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Equações lineares e sistemas lineares
- 2. Equação linear é toda equação da forma: a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1 em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as incógnitas; e b1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
- 3. nnnmmmm nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa .... .... .... 332211 22323222121 11313212111 Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
- 4. Matriz incompleta: é a matriz A formada pelos coeficientes do sistema. 10106 3475 0862 zyx zyx zyx 1106 475 862 A
- 5. Matriz completa: é a matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. 10106 3475 0862 zyx zyx zyx 101106 3475 0862 A
- 6. Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é normal.
- 7. Sistema possível e determinado (SPD) Única solução Sistema possível e indeterminado (SPI) Infinitas soluções Sistema impossível (SI) Não tem solução
- 8. Tem apenas uma solução. D ≠ 0 623 32 3 zyx zyx zyx
- 9. Infinitas soluções D=D1=D2=D3...DN = 0 0 DzDyDxD 134 22 123 zyx zyx zyx
- 10. Não tem solução D=0 e Dx ≠ 0 0233 232 12 zyx zyx zyx
- 11. Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. 832 3 1 yx yx S 52 3 2 yx yx S
- 12. Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
- 13. A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, vamos usar as três Operações Elementares sobre linhas.
- 14. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
- 15. Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
- 16. Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos: A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não- triviais. 0.... 0.... 0.... 332211 2323222121 1313212111 nnmmmm nn nn xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa