O documento fornece informações sobre polinômios, produtos notáveis e frações algébricas. Inclui definições de polinômios e monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão, e exemplos de exercícios para treinar esses conceitos. Também apresenta uma seção sobre produtos notáveis, que são produtos algébricos comuns utilizados no cálculo.
1. O documento discute expressões algébricas, definindo-as como expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números. As letras representam valores numéricos desconhecidos.
2. Um monômio é uma expressão algébrica representada por um número, incógnita ou produto destes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis.
3. Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com monômios, seguindo regras específicas
O documento contém uma série de exercícios sobre monômios, polinômios e redução de termos semelhantes. Os exercícios incluem classificar expressões como monômios, binômios ou trinômios; determinar o grau de monômios e polinômios; e reduzir expressões algebraicas combinando termos semelhantes.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
1. O documento discute expressões algébricas, definindo-as como expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números. As letras representam valores numéricos desconhecidos.
2. Um monômio é uma expressão algébrica representada por um número, incógnita ou produto destes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis.
3. Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com monômios, seguindo regras específicas
O documento contém uma série de exercícios sobre monômios, polinômios e redução de termos semelhantes. Os exercícios incluem classificar expressões como monômios, binômios ou trinômios; determinar o grau de monômios e polinômios; e reduzir expressões algebraicas combinando termos semelhantes.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
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O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento fornece instruções sobre como fatorar polinômios, incluindo determinar elementos comuns, agrupar termos, diferenciar entre quadrados e trinômios quadrados perfeitos. Exemplos ilustram como decompor expressões algébricas em produtos de binômios.
O documento discute os conceitos de monômios, polinômios e fatoração. Apresenta exemplos de como somar, subtrair, multiplicar e dividir monômios, além de produtos notáveis e fatoração de polinômios como diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
O documento descreve as funções logarítmicas e suas propriedades. Ele define a função logarítmica, mostra seus gráficos para bases diferentes e explica que a função é crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Também diz que a função logarítmica é bijetora e tem como inversa a função exponencial.
Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logar...wilkerfilipel
1) O documento apresenta conceitos sobre logaritmos e funções logarítmicas, incluindo sua história, definição, propriedades e aplicações.
2) É explicado que os logaritmos transformam operações de multiplicação em soma e divisão em subtração, facilitando cálculos.
3) As propriedades dos logaritmos incluem a soma de logaritmos de produtos e a diferença de logaritmos de quocientes.
1) Uma lista de exercícios de matemática com 7 questões sobre funções afins e não afins, incluindo classificar funções e calcular valores de funções.
2) Os alunos devem verificar quais funções são afins e encontrar os valores de a e b, classificar funções como afim, linear, etc, calcular valores de funções afins para diferentes entradas e determinar valores reais de x.
3) Há também indicações sobre quais exercícios dos alunos devem resolver em determinadas páginas do livro texto.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
1) A lista de exercícios contém 26 problemas de álgebra e geometria envolvendo equações do segundo grau, raízes quadradas, propriedades de números e figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem calcular expressões numéricas, resolver equações do segundo grau, determinar discriminantes, calcular áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) Muitos exercícios pedem para calcular valores numéricos dados algumas propriedades ou relações entre esses valores.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
Prova de matemática 9 ano prof thiago versao 1 8 copiasabbeg
O documento é uma avaliação de recuperação de matemática do 1o bimestre para o ensino fundamental e médio com 10 questões de múltipla escolha sobre assuntos como potenciação, simplificação de expressões, radiciação e equações de 1o e 2o grau.
1) O documento discute funções exponenciais, inequações exponenciais e suas resoluções.
2) Apresenta a definição de logaritmos, propriedades e casos particulares de logaritmos.
3) Explica como resolver equações logarítmicas e encontrar o domínio de funções logarítmicas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de funções exponenciais com 3 partes: 1) resolução de equações exponenciais, 2) resolução de sistemas de equações exponenciais e 3) resolução de inequações exponenciais. São propostos exercícios para serem resolvidos envolvendo operações com expoentes e logaritmos.
