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FUNÇÃO EXPONENCIAL


Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a ≠ 1 , chamamos função exponencial de base
a a função f de R → R que associa a cada x real o número ax .

Podemos escrever, também:            f: R → R
                                        x → ax


Exemplos de funções exponenciais em R:

   a) f(x) = 2x                      d) f(x) = e-x
                     x
              1 
   b) f(x) =                       e) f(x) = 10x
              2
   c) f(x) = ex

Gráfico: O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:

        1) Se a > 1                                         2) Se 0 < a < 1




        função crescente                                    função decrescente

Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.


Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax , corta o eixo y no ponto (0, 1).


Equações exponenciais


Definição: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente.


Exemplos


   a) 2x = 64

   b)   ( 3 )x = 3 81
   c) 4x – 2x = 2
Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de
mesma base, usando para isso as propriedades de potência.
Pelo fato da função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e
de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja:
                                ab = ac ⇔ b = c           (a > 0 e a ≠ 1 )

Exemplos

    a) 2x = 64                 b)   ( 3 )x = 3 81                       c) 4x – 2x = 2

       2x = 26                 (3 )
                                 1 /2 x
                                            = (81)1 / 3                 22x – 2x – 2 = 0

                                 1        1
                                   x
       x=6                     3 2 = (34 ) 3                            fazendo 2x = t
                                 1    4
                                   x
       V = {6}                 3 2 = 33                                 t2 – t – 2 = 0

                                1    4
                                  x=                                    temos que t = – 1 ou t = 2
                                2    3
                                     8
                               x=                                       2x = – 1 ou 2x = 2
                                     3
                                      8
                               V={      }                                ∃ x / 2x = – 1
                                                                         /
                                      3
                                                                        2x = 21
                                                                        x=1
                                                                        V = {1}


                                             LOGARITMOS


Definição: Seja b ≠ 1 um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer,

existe um único número real y tal que x = b y . Este número y é chamado logaritmo do

número x na base b e será denotado por y = log b x .

                       Temos, então, a igualdade:          y = log b x ⇔ x = b y

Exemplos:
1) Calcule log 3 9 .

   Da igualdade acima temos:

   y = log 3 9 ⇔ 9 = 3 y ⇔ 3 2 = 3 y ⇔ y = 2 .

                                              Logo, log 3 9 = 2
2) Calcule log 4 2 .

  Da igualdade acima temos:
                                                  1
   y = log 4 2 ⇔ 2 = 4 y ⇔ 2 = 22 y ⇔ 2y = 1 ⇔ y = .
                                                  2
                                                            1
                                          Logo, log 4 2 =
                                                            2


                                     FUNÇÃO LOGARÍTMICA


Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a
função f : ( 0, + ∞ ) → R , que a cada número real positivo x associa o número real f (x ) = log b x


Gráficos
A função logaritmo de x na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:




                         b>1                                           0<b<1


Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, logb : R + → R .


Propriedades
Sejam b > 0 e b ≠ 1 , M > 0, N > 0 e r números reais, então:


a) log b (M N) = log b M + log b N                    d) log b b = 1

          M                                         e) log b 1 = 0
b) log b   = log b M − log b N
          N

c) log b (M)r = r ⋅ log b M
Mudança de base
Sejam a e b números reais positivos com a ≠ 1 e b ≠ 1 , para qualquer número real positivo M
temos a igualdade:
                                                         log a M
                                            log b M =
                                                         log a b



Exemplo

Escreva a seguinte expressão log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z com um único logaritmo.

                                                                                   xy 2
Solução: log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z = log 6 x + log 6 y 2 − log 6 z 3 = log 6
                                                                                   z3


Logaritmos especiais
Dois logaritmos possuem notações próprias que são:


•   f (x ) = log10 x , que será denotado simplesmente por f (x ) = log x e será chamado

    logaritmo decimal (na base 10).


•   f (x ) = log e x , que será denotado simplesmente por f (x ) = ln x e será chamado logaritmo

    natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função

    exponencial g( x ) = e x , cujo valor aproximado é e = 2,7182...




Relação entre função logarítmica e função exponencial:

As funções f (x ) = log b x e g( y ) = b y são funções inversas, uma da outra, pois pela própria

definição de logaritmo temos, log b x = y ⇔ x = b y e, assim,

                                   g(f ( x )) = g(log b x ) = blog b x = x e

                                                 ( )
                                     f (g( y )) = f b y = log b (b y ) = y
Exemplo

Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taxa de 10% ao ano, no sistema de
juros compostos, para resgatar R$ 1.500,00?


