Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) sua definição como funções da forma f(x) = ax2 + bx + c; (2) exemplos de funções quadráticas; (3) como plotar o gráfico de uma função quadrática; e (4) como determinar zeros, vértice e estudar o sinal de uma função quadrática. Exercícios são fornecidos para praticar esses conceitos.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x) = ax2 + bx + c; (2) exemplos de funções quadráticas; (3) gráficos e propriedades de funções quadráticas, como vértice e zeros; (4) estudo do sinal de funções quadráticas. Exercícios são fornecidos para praticar esses conceitos.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
Este documento resume os principais conceitos sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x)=ax2+bx+c; (2) que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola; (3) que os zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
1) O documento discute funções quadráticas, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. É apresentada a fórmula de Bhaskara para calcular raízes e as expressões para obter as coordenadas do vértice.
2) É descrito um experimento usando um sensor de movimento para medir a trajetória parabólica de um objeto lançado verticalmente.
3) São fornecidos exercícios resolvidos e propostos sobre funções quadráticas, incluindo cálculo de raízes, gráficos
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do 2o grau da forma f(x) = ax2 + bx + c. Explica como identificar os parâmetros a, b e c de funções quadráticas, e como determinar propriedades como raízes, vértice e concavidade com base nesses parâmetros. Apresenta também exercícios resolvidos sobre o assunto.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
1) O documento resume as propriedades e características de funções quadráticas, incluindo como construir o gráfico, calcular o vértice e interseções com os eixos.
2) Ele explica que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e como determinar se a concavidade é para cima ou baixo.
3) Também mostra como calcular as raízes da função quadrática e sua imagem, dependendo se a é positiva ou negativa.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x) = ax2 + bx + c; (2) exemplos de funções quadráticas; (3) gráficos e propriedades de funções quadráticas, como vértice e zeros; (4) estudo do sinal de funções quadráticas. Exercícios são fornecidos para praticar esses conceitos.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
Este documento resume os principais conceitos sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x)=ax2+bx+c; (2) que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola; (3) que os zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
1) O documento discute funções quadráticas, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. É apresentada a fórmula de Bhaskara para calcular raízes e as expressões para obter as coordenadas do vértice.
2) É descrito um experimento usando um sensor de movimento para medir a trajetória parabólica de um objeto lançado verticalmente.
3) São fornecidos exercícios resolvidos e propostos sobre funções quadráticas, incluindo cálculo de raízes, gráficos
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do 2o grau da forma f(x) = ax2 + bx + c. Explica como identificar os parâmetros a, b e c de funções quadráticas, e como determinar propriedades como raízes, vértice e concavidade com base nesses parâmetros. Apresenta também exercícios resolvidos sobre o assunto.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
1) O documento resume as propriedades e características de funções quadráticas, incluindo como construir o gráfico, calcular o vértice e interseções com os eixos.
2) Ele explica que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e como determinar se a concavidade é para cima ou baixo.
3) Também mostra como calcular as raízes da função quadrática e sua imagem, dependendo se a é positiva ou negativa.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Uma função quadrática é definida como f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos incluem áreas de quadrados e círculos em relação ao comprimento do lado ou raio. Uma função quadrática produz uma curva em forma de parábola com um vértice e eixo de simetria. O sinal de a determina se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
Este documento resume as principais características da função do 2o grau. Em três frases:
A função do 2o grau é definida pela expressão y=f(x)=ax2+bx+c, onde a, b e c são constantes. Seu gráfico é uma parábola, que possui vértice, raízes e concavidade determinados pelos valores de a, b e c. O documento explica como calcular essas propriedades e como interpretar o gráfico da função do 2o grau.
Este documento fornece uma ficha de revisão sobre funções quadráticas e um problema sobre o lançamento de uma bola. A ficha inclui determinar zeros, concavidade, vértice, interseções com eixos, domínio, intervalos de monotonia e esboço do gráfico para três funções quadráticas. O problema sobre a bola requer determinar o instante e altura máxima, e tempo para atingir o solo.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
O documento discute funções do 1o e 2o grau. Apresenta um exemplo de função do 1o grau f(x)=x-2 e explica como encontrar seus pares ordenados (x, f(x)). Também explica que a representação geométrica de uma função do 2o grau é dada por uma parábola e como seus coeficientes determinam se a parábola corta o eixo x em um, dois ou nenhum ponto.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e concavidade.