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricasDalila Cristina Reis
O documento explica o que são expressões algébricas e como calcular o valor numérico delas. Expressões algébricas contêm letras e podem representar situações-problema. Para calcular o valor numérico, substitui-se as letras por números e realiza-se as operações respeitando a ordem de precedência.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
O documento apresenta os conceitos básicos de logaritmos, incluindo sua definição, condições de existência, propriedades operatórias e aplicações em equações logarítmicas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações, incluindo o quadrado e cubo da soma e diferença de termos, e técnicas de fatoração de expressões algébricas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento fornece instruções sobre como fatorar polinômios, incluindo determinar elementos comuns, agrupar termos, diferenciar entre quadrados e trinômios quadrados perfeitos. Exemplos ilustram como decompor expressões algébricas em produtos de binômios.
O documento discute os conceitos de monômios, polinômios e fatoração. Apresenta exemplos de como somar, subtrair, multiplicar e dividir monômios, além de produtos notáveis e fatoração de polinômios como diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
O documento descreve as funções logarítmicas e suas propriedades. Ele define a função logarítmica, mostra seus gráficos para bases diferentes e explica que a função é crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Também diz que a função logarítmica é bijetora e tem como inversa a função exponencial.
Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logar...wilkerfilipel
1) O documento apresenta conceitos sobre logaritmos e funções logarítmicas, incluindo sua história, definição, propriedades e aplicações.
2) É explicado que os logaritmos transformam operações de multiplicação em soma e divisão em subtração, facilitando cálculos.
3) As propriedades dos logaritmos incluem a soma de logaritmos de produtos e a diferença de logaritmos de quocientes.
1) Uma lista de exercícios de matemática com 7 questões sobre funções afins e não afins, incluindo classificar funções e calcular valores de funções.
2) Os alunos devem verificar quais funções são afins e encontrar os valores de a e b, classificar funções como afim, linear, etc, calcular valores de funções afins para diferentes entradas e determinar valores reais de x.
3) Há também indicações sobre quais exercícios dos alunos devem resolver em determinadas páginas do livro texto.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
1) A lista de exercícios contém 26 problemas de álgebra e geometria envolvendo equações do segundo grau, raízes quadradas, propriedades de números e figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem calcular expressões numéricas, resolver equações do segundo grau, determinar discriminantes, calcular áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) Muitos exercícios pedem para calcular valores numéricos dados algumas propriedades ou relações entre esses valores.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
Prova de matemática 9 ano prof thiago versao 1 8 copiasabbeg
O documento é uma avaliação de recuperação de matemática do 1o bimestre para o ensino fundamental e médio com 10 questões de múltipla escolha sobre assuntos como potenciação, simplificação de expressões, radiciação e equações de 1o e 2o grau.
1) O documento discute funções exponenciais, inequações exponenciais e suas resoluções.
2) Apresenta a definição de logaritmos, propriedades e casos particulares de logaritmos.
3) Explica como resolver equações logarítmicas e encontrar o domínio de funções logarítmicas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de funções exponenciais com 3 partes: 1) resolução de equações exponenciais, 2) resolução de sistemas de equações exponenciais e 3) resolução de inequações exponenciais. São propostos exercícios para serem resolvidos envolvendo operações com expoentes e logaritmos.
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricasDalila Cristina Reis
O documento explica o que são expressões algébricas e como calcular o valor numérico delas. Expressões algébricas contêm letras e podem representar situações-problema. Para calcular o valor numérico, substitui-se as letras por números e realiza-se as operações respeitando a ordem de precedência.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
O documento apresenta os conceitos básicos de logaritmos, incluindo sua definição, condições de existência, propriedades operatórias e aplicações em equações logarítmicas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações, incluindo o quadrado e cubo da soma e diferença de termos, e técnicas de fatoração de expressões algébricas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
As informações essenciais do documento são:
1) O documento apresenta operações algébricas como expressões algébricas, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios.
2) Apresenta também produtos notáveis, fatoração de expressões algébricas e equações do 1o e 2o grau.
3) Fornece exemplos resolvidos de vários tipos de exercícios envolvendo estas operações e equações.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
1) O documento discute como calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de polinômios, que envolve fatorar cada polinômio individualmente e multiplicar todos os fatores sem repetição.
