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Matemática no Winplot



Tema: Funções do 2° grau e Construções
Gráficas

Curso de Informática Educativa I
Projeto de Aprendizagem- Execução
Cursista: Sandra de Souza
Tutor: Luís Alberto Duncan Rangel
As aulas que antecedem a aula prática no laboratório de
Informática, serão utilizadas para apresentação do conteúdo.

1ª aula:

Usando o retroprojetor, farei a apresentação do assunto que se
dará da seguinte forma:

Onde aplicamos o conceito de parábolas?

- No lançamento de objetos: ao lançar um objeto (pedra, bola,
etc.) almejando alcançar a maior distância horizontal e vertical, a
curva descrita pelo objeto é o de uma parábola.

- As antenas parabólicas, também servem de exemplo.
Na sequência, apresentarei a Função do 2° grau e suas
construções:

        Chama-se Função Quadrática ou polinomial do 2° grau,
qual função    f:        definida pela forma f ( x ) ax 2 bx c ,
onde a, b e c são valores reais e a 0 . São todas as funções
polinomiais de grau 2.

Exemplos:

a) f ( x ) 3 x 2 4 x 1, onde a 3, b        4 e c 1

b) f ( x )   x 2 1, onde a 1, b    0 e c     1

c) f ( x )    x 2 8 x , onde a    1, b   8 e c   0
Raízes ou Zeros da Função do 2° grau

São os valores de x de f ( x ) ax 2 bx        c, que anulam a função
f ( x ) , ou seja, que tornam f ( x ) 0 .

As raízes x’ e x’’ representam o corte da parábola, que representa
a função, com o eixo ox .

                         Pontos Notáveis da Parábola

- Os pontos de intersecção da curva com o eixo ox (se existirem):
x’ e x’’.

Para encontrarmos os pontos, resolvemos a equação utilizando a
fórmula de Bháskara:

 x     b        , onde       b 2 4 ac
           2a

- Se       0, teremos duas raízes reais e distintas x ' x ' ' ;
- Se       0 , não teremos raízes reais;
- Se       0 , temos duas raízes reais e iguais.
Podemos fazer um resumo das condições do discriminante   e do
coeficiente a:
       se :    0 e a   0             se :   0 e a   0
1)                           2)




        se :   0 e a   0            se :    0 e a   0

3)                           4)




        se :   0 e a   0             se :   0 e a   0

5)                           6)
Vértice da Parábola
Vértice da parábola V(xv, yv)




                 Fique Ligado

- Se na função f ( x ), c 0 a parábola cortará oy acima da
origem do plano cartesiano.

- Se c o, a parábola cortará o eixo oy na origem do plano
cartesiano.

- Se c o, a parábola cortará o eixo oy abaixo da origem do plano
cartesiano.
O domínio e a Imagem da Função do 2° grau


- O conjunto domínio da função do 2° grau é o conjunto dos
  números reais     D(f)    .

- O conjunto imagem desta função é aquele formado pelas
  ordenadas de todos os pontos do gráfico, maiores ou iguais ou
  menores ou iguais a ordenada do vértice (yv).

 Im( f )   y   /y         para ( a   0)
                     4a


 Im( f )   y   /y         para ( a   0)
                     4a
Valor Máximo ou Mínimo da função do 2° grau


- Se a   0, yv        será o valor mínimo da parábola.
                 4a

- Se a   0, yv        será o valor máximo da parábola.
                 4a




                                             Ponto máximo




             Ponto mínimo
Estudo do Sinal da Função do 2° grau

Para estudarmos o sinal da função do 2° grau devemos adotar o
seguinte procedimento:

• Determinamos as raízes da função;

• Marcamos as raízes sobre o eixo oy (caso existam);
• Analisamos a concavidade da parábola ( a 0 ou a 0 ) ;
• Estudaremos o sinal da função.
Exemplo:
Estude o sinal da função f ( x )   x2 5x 6 .
Resolução:

   x2   5x 6 0
         b 2 4 ac
         1 0
   x'   3 e x '' 2



        f ( x)    0 , para     x     2 ou x    3
        f ( x)    0 , para     x     2 ou x    3
        f ( x)    0 , para     2     x 3
Gráfico da função do 2° grau

O Gráfico de uma função polinomial do 2° grau f ( x ) ax 2 bx c
com a 0 é uma curva chamada Parábola. Logo podemos definir
que:

• Se a   0, a parábola terá a concavidade para cima.
• Se a   0, a parábola terá a concavidade para baixo.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função f ( x )   x2   x.

   Primeiro atribuímos a x alguns valores, entre eles os zeros e o
vértice da função, construímos o gráfico.

