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AULA 02
   MATEMÁTICA II
  Professor: João Alessandro


CÁLCULO DE LIMITES
Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).

No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0).
Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo - Limites
                         Regras adicionais
• 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0
  quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o
  polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x
  - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.

       x 2 − 4 22 − 4 0
   lim        =          = = Indeterminação
   x →2 x − 2    2 −2 0
       x2 − 4        ( x − 2)( x + 2)
   lim        = lim                   = lim( x + 2) = 2 + 2 = 4
   x →2 x − 2   x →2       x −2         x →2
Regras adicionais
• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
  substituição direta de x, calcula-se os limites laterais.
  O limite existirá somente se os limites laterais forem
  iguais.
               1       1   1
         lim       =      = =
        x →2 x − 2 2 − 2 0
                 1                              1
           lim       = −∞    e           lim       = +∞.
               x −2                           x −2
        x →2 −                         x →2 +

Portanto o limite não existe.
Pois pela condição de existência de limite, o limite pela
direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Regras adicionais – Limites com e/no Infinito
• 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função
  racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou
  -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os
  exemplos abaixo.
  1o exemplo (função racional):
      2x3 + x 2 − 5x + 3       2x3
 lim                     = lim     = lim 2 x 2 = 2.(∞) 2 = ∞
 x →∞       x −2           x →∞ x    x →∞

  2o exemplo (função polinomial):
  lim (5 x 2 − 2 x +1) = lim (5 x 2 ) = 5.(∞) 2 = ∞
 x →∞                   x →∞
EXEMPLO
Expressões indeterminadas:
 Considere o seguinte limite:
                          x − 273
                      lim
                      x →3 x − 3
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

                    x − 27 3 − 27 0
                       3            3
                lim        =     =
                x →3 x − 3   3−3   0
EXEMPLO
Expressões indeterminadas
 Mas vejamos o gráfico desta função:


         x     f(x)
         2,7   24,39

         2,8   25,24

         2,9   26,11
                       L
         3,0    27
         3,1   27,91

         3,2   28,84

         3,3   29,79
• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3,
quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima
de 27. Portanto:

                     x − 27
                        3
                 lim        = 27
                 x →3 x − 3

• Mas como se resolve a equação algébrica de modo
a chegar a este valor?
• Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!
Neste exemplo,     x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9)
                    3                 2


Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
             ( x − 3)( x + 3 x + 9)
                            2
    f ( x) =                        = x + 3x + 9
                                       2

                     ( x − 3)
Basta então calcular:
            lim( x + 3x + 9) = 27
                        2
            x →3
FATORAÇÃO
• Diferença de quadrados
        a − b = (a + b).(a − b)
          2     2

                              2                  2      2    2
        (a + b).(a − b) = a − a.b + b.a − b = a − b

Exemplos:
 a ) x 2 − 16 = ( x − 4).( x + 4)
 b ) 9y 2 − a 2 = (3y + a ).(3y − a )
 c ) 16x 4 − 81 =
 ( 4x 2 − 9).( 4x 2 + 9) = ( 2x − 3).( 2x + 3).( 4x 2 + 9)
FATORAÇÃO
• Trinômio quadrado perfeito
 (a + b) 2 = (a + b).(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
 (a − b) 2 = (a − b).(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

   Exemplos:         2 + 4a + 4 = (a + 2) 2
                   a
                                                     2
                  16y 6 − 24y 3 + 9 =  4y 3 − 3 
                                                
                                                

 Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a
           diferença de quadrados a2 - b2.
FATORAÇÃO
• Soma e Diferença de Cubos
              a + b = (a + b).(a − ab + b )
               3   3                2        2


              a − b = (a − b).(a + ab + b )
               3   3                2        2



  Exemplos:
 x + 8 = ( x + 2).( x − x.2 = 2 ) = ( x + 2).( x − 2 x + 4)
  3                    2        2                2


64a 3 − 125 = (4a)3 − 53 = (4a − 5).(16a 2 = 20a + 25)
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites
     (caso esses limites existam):
        lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x)
        x →a                     x →a         x →a

 Exemplo:
                lim ( x 2 + 3x + 5) =
               x →2
                lim x 2 + lim 3x + lim 5 =
               x →2         x →2      x →2
                lim x 2 + 3 lim x + lim 5
               x →2          x →2     x →2
               = 2 2 + 3.2 + 5 = 15
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos
limites (caso esses limites existam):
     lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x)
     x→a                        x→a          x→a

 Exemplo:
     lim(2 x 2 − x) = lim 2 x 2 − lim x
     x →2                x →2         x →2

     2 lim x − lim x = 2.2 − 2 = 6
              2                   2
       x →2       x →2
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
      lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x)
      x →a                   x →a          x →a

Exemplo:
           2
   lim( x ) = lim x.x = lim x. lim x = 3.3 = 9
   x →3        x →3        x →3     x →3
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
     (caso esses limites existam):
                  f ( x)  lim f ( x )
             lim           = x →a
             x →a g ( x ) 
                          lim g ( x)
                              x →a