2) São apresentados 4 exemplos de cálculo de mmc entre polinômios.
3) A fatoração de polinômios é explicada, incluindo fator comum, agrupamento, diferença entre quadrados, trinômio perfeito e soma-produto.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. Para simplificar, dividimos o numerador e denominador pelo máximo divisor comum. Deve-se excluir valores que anulam o denominador. Adição e subtração seguem as mesmas regras, considerando o mmc dos denominadores quando diferentes.
O documento fornece definições e conceitos básicos sobre polinômios, incluindo:
1) A definição formal de polinômio e o conceito de grau.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação de polinômios.
3) Os métodos para divisão de polinômios, incluindo o método da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
1) O documento apresenta os conceitos de função exponencial e logarítmica, incluindo suas definições, gráficos e propriedades.
2) É dado um exemplo numérico de cálculo de logaritmo e outro de aplicação de logaritmo na resolução de um problema de juros compostos.
3) São fornecidos exercícios sobre esboço de gráficos, resolução de equações exponenciais e cálculo de logaritmos para fixação dos conceitos apresentados.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
Mat em funcoes trigonometricas sol vol1 cap9 parte 2trigono_metrico
1) A função f(x) é cíclica e decresce quando o seno de x cresce, atingindo seu valor mínimo de 1 quando o seno é 1 e seu valor máximo de 3 quando o seno é -1.
2) O triângulo OCB é semelhante ao triângulo OAT, logo a tangente de x é igual à razão entre o seno de x e o cosseno de x.
3) A soma do quadrado do seno de x com o quadrado do cosseno de x é igual a 1,44, logo o produto entre
O documento apresenta uma introdução sobre polinômios, definindo-os como expressões algébricas na forma anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, onde an, ..., a0 são coeficientes e n é o grau do polinômio. Em seguida, aborda operações com polinômios como adição, subtração e multiplicação, além de métodos de divisão como o da chave.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
(1) O documento apresenta três limites e pede para determiná-los. (2) Pede para verificar se uma função é contínua ou descontínua em um ponto. (3) Pede para diferenciar três funções. (4) Pede para calcular três integrais definidas.
O documento discute técnicas de fatoração de polinômios, incluindo fatoração por fator comum, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto. É fornecido exemplos detalhados de como aplicar cada técnica.
Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Fundamental – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Polinomios 7 serie_matematica
1. Colégio Trilíngüe Inovação
Rua Mato Grosso 420-E
Fone/Fax: (49) 3322.4422
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POLINÔMIOS,
PRODUTOS NOTÁVEIS
E
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Colégio Trilíngue Inovação 7ª série
1
2. POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O Módulo é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a
relembrar itens como:
- “Colocar em evidência”;
- “Produtos Notáveis”;
- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.
I. POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.
Exemplos:
a) 5m
b) p 2
c) 2 xy
d) my
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.
Exemplo:
2mx 2 = 2 mx 2
{
Parte Literal
Coeficiente
Numérico
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1: O monômio 4 ay é um polinômio de um termo só.
Obs. 2: 2 x + 4 y é um polinômio de 2 termos: 2 x e 4 y .
Obs. 3: 2 x − ab + 4 é um polinômio de 3 termos: 2 x , − ab e 4.
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
2.1. Adição Algébrica de Polinômios
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
Colégio Trilíngue Inovação 7ª série
2
3. a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:
Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
x +1 x2
( )
(x + 1) + x 2 + 3x − 4x 2 + 3 = ( )
3x − 4x 2 + 3 termos semelhantes
x + 1 + x + 3x − 4 x 2 + 3 =
2
termos semelhantes
1 3 + x4 43 + 1 + 3 =
+3 1− 4
2 2
x2x 2x {
4 x − 3x 2 + 4 o resultado é um polinômio.
b) (x 2
− 4 xy − 4 ) − (3x 2
+ xy + 2 ) + (xy) = Primeiro eliminaremos os
parênteses tomando cuidado
x 2 − 4 xy − 4 − 3x 2 − xy − 2 + xy quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.