1) O documento define funções quadráticas como funções polinomiais do segundo grau da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
2) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que tem concavidade voltada para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
3) Os zeros ou raízes de uma função quadrática são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0, dadas pela fórmula de Bhaskara.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
O documento descreve o sistema de coordenadas cartesianas e funções polinomiais do 1o grau. Explica como construir um sistema cartesiano com duas retas perpendiculares e atribuir coordenadas aos pontos. Também define o que é uma função, domínio, conjunto imagem e como representar graficamente funções polinomiais do 1o grau, encontrando seus zeros.
O documento discute as propriedades geométricas e algébricas de hipérboles e parábolas. Apresenta hipérboles como seções de um cone e suas propriedades focais, e parábolas como seções paralelas a uma geratriz de um cone e como lugares geométricos definidos por distância focal. Também explora parábolas como gráficos de funções quadráticas e métodos gráficos para resolver equações de segundo grau.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
O documento apresenta um plano de aulas sobre funções quadráticas. As aulas abordam a história das funções quadráticas, sua definição, resolução de problemas, gráficos, raízes, vértices e aplicações no mercado de trabalho. As atividades serão realizadas em duplas e há previsão de uso de computadores e do software Winplot. A avaliação será contínua e abrangerá exercícios, participação e um teste individual.
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
A função do 2o grau é definida pela expressão y=ax2+bx+c e seu gráfico é uma parábola. O vértice da parábola pode ser encontrado calculando x=-b/2a e substituindo este valor em y. As raízes ocorrem quando y=0 e podem ser encontradas resolvendo a equação ax2+bx+c=0. A concavidade depende do sinal de a.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios cobrem tópicos como identificar funções quadráticas, calcular valores de funções em pontos específicos, determinar zeros de funções, calcular vértices de parábolas, estudar o sinal de funções, e esboçar gráficos de funções quadráticas.
Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0. Exemplos incluem f(x) = 5x2 + 3x - 2 e f(x) = -x2 + 4x. O vértice e raízes de uma função quadrática fornecem informações sobre seu comportamento e conjunto imagem.
Uma função quadrática é definida como f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos incluem áreas de quadrados e círculos em relação ao comprimento do lado ou raio. Uma função quadrática produz uma curva em forma de parábola com um vértice e eixo de simetria. O sinal de a determina se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
Este documento resume as principais características da função do 2o grau. Em três frases:
A função do 2o grau é definida pela expressão y=f(x)=ax2+bx+c, onde a, b e c são constantes. Seu gráfico é uma parábola, que possui vértice, raízes e concavidade determinados pelos valores de a, b e c. O documento explica como calcular essas propriedades e como interpretar o gráfico da função do 2o grau.
Este documento fornece uma ficha de revisão sobre funções quadráticas e um problema sobre o lançamento de uma bola. A ficha inclui determinar zeros, concavidade, vértice, interseções com eixos, domínio, intervalos de monotonia e esboço do gráfico para três funções quadráticas. O problema sobre a bola requer determinar o instante e altura máxima, e tempo para atingir o solo.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
O documento discute funções do 1o e 2o grau. Apresenta um exemplo de função do 1o grau f(x)=x-2 e explica como encontrar seus pares ordenados (x, f(x)). Também explica que a representação geométrica de uma função do 2o grau é dada por uma parábola e como seus coeficientes determinam se a parábola corta o eixo x em um, dois ou nenhum ponto.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e concavidade.
1) O documento define funções quadráticas como funções polinomiais do segundo grau da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
2) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que tem concavidade voltada para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
3) Os zeros ou raízes de uma função quadrática são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0, dadas pela fórmula de Bhaskara.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
O documento descreve o sistema de coordenadas cartesianas e funções polinomiais do 1o grau. Explica como construir um sistema cartesiano com duas retas perpendiculares e atribuir coordenadas aos pontos. Também define o que é uma função, domínio, conjunto imagem e como representar graficamente funções polinomiais do 1o grau, encontrando seus zeros.
