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                                     MATEMÁTICA – FUNÇÕES

1) A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

2) Objetivo:

O objetivo desse tema é estudar a função do segundo grau ou função quadrática, seus gráficos
e condições de existência da referida função.

3) Introdução:

A função do segundo grau, ou função quadrática, ou ainda função polinomial do segundo grau,
como também é chamada, é toda função de R em R dada pela seguinte lei:

f ( x ) = ax 2 + bx + c

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Alguns exemplos de função do segundo grau:

f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 5 , a = 2, b = 3 e c = 5
f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , a = 3, b = -4 e c = 1
f ( x ) = − x 2 + 3 x − 5 , a = -1, b = 3 e c = -5

O gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola, onde sua concavidade pode estar
voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor do coeficiente “a”. Se este coeficiente
for positivo, a concavidade estará voltada para cima, caso o coeficiente “a” seja negativo, a
concavidade estará voltada para baixo.

Raízes ou zeros da função:

Raízes ou zeros da função são os valores da variável independente x que tornam a função
igual a zero. Para determiná-las devemos igualar a função a zero, assim devemos fazer
ax 2 + bx + c = 0 . Então utilizamos a fórmula de Bhaskara para o cálculo das raízes.
A fórmula de Bhaskara tem a seguinte expressão:

     −b± ∆
x=
       2a
Onde:

∆ = b 2 − 4ac
Uma observação importante é saber quantas raízes reais a função de segundo grau possuirá.
Esta análise é feita analisando o valor do discriminante delta, a saber:

Se ∆ > 0, há duas raízes reais e distintas.
Se ∆ = 0, há somente uma raiz real (Na verdade há duas, mas elas são iguais)
Se ∆ < 0, não há raiz real.
2

Coordenadas do Vértice:

As coordenadas do vértice da parábola são calculadas com as seguintes expressões:

Abscissa do Vértice:

        −b
Xv =
        2a
Ordenada do Vértice:

       −∆
Yv =
       4a
Para construirmos o gráfico de uma função do segundo grau, precisamos apenas desses
quatro valores, ou seja, as duas raízes e as coordenadas do vértice da parábola.
Como exemplo, vejamos como ficaria o gráfico da função do segundo grau definida por:

 f (x ) = x 2 + x :

As raízes da função são calculadas igualando a função à zero:

x2 + x = 0
O discriminante delta fica:

∆ = (1) − 4(1)(0) = 1
         2



As raízes ficam:

     −1± 1
x=
       2
Com isso as raízes são:

x1 = 0 e x2 = -1

As coordenadas do vértice ficam:

Xv = -1/2 e Yv = -1/4

Assim o gráfico da função tem a seguinte forma:
3

4) Material utilizado:

Para este tópico realizaremos uma experiência de lançamento vertical de um corpo, que
descreve uma trajetória parabólica, que marca sua posição com o passar do tempo. Para tanto
será utilizado o sensor de movimento KDS-1042, da VOLTCOM, que faz parte do kit da
Science Cube, a interface para ser ligada ao computador, e, um objeto que possa ser solto em
queda livre, e que tenha seu movimento detectado pelo sensor, como uma bolinha de ping
pong, ou uma tampa de recipiente plástico (recomendado), por exemplo.

5) Procedimento:

O procedimento para o experimento é bastante simples.

5.1) Conecte o a interface com o PC pela porta USB
5.2) Conecte o sensor de movimento à interface
5.3) Ligue o PC e a interface
5.4) Posicione o objeto a ser solto em queda livre acima do sensor, de modo que este possa
detectar seu movimento.
5.5) Dispare o botão de iniciar o experimento
5.6) Lance o objeto de uma altura superior a 40 cm para que seu movimento comece a ser
detectado pelo sensor de movimento.

Recomenda-se que o objeto a ser lançado esteja bem acima do sensor de posição, e que o
mesmo, seja lançado o mais verticalmente possível. Nem sempre isso é conseguido de
maneira satisfatória, pois é muito difícil lançá-lo numa trajetória exatamente retilínea, por isso, a
recomendação anterior de se utilizar uma tampa de recipiente plástico com um raio razoável.