Resolução:
Resumindo Tudo:

                         Olha a dica


Para construir uma função do 2° grau, temos que:

1° Determinar as raízes da função, se existirem.

2° Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.

3° Calcular o vértice V(xv,yv) da parábola e marcar no plano
cartesiano.

4° Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.

5° Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando
pelos pontos marcados e apontar se a mesma possui ponto de
máximo ou de mínimo.
Organizando as ideias sobre função quadrática, trabalhando com
a forma fatorada (forma canônica).
• Forma Geral ou desenvolvida: f ( x )           ax 2   bx   c
• Forma Canônica: f ( x )     a( x    k )2       v


Exemplo – Vejam:
                     f ( x)   (x     2)2     3

O gráfico representado terá o vértice deslocado dois para a direita
e subira três unidades em relação a y.
Como “a” é positivo, sua concavidade será para cima.
Exemplo:
f ( x)   2x2   12 x    18 , fatorando: 2 ( x 2   6x   9)

                      f ( x)   2 (x   3) 2

   O gráfico não será deslocado na vertical (v=0), mas apenas na
horizontal: se k=-3, desloca três para a direita em relação a
origem.




Obs:. Após a explicação detalhada do conteúdo, com a
participação ativa dos alunos interagindo com perguntas e
contribuições, com exemplos pessoais, farei a proposta de
atividade para a aula seguinte. Este trabalho foi desenvolvido em
dois tempos de aula de 50 minutos.
Pedirei que tragam para aula seguinte, folha de papel
milimetrado para construirmos alguns gráficos das funções
quadráticas em sala com o meu monitoramento, tirando todas as
dúvidas existentes.

Material solicitado:
•   Papel milimetrado
•   lápis
•   Par de esquadros ou régua
•   Calculadora
                        2ª aula em classe
- Construção de gráficos das funções do 2° grau.
Com os materiais solicitados que foram trazidos pelos alunos,
farei a proposta de construção gráfica da função do 2° grau
f ( x ) x 2 para iniciar a ação pedagógica em classe,
acrescentando em um segundo momento uma constante
numérica K a função inicial,f ( x ) x 2 k chamando a atenção dos
alunos para a translação do gráfico em relação ao eixo das
ordenadas. Posteriormente acrescentarei uma constante numérica
K a incógnita “x”, formando f ( x ) ( x k ) 2, fazendo os alunos
visualizarem a translação do gráfico no eixo das abscissas.
A atividade está programada para ser realizada em um tempo de
aula de 50 minutos onde a turma será dividida em duplas.
    Após a construção dos gráficos, eu apresentarei no
retroprojetor a imagem de cada construção para que os alunos
possam visualizar, comparar e avaliar as suas construções.

1) Função polinomial do 2° grau – análise gráfica:

f ( x)     x2




2) Fazendo gráficos para as funções:
  f ( x)    x2   2 e   f ( x)   x2   2 , onde k   2 ou k   2
3) Trabalhando com a construção gráfica da função:
 f ( x)   (x   2)2 e   f ( x)   (x   2 ) 2 , onde k   2 ou k   2




    Analisaremos cada caso, discutindo as construções e
comparando com as construções realizadas pelos alunos para
alcançarmos a compreensão do que foi construído.
3ª aula – No laboratório de Informática

   Após a etapa inicial, em que os alunos em dupla estarão
reconhecendo o programa Winplot e visualizando todas as etapas
de execução do mesmo, farei a proposta de uma atividade para
que todas as duplas coloquem em prática a execução do exercício
no programa.
As atividades propostas no Winplot:
                              Atividade 1
Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções
a e b; e em outro, os gráficos das funções c e d.

a) f ( x )   x2

b) f ( x )   2x2

c) f ( x )    x2

d) f ( x )   2x2
Gráficos das funções c e d:
Atividade 2
Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções
a, b e c; em outro os gráficos das funções e, f e g.