O documento discute as propriedades geométricas e algébricas de hipérboles e parábolas. Apresenta hipérboles como seções de um cone e suas propriedades focais, e parábolas como seções paralelas a uma geratriz de um cone e como lugares geométricos definidos por distância focal. Também explora parábolas como gráficos de funções quadráticas e métodos gráficos para resolver equações de segundo grau.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
O documento apresenta um plano de aulas sobre funções quadráticas. As aulas abordam a história das funções quadráticas, sua definição, resolução de problemas, gráficos, raízes, vértices e aplicações no mercado de trabalho. As atividades serão realizadas em duplas e há previsão de uso de computadores e do software Winplot. A avaliação será contínua e abrangerá exercícios, participação e um teste individual.
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
A função do 2o grau é definida pela expressão y=ax2+bx+c e seu gráfico é uma parábola. O vértice da parábola pode ser encontrado calculando x=-b/2a e substituindo este valor em y. As raízes ocorrem quando y=0 e podem ser encontradas resolvendo a equação ax2+bx+c=0. A concavidade depende do sinal de a.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios cobrem tópicos como identificar funções quadráticas, calcular valores de funções em pontos específicos, determinar zeros de funções, calcular vértices de parábolas, estudar o sinal de funções, e esboçar gráficos de funções quadráticas.
Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0. Exemplos incluem f(x) = 5x2 + 3x - 2 e f(x) = -x2 + 4x. O vértice e raízes de uma função quadrática fornecem informações sobre seu comportamento e conjunto imagem.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções polinomiais do 2o grau. Inicia definindo a função do tipo f(x) = ax2 + bx + c e exemplificando a determinação dos coeficientes a, b e c. Em seguida, analisa cada um dos coeficientes e sua relação com a forma da parábola. Por fim, aborda tópicos como cálculo numérico da função, raízes, representação gráfica e elementos notáveis da parábola.
O documento discute o conceito de função quadrática e parábola, incluindo suas propriedades e elementos como vértice, raízes e gráfico. Explica que uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c e que seu gráfico forma uma parábola, cuja concavidade depende do sinal de a e cujo vértice tem coordenadas xv = -b/2a e yv = -Δ/4a.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
O documento descreve as funções quadráticas ou funções do segundo grau, definindo-as como funções da forma f(x)=ax2+bx+c. Explica como calcular os valores de a, b e c a partir de pontos dados e como representar graficamente essas funções, incluindo a localização do vértice e dos zeros.
1. O documento descreve as funções afins, que são funções da forma f(x)=ax+b, onde a e b são números reais.
2. Exemplos de funções afins incluem funções lineares, constantes, identidade e translação.
3. O valor de uma função afim em um ponto x é calculado como f(x)=ax+b e exemplos são fornecidos.
1. O documento descreve as funções afins, que são funções da forma f(x)=ax+b, onde a e b são números reais.
2. Exemplos de funções afins incluem funções lineares, constantes, identidade e translação.
3. O valor de uma função afim em um ponto x é calculado como f(x)=ax+b e exemplos são fornecidos.
A função quadrática é definida por y=ax2+bx+c. Representa uma parábola cujo vértice pode ser encontrado calculando -b/2a. As raízes ocorrem quando a função é igual a zero e podem ser encontradas usando a fórmula de Bháskara. Exemplos mostram como construir o gráfico e identificar vértice, raízes e concavidade.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo:
1) Definição de função como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo conjunto;
2) Exemplos de relações que são e não são funções;
3) Elementos que compõem uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, elementos de uma função e exemplos de relações que são ou não são funções. Também apresenta conceitos sobre gráficos de funções do primeiro grau e do segundo grau.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
Este documento discute funções quadráticas. Define uma função quadrática como f(x)=ax2+bx+c, onde a é um número real diferente de zero e b e c são números reais. Explica como identificar funções quadráticas e determinar seus coeficientes a, b e c. Também discute como calcular o valor numérico ou imagem de uma função quadrática para um dado valor de x ou quando f(x)=α.
O documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, exemplos de relações binárias que são ou não funções, elementos de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem. Também apresenta exemplos de gráficos de funções do primeiro grau e conceitos sobre vértice de funções quadráticas.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
1) O documento apresenta 10 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau. Os exercícios incluem determinar valores de x e y para diferentes funções, calcular pontos de interseção com eixos, e encontrar raízes de funções quadráticas.
1) O documento discute parábolas, funções quadráticas e suas propriedades como vértice, raízes, domínio e conjunto imagem.
2) Uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
3) Propriedades como vértice, raízes, domínio, conjunto imagem e estudo do sinal de uma função quadrática podem ser determinados a partir de seus coeficientes a
1) O documento apresenta conceitos sobre funções polinomiais do 1o e 2o grau, incluindo suas representações gráficas e cálculo de raízes.
2) São fornecidos exemplos de problemas envolvendo funções afins e quadráticas, com soluções passo a passo.
3) O documento aborda conceitos matemáticos importantes sobre funções do 1o e 2o grau de forma didática, com exemplos ilustrativos.
1) O documento discute funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins. Apresenta exemplos, gráficos, zeros, crescimento, decrescimento e sinal de funções afins.
2) Aborda tipos particulares de funções afins como funções lineares, identidade e constantes.
3) Propõe exercícios sobre funções afins para identificar sua lei, representar graficamente, calcular zeros e raízes, estudar sinal e analisar variação.
1. Função Quadrática
Revisão
Definição de Função Quadrática
Uma função f: →
chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com
a ≠ 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ .
f:
→
x ax² + bx + c
Alguns exemplos:
* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0
* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1
* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4
* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0
Observe que não são funções quadráticas:
* f(x) = 3x
* f(x) = 2 x
* f(x) = x³ + 2x² + x + 1
Exercícios Propostos
1) As seguintes funções são definidas em . Verifique quais delas são funções
quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c:
a) f(x) = 2x (3x - 1)
b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4
c) f(x) = 2(x + 1)²
2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine:
a) f(1)
c) f( 2 )
b) f(0)
d) f(-2)
e) f(h + 1)
f) x de modo que f(x) = -1
3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro
cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que
sobrou em função de x.
Gráfico da Função Quadrática
2. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Observe a tabela abaixo:
x
0
1
2
3
4
Y = f(x) = x² -4x + 3
3
0
-1
0
3
(x, y)
(0, 3)
(1, 0)
(2, -1)
(3, 0)
(4, 3)
Gráfico:
Zeros da Função Quadrática
Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x ∈ tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros
da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.
Determinação dos Zeros da Função Quadrática
A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x =
(discriminante).
−b ± ∆
com ∆ = b² - 4.a.c
2.a
3. Observações:
1) Quando ∆ > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a
parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).
2) Quando ∆ = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola
intersecta o eixo x em um só ponto).
3) Quando ∆ < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não
intersecta o eixo x).
4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Existindo zeros reais tal que:
x1 =
−b + ∆
2.a
x1+ x2 =
x2 =
−b − ∆
, obtemos:
2.a
−b
−b + ∆
−b − ∆
− 2b + ∆ − ∆
+
=
=
a
2.a
2.a
2.a
Logo, x 1 + x 2 =
x1. x2 =
e
−b
.
a
b ² − b ² + 4ac
c
−b + ∆
− b − ∆ b² − ( ∆ ) 2
.
=
=
=
4a ²
a
2.a
2.a
4a ²
4. Logo, x 1 . x 2 =
c
.
a
Exercícios Propostos
1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² - 3x
b) f(x) = x² +4x + 5
c) f(x) = -x² +2x + 8
d) –x² +3x – 5
2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?
3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal
modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos
alunos há em cada fila?
Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função
quadrática f(x) = ax² + bx + c.
Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.
5. Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola
(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
Parâmetro b:
Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das
ordenadas poderá estar subindo ou descendo.
Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola
está no eixo das ordenadas.
Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
6. Exercícios Propostos
1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem
vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde
a essa função:
a) f(x) = -2x² - 8x + 4
b) f(x) = 2x² - 8x + 4
c) f(x) = 2x² + 8x +4
2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c.
Pode se afirmar que:
a) a < 0, b > 0 e c < 0
b) a < 0, b = 0 e c < 0
c) a < 0, b > 0 e c > 0
d) a > 0, b < 0 e c < 0
e) a < 0, b < 0 e c < 0
Imagem da Função Quadrática
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite
determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem
ser calculadas de duas maneiras:
1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:
xv=
−b
2a
e
yv= −
∆
4a
2ª Maneira:
* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o
ponto médio das mesmas. Assim:
xv=
x1 + x 2
2
7. * Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a
coordenada y v .