x 2 − 4 xy − 4 − 3x 2 − xy − 2 + xy =
1 24 − 4 xy − xy + 3 − 4 − 2 =
− x2
2
x4 33 xy
144 44 1 3
2 2
− 2 x 2 − 4 xy − 6
EXERCÍCIOS
1) Reduza os termos semelhantes:
a) 4a 2 −10a 2 − 6a 2 − 4a 2 =
b) − a − a + a =
2 3 5
2) Escreva os polinômios na forma fatorada:
a) 4x − 5x 3 + 6x 2 =
4
b) 8a 2 b 2 − 4ab + 12a 3 b 3 =
c) 15a 3b 2x + 3a 2b3 x 4 =
d) 5b + 5c + ab + ac =
e) am + bm + cm + an + bn + cn =
f) x 2 + 2 xy + y 2 =
g) a 2 + 6a + 9 =
h) m 2 − 12m + 36 =
i) 4 x 2 − 16 y 2 =
j) m 2 n 2 −1 =
k) (5x y + x y ) + (− 3xy
2 2 2 2
) ( )
− x 2 y 2 + 2 x 2 y − − 5x 2 y 2 + 6 x 2 y =
l) 5 1 1 1 1 1
− b + a + c − c + a − b + − a + b − c =
4 3 2 8 6 6
m) (2,5x2 − x − 3,2) + (− 1,4x + 0,7x2 + 1,8) − (3,1x2 − 1,5x − 0,3) =
Colégio Trilíngue Inovação 7ª série
3
4. 2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos
semelhantes.
Exemplo:
a) (x + 2 y ) ⋅ (x 2 − x ) = x ⋅ x 2 − x ⋅ x + 2y ⋅ x 2 − 2y ⋅ x
= x 3 − x 2 + 2 yx 2 − 2 yx e fica assim.
b) (2a + b) ⋅ (3a − 2b ) = 2a ⋅ 3a − 2a ⋅ 2b + b ⋅ 3a − b ⋅ 2b
= 2⋅3⋅a ⋅a − 2 ⋅ 2⋅ a ⋅ b + 3⋅ b ⋅a − 2⋅ b ⋅ b
= 6a 2 − 4ab + 3ab − 2b2
144 44
2 3
termos semelhante
s
= 6a 2 − ab − 2b 2
c) (2p − 1) ⋅ (p 2 − 3p + 2) =
Conserve a base e
some os expoentes.
68
7
2p ⋅ p 2 − 2p ⋅ 3p + 2p ⋅ 2 − 1 ⋅ p 2 + 1 ⋅ 3p − 1 ⋅ 2 =
2p 3 − 6p 2 + 4p − p 2 + 3p − 2 =
2p 3 − 6p 2 − p 2 + 4p + 3p − 2 =
1 24
4 3 123
2p 3 − 7 p 2 + 7 p − 2
d) (xy − 4x y)⋅ (3x y − y) =
2 2
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4
5. xy ⋅ 3x 2 y − xy ⋅ y − 4x 2 y ⋅ 3x 2 y + 4x 2 y ⋅ y =
3 ⋅ x ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y − xy 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y + 4x 2 y 2 =
3x 3 y 2 − xy2 − 12x 4 y 2 + 4 x 2 y 2 não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do
polinômio pelo monômio.
Exemplo:
( )
a) 10 x 4 − 20x 3 + 15x 2 ÷ 5x 3 =
10 x 4 − 20x 3 + 15x 2 10x 4 20x 3 15x 2
= = − +
5x 3 5x 3 5x 3 5x 3
10 4 − 3 20 3− 3 15 2 − 3
= ⋅x − ⋅x + ⋅x
5 5 5
= 2 x1 − 4 x 0 + 3x −1
= 2 x − 4 ⋅ 1 + 3x −1
1
= 2x − 4 ⋅ 1 + 3 ⋅
x1
3
= 2x − 4 +
x
ou
10x 4 − 20x 3 + 15x 2 10x 4 20x 3 15x 2
= − +
5x 3 5x 3 5x 3 5x 3
/
2x 4 4x 3 3x 2
= 3 − /
+
x x3 x3
/ /
2x3 ⋅ x 3⋅ x2
= − 4 ⋅1 + 2
x3 /
x/ ⋅x
3
= 2x − 4 +
x
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5
6. b) (28x y 4 3
)
− 7 x 3y4 ÷ 7 x 2 y2 =
Como 7 x 2 y 2 é mínimo múltiplo da
fração, podemos separar em duas frações.