   Exemplo:
                    lim ( x − 5)
      x −5      x →3             3−5    − 2 -1
 lim         =                 =      =    =
x →3 x 3 − 7 
                lim ( x 3 − 7 ) 27 − 7 20 10
                 x →3
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Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos

  • 1. AULA 02 MATEMÁTICA II Professor: João Alessandro CÁLCULO DE LIMITES
  • 2. Cálculo - Limites Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x). No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0). Veja os casos nos slides seguintes.
  • 3. Cálculo - Limites Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a. x 2 − 4 22 − 4 0 lim = = = Indeterminação x →2 x − 2 2 −2 0 x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) lim = lim = lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2 x −2 x →2
  • 4. Regras adicionais • 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais. 1 1 1 lim = = = x →2 x − 2 2 − 2 0 1 1 lim = −∞ e lim = +∞. x −2 x −2 x →2 − x →2 + Portanto o limite não existe. Pois pela condição de existência de limite, o limite pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
  • 5. Regras adicionais – Limites com e/no Infinito • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo. 1o exemplo (função racional): 2x3 + x 2 − 5x + 3 2x3 lim = lim = lim 2 x 2 = 2.(∞) 2 = ∞ x →∞ x −2 x →∞ x x →∞ 2o exemplo (função polinomial): lim (5 x 2 − 2 x +1) = lim (5 x 2 ) = 5.(∞) 2 = ∞ x →∞ x →∞
  • 6. EXEMPLO Expressões indeterminadas: Considere o seguinte limite: x − 273 lim x →3 x − 3 Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado: x − 27 3 − 27 0 3 3 lim = = x →3 x − 3 3−3 0
  • 7. EXEMPLO Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função: x f(x) 2,7 24,39 2,8 25,24 2,9 26,11 L 3,0 27 3,1 27,91 3,2 28,84 3,3 29,79
  • 8. • Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto: x − 27 3 lim = 27 x →3 x − 3 • Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?
  • 9. • Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!! Neste exemplo, x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 3 2 Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo: ( x − 3)( x + 3 x + 9) 2 f ( x) = = x + 3x + 9 2 ( x − 3) Basta então calcular: lim( x + 3x + 9) = 27 2 x →3
  • 10. FATORAÇÃO • Diferença de quadrados a − b = (a + b).(a − b) 2 2 2 2 2 2 (a + b).(a − b) = a − a.b + b.a − b = a − b Exemplos: a ) x 2 − 16 = ( x − 4).( x + 4) b ) 9y 2 − a 2 = (3y + a ).(3y − a ) c ) 16x 4 − 81 = ( 4x 2 − 9).( 4x 2 + 9) = ( 2x − 3).( 2x + 3).( 4x 2 + 9)
  • 11. FATORAÇÃO • Trinômio quadrado perfeito (a + b) 2 = (a + b).(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = (a − b).(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 Exemplos: 2 + 4a + 4 = (a + 2) 2 a 2 16y 6 − 24y 3 + 9 =  4y 3 − 3      Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença de quadrados a2 - b2.
  • 12. FATORAÇÃO • Soma e Diferença de Cubos a + b = (a + b).(a − ab + b ) 3 3 2 2 a − b = (a − b).(a + ab + b ) 3 3 2 2 Exemplos: x + 8 = ( x + 2).( x − x.2 = 2 ) = ( x + 2).( x − 2 x + 4) 3 2 2 2 64a 3 − 125 = (4a)3 − 53 = (4a − 5).(16a 2 = 20a + 25)
  • 13. PROPRIEDADES DE LIMITES • P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses limites existam): lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x →a x →a x →a Exemplo: lim ( x 2 + 3x + 5) = x →2 lim x 2 + lim 3x + lim 5 = x →2 x →2 x →2 lim x 2 + 3 lim x + lim 5 x →2 x →2 x →2 = 2 2 + 3.2 + 5 = 15
  • 14. PROPRIEDADES DE LIMITES • P2- O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam): lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) x→a x→a x→a Exemplo: lim(2 x 2 − x) = lim 2 x 2 − lim x x →2 x →2 x →2 2 lim x − lim x = 2.2 − 2 = 6 2 2 x →2 x →2
  • 15. PROPRIEDADES DE LIMITES • P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam): lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) x →a x →a x →a Exemplo: 2 lim( x ) = lim x.x = lim x. lim x = 3.3 = 9 x →3 x →3 x →3 x →3
  • 16. PROPRIEDADES DE LIMITES • P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso esses limites existam):  f ( x)  lim f ( x ) lim  = x →a x →a g ( x )    lim g ( x) x →a Exemplo: lim ( x − 5)  x −5  x →3 3−5 − 2 -1 lim  = = = = x →3 x 3 − 7    lim ( x 3 − 7 ) 27 − 7 20 10 x →3