Solução:

Da fórmula de juros composto, PF = PV(1 + i) t , onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o
valor aplicado, i é a taxa e t é o tempo de aplicação, temos que:
                     t
               10             t 1500          5             5  log(5 / 3) 0,2219
1500 = 9001 +      ⇔ (1 + 0,1) =     ⇔ (11)t = ⇔ t = log1,1  =
                                           ,                                 =        = 5,3599
              100                900          3             3   log(1,1)   0,0414
EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO

1) Esboce o gráfico das seguintes funções:
    a) f(x) = 2x                                                                                     x
                             x
                                                                                              1 
                                                                                d) f(x) =   - 3
                     1                                                                      2
    b) f(x) =  
                     2                                                        e) f(x) = 3.2x
    c) f(x) = 2x + 2                                                                            x
                                                                                f) f(x) = 2
2) Resolva as seguintes equações exponenciais:
              x                                                           d) (2x )x + 4 = 32
   1 
a)   = 125                                                              e) 4x + 1 – 9.2x + 2 = 0
   5 
b) 125x = 0,04
                        2x + 3
                1 
c) 5   3x-1
              =    
                25 

3) Calcule o valor do logaritmo dado.
                                                                                                     1
    a) log 8 64                    b) log 4 64              c) log 64 8                  d) log 2
                                                                                                    64
    e) log 2 1                      f) log 2 2              g) log 1 8                   h) log 1 81
                                                                     2                          3
4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
    a) f (x ) = log 1 x               b) f (x ) = log 2 x          c) f (x ) = ln( x + 1)
                         4

    d) f (x ) = ln( x − 2)           e) f (x ) = log 1 (− x )       f) f (x ) = − log 1 x
                                                      2                                  3
5) Reduza a expressão dada em um único logaritmo.
                          1                                       2
        a) 4 log x +        log y                 b) 5 ln x +       ln y − 3 log 6 1
                          2                                       3
        c) 3 log b ( x ) + log b (2y ) − 1            d) log 9 x + log 3 6 − 3 log 9 z

                                          3
6) Sendo ln a = 2, ln b = 5, ln             = −0,51 , calcule.
                                          5

                                                                               3b 2
        a) ln(ab )               b) ln ab        c) ln(a 2 b3 )       d) ln(             )
                                                                                     3
                                                                               5 a
7) Resolva as seguintes equações:
              a) ln x + ln 3 = ln 9                                       c) ln x − ln( x − 1) = ln 2 + ln( 3 − x )

              b) ln (x − 2x 2 ) + ln 4 = 0                                d) ln x 2 − ln x − ln 4 = 0
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO


EXPONENCIAL


1a)                            1b)                               1c)




1d)                            1e)                               1f)




2a) V = {-3}                                  5                       2e) V = {-2; 1}
                                     2c) V = − 
          2                                 7
2b) V = −  
          3                        2d) V = {-5; 1}




LOGARTIMOS

                    1
3) a) 2; b) 3; c)     ; d) –6; e) 0; f) 1; g) –3; h) –4.
                    2
4)    a) D f = {x ∈ R / x > 0}                    b) D f = {x ∈ R / x > 0}
c) D f = {x ∈ R / x > −1}                       d) D f = {x ∈ R / x > 2}




     e) D f = {x ∈ R / x < 0}                     f) D f = {x ∈ R / x > 0}




                                                    x3 2y 
5) a) log( x 4 y ) ; b) ln( x 5 3 y 2 ) ; c) log b         ; d) log  36 x  .
                                                    b              9 3 
                                                                            
                                                                     z 

              7
6) a) 7; b)     ; c) 19; d) 6,49.
              2
                                         3
7)   a) 3; b) não existe; c) 2 ou          ; d) 4.
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Mat logaritmos 005