28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 28 x 4 y 3 7x3y4
= = −
7x 2 y2 7x 2 y2 7x 2 y2
= 4 ⋅ x 4 − 2 ⋅ y3− 2 − 1 ⋅ x 3− 2 ⋅ y 4 − 2
= 4 x 2 y − 1 ⋅ x1 ⋅ y 2
= 4 x 2 y − xy 2
ou
28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 28 x 4 y 3 7x 3y4
= −
7x 2 y2 7x 2 y2 7 x 2 y2
/ / / /
4 x 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ y1
/ / 1⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y2 ⋅ y2
/ /
= / /
− / /
x 2 ⋅ y2
/ / 1.x 2 ⋅ y 2
/ /
= 4 x 2 y − 1xy2 =
= 4 x 2 y − xy 2
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
EXERCÍCIOS
3) Calcule:
g) (10a bc + 25ab c − 50abc ) =
a) 5 x( x − 3)( x + 4) = 2 2 2
b) 3ab(2a + b)(a − b) = (5abc )
c) (a − 1)(a 2 − 1)(a + 1) = 1 2 2 2 2 4 2
a b − a b + ab
(35a − 21a ) =
4 2
h) 2 5 7 =
(7a )
d) 2 2ab
2a + 3
( x3 y − xy3 ) i) =
e) = 2
(− xy )
5a 2 + 1
(42 y 7
− 24 y5 − 72 y3
=
) j)
( )
f) a
− 6 y2
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
a) (x )(
+ a a − x 2 − 2ax 2 =
2
) c) (a + b − c )(a − b ) − (a − b − c )(b − c ) =
b) (x − y + a )(x − 2 y ) − a(x + y ) = d) (x + y )(x − y )(3x − 2 y ) − (x + y )(3x 2 + 2 y 2 ) =
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6
7. [
e) (a + x )(2a − x )(x + a ) − (2a 2 + x 2 ) = ] h) 2 x. 1 x − 1 =
f) − 3x.(2 x 2 − 3x − 1) = 5 4 2
( )
g) x 2 + 5 xy + y 2 .3xy = i) 3a 3
4a. + =
4 2
II. PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
1) (x + y ) ⋅ (x − y ) = x 2 − y2
2) (x ± y )2 = x 2 ± 2xy + y 2
3) (x ± y ) 3 = x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais
decorá-los, observemos:
a) (x − y ) ⋅ (x + y ) = x 2 + xy − yx − y 2
/ / = x2 − y2
b) (x + y )2 = ( x + y ) ⋅ (x + y ) = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2
c) (x − y )2 = (x − y ) ⋅ (x − y ) = x 2 − xy − xy + y 2 = x 2 − 2 xy + y 2
d) (x + y )3 = (x + y ) ⋅ (x + y )2 = (x + y ) ⋅ (x 2 + 2 xy + y 2 ) =
= x 3 + 2 x 2 y + xy 2 + yx 2 + 2 xy 2 + y 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
Como utilizaremos os produtos notáveis?