Examine os exemplos:
1º) f(x) = 2x² - 8x
Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v =
0 +4
x1 + x 2
=
=2
2
2
Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice:
y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v )
y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8
* O vértice é o ponto (2, 8).
* A função assume valor mínimo -8 quando x = 2
* Im(f) = {y ∈
│y ≥ 0}
* Essa função não tem valor máximo.
2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a
pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) =
Neste caso, temos:
f(x) = -4 x² + 4x + 5
xv=
−b
−4
1
=
=
2a
−8
2
yv= −
− (16 + 80) − 96
∆
=
=
=6
4a
− 16
− 16
V = (1/2, 6)
−b
2a
,
∆
−
.
4a
≠ 0, também
8. * O vértice é o ponto (1/2, 6).
* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2
→
* Im(f) função
De modo geral, dada a= {y ∈ f: │y ≤ 6} tal que f(x) = ax² + bx + c, com a
* Essa função não tem valor mínimo. temos então:
V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente,
a > 0 ⇔ y v é o valor mínimo de f ⇔ CD(f) = {y ∈
a < 0 ⇔ y v é o valor máximo de f ⇔ CD(f) = {y ∈
≠ 0, se
│y ≥ y v }
│y ≤ y v }
Exercícios Propostos
1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo
indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o
conjunto imagem das funções:
a) f(x) = -3x² + 2x
b) f(x) = 2x² - 3x – 2
c) f(x) = -4x² + 4x - 1
2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?
3) Determine k de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 3)x² + 8x – 1 seja 3.
4) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por
C = x² - 80x + 3000. Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
b) o valor mínimo do custo.
9. Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, significa determinar os
valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é
negativa (f(x) < 0).
O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante ∆ = b² - 4ac da
equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.
Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com
o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos.
Acompanhe:
1º Caso: ∆ > 0
Neste caso:
* A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ;
* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.
a<0
a>0
f(x) = 0 para x = x ou x = x
f(x) > 0 para x < x ou x > x
f(x) < 0 para x < x < x
f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x
2
f(x) > 0 para x 1 < x < x 2
f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x
2º Caso: ∆ = 0
Neste caso:
* A função admite um zero real duplo x 1 = x 2
* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.
a>0
a<0
10. f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) > 0 para x ≠ x 1
f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) < 0 para x ≠ x 1
3º Caso: ∆ < 0
Neste caso:
* A função não admite zeros reais;
* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.
a>0
a<0
f(x) > 0 para todo x real
f(x) < 0 para todo x real
Exemplos:
1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:
a) f(x) = x² - 7x + 6
b) f(x) = 9x² + 6x + 1
c) f(x) = -2x² +3x – 4
a) f(x) = x² - 7x + 6
a=1>0
∆ = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0
Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1
Então:
* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6
* f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6
* f(x) < 0 para 1 < x < 6
Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e
negativa para x entre 1 e 6.
11. b) f(x) = 9x² + 6x + 1
a=9>0
∆ = (6)² - 4 (9) (1) = 0
Zeros da função: x = -1/3
Então:
* f(x) = 0 para x = -1/3
* f(x) > 0 para todo x ≠ -1/3
c) f(x) = -2x² +3x – 4
a = -2 < 0
∆ = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0
Portanto, ∆ < 0 e a função não tem zeros reais.
Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.
2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para
todo x real?
Condições:
* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)
* ∆< 0
Cálculo de ∆ :
∆ = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k
Daí:
4 – 4k < 0 ⇒ -4k < -4 ⇒ 4k > 4 ⇒ k >4/4 ⇒ k > 1
Logo, k ∈
│k > 1.
Exercícios Propostos
1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x² - 10x + 25
b) -3x² + 2x + 1
c) -4x² + 1
2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais
f(x) > 0.
12. 3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos
para todo x real?
4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine:
a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo;
b) Os zeros da função;
c) O vértice V da parábola definida pela função;
d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y;
e) O domínio D e o conjunto Im da função;
f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante;
g) O esboço do gráfico.