a) f ( x )   x2   1

b) f ( x )   x2   3

c) f ( x )   x2   3
Atividade 2
Gráficos das funções:

e) f ( x )   2x2       1

f) f ( x )   3x 2      2

g) f ( x )   0,5 x 2       4
Atividade 3
Construa agora num mesmo gráfico, as funções quadráticas
destacadas abaixo, utilizando as mesmas ferramentas do Winplot:

a) f ( x )   (x   1) 2

b) f ( x )   (x   3) 2

c) f ( x )   (x   1) 2
Coleta de dados:
Ao término dos trabalho desenvolvidos em sala de aula e no
laboratório de informática, pude analisar o grau de interesse e
participação de todos os alunos envolvidos nas atividades e,
concluí que o trabalho em dupla foi muito colaborativo e
possibilitou a maior aplicabilidade das tarefas propostas e
execução das mesmas foi além do esperado, em termos de
retorno e aceitação por partes do alunos que conseguiram atingir
quase 100% do que foi objetivado.
Avaliação:
Ao final de todas as etapas planejadas e executadas com êxito,
pude observar a critério de avaliação que:
• Houve identificação entre as duplas para o desenvolvimento
  das tarefas;
• O assunto da tarefa proposta foi o foco principal das
  discussões;
• Utilizaram de forma correta as funções dadas para construir,
  compreender e comprovar as transformações ocorridas na
  construção gráfica usando, adequadamente, o programa
  Winplot como ferramenta;
• As duplas apresentaram a conclusão das tarefas propostas com
  uma boa análise dos aspectos observados nas construções e
  suas peculiaridades.
Conclusão:
    O projeto de aprendizagem-execução, foi integralmente
baseado no projeto-planejamento da semana anterior. O mesmo
teve como proposta, aproximar os alunos da praticidade que se
alcança quando utilizamos o software Winplot, reconhecendo suas
ferramentas e sua aplicabilidade nas funções do segundo grau.
    Para chegarmos ao resultado esperado, trabalhamos em sala
de aula com explicações do assunto e com construções gráficas
no papel milimetrado. Estas construções e visualização dos slides
foram fatores determinantes para que a aula experimental no
laboratório de informática ocorresse conforme o planejado.
    Os alunos se envolveram com o projeto de forma motivadora
e puderam perceber a importância do software Winplot como uma
grande ferramenta para ampliar a compreensão do assunto
estudo.
Referencias bibliográficas
LONGEN, Adilson. Uma Atividade Humana, 1ª edição, Curitiba
2003.
Coleção do Professor de Matemática: A Matemática do Ensino
Médio, SBM.
IME.USP-SP: http: //www.cepa.if.usp.br/e-calculo/
acessado em 24 de outubro de 2012.
http://guaiba.ulbra.br/seminario/eventos/2009/artigos/matematica/salao/503
.pdf acessado em 23 de outubro de 2012.
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-8716291.pdf
acessado em 16 de outubro de 2012.
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/114-2.pdf
acessado em 17 de outubro de 2012.

http://meta-matematica.blogspot.com.br/2008/07/atividade-com-o-
winplot.html acessado em 18 de outubro de 2012.

http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/introducao_winplot.pdf
acessado em 19 de outubro de 2012.

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Matemática no winplot - sandra de souza