Exemplos para simplificações:
3x + 3 y 3(x + y ) 3
a) → =
x −y
2 2 produto notável
(x + y ) ⋅ (x − y ) (x − y )
b) (x + 4)2 = x 2 + 2.x.4 + 42 = x 2 + 8x + 16
Obs.: (x + 4 )2 jamais será igual a x 2 + 16 , basta lembrarmos que:
(x + 4 )2 = (x + 4 ) ⋅ (x + 4 ) = x 2 + x .4 + 4. x + 16 = x 2 + 8 x + 16
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26
8. c) (a − 2)3 jamais será a 3 − 8 , pois:
(a − 2)3 = (a − 2) ⋅ (a − 2)2 = (a − 2) ⋅ (a 2 − 4a + 4) =
a 3 − 4a 2 + 4a − 2a 2 + 8a − 8
{ { = a 3 − 6a 2 + 12a − 8
EXERCÍCIOS
5) Desenvolva os produtos notáveis:
a) (a + b )2 h) (2a + 3)(2a − 3)
b) (2a + 3) 2
i) (4 x + 3 y )(4 x − 3 y )
(3 x + 4 y )2
2
c) j) y − 1
d) (a − b )2 2
e) (2a − 3)2 k) (d − 2h )2
f) (3 x − 4 y )2 l) ( 5+ 3 )( 5− 3 )
g) (a + b)(a − b) m) ( )(
2 −1 2 +1 )
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
Observemos que b é o fator comum,
portanto, deve ser colocado em evidência
a) ab − b 2 com o menor expoente.
ab
ab ÷ b = =a
Então ab − b 2
= b (a − b) b
b2
b2 ÷ b = =b
b
Ao efetuarmos o produto b ⋅ (b − a ) , voltaremos para a expressão inicial ab − b 2 .
b) 2ay + 4by
2y é o fator comum;
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;
Portanto 2y deve ser colocado em evidência.
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7
9. 2ay
2ay ÷ 2 y = =a
Assim: 2ay + 4by = 2y (a + 2b ) 2y
4by
4by ÷ 2 y = = 2b
2y
c) 4bx 3 − 16bx 2 − 8b 2 x
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus
menores expoentes)
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
4bx 3 − 16bx 2 − 8b 2 x = (
2bx 2 x 2 − 8x − 4b ) 4bx 3 ÷ 2bx =
4bx 3
2bx
= 2x 2
− 16bx 2
− 16bx 2 ÷ 2bx = = −8x
2bx
− 8b 2 x
− 8b 2 x ÷ 2bx = = −4 b
2bx
(
d) 2m 2 y 2 − m3 y 5 = m 2 y 2 2 − my3 )
2m 2 y 2 ÷ m 2 y 2 = 2
m3 y5
m3 y5 ÷ m 2 y 2 = = my 3
2 2
m y
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum
sempre com o menor expoente.
EXERCÍCIO
7) Simplifique as expressões:
a) (a + b ) =
2
a +b
e) =
a+b a + 2ab + b 2
2
b) (a + b + c ) ⋅ x =
a −1
f) =
(a + b + c )x a 2 +1
c) (3a + 3b ) =
x2 − 9
g) =
5a + 5b x 2 + 6x + 9
5ab + 5a 9a 2 − 3ab
d) = h) =
15b + 15 6ab − 2b 2
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9
10. IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.
2 4t 2m
Exemplos: , ,
x y2 t
As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são
exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns
exemplos:
1. Adição e Subtração
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
3 1
a) + m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.
2x 4y
xy → todas as variáveis que
4xy aparecem nos denominadores
4xy ÷ 4 y = =x
3 1 6y + x 4y comporão o m.m.c. com seus
+ = maiores expoentes.
2x 4y 4 xy x ⋅1 = x
4xy
4 xy ÷ 2x = = 2y
2x
2y ⋅ 3 = 6y
x2 2 y
b) + 2
− 2
y 3xy 8x
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;
M.m.c. entre y, 3xy 2 e 8x 2 = 24 x 2 y 2 x 2y 2 são as variáveis com
seus maiores expoentes.
24x 2 y 2
24x 2 y 2 ÷ y = = 24x 2 y
y
24x 2 y 2 • x 2 = 24x 4 y 2
Colégio Trilíngue Inovação 24x 2 y 2
7ª série
24x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = = 8x
9 3xy 2
8x • 2 = 16x
11. x2 2 y 24 x 4 y 2 + 16 x − 3y3
+ − 2 =
y 3xy 2 8x 24 x 2 y 2
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?
m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em
todos os termos) para colocar em evidência.
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.
m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.
Qual é o mmc de 2,4 e 6 ?
Observe:
múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)
múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)
múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).
No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra
prática de a decomposição simultânea em fatores primos..