Assim que o objeto comece a queda, sua posição ao longo da queda com o tempo pode ser
visualizada no gráfico do Excel.

6) Resultados:

O gráfico do experimento, que foi detectado pelo sensor de posição (ou movimento) e
transferido para o Excel, pode ser visualizado a seguir.




7-) Conclusões/Comentários:

Nota-se pelo gráfico que o movimento do objeto é ascendente até o instante de
aproximadamente 4 segundos, atingindo uma altura de 1,6 metros. Após esse instante o objeto
começa a cair em queda livre.
Outro fato a ser observado é que o gráfico não é muito parecido com uma parábola, pois é
muito difícil lançar o referido objeto, de forma que ele fique posicionado exatamente acima do
sensor de posição, o mesmo normalmente sai da área de abrangência do sensor, com isso há
                                                                                        2
um corte na captação do movimento, que deveria obedecer à função S = S0 + V0T + aT /2, por
isso o gráfico não tem a forma exata de uma parábola.
4


8) Exercícios resolvidos:

8.1) Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas:
                                                     x 2 − 10 x + 3
a) f ( x ) = x − 3 x + 10           b) f ( x ) = 3 x − 9 c) f ( x ) =
                    2                                  2

                                                            5
8.2) Determine m a fim de que a função f, definida por f (x ) = (m − 1)x + 2 x − 3 , seja do
                                                                        2

segundo grau.
8.3) Determine os valores de p para que a função real f, definida por
        (               )
f ( x ) = p 2 − 5 p + 4 x 2 − 4 x + 5 , seja do segundo grau.

8.4) Calcule as raízes das seguintes funções:
            2
a) f(x) = x -5x + 6
            2
b) f(x) = 4x -4x +1

8.5) Esboce os gráficos das funções do exercício anterior.
                                                                      2
8.6) Esboce o gráfico da função de segundo grau definida por f(x) = -x +x +2
8.7) Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo (como mostra a figura) e descreve uma
parábola de acordo com a função y = −3 x + 60 x (onde x e y são medidos em metros).
                                                                2

Vamos determinar:
a) A altura máxima atingida pela bola.
b) O alcance do disparo.




8.8) Determine o valor m na função real f ( x ) = 3 x − 2 x + m para que o valor mínimo seja
                                                                                 2

5/3.
8.9) Estude o sinal da função definida por f ( x ) = x − 8 x + 15 .
                                                                             2


8.10) A parábola de equação y = − x + bx + c passa pelo ponto (1;0) e seu vértice é o ponto
                                                   2

de coordenadas (3;v). Determine v.

9) Exercícios propostos:

9.1) Determine m para que a parábola representativa da função f ( x ) = (2 + m )x + 5 x + 3
                                                                                                                  2

tenha concavidade voltada para baixo.

9.2)   Determine        os              valores    de               m       para     que     a       função   definida   por
        (                   )
f ( x ) = m − 8m + 15 x − 5 x + 8 tenha concavidade voltada para baixo.
                2               2



9.3)    Determine       os               valores           de           m     para     que       a      função    quadrática
                                    (                  )
f ( x ) = x + (3m + 2 )x + m + m + 2 tenha um zero real duplo.
            2                            2
5

9.4) Mostre que para qualquer valor real não nulo do parâmetro m a função quadrática
f ( x ) = mx 2 − 2mx + 3m não apresenta raízes reais.

9.5) Determine o parâmetro m na função quadrática f ( x ) = x + mx + m − m − 12 , de
                                                                         2
                                                                                     (   2
                                                                                             )
modo que a mesma possua uma raiz nula e outra positiva.

9.6) Construa o gráfico de cada uma das funções quadráticas dadas a seguir:

a-) f ( x ) = x − 4   b-) f ( x ) = 2 x − 5 x + 2   c-) f ( x ) = − x + x −
             2                       2                               2           2
                                                                                 9
9.7) Faça o estudo dos sinais das seguintes funções quadráticas:

a) f ( x ) = x − 4 x + 4   b-) f ( x ) = 3 x − 4 x + 2   c-) f (x ) = − x +
                                                                                 1    1
             2                             2                                 2
                                                                                   x+
                                                                                 2    2

9.8) Determine o valor do parâmetro m da função real f (x ) = mx + (m − 1)x + (m + 2 ) para
                                                                         2

que o valor máximo (ordenada do vértice) seja igual a 2.

