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Função e equação quadrática 12
1. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição:
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º
grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que a, b e c são números reais e 𝑎 ≠ 0.
Exemplos:
# 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 3𝑥 + 5 # 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥
# 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 1 # 𝑓(𝑥) = −4𝑥²
2. GRÁFICO
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada
parábola.
 O gráfico terá duas formas principais que serão
definidas pelo valor do coeficiente 𝑎.
 Cada uma dessas formas terá três variações que
serão definidas pelo valor do discriminante ∆ (delta).
3. ZEROS E EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do
2º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, os números reais
𝑥 tais que 𝑓(𝑥) = 0.
Para resolução das equações do 2º grau usamos a
fórmula quadrática:
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2
− 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
4. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA
As coordenadas do vértice 𝑉(𝑥 𝑉, 𝑦 𝑉) são
determinados por:
𝑥 𝑉 =
−𝑏
2𝑎
𝑒 𝑦 𝑉 =
−∆
4𝑎
EXERCÍCIO
Questão 1
Determine 𝑚 a fim de que a função 𝑓 , definida por
𝑓(𝑥) = (𝑚 − 1)𝑥² + 2𝑥 − 3, seja do 2º grau.
Questão 2
Determine 𝑚 para que a parábola representativa da
função 𝑓 , definida por 𝑦 = 𝑚𝑥2
− 2𝑥 + 1, tenha a
concavidade voltada para cima.
Questão 3
Determine as raízes (zeros) reais de cada uma das
seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 12
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥2
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 7𝑥 + 2
Questão 4 (Ucsal-BA)
Um professor dispunha de 144 doces para dividir
igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da
distribuição faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces
igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno um
doce a mais. Quantos alunos estavam presentes no dia da
distribuição?
(a) 10
(b) 23
(c) 36
(d) 48
(e) 51
Questão 5
Determine m para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 𝑚 tenha
duas raízes reais e distintas.
Questão 6
Uma bala é atirada de um
canhão (como mostra a
figura) e descreve uma
parábola de equação 𝑦 =
−3𝑥² + 60𝑥 (sendo x e y
medidos em metros).
Determine:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
Questão 7 (UCDB-MT)
Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura
h (em metros) dada em função do tempo t (em segundos)
decorrido após o lançamento pela fórmula:
𝒉(𝒕) = −𝟓𝒕² + 𝟐𝟎𝒕
Determine:
a) a altura máxima atingida pela bola;
b) o tempo em que a bola atinge a altura máxima.
Questão 8 (PUC-CAMP)
Na figura a seguir tem-se representada a curva descrita por
um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja
o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de
equação 𝑦 = −2𝑥2
+ 7, qual é à distância AB, em metros?

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  • 1. Função e equação quadrática 12 1. FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que a, b e c são números reais e 𝑎 ≠ 0. Exemplos: # 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 5 # 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 # 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 # 𝑓(𝑥) = −4𝑥² 2. GRÁFICO O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada parábola.  O gráfico terá duas formas principais que serão definidas pelo valor do coeficiente 𝑎.  Cada uma dessas formas terá três variações que serão definidas pelo valor do discriminante ∆ (delta). 3. ZEROS E EQUAÇÃO DO 2º GRAU Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, os números reais 𝑥 tais que 𝑓(𝑥) = 0. Para resolução das equações do 2º grau usamos a fórmula quadrática: 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 4. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA As coordenadas do vértice 𝑉(𝑥 𝑉, 𝑦 𝑉) são determinados por: 𝑥 𝑉 = −𝑏 2𝑎 𝑒 𝑦 𝑉 = −∆ 4𝑎 EXERCÍCIO Questão 1 Determine 𝑚 a fim de que a função 𝑓 , definida por 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 1)𝑥² + 2𝑥 − 3, seja do 2º grau. Questão 2 Determine 𝑚 para que a parábola representativa da função 𝑓 , definida por 𝑦 = 𝑚𝑥2 − 2𝑥 + 1, tenha a concavidade voltada para cima. Questão 3 Determine as raízes (zeros) reais de cada uma das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥2 d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 Questão 4 (Ucsal-BA) Um professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da distribuição faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno um doce a mais. Quantos alunos estavam presentes no dia da distribuição? (a) 10 (b) 23 (c) 36 (d) 48 (e) 51 Questão 5 Determine m para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑚 tenha duas raízes reais e distintas. Questão 6 Uma bala é atirada de um canhão (como mostra a figura) e descreve uma parábola de equação 𝑦 = −3𝑥² + 60𝑥 (sendo x e y medidos em metros). Determine: a) a altura máxima atingida pela bala; b) o alcance do disparo. Questão 7 (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (em metros) dada em função do tempo t (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula: 𝒉(𝒕) = −𝟓𝒕² + 𝟐𝟎𝒕 Determine: a) a altura máxima atingida pela bola; b) o tempo em que a bola atinge a altura máxima. Questão 8 (PUC-CAMP) Na figura a seguir tem-se representada a curva descrita por um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de equação 𝑦 = −2𝑥2 + 7, qual é à distância AB, em metros?