2, 4,6 2
1, 2,3 2
1, 1, 3 3
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12. 1, 1, 1 2.2.3 = 12
b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60. 10,15, 20 2
5, 15,10 2
5, 15, 5 3
5, 5, 5 5
1, 1, 1 2.2.3.5 = 60
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que
escrevê-los na forma fatorada.
3 x
c) −
3x − x 2
9 − 3x
Fatorando os denominadores:
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10
12. 3x − x 2 = x (3 − x )
9 − 3x = 3(3 − x )
M.m.c. dos denominadores fatorados x (3 − x ) e 3(3 − x ) será: 3x (3 − x )
3x (3 − x )
3 x 3 x 9 − x2 3x (3 − x ) ÷ x (3 − x ) = =3
Assim − = − = x (3 − x )
3x − x 2
9 − 3x x (3 − x ) 3(3 − x ) 3x (3 − x ) e temos que 3 • 3 = 9
m.m.c.
produto de todos os 3x (3 − x )
Denominadores 3x (3 − x ) ÷ 3(3 − x ) = =x
fatorados termos que aparecem 3(3 − x )
nos denominadores
e temos que x • x = x 2
Mas ainda podemos melhorar o resultado:
9 − x2
produto →
notável
(3 − x )(3 + x ) = 3 + x
3x (3 − x ) 3x (3 − x ) 3x
a a−y 1
d) + 2 +
a−y a −y 2
a+y
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:
a 2 − y 2 = (a − y )(a + y ) → produto notável
Assim teremos:
a a−y 1 a 1 1
+ + = + + =
a − y (a − y )(a + y ) a + y a−y a+y a+y
a (a + y ) + a − y + a − y a 2 + ay + 2a − 2 y m.m.c dos
=
(a + y )(a − y ) (a + y )(a − y ) denominadores será
(a + y )(a − y )
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas,
ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por
numerador e denominador por denominador.
Exemplos:
Colégio Trilíngue Inovação 7ª série
11
13. 2 2y 1 4y 4
a) ⋅ ⋅ 2 = =
x 3 y 3xy2 3xy
4
4 3 12 12
b) x = ⋅ 2 = 1+ 2 = 3
2
x y x x y x ⋅y x y
3
EXERCÍCIOS
8. Calcule:
a) 3a + 2a − a = p) 2 x ⋅ 5 =
y y y 3 y
x − 3 x − 2 x +1 a +b a−b
b) − + = q) ⋅ =
x+ y x+ y x+ y x y
a 2a 3a 3a 2a
c) + − = r) ⋅ =
b 3b 2b a+3 a+2
a 2a 3a a − 5 2a
d) + − = s) ⋅ =
3x 2 x 4 x 3 a−5
2 3 3x 2 2a 2 y 3
e)
2
− = t) ⋅ ⋅ =
x 4x 8a y x
3 a+2 m+ n a −b
f) + = u) ⋅ =
a a−2 2( a − b ) m − n
3x + 1 x + 1
g) − = v) m − n ⋅ 3 =
2 2
2x − 2 x −1
6 m−n
1 1
h) + =
w) x + x ⋅ 3 x + 6 =
2
a+b a−b
b + 2a 2 2a x + 1 x2 − 4
i) − =
ab + a b + 1 a 2 −1 2x
x−2 4 x − 12
x) ⋅ =
j) +
2
+ x a +1
x + 2 x − 2 x2 − 4
a 2b 2 b a
k) + 2 +
a −b a −b 2
a+b y) 3 =
a2
l) a + b − a + b + a + b
2 2
x
b a ab
m) x − x 2 − 12 + 2 =
2
a 2 − x2
x−2 x −4 x+2
z) xy
=
n) y − 1 + y + 1 − 4 y = a−x
y +1 y −1 y 2 −1
x
2
o) 3 − x + x =
3+ x
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12
14. 9. Calcule:
x+5 − 3a
−3
f)
=
a) 2x = m
x − 25
2
3 2
3x g) 2a =
2
b
−1
