O documento discute o conceito matemático de módulo ou valor absoluto de um número real. Explica que o módulo de um número é seu próprio valor se positivo ou zero, e seu simétrico se negativo. Apresenta propriedades e exemplos do módulo, assim como equações e inequações modulares.

1. Marcela Monteiro

2. Módulo
Considere a reta real:

3. Chamamos a distância de um ponto da reta à origem
(distância do ponto até o zero) de módulo ou valor
absoluto. Ele é denotado por |x|. Quando o número é
positivo ou zero, então seu módulo é ele próprio. Caso ele
seja negativo, então seu módulo é seu simétrico.A expressão
do módulo de x é então:
Exemplos: |12|=12; |–5|=5; |0|=0; |-1/2|=1/2

4. Propriedades do Módulo de x:
1.|x|=a, e a>0 ↔ x=a ou x= –a (um número real é sempre
igual ao seu módulo ou ao simétrico deste);
2. |x|≥ 0 para todo x real (o módulo de um número real é não
negativo);
3.|x|=0 ↔ x=0 (o único número real com módulo nulo é o
zero);
4. |x. y|=|x|.|y|,para todo x real (o produto dos módulos de
dois números reais é o módulo do produto dos dois números
reais);

5. 5.|x|2 = x2, para todo x real (o quadrado do módulo de um
número real é o quadrado do número real);
6.√ x2=|x| para todo x real (a raiz positiva do quadrado de
um real é o módulo dele.)
7. |x| ≤ a e a> 0 ↔ -a ≤ x ≤ a (dizer que o módulo de um
número real não é maior do que uma constante positiva é
dizer que o número está compreendido entre a constante e
seu simétrico);

6. 8. |x| ≥ a e a > 0↔ x ≤ -a ou x ≥ a (dizer que o
módulo de um número real não é menor do que uma
constante positiva é dizer que o número não é menor
que a constante, ou senão não é maior que o
simétrico da constante).
9. |x + y| ≤ |x|+|y|, para todo x, y reais(o módulo da
soma de dois números reais não é nunca superior à
soma dos módulos dos dois números; esta
propriedade também é conhecida como
desigualdade triangular);

7. 10. |x - y| ≥ |x|-|y| para todo x, y reais (o módulo da
diferença de dois números reais não é nunca inferior à
diferença dos módulos dos dois números; neste caso a
ordem em que aparecem os termos, importa);

8. Equações Modulares
Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece
dentro do módulo".
Exemplo:
a) |x| = 5
b) |x - 3| = 5
c) |(3x+ 2)/ 4| = 2
d) |4x-6| = x-3
e) |x|2 -3|x|+2 = 0

9. 1) (F.C.M.Sta.Casa) As funções f(x) = |x| e g(x)= x2 - 2
possuem dois pontos em comum. A soma das abscissas
destes pontos é:
a) 0 b) 3 c) -1 d) -3 e) 1
2) (ITA) Considere a equação . Com respeito à solução real
desta equação podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo fechado [1,2].
h) a solução pertence ao intervalo fechado [-1,2].
c) a solução pertence ao intervalo aberto (-1; 1).
d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalos
anteriores.
e) a equação não tem solução.

10. 3) (F.C.M.Sta.Casa)- 0 conjunto solução da
equação |3x-2| = 3x-2 , no universo IR, é:
a)IR b) IR, positivos c)[ 2/3,+ infinito[
d)] 2/3,+infinito[ e) nda
4) (PUC-MG)- A solução da equação |3x-5|= 5x-1 é:
a)-2 b) ¾ c) 1/5 d) 2 e) ¾ e -2.
5) (Covest) Indique o produto dos valores dos
reais x que satisfazem a equação
|x -7| = 3

11. Inequações Modulares
A inequação modular é uma desigualdade em
que a incógnita "aparece dentro do módulo".
1º caso: |x| > a ( com a> 0) ↔ x > a ou x< -a
2º caso: |x| < a ( com a> 0) ↔ -a< x < a

12. Exemplos:
a) |3x-1| >2
b) |x +3| ≤ 1

13. (FGV) Quantos números inteiros não negativos satisfazem a
inequação |x - 2|< 5?
a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
(U.E.CE)- Dados os conjuntos
A= { x є Z/ |x - 5|< 3} e B ={ x є Z/ |x - 4| ≥ 1} , a
soma dos elementos de AᴖB é igual a:
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e)23
(UECE) Adicionando-se os valores inteiros de x que
satisfazem simultaneamente as desigualdades
|x - 1|≤ 2 e |2x - 1|≥ 1, obtemos :
a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e)7

14. Função Modular: Uma função é modular se a
cada x associa | x | , f(x) = | x | , onde:
Obs: O domínio dessa função f são todos os
reais e a imagem [0, + ] ou simplesmente:
D(f) = IR e Im(f) = IR+

15. Gráfico
O gráfico de uma função modular pode ser
esboçado mediante a separação em sentenças, isto é, dada a
função f(x) = |x+1|, vamos transformá-la em uma função
determinada por mais de uma sentença.
f(x)= |x+1| x+1 , se x ≥ -1
-x- 1 ,se x < -1

16. Exemplo:
a) f(x) = |x| + | x-2|
b) y = | x2 -3x +2|

17. Apesar dos nossos defeitos, precisamos
enxergar que somos pérolas únicas no teatro da
vida e entender que não existem pessoas de
sucesso e pessoas fracassadas. O que existem
são pessoas que lutam pelos seus sonhos ou
desistem deles.
(Augusto Cury)