9.9) O gráfico da função quadrática definida por f ( x ) = x − mx + (m − 1) , onde m é real,
                                                                 2

possui um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, qual o valor que a função
associa a x = 2?

9.10) Na figura a seguir, a parábola de vértice V é o gráfico da função quadrática
                             ____     _____
f ( x ) = x 2 + bx + c . Sendo OA = 2 OV e a abscissa de V diferente de zero, quais os valores
de b e c ?




10) Solução dos Exercícios resolvidos e respostas dos propostos:

10.1) Solução dos exercícios resolvidos:

Solução 8.1)Para se identificar os coeficientes a, b, c das funções quadráticas devemos
compará-las com a forma genérica das funções de segundo grau f(x) = ax2 +bx +c. Assim
temos:

a) a = 1, b = -3, c = 10
b) a = 3, b = 0, c = -9
c) Aqui devemos distribuir o denominador da função entre os numeradores, assim temos:

         x 2 10 x 3
f (x ) =    −    +
         5    5 10
Com isso temos:
6


a = 1/5, b = -2, c = 3/10

Solução 8.2)Para que uma função do tipo f ( x ) = ax + bx + c seja do segundo grau, seu
                                                      2

coeficiente a deve ser diferente de zero. Com isso vem:

m −1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1

Solução 8.3)Como no exercício anterior, temos:

p2 − 5p + 4 ≠ 0

Nesse caso devemos resolver a inequação do segundo grau e analisar o sinal da função, na
qual o coeficiente a da função original está sendo determinado.
Relembrando que para resolver uma equação do segundo grau, devemos lançar mão da
fórmula de Báskara, assim temos:

∆ = b 2 − 4ac ⇒ Α = (− 5) − 4(1)(4 ) ⇒ ∆ = 9
                            2


     −b± ∆      − (− 5) ± 9      5±3
p=         ⇒ p=             ⇒ p=     ⇒ p1 = 4, p 2 = 1
       2a             2           2
As raízes da equação são 1 e 4. Analisando o sinal da função que está determinando o
coeficiente a da função original, temos:




Com isso notamos que, para a função original ser do segundo grau, os valores de p devem ser
tais que:

p < 1, ou p>4


Solução 8.4)

a) Utilizando a formula de Bhaskara temos:

∆ = (− 5) − 4 * (1) * (6) ⇒ ∆ = 1
          2



As raízes ficam:

     − (− 5) ± 1
x=
           2
X1 = 2 e X2 = 3

b) Com o mesmo procedimento do item anterior temos:

∆ = (− 4 ) − 4 * (4 ) * (1) ⇒ ∆ = 0
          2



Assim as raízes são:
7



     − (− 4 ) ± 0     4±0
x=                ⇒x=
         2*4           8
Com isso temos as raízes:

X1 = 1/2 e X2 = 1/2

Solução 8.5)

a) As raízes já estão calculadas no exercício anterior, falta saber quais são as coordenadas do
vértice. Como o discriminante delta é 1, temos:


Xv = -(-5)/2 → Xv = 5/2      Yv = -1/4

Aqui, temos também o ponto em que o gráfico cruza o eixo das ordenadas, que é o termo
independente da função, nesse caso o 6. Dessa forma o gráfico da função fica da seguinte
maneira:




b) Como no caso anterior, as raízes já foram calculadas no exercício anterior. As coordenadas
do vértice ficam:

Xv = -(-4)/2*4 → Xv = ½      Y v = -0/4*4 → Yv = 0.