4x2 − 9
h) 5 x =
2
b) a2 = 3
4y
4 x 2 + 12 x + 9 −3
a i) 2a2 =
5b
0
j) 2ab =
a−2 c
c) ab 2 = 2
k) 3a b =
2
(a − 2)2
a 2b 4c
x− y
2
l) − a =
d) 2 = a −b
x2 − y 2 −2
4 m) 2 x
=
3x − 4
2
a−b
n)
2
e) 5a =
=
7b a +b
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13
15. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão:
a) 16 a 2 b) 19a
−
30
2ª Questão:
(
a) x 2 4x 2 - 5x + 6 ) d) (5 + a)(b + c) g) (a + 3) 2 j) (mn - 1).(mn + 1)
b) 4ab(2ab - 1 + 3a b )
2 2 e) (m + n)(a + b + c) h) (m - 6) 2 k) x 2 y + 5x 2 y 2 - 3xy 2
c) 3a b x (5a + bx )
2 2 3 f) (x + y) 2 i) (2x - 4y).(2x + 4y) l) (3a - 8b + 12c )
24
m) 2
0,1x - 0,9x - 1,1
3ª Questão:
a) 5x3 + 5x 2 - 60x d) 5a 2 - 3 g) 2a + 5b - 10c j) 1
5a +
a
b) 6a 3 b - 3a 2 b 2 - 3ab 3 e) - x2 + y2 h) (35ab - 28a + 40b )
140
c) a - 2a + 1
4 2 f) - 7y + 4y + 12y
5 3 i) 3
a+
2
4ª Questão:
a) a 2 - x 4 - 2ax 2 c) a 2 + bc - ab - c 2 e) - ax 2 + a 2 x - 2x 3 g) 3x 3 y + 15x 2 y 2 + 3xy 3
b) x 2 - 3xy + 2y 2 - 3ay d) - 5xy 2 - 5x 2 y f) - 6x 3 + 9x 2 + 3x h) x2 x
-
10 5
i) 3a 2 + 6a
5ª Questão:
a) a 2 + 2ab + b 2 d) a 2 - 2ab + b 2 g) a2 -b2 j) y 2 - y +1 4
b) 4a 2 + 12a + 9 e) 4a 2 - 12a + 9 h) 4a 2 - 9 k) d 2 - 4hd + 4h 2
c) 9x 2 + 24xy + 16y 2 f) 9x 2 - 24xy + 16y 2 i) 16x 2 - 9y 2 l) 2
m) 1
6ª Questão:
100
7ª Questão:
a) a + b c) 3 e) 1 g) x-3
5 (a + b) x+3
b) d d) a f) 1 h) 3a
3 (a + 1) 2b
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15
16. 8ª Questão:
a) 4a h) 2a o) 9 v) m+n
y (a 2
-b 2
) (3 + x ) 2
b) x i) b p) 10x w) 3x
(x + y ) a(b + 1) 3y (x - 2)
c) a j) x 2 + 2x - 4 q) a 2 - b2 x) 2a-2
6b 2
x -4 xy
d) 7a k) (a + b ) r) 6a 2 y) x
12x (a - b ) a 2 + 5a + 6 3a
e) (8 - 3x ) l) 2a s) 2a z) (a + x )
2
4x b 3 y
f) a 2 + 5a − 6 m) 4 t) 3xy 2
a (a − 2 ) (x - 2) 2
g) 1 n) (2y - 2 ) u) m+n
2 ( y + 1) 2(m - n )
9ª Questão:
a) 3 d) 2 g) 4a 6 k) 9a 4 b 2
2 x − 10 x+ y
b4 16c 2
b) 2x − 3 e) 25a 2 h) 4 y3 l) a2
a(2 x + 3)
49b 2 5x2 a 2 − 2ab + b 2
c) a f) m3 i) 125b6/8 a3 m) 9 x 2 − 24 x + 16
b(a − 2 ) −
27a 3 4x2
j) 1 n) a 2 − 2ab + b 2
a 2 + 2ab + b 2
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16
17. Bibliografia
ANDRINI, Álvaro. Matemática. São Paulo: Brasil, 1984.
CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora
Movimento, 1981.
CILLI, Ariodante M. e outros. Matemática Funcional. São Paulo: Brasil,1983.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil. São Paulo: Ática, 1987.
SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.
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