  • 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a ≠ 1 , chamamos função exponencial de base a a função f de R → R que associa a cada x real o número ax . Podemos escrever, também: f: R → R x → ax Exemplos de funções exponenciais em R: a) f(x) = 2x d) f(x) = e-x x 1  b) f(x) =   e) f(x) = 10x 2 c) f(x) = ex Gráfico: O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto: 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1 função crescente função decrescente Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*. Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax , corta o eixo y no ponto (0, 1). Equações exponenciais Definição: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente. Exemplos a) 2x = 64 b) ( 3 )x = 3 81 c) 4x – 2x = 2
  • 2. Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de mesma base, usando para isso as propriedades de potência. Pelo fato da função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja: ab = ac ⇔ b = c (a > 0 e a ≠ 1 ) Exemplos a) 2x = 64 b) ( 3 )x = 3 81 c) 4x – 2x = 2 2x = 26 (3 ) 1 /2 x = (81)1 / 3 22x – 2x – 2 = 0 1 1 x x=6 3 2 = (34 ) 3 fazendo 2x = t 1 4 x V = {6} 3 2 = 33 t2 – t – 2 = 0 1 4 x= temos que t = – 1 ou t = 2 2 3 8 x= 2x = – 1 ou 2x = 2 3 8 V={ } ∃ x / 2x = – 1 / 3 2x = 21 x=1 V = {1} LOGARITMOS Definição: Seja b ≠ 1 um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer, existe um único número real y tal que x = b y . Este número y é chamado logaritmo do número x na base b e será denotado por y = log b x . Temos, então, a igualdade: y = log b x ⇔ x = b y Exemplos: 1) Calcule log 3 9 . Da igualdade acima temos: y = log 3 9 ⇔ 9 = 3 y ⇔ 3 2 = 3 y ⇔ y = 2 . Logo, log 3 9 = 2
  • 3. 2) Calcule log 4 2 . Da igualdade acima temos: 1 y = log 4 2 ⇔ 2 = 4 y ⇔ 2 = 22 y ⇔ 2y = 1 ⇔ y = . 2 1 Logo, log 4 2 = 2 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a função f : ( 0, + ∞ ) → R , que a cada número real positivo x associa o número real f (x ) = log b x Gráficos A função logaritmo de x na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo: b>1 0<b<1 Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, logb : R + → R . Propriedades Sejam b > 0 e b ≠ 1 , M > 0, N > 0 e r números reais, então: a) log b (M N) = log b M + log b N d) log b b = 1  M e) log b 1 = 0 b) log b   = log b M − log b N  N c) log b (M)r = r ⋅ log b M
  • 4. Mudança de base Sejam a e b números reais positivos com a ≠ 1 e b ≠ 1 , para qualquer número real positivo M temos a igualdade: log a M log b M = log a b Exemplo Escreva a seguinte expressão log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z com um único logaritmo. xy 2 Solução: log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z = log 6 x + log 6 y 2 − log 6 z 3 = log 6 z3 Logaritmos especiais Dois logaritmos possuem notações próprias que são: • f (x ) = log10 x , que será denotado simplesmente por f (x ) = log x e será chamado logaritmo decimal (na base 10). • f (x ) = log e x , que será denotado simplesmente por f (x ) = ln x e será chamado logaritmo natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função exponencial g( x ) = e x , cujo valor aproximado é e = 2,7182... Relação entre função logarítmica e função exponencial: As funções f (x ) = log b x e g( y ) = b y são funções inversas, uma da outra, pois pela própria definição de logaritmo temos, log b x = y ⇔ x = b y e, assim, g(f ( x )) = g(log b x ) = blog b x = x e ( ) f (g( y )) = f b y = log b (b y ) = y
  • 5. Exemplo Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taxa de 10% ao ano, no sistema de juros compostos, para resgatar R$ 1.500,00? Solução: Da fórmula de juros composto, PF = PV(1 + i) t , onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o valor aplicado, i é a taxa e t é o tempo de aplicação, temos que: t  10  t 1500 5  5  log(5 / 3) 0,2219 1500 = 9001 +  ⇔ (1 + 0,1) = ⇔ (11)t = ⇔ t = log1,1  = , = = 5,3599  100  900 3  3 log(1,1) 0,0414
  • 6. EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = 2x x x 1  d) f(x) =   - 3 1  2 b) f(x) =   2 e) f(x) = 3.2x c) f(x) = 2x + 2 x f) f(x) = 2 2) Resolva as seguintes equações exponenciais: x d) (2x )x + 4 = 32 1  a)   = 125 e) 4x + 1 – 9.2x + 2 = 0 5  b) 125x = 0,04 2x + 3  1  c) 5 3x-1 =   25  3) Calcule o valor do logaritmo dado. 1 a) log 8 64 b) log 4 64 c) log 64 8 d) log 2 64 e) log 2 1 f) log 2 2 g) log 1 8 h) log 1 81 2 3 4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada. a) f (x ) = log 1 x b) f (x ) = log 2 x c) f (x ) = ln( x + 1) 4 d) f (x ) = ln( x − 2) e) f (x ) = log 1 (− x ) f) f (x ) = − log 1 x 2 3 5) Reduza a expressão dada em um único logaritmo. 1 2 a) 4 log x + log y b) 5 ln x + ln y − 3 log 6 1 2 3 c) 3 log b ( x ) + log b (2y ) − 1 d) log 9 x + log 3 6 − 3 log 9 z 3 6) Sendo ln a = 2, ln b = 5, ln = −0,51 , calcule. 5 3b 2 a) ln(ab ) b) ln ab c) ln(a 2 b3 ) d) ln( ) 3 5 a 7) Resolva as seguintes equações: a) ln x + ln 3 = ln 9 c) ln x − ln( x − 1) = ln 2 + ln( 3 − x ) b) ln (x − 2x 2 ) + ln 4 = 0 d) ln x 2 − ln x − ln 4 = 0
  • 7. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO EXPONENCIAL 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) V = {-3}  5 2e) V = {-2; 1} 2c) V = −   2  7 2b) V = −   3 2d) V = {-5; 1} LOGARTIMOS 1 3) a) 2; b) 3; c) ; d) –6; e) 0; f) 1; g) –3; h) –4. 2 4) a) D f = {x ∈ R / x > 0} b) D f = {x ∈ R / x > 0}
  • 8. c) D f = {x ∈ R / x > −1} d) D f = {x ∈ R / x > 2} e) D f = {x ∈ R / x < 0} f) D f = {x ∈ R / x > 0}  x3 2y  5) a) log( x 4 y ) ; b) ln( x 5 3 y 2 ) ; c) log b   ; d) log  36 x  .  b  9 3       z  7 6) a) 7; b) ; c) 19; d) 6,49. 2 3 7) a) 3; b) não existe; c) 2 ou ; d) 4. 2