 2 cosx
sen 3 x 1 x
g) dx q) dx
2 cos x 1 x
h) sen 4 x cos 5 x dx
i) sen 3 x cos 2 x dx
3) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 e y = x2
4) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 16 – x4 e y = x4 – 5x2 + 4
5) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 – 2x e y = x2
6) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 + 1 , y = x2 / 2 e y = 5
Apostila 15 6
7. x2 y 2
8) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela elipse 1
a 2 b2
9) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela função y = sen x
no intervalo [0, 2]
10) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = x2 e y =
x
11) Um barril de vinho tem a forma de um elipsóide de revolução com as extremidades cortadas. Mais
especificamente ,ele é formado geometricamente pela revolução da
semi- elipse truncada da figura abaixo. Calcule o volume do barril.
-4 -3 3 4
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3) 15 / 4 u.a. 4
4) 15 / 4 u.a. 10) u.v.
7
5) 1 / 4 u.a.
6) 4 u.a. 64 2
11) u.v.
7) 1 / 6 u.a. 3
8) 9 / 2 u.a.
9) 64 u.v.
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
3) 1 / 12 u.a. 2
4) 736 / 15 u.a. 9) u.v.
5) 37 /12 u.a. 2
6) 3 / 2 u.a. 3
10) u.v.
7) 10,42 u.a. 10
4 2 39
8) ab u.v. 11) u.v.
3 2
Professor Emerson 7