O termo independente da função é 1, então é nesse ponto que o gráfico cruza o eixo das
ordenadas. Assim, o gráfico da função fica:
8




Solução 8.6)

Como o coeficiente a é negativo, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. Assim
temos:

∆ = (1) − 4 * (− 1) * (2 ) ⇒ ∆ = 9
       2



As raízes serão:

      −1± 9      −1± 3
X =         ⇒X =       → X 1 = −1             e    X2 = 2
        −2        −2
As coordenadas do vértice são:

       −1        1                   −9        9
Xv =      ⇒ Xv =              Yv =      ⇒ Yv =
       −2        2                   −4        4
Como o termo independente da função é 2, é nesse ponto que o gráfico corta o eixo das
ordenadas. Dessa forma o gráfico da função tem o seguinte esboço:




Solução 8.7)

a) Como a = -3 < 0, a parábola possui concavidade voltada para baixo e portanto terá um ponto
de máximo cujas coordenadas do vértice são dadas por:
9



∆ = (60 ) − 4 * (− 3) * (0 ) ⇒ ∆ = 3600
         2



       − 60                                      − 3600
Xv =        ⇒ X v = 10                      Yv          ⇒ Yv = 300
       −6                                         − 12
Assim, a altura máxima atingida pela bala é de 300 metros.

b) A bola toca o solo quando y = 0. Assim, basta calcular as raízes da função. Com isso temos:

       − 60 ± 3600      − 60 ± 60
X =                ⇒X =
            −6             −6
Dessa forma temos os valores X1 = 0 ou X2 = 20

O resultado X = 0 não convém, pois representa o ponto inicial da trajetória do projétil. Então, o
alcance do disparo é de 20 metros.

Solução 8.8) O valor mínimo da função é representado pela coordenada da ordenada do
vértice da parábola.

∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = (− 2 ) − 4 * 3 * m ⇒ ∆ = 4 − 12m
                                2



       −∆   5 − (4 − 12m )  5 12m − 4   36m − 12
Yv =       ⇒ =             ⇒ =        ⇒          =5
       4*a  3     4*3       3   12        12

3m − 1 = 5 ⇒ 3m = 6 ⇒ m = 2
Então para que a função tenha seu mínimo valor em 5/3, o termo independente m deve ser
igual a 2.

Solução 8.9) Estudar o sinal de uma função é saber onde a função torna-se positiva, negativa e
nula. Assim, apenas sabendo suas raízes podemos fazer o esboço de seu gráfico para
estudarmos seu sinal. Calculando as raízes da função dada temos:

∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = (− 8) − 4 * 1 * 15 ⇒ ∆ = 64 − 60 ⇒ ∆ = 4
                                2




       −b± ∆      8± 4      8±2
X =          ⇒X =      ⇒X =                            X1 = 3 ,      X2 = 5
        2*a         2        2
A parábola possui concavidade para cima, pois o coeficiente a = 1 > 0.

Assim, temos o esboço do gráfico sem nos preocuparmos com os valores máximos e mínimos:




Notamos então que a função torna-se positiva para valores de x menores do que 3 e maiores
do que 5, torna-se negativa para valores de x compreendidos entre 3 e 5, e torna-se nula
exatamente nos valores 3 e 5, pois essas são as raízes da função.
10

Em linguagem matemática:

f(x) > 0 ↔ (x < 3 ou x > 5)
f(x) < 0 ↔ (3 < x < 5)
f(x) = 0 ↔ x = 3 ou x = 5

Solução 8.10)

Se a parábola passa pelo ponto (1;0), temos que:

− 2(1) + b + c = 0 ⇒ −2 + b + c = 0 ⇒ b + c = 2 (1)
       2



A abscissa do vértice é 3, então:

       −b   −b
Xv =      ⇒    = 3 ⇒ b = 12 (2)
       2a   −4
Substituindo em (1):

b + c = 2 ⇒ 12 + c = 2 ⇒ c = −10
O discriminante delta fica:

∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = 12 2 − 4 * (− 2 ) * (− 10 ) ⇒ ∆ = 64

A ordenada do vértice (v) é, então:

     −∆        − 64        64
v=       ⇒v=           ⇒v=    ⇒v=8
     4*a     − 4(− 2 )     8

Então v = 8.