  • 1. Matemática no Winplot Tema: Funções do 2° grau e Construções Gráficas Curso de Informática Educativa I Projeto de Aprendizagem- Execução Cursista: Sandra de Souza Tutor: Luís Alberto Duncan Rangel
  • 2. As aulas que antecedem a aula prática no laboratório de Informática, serão utilizadas para apresentação do conteúdo. 1ª aula: Usando o retroprojetor, farei a apresentação do assunto que se dará da seguinte forma: Onde aplicamos o conceito de parábolas? - No lançamento de objetos: ao lançar um objeto (pedra, bola, etc.) almejando alcançar a maior distância horizontal e vertical, a curva descrita pelo objeto é o de uma parábola. - As antenas parabólicas, também servem de exemplo.
  • 3. Na sequência, apresentarei a Função do 2° grau e suas construções: Chama-se Função Quadrática ou polinomial do 2° grau, qual função f: definida pela forma f ( x ) ax 2 bx c , onde a, b e c são valores reais e a 0 . São todas as funções polinomiais de grau 2. Exemplos: a) f ( x ) 3 x 2 4 x 1, onde a 3, b 4 e c 1 b) f ( x ) x 2 1, onde a 1, b 0 e c 1 c) f ( x ) x 2 8 x , onde a 1, b 8 e c 0
  • 4. Raízes ou Zeros da Função do 2° grau São os valores de x de f ( x ) ax 2 bx c, que anulam a função f ( x ) , ou seja, que tornam f ( x ) 0 . As raízes x’ e x’’ representam o corte da parábola, que representa a função, com o eixo ox . Pontos Notáveis da Parábola - Os pontos de intersecção da curva com o eixo ox (se existirem): x’ e x’’. Para encontrarmos os pontos, resolvemos a equação utilizando a fórmula de Bháskara: x b , onde b 2 4 ac 2a - Se 0, teremos duas raízes reais e distintas x ' x ' ' ; - Se 0 , não teremos raízes reais; - Se 0 , temos duas raízes reais e iguais.
  • 5. Podemos fazer um resumo das condições do discriminante e do coeficiente a: se : 0 e a 0 se : 0 e a 0 1) 2) se : 0 e a 0 se : 0 e a 0 3) 4) se : 0 e a 0 se : 0 e a 0 5) 6)
  • 6. Vértice da Parábola Vértice da parábola V(xv, yv) Fique Ligado - Se na função f ( x ), c 0 a parábola cortará oy acima da origem do plano cartesiano. - Se c o, a parábola cortará o eixo oy na origem do plano cartesiano. - Se c o, a parábola cortará o eixo oy abaixo da origem do plano cartesiano.
  • 7. O domínio e a Imagem da Função do 2° grau - O conjunto domínio da função do 2° grau é o conjunto dos números reais D(f) . - O conjunto imagem desta função é aquele formado pelas ordenadas de todos os pontos do gráfico, maiores ou iguais ou menores ou iguais a ordenada do vértice (yv). Im( f ) y /y para ( a 0) 4a Im( f ) y /y para ( a 0) 4a
  • 8. Valor Máximo ou Mínimo da função do 2° grau - Se a 0, yv será o valor mínimo da parábola. 4a - Se a 0, yv será o valor máximo da parábola. 4a Ponto máximo Ponto mínimo
  • 9. Estudo do Sinal da Função do 2° grau Para estudarmos o sinal da função do 2° grau devemos adotar o seguinte procedimento: • Determinamos as raízes da função; • Marcamos as raízes sobre o eixo oy (caso existam); • Analisamos a concavidade da parábola ( a 0 ou a 0 ) ; • Estudaremos o sinal da função.
  • 10. Exemplo: Estude o sinal da função f ( x ) x2 5x 6 . Resolução: x2 5x 6 0 b 2 4 ac 1 0 x' 3 e x '' 2 f ( x) 0 , para x 2 ou x 3 f ( x) 0 , para x 2 ou x 3 f ( x) 0 , para 2 x 3
  • 11. Gráfico da função do 2° grau O Gráfico de uma função polinomial do 2° grau f ( x ) ax 2 bx c com a 0 é uma curva chamada Parábola. Logo podemos definir que: • Se a 0, a parábola terá a concavidade para cima. • Se a 0, a parábola terá a concavidade para baixo.
  • 12. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função f ( x ) x2 x. Primeiro atribuímos a x alguns valores, entre eles os zeros e o vértice da função, construímos o gráfico. Resolução:
  • 13. Resumindo Tudo: Olha a dica Para construir uma função do 2° grau, temos que: 1° Determinar as raízes da função, se existirem. 2° Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. 3° Calcular o vértice V(xv,yv) da parábola e marcar no plano cartesiano. 4° Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. 5° Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados e apontar se a mesma possui ponto de máximo ou de mínimo.
  • 14. Organizando as ideias sobre função quadrática, trabalhando com a forma fatorada (forma canônica). • Forma Geral ou desenvolvida: f ( x ) ax 2 bx c • Forma Canônica: f ( x ) a( x k )2 v Exemplo – Vejam: f ( x) (x 2)2 3 O gráfico representado terá o vértice deslocado dois para a direita e subira três unidades em relação a y. Como “a” é positivo, sua concavidade será para cima.
  • 15. Exemplo: f ( x) 2x2 12 x 18 , fatorando: 2 ( x 2 6x 9) f ( x) 2 (x 3) 2 O gráfico não será deslocado na vertical (v=0), mas apenas na horizontal: se k=-3, desloca três para a direita em relação a origem. Obs:. Após a explicação detalhada do conteúdo, com a participação ativa dos alunos interagindo com perguntas e contribuições, com exemplos pessoais, farei a proposta de atividade para a aula seguinte. Este trabalho foi desenvolvido em dois tempos de aula de 50 minutos.