10.2) Respostas dos propostos:

Solução 9.1) m < -2
Solução 9.2) 3 < m < 5
Solução 9.3) -2 ou 2/5
Solução 9.4) Mostrar que ∆ < 0 para qualquer valor de m
Solução 9.5) -3
Solução 9.6) a)                           b)                               c)




Solução 9.7)
a) f(x) = 0, se x = 2, f(x) > 0, se x ≠ 2, não existe x tal que f(x) < 0
b) f(x) > para qualquer x real
c) f(x) > 0 ↔ (-1/2 > x > 1)
   f(x) < 0 ↔ ( x < -1/2 ou x > 1)
   f(x) = 0 ↔ ( x = -1/2 ou x = 1)
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  • 1. 1 MATEMÁTICA – FUNÇÕES 1) A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 2) Objetivo: O objetivo desse tema é estudar a função do segundo grau ou função quadrática, seus gráficos e condições de existência da referida função. 3) Introdução: A função do segundo grau, ou função quadrática, ou ainda função polinomial do segundo grau, como também é chamada, é toda função de R em R dada pela seguinte lei: f ( x ) = ax 2 + bx + c Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Alguns exemplos de função do segundo grau: f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 5 , a = 2, b = 3 e c = 5 f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , a = 3, b = -4 e c = 1 f ( x ) = − x 2 + 3 x − 5 , a = -1, b = 3 e c = -5 O gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola, onde sua concavidade pode estar voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor do coeficiente “a”. Se este coeficiente for positivo, a concavidade estará voltada para cima, caso o coeficiente “a” seja negativo, a concavidade estará voltada para baixo. Raízes ou zeros da função: Raízes ou zeros da função são os valores da variável independente x que tornam a função igual a zero. Para determiná-las devemos igualar a função a zero, assim devemos fazer ax 2 + bx + c = 0 . Então utilizamos a fórmula de Bhaskara para o cálculo das raízes. A fórmula de Bhaskara tem a seguinte expressão: −b± ∆ x= 2a Onde: ∆ = b 2 − 4ac Uma observação importante é saber quantas raízes reais a função de segundo grau possuirá. Esta análise é feita analisando o valor do discriminante delta, a saber: Se ∆ > 0, há duas raízes reais e distintas. Se ∆ = 0, há somente uma raiz real (Na verdade há duas, mas elas são iguais) Se ∆ < 0, não há raiz real.
  • 2. 2 Coordenadas do Vértice: As coordenadas do vértice da parábola são calculadas com as seguintes expressões: Abscissa do Vértice: −b Xv = 2a Ordenada do Vértice: −∆ Yv = 4a Para construirmos o gráfico de uma função do segundo grau, precisamos apenas desses quatro valores, ou seja, as duas raízes e as coordenadas do vértice da parábola. Como exemplo, vejamos como ficaria o gráfico da função do segundo grau definida por: f (x ) = x 2 + x : As raízes da função são calculadas igualando a função à zero: x2 + x = 0 O discriminante delta fica: ∆ = (1) − 4(1)(0) = 1 2 As raízes ficam: −1± 1 x= 2 Com isso as raízes são: x1 = 0 e x2 = -1 As coordenadas do vértice ficam: Xv = -1/2 e Yv = -1/4 Assim o gráfico da função tem a seguinte forma:
  • 3. 3 4) Material utilizado: Para este tópico realizaremos uma experiência de lançamento vertical de um corpo, que descreve uma trajetória parabólica, que marca sua posição com o passar do tempo. Para tanto será utilizado o sensor de movimento KDS-1042, da VOLTCOM, que faz parte do kit da Science Cube, a interface para ser ligada ao computador, e, um objeto que possa ser solto em queda livre, e que tenha seu movimento detectado pelo sensor, como uma bolinha de ping pong, ou uma tampa de recipiente plástico (recomendado), por exemplo. 5) Procedimento: O procedimento para o experimento é bastante simples. 5.1) Conecte o a interface com o PC pela porta USB 5.2) Conecte o sensor de movimento à interface 5.3) Ligue o PC e a interface 5.4) Posicione o objeto a ser solto em queda livre acima do sensor, de modo que este possa detectar seu movimento. 5.5) Dispare o botão de iniciar o experimento 5.6) Lance o objeto de uma altura superior a 40 cm para que seu movimento comece a ser detectado pelo sensor de movimento. Recomenda-se que o objeto a ser lançado esteja bem acima do sensor de posição, e que o mesmo, seja lançado o mais verticalmente possível. Nem sempre isso é conseguido de maneira satisfatória, pois é muito difícil lançá-lo numa trajetória exatamente retilínea, por isso, a recomendação anterior de se utilizar uma tampa de recipiente plástico com um raio razoável. Assim que o objeto comece a queda, sua posição ao longo da queda com o tempo pode ser visualizada no gráfico do Excel. 6) Resultados: O gráfico do experimento, que foi detectado pelo sensor de posição (ou movimento) e transferido para o Excel, pode ser visualizado a seguir. 7-) Conclusões/Comentários: Nota-se pelo gráfico que o movimento do objeto é ascendente até o instante de aproximadamente 4 segundos, atingindo uma altura de 1,6 metros. Após esse instante o objeto começa a cair em queda livre. Outro fato a ser observado é que o gráfico não é muito parecido com uma parábola, pois é muito difícil lançar o referido objeto, de forma que ele fique posicionado exatamente acima do sensor de posição, o mesmo normalmente sai da área de abrangência do sensor, com isso há 2 um corte na captação do movimento, que deveria obedecer à função S = S0 + V0T + aT /2, por isso o gráfico não tem a forma exata de uma parábola.
  • 4. 4 8) Exercícios resolvidos: 8.1) Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas: x 2 − 10 x + 3 a) f ( x ) = x − 3 x + 10 b) f ( x ) = 3 x − 9 c) f ( x ) = 2 2 5 8.2) Determine m a fim de que a função f, definida por f (x ) = (m − 1)x + 2 x − 3 , seja do 2 segundo grau. 8.3) Determine os valores de p para que a função real f, definida por ( ) f ( x ) = p 2 − 5 p + 4 x 2 − 4 x + 5 , seja do segundo grau. 8.4) Calcule as raízes das seguintes funções: 2 a) f(x) = x -5x + 6 2 b) f(x) = 4x -4x +1 8.5) Esboce os gráficos das funções do exercício anterior. 2 8.6) Esboce o gráfico da função de segundo grau definida por f(x) = -x +x +2 8.7) Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo (como mostra a figura) e descreve uma parábola de acordo com a função y = −3 x + 60 x (onde x e y são medidos em metros). 2 Vamos determinar: a) A altura máxima atingida pela bola. b) O alcance do disparo. 8.8) Determine o valor m na função real f ( x ) = 3 x − 2 x + m para que o valor mínimo seja 2 5/3. 8.9) Estude o sinal da função definida por f ( x ) = x − 8 x + 15 . 2 8.10) A parábola de equação y = − x + bx + c passa pelo ponto (1;0) e seu vértice é o ponto 2 de coordenadas (3;v). Determine v. 9) Exercícios propostos: 9.1) Determine m para que a parábola representativa da função f ( x ) = (2 + m )x + 5 x + 3 2 tenha concavidade voltada para baixo. 9.2) Determine os valores de m para que a função definida por ( ) f ( x ) = m − 8m + 15 x − 5 x + 8 tenha concavidade voltada para baixo. 2 2 9.3) Determine os valores de m para que a função quadrática ( ) f ( x ) = x + (3m + 2 )x + m + m + 2 tenha um zero real duplo. 2 2