  • 16. Pedirei que tragam para aula seguinte, folha de papel milimetrado para construirmos alguns gráficos das funções quadráticas em sala com o meu monitoramento, tirando todas as dúvidas existentes. Material solicitado: • Papel milimetrado • lápis • Par de esquadros ou régua • Calculadora 2ª aula em classe - Construção de gráficos das funções do 2° grau. Com os materiais solicitados que foram trazidos pelos alunos, farei a proposta de construção gráfica da função do 2° grau f ( x ) x 2 para iniciar a ação pedagógica em classe, acrescentando em um segundo momento uma constante numérica K a função inicial,f ( x ) x 2 k chamando a atenção dos alunos para a translação do gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Posteriormente acrescentarei uma constante numérica K a incógnita “x”, formando f ( x ) ( x k ) 2, fazendo os alunos visualizarem a translação do gráfico no eixo das abscissas.
  • 17. A atividade está programada para ser realizada em um tempo de aula de 50 minutos onde a turma será dividida em duplas. Após a construção dos gráficos, eu apresentarei no retroprojetor a imagem de cada construção para que os alunos possam visualizar, comparar e avaliar as suas construções. 1) Função polinomial do 2° grau – análise gráfica: f ( x) x2 2) Fazendo gráficos para as funções: f ( x) x2 2 e f ( x) x2 2 , onde k 2 ou k 2
  • 18. 3) Trabalhando com a construção gráfica da função: f ( x) (x 2)2 e f ( x) (x 2 ) 2 , onde k 2 ou k 2 Analisaremos cada caso, discutindo as construções e comparando com as construções realizadas pelos alunos para alcançarmos a compreensão do que foi construído.
  • 19. 3ª aula – No laboratório de Informática Após a etapa inicial, em que os alunos em dupla estarão reconhecendo o programa Winplot e visualizando todas as etapas de execução do mesmo, farei a proposta de uma atividade para que todas as duplas coloquem em prática a execução do exercício no programa. As atividades propostas no Winplot: Atividade 1 Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a e b; e em outro, os gráficos das funções c e d. a) f ( x ) x2 b) f ( x ) 2x2 c) f ( x ) x2 d) f ( x ) 2x2
  • 21. Atividade 2 Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a, b e c; em outro os gráficos das funções e, f e g. a) f ( x ) x2 1 b) f ( x ) x2 3 c) f ( x ) x2 3
  • 22. Atividade 2 Gráficos das funções: e) f ( x ) 2x2 1 f) f ( x ) 3x 2 2 g) f ( x ) 0,5 x 2 4
  • 23. Atividade 3 Construa agora num mesmo gráfico, as funções quadráticas destacadas abaixo, utilizando as mesmas ferramentas do Winplot: a) f ( x ) (x 1) 2 b) f ( x ) (x 3) 2 c) f ( x ) (x 1) 2
  • 24. Coleta de dados: Ao término dos trabalho desenvolvidos em sala de aula e no laboratório de informática, pude analisar o grau de interesse e participação de todos os alunos envolvidos nas atividades e, concluí que o trabalho em dupla foi muito colaborativo e possibilitou a maior aplicabilidade das tarefas propostas e execução das mesmas foi além do esperado, em termos de retorno e aceitação por partes do alunos que conseguiram atingir quase 100% do que foi objetivado. Avaliação: Ao final de todas as etapas planejadas e executadas com êxito, pude observar a critério de avaliação que: • Houve identificação entre as duplas para o desenvolvimento das tarefas; • O assunto da tarefa proposta foi o foco principal das discussões; • Utilizaram de forma correta as funções dadas para construir, compreender e comprovar as transformações ocorridas na construção gráfica usando, adequadamente, o programa Winplot como ferramenta; • As duplas apresentaram a conclusão das tarefas propostas com uma boa análise dos aspectos observados nas construções e suas peculiaridades.
  • 25. Conclusão: O projeto de aprendizagem-execução, foi integralmente baseado no projeto-planejamento da semana anterior. O mesmo teve como proposta, aproximar os alunos da praticidade que se alcança quando utilizamos o software Winplot, reconhecendo suas ferramentas e sua aplicabilidade nas funções do segundo grau. Para chegarmos ao resultado esperado, trabalhamos em sala de aula com explicações do assunto e com construções gráficas no papel milimetrado. Estas construções e visualização dos slides foram fatores determinantes para que a aula experimental no laboratório de informática ocorresse conforme o planejado. Os alunos se envolveram com o projeto de forma motivadora e puderam perceber a importância do software Winplot como uma grande ferramenta para ampliar a compreensão do assunto estudo.
  • 26. Referencias bibliográficas LONGEN, Adilson. Uma Atividade Humana, 1ª edição, Curitiba 2003. Coleção do Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio, SBM. IME.USP-SP: http: //www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ acessado em 24 de outubro de 2012. http://guaiba.ulbra.br/seminario/eventos/2009/artigos/matematica/salao/503 .pdf acessado em 23 de outubro de 2012. http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-8716291.pdf acessado em 16 de outubro de 2012. http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/114-2.pdf acessado em 17 de outubro de 2012. http://meta-matematica.blogspot.com.br/2008/07/atividade-com-o- winplot.html acessado em 18 de outubro de 2012. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/introducao_winplot.pdf acessado em 19 de outubro de 2012.