  • 5. 5 9.4) Mostre que para qualquer valor real não nulo do parâmetro m a função quadrática f ( x ) = mx 2 − 2mx + 3m não apresenta raízes reais. 9.5) Determine o parâmetro m na função quadrática f ( x ) = x + mx + m − m − 12 , de 2 ( 2 ) modo que a mesma possua uma raiz nula e outra positiva. 9.6) Construa o gráfico de cada uma das funções quadráticas dadas a seguir: a-) f ( x ) = x − 4 b-) f ( x ) = 2 x − 5 x + 2 c-) f ( x ) = − x + x − 2 2 2 2 9 9.7) Faça o estudo dos sinais das seguintes funções quadráticas: a) f ( x ) = x − 4 x + 4 b-) f ( x ) = 3 x − 4 x + 2 c-) f (x ) = − x + 1 1 2 2 2 x+ 2 2 9.8) Determine o valor do parâmetro m da função real f (x ) = mx + (m − 1)x + (m + 2 ) para 2 que o valor máximo (ordenada do vértice) seja igual a 2. 9.9) O gráfico da função quadrática definida por f ( x ) = x − mx + (m − 1) , onde m é real, 2 possui um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, qual o valor que a função associa a x = 2? 9.10) Na figura a seguir, a parábola de vértice V é o gráfico da função quadrática ____ _____ f ( x ) = x 2 + bx + c . Sendo OA = 2 OV e a abscissa de V diferente de zero, quais os valores de b e c ? 10) Solução dos Exercícios resolvidos e respostas dos propostos: 10.1) Solução dos exercícios resolvidos: Solução 8.1)Para se identificar os coeficientes a, b, c das funções quadráticas devemos compará-las com a forma genérica das funções de segundo grau f(x) = ax2 +bx +c. Assim temos: a) a = 1, b = -3, c = 10 b) a = 3, b = 0, c = -9 c) Aqui devemos distribuir o denominador da função entre os numeradores, assim temos: x 2 10 x 3 f (x ) = − + 5 5 10 Com isso temos:
  • 6. 6 a = 1/5, b = -2, c = 3/10 Solução 8.2)Para que uma função do tipo f ( x ) = ax + bx + c seja do segundo grau, seu 2 coeficiente a deve ser diferente de zero. Com isso vem: m −1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1 Solução 8.3)Como no exercício anterior, temos: p2 − 5p + 4 ≠ 0 Nesse caso devemos resolver a inequação do segundo grau e analisar o sinal da função, na qual o coeficiente a da função original está sendo determinado. Relembrando que para resolver uma equação do segundo grau, devemos lançar mão da fórmula de Báskara, assim temos: ∆ = b 2 − 4ac ⇒ Α = (− 5) − 4(1)(4 ) ⇒ ∆ = 9 2 −b± ∆ − (− 5) ± 9 5±3 p= ⇒ p= ⇒ p= ⇒ p1 = 4, p 2 = 1 2a 2 2 As raízes da equação são 1 e 4. Analisando o sinal da função que está determinando o coeficiente a da função original, temos: Com isso notamos que, para a função original ser do segundo grau, os valores de p devem ser tais que: p < 1, ou p>4 Solução 8.4) a) Utilizando a formula de Bhaskara temos: ∆ = (− 5) − 4 * (1) * (6) ⇒ ∆ = 1 2 As raízes ficam: − (− 5) ± 1 x= 2 X1 = 2 e X2 = 3 b) Com o mesmo procedimento do item anterior temos: ∆ = (− 4 ) − 4 * (4 ) * (1) ⇒ ∆ = 0 2 Assim as raízes são:
  • 7. 7 − (− 4 ) ± 0 4±0 x= ⇒x= 2*4 8 Com isso temos as raízes: X1 = 1/2 e X2 = 1/2 Solução 8.5) a) As raízes já estão calculadas no exercício anterior, falta saber quais são as coordenadas do vértice. Como o discriminante delta é 1, temos: Xv = -(-5)/2 → Xv = 5/2 Yv = -1/4 Aqui, temos também o ponto em que o gráfico cruza o eixo das ordenadas, que é o termo independente da função, nesse caso o 6. Dessa forma o gráfico da função fica da seguinte maneira: b) Como no caso anterior, as raízes já foram calculadas no exercício anterior. As coordenadas do vértice ficam: Xv = -(-4)/2*4 → Xv = ½ Y v = -0/4*4 → Yv = 0. O termo independente da função é 1, então é nesse ponto que o gráfico cruza o eixo das ordenadas. Assim, o gráfico da função fica:
  • 8. 8 Solução 8.6) Como o coeficiente a é negativo, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. Assim temos: ∆ = (1) − 4 * (− 1) * (2 ) ⇒ ∆ = 9 2 As raízes serão: −1± 9 −1± 3 X = ⇒X = → X 1 = −1 e X2 = 2 −2 −2 As coordenadas do vértice são: −1 1 −9 9 Xv = ⇒ Xv = Yv = ⇒ Yv = −2 2 −4 4 Como o termo independente da função é 2, é nesse ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas. Dessa forma o gráfico da função tem o seguinte esboço: Solução 8.7) a) Como a = -3 < 0, a parábola possui concavidade voltada para baixo e portanto terá um ponto de máximo cujas coordenadas do vértice são dadas por:
  • 9. 9 ∆ = (60 ) − 4 * (− 3) * (0 ) ⇒ ∆ = 3600 2 − 60 − 3600 Xv = ⇒ X v = 10 Yv ⇒ Yv = 300 −6 − 12 Assim, a altura máxima atingida pela bala é de 300 metros. b) A bola toca o solo quando y = 0. Assim, basta calcular as raízes da função. Com isso temos: − 60 ± 3600 − 60 ± 60 X = ⇒X = −6 −6 Dessa forma temos os valores X1 = 0 ou X2 = 20 O resultado X = 0 não convém, pois representa o ponto inicial da trajetória do projétil. Então, o alcance do disparo é de 20 metros. Solução 8.8) O valor mínimo da função é representado pela coordenada da ordenada do vértice da parábola. ∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = (− 2 ) − 4 * 3 * m ⇒ ∆ = 4 − 12m 2 −∆ 5 − (4 − 12m ) 5 12m − 4 36m − 12 Yv = ⇒ = ⇒ = ⇒ =5 4*a 3 4*3 3 12 12 3m − 1 = 5 ⇒ 3m = 6 ⇒ m = 2 Então para que a função tenha seu mínimo valor em 5/3, o termo independente m deve ser igual a 2. Solução 8.9) Estudar o sinal de uma função é saber onde a função torna-se positiva, negativa e nula. Assim, apenas sabendo suas raízes podemos fazer o esboço de seu gráfico para estudarmos seu sinal. Calculando as raízes da função dada temos: ∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = (− 8) − 4 * 1 * 15 ⇒ ∆ = 64 − 60 ⇒ ∆ = 4 2 −b± ∆ 8± 4 8±2 X = ⇒X = ⇒X = X1 = 3 , X2 = 5 2*a 2 2 A parábola possui concavidade para cima, pois o coeficiente a = 1 > 0. Assim, temos o esboço do gráfico sem nos preocuparmos com os valores máximos e mínimos: Notamos então que a função torna-se positiva para valores de x menores do que 3 e maiores do que 5, torna-se negativa para valores de x compreendidos entre 3 e 5, e torna-se nula exatamente nos valores 3 e 5, pois essas são as raízes da função.
  • 10. 10 Em linguagem matemática: f(x) > 0 ↔ (x < 3 ou x > 5) f(x) < 0 ↔ (3 < x < 5) f(x) = 0 ↔ x = 3 ou x = 5 Solução 8.10) Se a parábola passa pelo ponto (1;0), temos que: − 2(1) + b + c = 0 ⇒ −2 + b + c = 0 ⇒ b + c = 2 (1) 2 A abscissa do vértice é 3, então: −b −b Xv = ⇒ = 3 ⇒ b = 12 (2) 2a −4 Substituindo em (1): b + c = 2 ⇒ 12 + c = 2 ⇒ c = −10 O discriminante delta fica: ∆ = b 2 − 4 * a * c ⇒ ∆ = 12 2 − 4 * (− 2 ) * (− 10 ) ⇒ ∆ = 64 A ordenada do vértice (v) é, então: −∆ − 64 64 v= ⇒v= ⇒v= ⇒v=8 4*a − 4(− 2 ) 8 Então v = 8. 10.2) Respostas dos propostos: Solução 9.1) m < -2 Solução 9.2) 3 < m < 5 Solução 9.3) -2 ou 2/5 Solução 9.4) Mostrar que ∆ < 0 para qualquer valor de m Solução 9.5) -3 Solução 9.6) a) b) c) Solução 9.7) a) f(x) = 0, se x = 2, f(x) > 0, se x ≠ 2, não existe x tal que f(x) < 0 b) f(x) > para qualquer x real c) f(x) > 0 ↔ (-1/2 > x > 1) f(x) < 0 ↔ ( x < -1/2 ou x > 1) f(x) = 0 ↔ ( x = -1/2 ou x = 1)
  • 11. 11 Solução 9.8) -1 Solução 9.9) 0 Solução 9.10) b = -4, c = 4